Die Wurzel schreibe ich als sqr, also Wurzel aus 2 wäre dann sqr(2)
Aufgabe 1:
a) Klassische Formelherleitung:
h = 1/2*g*t liefert die Fallzeit t = sqr(2*h/g) also 1,4 sec
Einsetzen in v = g*t = g * sqr(2*h/g) = sqr( 2*h*g²/g) = sqr( 2*h*g) also 14,1 m/sec also etwa 51 km/h
(Deswegen schmerzen "Bauchplatscher" aus 10 m Höhe so...)
b) Herleitung mit Energieerhaltung:
Die Springerin hat oben die potenzielle Energie Epot = m*g*h. Diese wird beim Fallen in kinetische Energie umgewandelt (Entwertung durch Reibung wird vernachlässigt).
Da das Wasser der Bezugspunkt für die potenzielle Energie ist, muss dort der Umwandlungsprozess abgeschlossen sein, d.h. die gesamte potenzielle Energie ist zur kinetischen geworden.
Somit gilt: m*g*h = 1/2*m*v², nach v auflösen ergibt wieder die bekannte Formel.
Hier sieht man sehr schön, dass die Masse m auf beiden Seiten der Gleichung steht, also wegfällt.
Kommt euch das bekannt vor? Alle Körper fallen ....
Aufgabe 2:
Beim Start bekommt die Rakete kinetische Energie, die geht in potenzielle Energie über.
Dann gilt: m*g*h = 1/2*m*v².
Für h erhält man die Formel: h = v²/(2*g), hier 4500 m.
Das ist nicht allzu hoch, deswegen werden die Raketenmotoren nach dem Start auch nicht ausgeschaltet..
Allerdings: Erreicht die Rakete Höhen um die 100 km, gilt die Formel für die potenzielle Energie nicht mehr...dazu später mehr.
Aufgabe 3:
Erst einmal alles in m/sec umrechnen: Das Auto beschleunigt von 8,3 m/sec auf 13,9 m/sec.
Warum gibt es keine Zeitangabe? Nun es geht nur um die Energie, nicht um die Leistung!
Achtung: Man darf nicht den Geschwindigkeitsunterschied quadrieren und damit rechnen. Man muss die kinetische Energie vor der Beschleunigung von der kinetischen Energie nach der Beschleunigung abziehen:
Energiebedarf = Ekin(50km/h) - Ekin (30km/h)
= 1/2*m*13,9² - 1/2*m*8,3² Wir klammern aus
= 1/2*m*(13,9² - 8,3²)
Man sieht: Das ist etwas anderes als 1/2*m*(13,9-8,3)²...
Wer es nicht glaubt, sollte sich mal um die binomischen Formeln kümmern.
Dass man Geschwindigkeitsunterschiede nicht direkt in kinetische Energie umrechnen kann, liegt daran, dass hier ein quadratischer Zusammenhang besteht: Die Energie hängt von v² ab, nicht von v!
Nun muss man noch eine Massenangabe für ein Auto suchen...nehmen wir 800 kg...dann wären es etwa 49730 J (und nicht 12544 J...die bräuchte man von 0 auf 20 km/h).
Aufgabe 4:
Kommen wir zum Edersee...hier dürfen wir mit Höhendifferenzen arbeiten, denn die potenzielle Energie hängt linear von der Höhe ab (zumindest in der Nähe der Erdoberfläche).
Masse des Wassers: 200 Milliarden kg
Höhendifferenz: 21 m
Energiefreisetzung: E = m*g*Δh = 42 Billionen J oder Ws
Wir müssen Ws in kWh umrechnen:
1 kWh = 1000 W*3600sec = 3,6 Millionen Ws
Damit erhalten wir E = 11,7 Millionen kWh (also 11,7 GWh)
Damit können rund 1670 Menschen ein Jahr lang mit Energie versorgt werden.
Nun die Zusatzfrage:
3,6 Millionen Ws sollen in Wärmeenergie Q = c * m *ΔT (verlustfrei) umgewandelt werden und damit sollen die 200 Milliarden kg Wasser erwärmt werden.
Wir kennen Q, c (4190 Ws/(kg*K)) und m und können zur Temperaturdifferenz auflösen:
Man erhält nur 0,05°C Temperaturunterschied...
Wasser ist eben verdammt schwer zu erhitzen...