P 153: Atome des Klangs

 27.4 Alles ist harmonisch zusammengesetzt

Beliebige periodische und nicht periodische Vorgänge lassen sich durch Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen mit bestimmten Frequenzen und Amplituden erzeugen. Nach dem Erfinder Fourier spricht man von Fourier-Analyse oder Fourier-Transformation FT, wenn die Frequenzen und Amplituden derjenigen Sinus- oder Cosínus-Funktionen berechnet werden, die man zur Darstellung des Signals benötigt.

Bevor wir uns mit der  Fourieranalyse kurz beschäftigen, hier erst  weitere Beispiele für harmonische und nicht harmonische Schwingungen:

27.4.1 Harmonisch/nichtharmonisch

Die Schaukel kann sowohl harmonisch als auch nicht-harmonisch schwingen, bei kleinen Auslenkungen ist die Kraft linear zur Auslenkung (die Sinuskurve verläuft praktisch gerade im Bereich um 0°), d.h. die Schwingung ist harmonisch.

Bei großen Auslenkungen ist das Pendel / die Schaukel nicht harmonisch.

Ein Federpendel wird mit einer (linearen) Metallfeder harmonisch sein, mit einem (nicht linearen) Gummiband nicht.

Beim Auto werden oft nicht lineare Schraubenfedern in den Federbeinen eingesetzt.

Kugeln in einer parabelförmigen Schüssel werden harmonisch schwingen, in anderen beliebigen Formen nicht.

• Harmonische Schwingungen:

Feder-Schwere-Pendel, Fadenpendel (nur bei kleinen Auslenkungswinkeln); Flüssigkeitssäule in einem U-Rohr (typische LK-Abituraufgabe, werden wir noch vorstellen); Spannung bei üblichem Wechselstrom (Thema Q2); Schwingung von Spannung und Stromstärke im elektromagnetischen Schwingkreis (Thema Q2)

• Nicht-Harmonische Schwingungen:

Hoch- und Runterhüpfen eines Balls/Flummis etc.; Fadenpendel bei großem Auslenkungswinkel

Aber: Jede nichtharmonische Schwingungen lässt sich aus harmonischen Schwingungen zusammensetzen!

27.4.2 Zusammensetzen von Schwingungen

Das Beispiel zeigt, wie man mit Sinuskurven eine Kippschwingung zusammensetzen kann. Die Frequenz wird jeweils verdoppelt, die Amplitude sinnvoll verkleinert. Dann werden alle Auslenkungen aufaddiert.

Die Bilder habe ich mit dem Geogebra-Programm von K. Lindner gemacht, der Link zum Selbstausprobieren steht drunter...

Zusammensetzen zu einer Kippschwingung

27.4.3 Zerlegen in Einzelschwingungen

Wenn ein kompliziertes Signal gegeben ist, kann man mit Hilfe nicht einfacher Rechnungen diejenigen harmonischen Schwingungen bestimmen, durch deren Überlagerung das gegebene Signal entstanden ist.

Beispiele sind in der  Abb. zu sehen:

Die jeweils untere Kurve ist die Fouriertransformierte der darüber stehenden Schwingung. Die Fouriertransformierte gibt an, mit welchem Anteil A (Wert) eine bestimmte Frequenz (x-Wert) vorkommt, man nennt die Darstellung auch das Spektrum des Signals (Anteile nach Frequenz geordnet).

Bei einer reinen Schwingung taucht nur eine Frequenz auf (oberes Bild), bei einer Schwebung natürlich zwei nahe beieinander liegende Schwingungen.

So kann man auch Klangbilder analysieren:

Bei einer Klarinette kommt auch immer die 3-, 5-, 7-, fache Frequenz des Tones vor.

Bei einer Oboe dagegen die 2-, 4-, 6 fache Frequenz und die Schwingung bei der doppelten Frequenz ist stärker als die Schwingung bei der eigentlichen Frequenz des Tones.

27.4.4 Unser Ohr kann Fouriertransformation

Der ankommende Klang wird durch die Härchen im Innenohr in einzelne Frequenzen zerlegt, deren Stärke getrennt wahrgenommen wird. Daraus setzt das Gehirn dann den Klang erneut zusammen.

(Informiere Dich mal in einem Biobuch darüber, wie unser Ohr funktioniert).

Der Klang entsteht also in unserem Gehirn. Das wussten schon Komponisten vor vielen Jahrhunderten. Sie setzen durch das Orchester Schwingunen zusammen, die zu einem neuen Klangbild in dne Zuhörer/innen führten, ohne dass dieser Klang im Raum physikalisch messbar gewesen wäre.

Das gilt noch heute für Klaviertöne:

Im oberen Bild sehen wir das sog. Frequenzspektrum der 75 Hz Schwingung. Besonders stark ist die Schwingung beim sechsfachen Wert (450 Hz), die eigentliche Schwingung bei 75 Hz ist ganz schwach. Dies liegt am Resonanzverhalten des Klaviers. Es ist bei diesen tiefen Frequenzen nicht in Resonanz und die Saitenschwingung wird nicht verstärkt.

Trotzdem hören wir nicht den Ton bei 450 Hz sondern den bei 75 Hz. Unser Gehirn berechnet aus dem Klangbild das Frequenzspektrum und ordnet den Ton richtig zu.

Wird eine Saite bei 50 Hz angeschlagen, so strahlt das Klavier diesen Ton überhaupt nicht ab (unteres Bild). Über die Fourieranalyse erkennt unser Gehirn aber, dass die Saite diesen Ton erzeugen muss und konstruiert die Wahrnehmung!

Wir hören beim Klavierspiel Töne, die es gar nicht gibt!

Entsprechendes gilt auch für Pauken und Kirchenglocken.

·         

P 48: Wir konstruieren die Flugbahn

 8.3 Konstruktion der Flugbahn beim schrägen Wurf

Eigentlich finden hier zwei Bewegungen gleichzeitig statt.

Wären wir fern der Erde zwischen Galaxien in absoluter Schwerelosigkeit oder in der ISS, so würde ein Körper, den wir schräg abwerfen immer geradeaus fliegen...bis er in einer Galaxie landet oder an die Wand der ISS prallt.

Diese Flugbahn können wir leicht als Verlängerung des Startvektors einzeichnen und regelmäßige Abschnitte markieren, z.B. für jede Sekunde eine Markierung machen. Das ist die grüne Gerade im Bild.

Auf der Erde fällt der Körper gleichzeitig nach unten. Für diese reine Fallbewegung gilt unsere Formel  

s = 1/2 * g* t²

Mit g = 10 m/sec² erhalten wir daraus leicht die Fallstrecken nach jeder weiteren Sekunde:

t = 0 sec     s = 0 m

t = 1 sec     s = 5 m

t = 2 sec     s = 20 m

t = 3 Sec    s = 45 m u.s.w., das haben wir ja schon mehrmals berechnet.

Nun zeichnen wir die Fallstrecken an unsere gerade Linie an, verbinden die Endpunkte und haben die Flugbahn (im Bild habe ich das  nicht maßstäblich korrekt gemacht).

Macht es einmal....ruhig für verschiedene Startwinkel. Achtet darauf, dass ihr für alle Geschwindigkeiten den gleichen Maßstab wählt und an die Koordinaten anpasst (nach der 1. Sekunde ist der Körper um 5 m gefallen und hat sich in unserem Fall um 100 m auf seiner geraden Fluglinie weiterbewegt).

Das Prinzip gebe ich noch einmal vor. Aber ohne, dass ihr das mal selbst konstruiert habt, werdet ihr euch das nicht merken....

Wir werden bald lernen, wie man nur mit Koordinatenausrechnen vorgehen kann und auch die Bahngleichung herleiten.

Hier kannst Du auch in einer Simulation verschiedene Flugbahnen erzeugen und ansehen:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/waagerechter-und-schraeger-wurf/versuche/schraeger-wurf-simulation

Schräge Würfe

P 47: Geschickt zerlegt (aktualisiert)

 8.2 Lösung durch Zerlegen der Startgeschwindigkeit

Nochmal die gestellte Aufgabe: Ein Körper wird mit 100 m/sec unter einem Winkel von 60° gegen die Horizontale vom Boden aus schräg nach oben geschossen.

In dieser Aufgabe steckt ein senkrechter Wurf, allerdings nicht mit 100 m/sec als Startgeschwindigkeit, sondern mit 100 m/sec * sin 60° = 86,6 m/sec.

Nun kann man mit unseren bekannten Formeln für den senkrechten Wurf die Steigzeit ausrechnen:

 86,6 m/sec  /  10 m/sec² = 8,66 sec.

Auch die Wurfhöhe ergibt sich mit unserer bekannten Formel zu 1/2 * (86,6 m/sec)² /g = 375 m

Da der Körper schräg fliegt, hat er, obwohl er vom Boden abgeschossen wurde, auch eine Wurfweite.

Dazu müssen wir nur die Flugdauer (das ist das doppelte der Steigzeit, also 17,3 sec) mit der Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung multiplizieren:

100 m/sec * cos 60° * 17,3 sec = 866 m

Im folgenden Bild sehen wir die Zerlegung der Anfangsgeschwindigkeit  mit der Zusammenstellung der verwendeten Formeln.

Ich habe mit farbigen Einkreisungen Zusammenhänge deutlich gemacht.

Eine Formel ist neu: Das Produkt aus dem sinus und dem sinus eines Winkels ist gleich dem sinus des doppelten Winkels.

Die nehmen wir einfach hin.

Damit können wir im nächsten Post besser die Zusammenhänge diskutieren.

Seht euch nochmal den Rechenweg oben mit den Zahlen an (und schriebt ihn euch auf). Nichts anderes habe ich hier mit allgemeinen Formeln gemacht.

(Anmerkung: Die Formel lautet: 

sin Winkel * cos Winkel = 1/2 * sin (doppelter Winkel)

Ich habe in einer früheren Version des Posts den Faktor 1/2 vergessen. Nun stimmt es.)

P 46: Nun werfen wir wieder...

 8. Der schräge Wurf

8.1 Problemstellung

Von einem schrägen Wurf sprechen wir, wenn der Abwurfwinkel relativ zum Boden zwischen 0° und 90° liegt. Bei 0° geht er in den waagerechten Wurf über und bei 90° in den senkrechten Wurf.

Nehmen wir wie bei unserem Eingangsbeispiel für den senkrechten Wurf wieder eine Abwurfgeschwindigkeit von 100 m/sec (das ist ja dann eher ein Schießen als Werfen...).

Wir hatten eine Wurfhöhe von 500 m und eine Steigzeit von 10 sec.

Nun "werfen" wir unter einem Winkel von 60° schräg nach oben, wieder direkt vom Boden aus.

Fragen:

Kommt der Körper weiterhin auf 500 m Höhe? Braucht er auch wieder 10 sec für das Aufsteigen?

Er muss ja nicht so hoch fliegen, aber er fliegt auch langsamer nach oben...

Und vergleicht mal mit einem waagerechten Wurf der Abwurfgeschwindigkeit von 100 m/sec:

Auch beim schrägen Wurf gibt es eine Wurfweite. Vergleicht die mal mit der vom waagerechten Wurf.

Versucht nun einmal die Steigzeit und die Wurfhöhe für unseren schrägen Wurf (100 m/sec, 60°) auszurechnen, vielleicht auch die Wurfweite.

Ich gebe euch dazu folgende Tipps:

Ihr könnt die "schräge Bewegung" zerlegen in eine senkrechte Bewegung (in y-Richtung nach oben) und in eine waagerechte Bewegung (in x-Richtung nach rechts).

Dazu müsst ihr nur die Geschwindigkeit von 100 m/sec auf die beiden Richtungen x und y aufteilen.

Natürlich lösen wir in ein paar Tagen die Aufgabe gemeinsam und stellen dann das Formelsystem wieder allgemein zusammen.

Der schräge Wurf wird in späteren Jahrgangsstufen wichtig, wenn Elektronen schräg durch elektrische Felder "geworfen" werden, und das kommt dann auch im Abi dran...Es ist also sinnvoll, das hier schon einmal zu lernen...

Ich denke, auch das von mir ergänzte Bild aus physikunterricht online, kann  euch inspirieren, eine eigene Lösung zu suchen. Achtet darauf: Es ist kein WZD sondern die Darstellung einer Flugbahn!

P40: Lösungen

 6.2: Beispielrechnung zu senkrechtem Wurf

Beginnen wir mit dem Brainstorming...

Beim senkrechten Wurf (nach oben) überlagern sich zwei Bewegungen:

Der Körper fliegt, da wir Reibung vernachlässigen, mit seiner Anfangsgeschwindigkeit immer weiter..., es gilt s = v*t, gleichzeitig aber fällt er zu Boden, es gilt das Gesetz s` = 1/2g*t²

Wegen des Unabhängigkeitsprinzips dürfen wir beide Bewegungen getrennt ausrechnen und voneinander abziehen, die Differenz s - s`gibt die momentante Höhe h(t) an.

Wir werden sehen, dass diese Idee so allgemein ist, dass wir damit nicht nur das Hochwerfen, sondern auch das anschließende  Herunterfallen erfassen können.

Am besten beginnen wir mit der Geschwindigkeit:

Der Körper  startet mit der Anfangsgeschwindigkeit vo, die er beibehält und damit immer nach oben fliegt. Zusätzlich fällt er immer schneller mit der Geschwindigkeit g*t, so dass seine momentane Geschwindigkeit die Differenz  v(t) = vo - g*t ist.

Das berechnen wir jetzt (g = 10 m/sec²):

t/sec    gleichf. Bew. in m/sec      Fallgeschwindigkeit     Wahre Geschwindigkeit (Differenz) in m/sec

0           100                                               0                                    100 

1           100                                             10                                      90         

2           100                                             20                                      80 

...

9           100                                             90                                      10

10         100                                           100                                       0

11         100                                           110                                    - 10

12         100                                           120                                    - 20

...

19         100                                           190                                   -  90

20         100                                           200                                   - 100

21         100                                           210                                   - 110

 

Wie wir das vom Werfen nach oben kennen, wird der Körper immer langsamer. Die Erdanziehung bremst ihn stetig ab. Nach 10 Sekunden hat er v=0 m/sec. Er bleibt nicht stehen, da das ja eine Momentangeschwindigkeit ist, er kehrt nur die Richtung seiner Bewegung um.

Er hat aber nun die höchste Höhe erreicht, da er ja nicht weiter nach oben fliegen kann. Wir nennen das die Steigzeit und die dazugehörige höchste Höhe die Steighöhe.

Nach 10 Sekunden wird v(t) negativ, d.h. die Richtung der Geschwindigkeit kehrt sich um, wir haben einen freien Fall aus dieser Höhe.

Bei t =20 sec kommt er sozusagen mit der umgekehrten Startgeschwindigkeit wieder am Startplatz an. Die weiteren Werte für t =21 sec würden nur einen Sinn machen, wenn man ein Loch in den Boden buddelt...

20 sec sind die Flugdauer oder Wurfzeit. Sie ist logischerweise doppelt so lang wie die Steigzeit.

Aufgabe: 

Der Körper startet  mit 17,34 m/sec nach oben. Wie groß ist seine Steigzeit (g=9,81 m/sec²)?

Um diese Aufgabe zu lösen, musst Du eine Formel finden.

Ergebnis: 1,768 sec

Den Verlauf der Geschwindigkeit  können wir auch schön in einem GZD darstellen. So sollte auch das aussehen, was Du ev./hoffentlich selbst gezeichnet hast.

Nun kümmern wir uns um die momentane Höhe des Körpers.

Oben haben wir die Idee erläutert.

Wir geben uns die Zeit t vor, rechnen aus, wie weit er mit der Startgeschwindigkeit ohne Schwerkraft gekommen wäre (vo*t) und ziehen davon die Fallstrecke 1/2g*t² ab.

Das trage ich dieses Mal in eine Excel-Tabelle ein:

 

Damit zeichne ich das WZD.

Mit den eingetragenen Hinweisen dürfte die Zuordnung zum Bewegungsablauf klar werden.

Wir können die Wurfhöhe gut ablesen...es sind 500 m.

Hast Du eine Idee, wie man die Wurfhöhe auch ausrechnen kann? Nimm das Beispiel mit den blöden Zahlen oben...Du müsstest auf 15,33 m kommen.

Wie das allgemein geht, klären wir im nächsten Post. Dann besprechen wir auch die Zusatzaufgabe aus dem Bergpark Wilhelmshöhe des letzten Posts.

Vorsicht: Das Bild oben ist keine Flugbahn, da auf der waagerechten Achse eine Zeit aufgetragen wird. Das ist wirklich nur ein WZD.

 

P39: Aufwärts geht es....

 Der klassische Mechanikunterricht behandelt nun eine Wurfart nach der anderen. Das erscheint erst einmal wenig zweckvoll, außer, dass man da leicht viele Aufgaben stellen kann.

Trotzdem: Ganz bedeutend für unsere Technik, für die Forschung und für viele Vorgänge in der Natur ist das "Herumwerfen" von Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern.

Betrachten wir die folgenden Kapitel als wichtige Vorübung dazu. Wer Bälle durch die Gegend werfen kann, versteht auch die Plasmabewegungen in Kernfusionsanlagen....jedenfalls fast....sonst würden diese Kraftwerke schon funktionieren....

6. Der senkrechte Wurf 

6.1 Die Problemstellung

Bitte durchdenkt die folgende Aufgabe:

Ein Körper wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 100 m/sec senkrecht nach oben abgeschossen.

Luftreibung, Seitenwind und alles, was stört, wird vernachlässigt. Es ist eine "Schulaufgabe". 

a) Wie groß ist seine Fluggeschwindigkeit nach 1 sec, 2 sec, 3 sec?

b) Zeichne ein GZD, also trage v(t) gegen t auf.

c) Nach wieviel Sekunden erreicht er die Geschwindigkeit 0 m/sec? Diese Zeit nennt man die Steigzeit.

d) Nach wieviel Sekunden kommt er wieder auf der Starthöhe an? Diese Zeit nennt man die Flugzeit.

e) Wie hoch ist der Körper nach 1 sec, 2 sec, 3 sec...?

    Nimm die Abwurfhöhe, besser Abschusshöhe, zu 0 m an.

f) Zeichne ein WZD, d.h. trage die Höhe h(t) gegen t auf.

g) Wie hoch steigt er maximal? Diese Zahl nennt man die Wurfhöhe.

Vielleicht erinnert ihr euch noch? 

In der Vor-Corona-Zeit gab es im Sommer die Wasserspiele in Wilhelmshöhe. Da werden Wassertropfen hochgeschleudert und führen jeweils einen senkrechten Wurf aus.

Die Fontäne kommt 52 m hoch. Könnt ihr ausrechnen, mit welcher Geschwindigkeit das Wasser an der Düse austritt?

Das ist eine weitergehende Aufgabe, die über die oben gestellten Teilaufgaben hinausgeht, und uns Hoffnung machen soll, bald wieder gemeinsam die Wasserspiele ansehen zu können.

Bild: Stadt Kassel

 

Tipps:

Ich habe ja schon einmal Tipps gegeben, wie man das eigene Gehirn auf die Lösung vorbereitet:

- Kurze Notizen (Begriffe, Formeln) zu allen bisher bekannten Inhalten, die mit der (Teil)-Aufgabe in Verbindung stehen.

- Zur Hilfe: Überlege, welche Bewegungen hier vorliegen.

- Vergleiche mit vorher erarbeiteten Unterrichtsinhalten (das ist das Schöne an d r Schule...Aufgaben nutzen immer das bisher Gelernte aus)...wie zum Beispiel den waagerechten Wurf.

- Auch Fragen und Unklarheiten stichwortartig notieren.

- Dann entweder gleich anfangen, wenn schon eine Idee da ist. Ansonsten dem Gehirn eine Pause und somit eine Zeit zum Überdenken geben.

Natürlich kann man auch einfach in Physikbüchern nachschlagen...aber dabei trainiert man sein Gehirn nicht...

Wir besprechen die Lösungen im nächsten Post.

P 36 Lösung der Aufgabe

 5.2 Berechnung von Fallzeit und Wurfweite

5.2.1 Vorbereitung

Unsere kleinen Experimente haben gezeigt:

Zwei fallende Körper kommen immer zur gleichen Zeit am Boden auf, ja sie sind sogar immer auf gleicher Höhe, egal wie schnell einer der Körper zusätzlich zur Seite fliegt.

Das haben wir als das Unabhängigkeitsprinzip bei der Überlagerung von Bewegungen kennengelernt.

Wir werden also die waagerechte Bewegung mit x(t) bezeichnen. Das ist eine gleichförmige Bewegung mit der konstanten Geschwindigkeit vo = 2 m/sec.

In y-Richtung haben wir eine Fallbewegung aus der Höhe 10 m. Dafür können wir schreiben: y(t) = 10 - 1/2 g*t².

5.2.2  Ein neuer Trick

Einfacher wird aber alles, wenn wir einen neuen Trick lernen:

Anpassen des Koordinatensystems:

Wir lassen die y-Achse in Richtung des Fallens, also nach unten zeigen. Dann gilt y(t) = 1/2g*t² 

Wie weit kommt der Körper, bevor er auftrifft?

Dazu müssen wir wissen, wie lange er unterwegs ist, also wie lange es dauert, bis er nach 10 m Fall unten auftrifft.

Dazu interessiert nur die Fallbewegung y(t) = 1/2g*t².

Wir setzen y = 10 m und nehmen g = 10 m/sec², stellen nach t um (Wurzel ziehen!) und erhalten ungefähr t = 1,4 sec.

In dieser Zeit fliegt der>Körper also mit 2 m/sec in x-Richtung. Er wird also 2,8 m weit kommen.

5.2.3 Konstruieren des Graphen

Um die Flugbahn zu konstruieren (gleich lernen wir noch ein allgemeineres Verfahren kennen), müssen wir uns Zeiten t vorgeben.

Dann zu jeder Zeit t  die zugehörigen Koordinaten x = v*t und y = 1/2 g*t² ausrechnen. Auch hier wählen wir wieder g = 10 m/sec².

Wir erhalten

t in sec        x in m     y in m

0                  0             0 

0,2               0,4          0,2

0,4               0,8          0,8

0,6               1,2          1,8

0,8               1,6          3,2

1,0               2,0          5,0

1,2               2,4          7,2

1,4               2,8          9,8

Daraus ergibt sich der folgende Graph:

Im nächsten Post lernen wir dann das allgemeine Verfahren kennen und wie man die Bahngleichung bestimmt. Das ist vor allem für zukünftige LKler sehr wichtig!

P 35: Das Wettfallen zweier Münzen

 5. Der waagerechte Wurf

5.1 Die Aufgabe

5.1.1 Die Aufgabenstellung

Ein Körper fliegt waagerecht in einer Höhe h von 10 m mit einer Geschwindigkeit von vo = 2 m/sec von einem geraden Dach weg nach unten.

 

Wie weit vom Hausrand entfernt kommt er auf dem Boden auf? Berechne diese Wurfweite W.

Zeichne die Flugbahn.

(Luftreibung wird vernachlässigt)

5.1.2  Die Vorbereitung

Ich möchte das Wissen zusammenstellen, das Dir für die Lösung der Aufgabe hilfreich sein kann.

So kannst Du übrigens imemr vorgehen:

Die Aufgabe ansehen, das Wissen zusammenstellen (richtig notieren), was damit in Verbindung stehen könnte, und dann erst lösen...

Viele starren nur die Aufgabe an und warten auf eine Eingebung...die kommt eher selten..., aber fast von alleine, wenn man sich mögliches Vorwissen dazu bewusst macht (durch das notieren).

a) Bewegungen können sich überlagern

Dazu machst Du am besten selbst einen einfachen Versuch.

Lege, wie in der Abbildung, zwei Münzen an eine Tischkante, eine vor und eine auf ein Lineal. Dann dreh das Lineal ruckartig.

                                              aus Leifiphysik

Was fällt Dir auf, wenn Du den Aufprall hörst?

Wieso ist das eher verwunderlich? (Stell Dir die Flugbahnen der beiden Münzen vor!)

Erkläre die gemachte Beobachtung mit Hifle des Unabhängigkeitsbprinzips.

 Dabei können Dir die nächsten beiden Bilder helfen:

                                                  A.V. Gradwohl, TU Graz

  

                                                              leifiphysik

Ich hab mir nicht nehmen lassen, zu Hause schnell einen solchen Versuch in der Küche zu improvisieren...

 Die hintere Münze wird zur Seite gestoßen, sie macht einen waagerechten Wurf.

Der vorderen Münze ziehe ich "den Boden unter den Füßen" weg, sie fällt nur.

b) Welche Bewegungen überlagern sich hier?

Schreib die Gesetze für diese Bewegungen hin. Das ist ein GZG und es sind zwei WZG.

d) Was haben die Größen der Formeln mit unserer Aufgabe bzw. den Wurfversuchen zu tun?

Interpretiere die Buchstaben t und s Deiner Formeln für unsere Versuche.

5.1.3 Die Lösung

Deine Aufgabe...

Wenn Du weitere Hilfe brauchst, dann schau Dir die wunderschöne Simulation  bei Leifiphysik an:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/waagerechter-und-schraeger-wurf/grundwissen/waagerechter-wurf

Simulation waagerechter Wurf

Das Sammelsurium vieler Formeln unter der Simulation kannst Du getrost ignorieren.

Erstens kommst Du selbst auf die Lösung der Aufgabe und zweitens lernen wir die meisten dieser Formeln noch kennen, aber etwas langsamer und übersichtlicher...

Nun ran an die Lösung....

 

 

P 26: Lösungen

 Hinweis: Ich deute Lösungsschritte nur an, damit man wirklich selbst alles nachvollziehen muss.

                 Bei Fragen oder Gesprächsbedarf: https://discord.gg/56ngQmhcCW

Aufgabe 1:

Es liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewgeung vor.

Da die Bewegung mit der Geschwindigkeit v(0) = 0 beginnt, können wir die Zeit direkt mit v = a*t berechnen. Zuvor müssen wir v von km/h auf m/sec umrechnen.

Wir erhalten t = 150,8 sec.

Nun arbeiten wir mit dem WZG s = 1/2 * a * t2 und erhalten s = 202,2 km.

Aufgabe 2:

Auto A: gleichmäßig beshcl. Bewegung ( a = const)

Auto B: gleichförmige Bewgeung ( a=0, v = const)

a) Mit v = a*t = 15 m/sec können wir die Zeit ausrechnen, nach der das Auto die Geschwindigkeit vom anderen Auto besitzt: t = 5 sec.

Die GZD ist hier:

b) Für Auto A gilt: s = 1/2 * a * t² = 50 m. Daraus bestimmen wir t = 5,8 sec.

     Nach dieser Zeit kommt Auto A am Ziel an.

     Für Auto B gilt: s = v*t = 50 m, da es mit der konstanten Geschwindigkeit v = 15 m/sec fährt.

     Dieses Auto kommt nach 3,3 sec an, die Zeitdifferenz sind also rund 2,5 sec.

 c) Wir rechnen die Fahrtstrecke aus, nach  der beide Autos auf gleicher Höhe sind.  

 Nun benutzen wir beide Bewegungsformen in einer Formel. Das ist fast wie zweihändiges               Klavierspielen mit Violin und Bassschlüssel....

    Die Bedingungsgleichung ist: 1/2 * a * t² = v * t . Wir kennen a und v. Was ist t?

    t ist die Zeit, zu der beide Autos gleichauf sind.

   Wir erhalten eine quadratische Gleichung: 1/2*a*t² - v*t = 0.

     Wir können mit der pq-Formel arbeiten, mit der quadratischen Ergänzung oder mit unserem Gehirn:

      Wir klammern t aus:

       t * (1/2*a*t - v ) =0

       Nun kommt eine wichtige Regel zum Einsatz:

  Ein Produkt ist 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

 Aus der einen quadratischen Gleichung werden damit zwei lineare Gleichungen (für jeden Faktor eine):

     t = 0 oder 1/2*a*t - v =0

Daraus erhalten wir die beiden Lösungen für t:

     t = 0 sec oder t = 2*v/a = 10 sec.

Das macht Sinn, denn ganz am Anfang (t=0) fährt B ja an A vorbei, beide Autos sind gleichauf.

Das entspricht der ersten Lösung!

Und nach 10 sec hat Auto A aufgeholt und fängt an B zu überholen.

Das ist die zweite Lösung.

(Nicht immer entsprechen beide mathematischen Lösungen sinnvoller Physik, hier schon).

Da wir nun den Zeitpunkt kennen, haben wir zwei Möglichkeiten, die notwendige Strecke auszurechnen:

Wer gerne Zahlen in Taschenrechner eintippt, nimmt Auto A und die Formel s = 1/2 * a*t²,

alle anderen nehmen Auto B und rechnen s = v * t  = 150 m leicht im Kopf aus... 

Die WZD sind hier:

 

 Wie kann man an den WZD erkennen, ab wann das eine Auto schneller ist als das andere?

Und wie erkennt man, wann sie gleichauf sind?

Aufgabe 3:

Am besten rechnet man wieder die Geschwindigkeiten in m/sec um, da in der Aufgabe die Zeit in Sekunden angegeben ist.

a) a = (13,9 m/sec - 2,8 m/sec)/3 sec = 3,7 m/sec²

b) Wer 16,65 m heraus hat, hat einen Denkfehler gemacht. Welchen?

Die notwendige Formel lautet: s = 2,8 m/sec * 3 sec + 1/2*a*t² = 25,05 m

Wie kommt man auf die Formel? Was hat das mit dem Unabhängigkeitsprinzip zu tun?

Nun kommen wir zur Anwendung des Gelernten bei der Fallbewegung. Dabei wollen wir aber nicht nur Kinematik betreiben, also ausrechnen wo, wann und wie schnell der Körper unten ankommt...sondern auch einige Grundprinzipien der Mechanik erfassen, die uns zu den Gedanken von Einstein führen, aus denen er vor über 110 Jahren die Allgemeine Relativitätstheorie entwickelt hat.

Bald werden wir verstehen: Ein fallender Körper fällt nicht, er folgt der vorliegenden Krümmung des Raumes. Er kann einfach nicht anders....

P 15: Wir fordern Unabhängigkeit!

 1.8 Das Superpositionsprinzip

Ihr habt (intuitiv) dieses wichtige Prinzip der Physik schon angewandt.

Ich nenne es euch erst einmal. Dann überlegt, wobei ihr das schon ausgenutzt habt.

Dann werde ich die Grenzen dieses Prinzips aufzeigen. Und dann versteht ihr auch den Titel dieses Posts.

 

Superpositionsprinzip oder Unabhängigkeitsprinzip von Bewegungen

 Setzt sich eine Bewegung aus zwei Teilbewegungen zusammen, so spircht man von einer Überlagerung oder Superposition.

Nennt Beispiele aus unseren bisherigen Posts.

Führt ein Körper mehrere Teilbewegungen aus, so überlagern (superpositionieren) sich diese Teilbewegungen unabhängig voneinander zu einer resultierenden Teilbewegung.

Ganz konkret bedeutet das: Die Teilbewegungen beeinflussen und stören sich nicht gegenseitig.

Auch hier nenn bitte Beispiele!

Beispiel Flußüberquerung:

Wir können die Überquerungszeit unabhängig von der Strömung des Flusses ausrechnen und dann damit die Bewegung längs des Flusslaufes bestimmen.

So haben wir die Übungsaufgabe gelöst.

Aber: Bei einem stark strömenden Fluß strengt die Überquerung deutlich mehr an, der Schwimmer wird langsamer und braucht länger.

In der Praxis gilt das Prinzip der ungestörten Überlagerung nicht unbedingt immer. Dann wird aber die Berechnung schwierig.

Beispiel Flugzeug und Wind

Wir haben die einzelnen Geschwindigkeitskomponenten addiert und dann wieder zur neuen resultierenden Geschwindigkeit zusammengesetzt.

Funktioniert sicher ebenfalls bestens, so lange bei orkanartigen Stürmen keine Turbulenzen auftreten.

Beispiel Eisenbahnfahrt

Wenn ich in einem Zug in Fahrtrichtung durch den Wagon gehe, addieren sich die Geschwindigkeiten von mir und dem Zug zur resultierenden Geschwindigkeit.

Dies gilt auch in sog. relativistischen Zügen bei nahezu Lichtgeschwindigkeit, nur wird eine andere Additionsformel benutzt.

Waagerechter Wurf:

Wir werden bald ein weiteres Beispiel kennenlernen:

Ein waagerecht abgeworfener Körper kommt in der gleichen Zeit am Boden an, wie ein Körper, den man gleichzeitig einfach nur fallen lässt.

Ihr merkt schon:

Das Unabhängigkeitsprinzip erleichtert uns die Beschreibung und Analyse von Bewegungen. Es ist eine Vorgabe von uns an die Art der Beschreibung der Natur, nicht aber eine Grundeigenschaft der Natur.

Im Gegenteil...in der Regel verlaufen alle Prozesse der Natur chaotisch, d.h. Abläufe und Komponenten beeinflussen sich gegenseitig.

Seit etwa 20 Jahren ist diese Chaosphysik eine gesicherte Erkenntnis unserer Naturbeschreibung.

Chaotische Systeme streben aber häufig auf stabile Zustände hin. Die können wir dann gut mit unseren einfachen Methoden beschreiben.

Ein berühmtes Beispiel ist das Dopppelpendel:

Zwei Pendel hängen aneinander. Die beiden Bewegungen beeinflussen sich gegenseitig und können schon nach kurzer Zeit nicht mehr vorhergesagt werden.

Das zeigt die Animation von Wikipedia schön: 

Man spricht von einer gegenseitigen Rückkopplung auf die jeweils andere Bewegung.

Die mathematische Beschreibung funktioniert aber weiterhin. Man muss sog. gekoppelte Differenzialgleichungen benutzen.

Die eine Bewegung ist nicht unabhängig von der anderen, die Überlagerung verläuft chaotisch.

So etwas tritt immer auf, wenn Quadrate oder Sinus-Funktionen in den WZG vorkommen.

Wir werden sicher später mehr auf solche Systeme eingehen, allerdings ohne Mathematik....

Übrigens: Das Feuern der Neuronen im Gehirn erfolgt auch chaotisch. Stabile Zustände nennen wir Gedanken. 

Dann bringt das Chaos in euren Gehirnen mal zur Ruhe, macht euch Gedanken zum Thema und notiert euch eure Erkenntnisse.