P 130: Eigentlich kann es unsere Galaxis nicht geben...

 22.5.2 Kepler und die Dunkle Materie

Auch unsere Galaxis besteht zum größten Teil aus nicht sichtbarer Dunkler Materie DM.

Woher wissen wir das?

In den Außenbereichen dreht sich unsere Galaxis so schnell, dass durch die Fliehkraft alle Sterne schon längst weggeflogen wären, würden sie nur von den anderen sichtbaren Sternen angezogen. Unsere Galaxis hätte sich ohne DM schon längst aufgelöst....

Die Sterne  werden also von DM auf ihrer Bahn gehalten.

Die Beobachtungen dazu wurden von der Astronomin Vera C. Rubin (1928-2016) durchgeführt. 1962 stellte sie einer ihrer Studentengruppen die Aufgabe, eine Rotationskurve von unserer Galaxis zu messen.

In dieser Kurve soll die Rotationsgeschwindigkeit für verschiedene Abstände vom Zentrum bestimmt werden.

Wieder geht das nur, in dem man die Farbveränderungen beobachtet, die durch die Rotationsbewegungen von leuchtenden Gasen entstehen (Dopplereffekt: zeigt der Geschwindigkeitsvektor von uns fort, beobachtet man eine Rotverschiebung, ansonsten eine Blauverschiebung).

Was war zu erwarten?

Wäre unsere Galaxis eine starre rotierende Scheibe, so würde die Rotationsgeschwindigkeit v proportional zum Abstand r ansteigen: v = ω * r.

Die Formel kennen  wir.

Würden alle Sterne wie Planeten um eine zentrale Masse kreisen (Kepler Rotation) so gilt (siehe Post 127):

v = √ ( G * M / r), d.h. die Rotationsgeschwindigkeit nimmt mit der Wurzel aus dem Abstand ab.

Auch diese Formel haben wir hergeleitet.

Was haben Rubin und ihre Studenten gesehen?

In den äußeren Bereichen bleibt die Rotationsgeschwindigkeit nahezu konstant, vollkommen unerwartet..

Das kann nur so erklärt werden, dass weit außen, also da, wo man keine Sterne mehr sieht, große Mengen an DM die schnelle Rotationsbewegung der Sterne verursachen.

Als nächstes (1970) bestimmte sie die Rotationskurve der Andromedagalaxie, unserer großen Nachbargalaxie:

Im Zentrum rotiert sie wie eine starre Scheibe, dann gibt es einen kleinen Bereich mit Kepler Rotation und ab da geht es ab...die DM macht Dampf!

In den Jahren danach hat Rubin die Rotationskurven von vielen anderen Galaxien  bestimmt und immer wieder das gleiche Ergebnis gefunden:

In einer Veröffentlichung von 1980 schreibt sie:

"The conclusion is inescapable that non-luminous matter exists beyond the optical galaxy.”

Die Entdeckung Zwickys fast 50 Jahre vorher konnte sie als allgemeines Gesetz bestätigen.

Sie hat die DM nicht entdeckt. Als Rubin ihre Ausbildung begann, war die Idee der DM schon da. Aber sie hat zweifelsfrei die Existenz von DM in den Galaxien nachgewiesen.

Heute vermuten wir, dass DM einen entscheidenden Anteil an der Bildung von kosmischen Strukturen hat. DM bildet ein Netzwerk im Kosmos (das auch beobachtet wird), an deren Knoten sich die sichtbare Materie angelagert hat, konzentriert wurde und Sterne und Galaxien gebildet hat.

Wir leben und sind gefangen in einem gigantischen Netzwerk aus Dunkler Materie.

Alles, was wir über die Gravitation und Kreisbewegungen in diesem Kurs gelernt haben, ermöglicht es uns, diese Erkenntnis nachzuvollziehen.

Die Formel für einen waagerechten Wurf werdet ihr wahrscheinlich nach der Schule nie wieder brauchen, die Erkenntnis in einem Netz aus unsichtbarer Materie zur Existenz gekommen zu sein, solltet ihr nie wieder vergessen.

Das Bild zeigt eine Computersimulation der Strukturbildung im Kosmos durch DM.

Nächste Woche beginnt der letzte große Abschnitt: Schwingungen

Sie spielen in vielen Bereichen der Physik in Q2 und Q3 eine große Rolle. Wir werden das Thema vor allem an Schallschwingungen und Musikinstrumenten entwickeln.

P 127: Aus Newton wird Kepler (und umgekehrt)

 Zuerst etwas zu den Aufgaben:

Kepler hat die Entfernung Erde-Mars nicht in km angeben können. Dazu hätte er die Entfernung Erde-Sonne (1AE) kennen müssen oder die Marsentfernung direkt messen müssen. Beides war erst messtechnisch Jahrzehnte später möglich.

Die Entfernungen der Planeten in AE sind: Merkur 0,39 AE, Venus 0,62 AE, Erde 1 AE, Mars 1,5 AE, Jupiter 5,2 AE Saturn 9,6 AE.

Damit lässt sich leicht ein maßstäbliches Modell zeichnen. Wer da Pluto mit drauf haben will (er ist aber kein Planet) muss bis 40 AE erweitern....

22.3.3 Herleitung des dritten Keplerschen Gesetzes aus dem Gravitationsgesetz

Wir besprechen nur den sehr einfachen Fall, bei dem ein Planet mit der vernachlässigbaren kleinen Masse m auf einer Kreisbahn um die Sonne mit der Masse M umläuft.

In P 102 vom 16.3. haben wir die Zentralbeschleunigung kennengelernt.

Zentralbeschleunigung

Achtung: Wir werden jetzt a ausschließlich für eine Beschleunigung verwenden. Da wir Kreisbahnen behandeln, ist der Radius r die große Halbachse. Dafür werden wir kein a mehr nehmen.

Zentralbeschleunigung: a = v²/r

Das ergibt die Zentralkraft F = m*a = m*v²/r.

Diese Zentralkraft, die den Planet auf der Bahn hält (damit er nicht wegen seiner Trägheit tangential wegfliegt) wird durch die Gravitationskraft F = G * M*m/r² erzeugt (G ist die Gravitationskonstante, die wir ja auch schon kennengelernt haben).

Beide Kräfte müssen gleich groß sein:

m*v²/r  = G * m * M/r²

Auf beiden Seiten der Gleichung können wir durch m dividieren, d.h. m, die Planetenmasse, fällt raus.

Was heißt das?

Bei Kreisbahnen ist es egal, ob eine winzige Raumfahrermaus oder ein riesiger Jupiter um die Sonne laufen...

wdr-Maus

Nun lösen wir nach v auf (beide Seite mit r multiplizieren und wurzeln...):

v² = G * M / r       (Gl.#)

 v = √ ( G * M / r)

Diese wichtige Formel führt uns gleich zur Entdeckung der Dunklen Materie.

Ganz ähnliche Herleitungen werdet ihr in Q2 bei elektrischen und magnetischen Feldern durchführen. Da kommen auch Kreisbahnen von Ladungen vor... Es gibt sogar ein drittes Keplersches Gesetz für Elektronenbahnen in Atomen....

Erst einmal soll es weitergehen zu Kepler III:

v = Weg/Zeit = Bahnumfang/Umlaufsperiode = 2 * π * r / P

Damit: v² = 4π²r²/P²

Das setzen wir in Gl.# ein:

4π²r²/P² = G*M/r

Damit erhält man (probiere die Umformungen selbst aus):

  P² *G*M/r = 4π²r²

und somit:

P² = 4π²/(G*M) * r³

Das bedeutet: P² ~ r³

Das ist die Aussage des 3. Keplerschen Gesetzes: Die Quadrate der Umlaufszeiten sind proportional zu den dritten Potenzen der großen Halbachsen, d.h. der Bahnradien.

Und wir kennen jetzt auch die Proportionalitätskonstante: Es ist die Masse der Sonne, als wesentlicher Bestandteil!

Aufgabe: Berechne die Sonnenmasse.

P 124: Kepler I und II

 22.2 Zentralkraft und Drehimpulserhaltung

Wenn wir annehmen, dass die Sonne fest steht und wegen ihrer viel größeren Masse vernachlässigbar wenig von den Planeten angezogen wird (was nicht ganz stimmt), der Raum um die Sonne nicht gekrümmt ist (was auch nicht stimmt) und die Planeten sich gegenseitig nicht anziehen (was ebenfalls nicht der Fall ist), dann kann man die Anziehungskraft der Sonne als Zentralkraft bezeichnen: Sie zeigt immer auf den Mittelpunkt der Sonne.

Eine solche Kraft kann auf einen Planeten  kein Drehmoment ausüben, d.h. er behält sein Drehimpuls.

Im Post 121 haben wir ΔL = M * Δt kennen gelernt: Wenn das Drehmoment M =0 ist, kann sich der Drehimpuls nicht ändern, d.h. ΔL = 0.

Der Drehimpuls eines Planeten ist aber L = m*v*r (Post 116).

Nun sind die Planetenbahnen Ellipsen, d.h. der Abstand r zur Sonne ändert sich. Wird r kleiner, so muss v entsprechend zunehmen, damit L gleich bleibt.

Das genau beschreibt das 2.Keplersche Gesetz: 

Es ist also der Drehimpulserhaltungssatz.

Mathematischer Exkurs:

Wir wollen die Sprechweise von Kepler begründen: Der Fahrstrahl des Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

                                                            wikipedia common

Wir nehmen eine winzig kleine Zeit Δt. Der Planet legt auf seiner Bahn die Strecke Δs = v * Δt zurück.

Damit haben wir eine Seite des Dreiecks, das näherungsweise rechtwinklig ist.

Dann ist die Fläche des Dreiecks ΔA = 1/2 * Basis * Höhe = 1/2 *r * Δr = 1/2 * r * v * Δt

Da L = m*r*v ist, können wir auch schreiben:

ΔA = 1/2 * L/m * Δt

Damit ergibt sich: ΔA/Δt = 1/2*L/m

ΔA/Δt ist eine Flächenänderung pro Zeit, das kann man als Flächengeschwindigkeit beschreiben.

Wenn also der Drehimpuls L konstant ist, dann muss die Flächengeschwindigkeit der Planetenbahn immer gleich sein, d.h. in gleichen Zeiten muss der Fahrstrahl gleiche Flächen überstreichen.

Faszinierend, wie Kepler die Drehimpulserhaltung gefunden hat, ohne den Begriff Drehimpuls zu kennen....

Ende mathematischer Exkurs

Kommen wir noch zum 1.Keplerschen Gesetz:

Da sich die Anziehungskraft der Sonne zeitlich nicht ändert (wir nennen das eine konservative Kraft), muss der Energieerhaltungssatz gelten.

Damit kann man zeigen, dass je nach Gesamtenergie E nur die folgenden Bahnformen vorkommen können:

E = 0:  Parabelbahn

E > 0:  Hyperbelbahn

E < 0: Kreisbahn oder Ellipsenbahn.

Und das ist letztlich Keplers erstes Gesetz.

                                                                   nach wikipedia common

Wenn man annimmt, dass der Planet auch die Sonne  anzieht, dann hat man ein sogenanntes Zwei-Körper-Problem vor sich liegen. Das kann man auch gut berechnen.

Sobald aber drei Massen oder mehr vorkommen, sind die Bahnen nicht berechenbar, sie können nur näherungsweise im Computer simuliert werden.

P 122: Wenn es im Juli schneit....

 21.6 Das Eiern der Erde

Wir haben im letzten Post gelernt, dass ein sich drehender Körper senkrecht zu einer angreifenden Kraft ausweicht. Er kippt nicht um.

Das kennen wir von einem Kinderkreisel:

Wenn man ihn anstößt, kippt er nicht, sondern seine Drehachse weicht seitlich zum Stoß aus. Sie umkreist die ursprüngliche Richtung auf einem Kegelmantel. Diese Bewegung nennen wir Präzession.

Dreht sich der Kreisel nicht und stößt man ihn an, so kippt er um. Das kennen wir auch beim Fahrradfahren. Die Räder sind Kreisel. Drehen sie sich, so kann man das Fahrrad gut stabilisieren. Steht es still, kippt man eigentlich sofort zur Seite.

Wird ein Kreisel so aufgehängt, dass er nicht angestoßen wird, dann behält er seine Drehimpulsachse bei. Das demonstriert sehr eindrucksvoll der Astronaut Alexander Gerst auf der ISS.

Es lohnt sich unbedingt dieses Video anzusehen:

In der Luft- und Raumfahrt werden solche Kreisel zur Lageregelung genutzt. Man nennt sie Gyroskope. Mehr können wir in diesem Rahmen leider dazu nicht behandeln.

Auch die Erde ist ein Kreisel.

Am Erdäquator ist sie etwas dicker als an den Polen (der Äquatordurchmesser ist etwa 42 km größer als der Poldurchmesser).

Da die Erdachse schrägt auf der Bahnebene steht, versuchen Sonne und Mond, die in der Bahnebene stehen, die Erdachse aufzurichten. Sie üben ein Drehmoment aus, dem die Erde seitlich ausweicht. Die Erdachse beschreibt deshalb in 26000 Jahren einen Kegelmantel. 

Sie eiert oder torkelt wie ein Kinderkreisel....nur viel viel langsamer...Zur Zeit zeigt sie auf den Polarstern.

Vor 12 000 Jahren war der helle Stern Wega in der Leier unser Polarstern.

Da die Lage der Erdachse auch unsere Jahreszeiten bestimmt, verschieben sich die Jahreszeiten jedes Jahr um etwa 20 Minuten. In 13  000 Jahren haben wir auf der Nordhalbkugel am 21.12. Sommer! Und im Juli wird es schneien.

Frage: Wieso hat das nichts mit dem Klimawandel zu tun?

In dieser Darstellung (wikipedia common) sieht man, wie der Himmelsnordpol in 26 000 Jahren einmal um den höchsten Punkt am Himmel, das Zenit, wandert.

Übrigens: Dadurch haben sich die Tierkreiszeichen von den Horoskopen gegen die echten Sternbilder verschoben. Wer heute das Horoskop für das Tierkreiszeichen Waage  liest, ist gar keine Waage, sondern astronomisch gesehen wurde die Person unter der Jungfrau geboren.

Daran erkennt man was für ein Blödsinn die Astrologie ist.....

Rechercheauftrag:

Wieso bestimmt die Neigung der Erdachse die Jahreszeiten?

Erkläre, warum die etwas größere Nähe zur Sonne Anfang Januar keinen Einfluss auf die Jahreszeiten hat.

Wie verlaufen die Jahreszeiten auf Uranus?

Vertiefung:

In dieser Darstellung (Physik - HU Berlin) sind die Vektoren eingezeichnet. Es gibt eine Kraftkomponente senkrecht zum Radius r, die ein Drehmoment nach vorne erzeugt. Eingezeichnet ist dann die Torkelbewegung.

Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession ist durch das Verhältnis aus Drehmoment und Drehimpuls bestimmt: ωp = M/L.

Das wollen wir hier nicht herleiten. Wenn durch Reibung die Drehung des Kreisels abnimmt, also L kleiner wird, dann nimmt die Präzessionsgeschwindigkeit zu. Vielleicht schaut ihr euch die ersten Videos noch einmal an, da könnt ihr das auch beobachten.

In den nächsten Posts behandeln wir die Gesetze der Planetenbewegung und werden dabei viel von dem anwenden, was wir bisher gelernt haben.

P 110: Unsichtbar und dennoch da?

 19.6 Dunkle Materie

Wir haben gelernt, dass das Gravitationsgesetz das Verhalten der Materie von cm bis hin zu vielen tausenden von Lichtjahren beschreibt.

Aber es gibt auch Abweichungen. Von denen möchte ich kurz berichten:

Problem 1: Galaxienhaufen sind noch da...

Die Galaxien in Galaxienhaufen schwirren so schnell hin- und her, dass diese Ansammlungen von Galaxien sich schon längst aufgelöst haben müssten. Das hat schon der Schweizer Physiker Fritz Zwicky (1898-1874) im Jahr 1933 erkannt und vermutet, dass die Galaxienhaufen durch riesige Mengen an nicht leuchtender und deshalb unsichtbarer Materie zusammengehalten werden.

Bild Galaxienhaufen (HST/NASA)

Problem 2: Galaxien drehen sich viel zu schnell

So schnell, dass sie sich schon aufgelöst haben müssten...

Man erklärt die hohen Drehgeschwindigkeiten in den Außenbereichen der Galaxien durch Halos (Umgebungen) aus nicht leuchtender und damit unsichtbarer Materie.

Problem 3: Wie so gibt es diese Welt überhaupt?

Beim Urknall gab es winzige Dichteschwankungen, aus denen sich die heutigen Galaxien entwickelt haben müssen. Gäbe es nur die durch das Gravitationsgesetz beschriebene Schwerkraft, wäre der Kosmos immer noch dabei, ganz langsam Verdichtungen aufzubauen, die vielleicht mal in einigen Milliarden Jahren zu Galaxien werden. Galaxien aber gab es schon 500 Millionen Jahre nach dem Urknall.

Bild Dichteschwankungen 400 000 Jahre nach dem Urknall, Stärke 1:100 000 (ESA)

Und das ist heute daraus geworden: Verteilung der Galaxien bis zu 2 Milliarden Lichtjahren Entfernung (SDSS):

Dieses schnelle Wachstum der Galaxien geht nur durch riesige Ansammlungen nicht leuchtender Materie.

Die Lösung: Es gibt etwas, was man nicht sieht....

Alle Probleme lassen sich lösen, in dem man nicht leuchtende Materie annimmt, in die Galaxien und Galaxienhaufen eingebettet sind, und die eine enorme Schwerkraftwirkung ausübt.

Man kann diese drei Probleme auch durch Abänderungen des Gravitationsgesetzes lösen, aber es müssten jeweils andere sein. Dann aber würden Effekte der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht mehr verständlich sein.

Deswegen gehen die meisten Forschenden von der Existenz dieser Dunklen Materie DM aus.

Das einzige Problem: Trotz jahrzehntelanger Suche hat man noch keinen direkten Nachweis gefunden.

Die Objekte aus denen DM besteht, erzeugen Schwerkraft, aber sie reagieren sonst fats überhaupt nicht mit anderen Feldern und Strahlungen.

DM muss sechsmal (!) häufiger sein als die normale Materie und sie macht immerhin 25% der gesamten Substanz unseres Kosmos aus. Da die ebenfalls nicht näher bekannte Dunkle Energie etwa 71% der kosmischen Substanz ausmacht, bilden die etwa 300 Milliarden Galaxien aus jeweils 300 Milliarden Sternen mit Billionen von Planeten nur etwa 4% der Substanz des Kosmos.

Wir sehen nur die Spitze eines gigantischen Eisberges!

Bild DESY

Viele Forschenden versuchen die Objekte der DM direkt auf der Erde nachzuweisen:

Das Video habe ich 2015 bei einem Besuch des Experimentes DEAP 3600 im kanadischen Untergrundlabor SNOLAB in 2100 m Tiefe gedreht, es ist ein Ausschnitt eines längeren Dokumentarfilmes. Man glaubte sich kurz vor dem Nachweis der DM...aber es gab dazu seit fast 7 Jahren keine passende Erfolgsmeldung....

Mit dem nächsten Post fangen wir ein weiteres Kapitel der Drehbewegungen an, etwas stärker am Lehrplan orientiert.

P 108: Gravitationskonstante: Ist sie wirklich konstant?

 19.5 Die Gravitationskonstante

Letztlich hat Newton ja "nur" herausgefunden, dass die Schwerkraft proportional zu M*m/r² ist.

Die Proportionalitätskonstante G, die Gravitationskonstante, konnte er nicht angeben, da er seiner eigenen (guten!) Massenschätzung der Erde nicht getraut hat.

Über  100 Jahre später, 1798 war die Messtechnik so verbessert, dass Cavendish eine Gravitationswaage bauen konnte, mit der er die Schwerkraft zwischen Massen direkt messen konnte.

Er wollte eigentlich nur die mittlere Dichte der Erde bestimmen, die Gravitationskonstante war ein By-Produkt.

Die Grundidee: Man hänge zwei Massen (Bleikugeln mit etwa 0,1 kg) an einer Balkenwaage auf, die über einen Torsionsfaden gehalten wird.

Bringt man nun  zwei größere Massen so an, dass sie die kleinen Massen anziehen und den Draht verdrillen, so kann man aus der Drehung das Drehmoment und damit die Gravitationskraft berechnen.

Die geringen Drehbewegungen macht man über einen Spiegel sichtbar, der an dem Faden befestigt ist.

Ein von ihm reflektierter Lichtstrahl vergrößert die Bewegung, man sieht den Lichtfleck auf einer weit entfernten Wand richtig wandern.

Die Auswertung ist nicht einfach, insbesondere wenn man G aus der Periodendauer eine Schwingung bestimmt.

Schüler von mir haben aber folgendes Experiment aufgebaut:

An einem dünnen Stahldraht, der durch sehr langes Hängen mit einer großen Masse entdrillt wurde, haben sie den Versuch nachgebaut. Als Masse haben sie zwei große Tonnen mit Wasser genommen und kleine Kugeln an eine selbstgebaute Balkenvorrichtung gehängt.

Sie konnten wirklich, verstärkt durch einen Lichtzeiger, die Drehbewegung sichtbar machen.

Die Bilder aus wikipedia zeigen schön die Idee und den originalen Versuchsaufbau:

Ein sehr schönes Video hierzu:

Auch auf leifiphysik wird das sehr gut erklärt:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/gravitationsgesetz-und-feld/versuche/gravitationsdrehwaage

Messung der Gravitationskonstante

Lange Zeit war es auf diese Art nur möglich, Gravitation bei großen Massen und größeren Abständen zu bestimmen.

Aber wie verhält sich Gravitation im Abstandsbereich unter einem mm?

Ein ehemaliger Schüler von mir (Jonas Schmöle) hat dazu die Machbarkeitsstudie eines Experimentes entwickelt, das inzwischen auch durchgeführt wurde. Er erhielt 2018 den Hans-  Thirring - Preis der Universität Wien.

Die Durchführung hat dann Prof. Aspelmeyer in Wien gemacht: Er hat mit Massen von 91 mg und Abständen von wenigen mm gearbeitet und damit die Gravitationskonstante bestimmt.

Die Bewegungen fanden im Naometer-Bereich statt, die Kräfte lagen bei einem Billionstel Newton.

Sein Wert lag etwa 9% unter dem bisher angenommenen Wert. Ob das Zufall ist oder ob die Gravitation für kleine Massen und Abstände kleiner wird, das will er mit Messungen im atomaren Bereich herausfinden.

Die Bilder zeigen den Aufbau seiner Apparatur als Skizze und im Original (Universität Wien, nature)

Und zum Schluss noch mal der Literaturwert (für große Massen und Abstände):

G = 6,67 * 10^(-11)  N/kg² * m²

Im nächsten Post erfahren wir, dass das Gravitationsgesetz nicht jedes Verhalten von Massen deuten kann und dass man zu seiner Rettung eine Dunkle Materie erfinden muss....

Übrigens: Es lohnt sich noch mal in das Kapitel 11 zu schauen: "Was ist Masse?"