P 52: Erst die Lösung, dann die Reibung

So auf ein paar der Anregungen möchte ich  noch selbst eingehen:

- Wurfweite und Wurfhöhe werden bei stärkerer Schwerkraft kleiner, d.h. g im Nenner der Formeln für H und W ist sinnvoll.

Auf dem Mond sind W und H größer (siehe Video vom hüpfenden und singenden Astronauten), dort ist g kleiner. Wenn der Nenner kleiner wird, erhält man eine größere Zahl für den Bruch.

- Die Höhe wächst immer mit dem Abwurfwinkel. Je größer dieser ist, desto mehr wird der Anteil der Startgeschwindigkeit in y- Richtung. Und je schneller man nach oben wirft, desto höher kommt man.

- Bei kleinem Abwurfwinkel (flacher Wurf) hat man zwar einen größeren Geschwindigkeitsanteil in x-Richtung, aber der Flug dauert nicht sehr lang (geringe Höhe) und deshalb steht wenig Zeit zur Verfügung in x-Richtung voran zu kommen.

Je steiler der Abwurfwinkel, desto länger die Flugdauer, aber desto kleiner auch die Startgeschwindigkeit in x-Richtung.

Das ist ein Optimierungsproblem: Bei 45° kommt man am weitesten.

Wird der Abwurfwinkel größer, so nimmt zwar die Flugdauer langsam zu, aber die Geschwindigkeit in x- Richtung zu stark ab.

Die Optimierung wird durch Sinus und Cosinus gesteuert...und bei 45° sind beide Funktionen gleichwertig.

- Bei 30° = 45° - 15° liegt die gleiche Wurfweite vor wie bei 60° = 45° + 15°. Das gilt auch für andere zu 45° symmetrisch liegende Winkel.

Wer noch etwas üben möchte:

In P 48 habe ich gezeigt, wie man die Flugbahn beim schrägen Wurf konstruieren kann.

Ihr könnt natürlich auch einfach in der Bahngleichung feste Werte für den Winkel und die Abwurfgeschwindigkeit einsetzen und zu jedem x das y ausrechnen. So kann man auch mit einem Funktionsplotter leicht Flugbahne ausgeben lassen.

8.6.2 Einfluss der Reibung

Luftreibung bremst...das kennt man vom Fahrradfahren...Wir wollen nur kurz auf verschiedene Reibungen eingehen:

Bei kleinen Geschwindigkeiten wächst der Luftwiderstand (die Reibungskraft) proportional zur Geschwindigkeit (Stokesche Reibung).

Wird die Geschwindigkeit größer, so treten Turbulenzen auf. Das erhöht den Luftwiderstand schneller und er wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit (Newtonsche Reibung).

Die Bahngleichung erhält man dann nur über die Lösung von sog. Differentialgleichungen, das wird in der Schule in der Regel auch in der Q-Phase nicht behandelt.

Schauen wir uns einfach mal die Bahnkurven an:

Erst einmal der Vergleich zwischen reibungsfreier Bewegung und den beiden Reibungsarten:

Im nächsten Bild (wikicommon) sehen wir Bahnkurven bei Stokescher Reibung mit einer Startgeschwindigkeit von 65 m/sec und einer Abwurfhöhe von 2,50 m für verschiedene Abwurfwinkel.

Damit wollen wir es belassen...

Am Wochenende stelle ich noch ein paar Übungsaufgaben zusammen, Anfang der kommenden Woche gibt es Lösungshinweise und dann lassen wir Herrn Einstein ran.

P 51: Auch die Körpergröße spielt eine Rolle!

 8.6 Diskussion

8.6.1 Einfluss des Abwurfwinkels

Schaut euch einmal die Formeln für Wurfweite und Wurfhöhe an, die wir hergeleitet haben:

Warum das Quadrat der Geschwindigkeit hier vorkommt, das werden wir später lernen, das hat etwas mit der Bewegungsenergie E = 1/2*m*v² zu tun.

Die Fallbeschleunigung g ist ein Maß für die Schwerkraft (siehe Kapitel 4.5). Wieso muss g im Nenner stehen?

Wenn der Abwurfwinkel größer wird, steigt der Sinus-Wert. Das Quadrat von Sinus steigt ebenfalls, etwas steiler.

Was erwartet ihr für Wurfweite W und Wurfhöhe H, wenn der Winkel von 0° immer größer bis 90° wird?

Erst, wenn ihr dazu einige Gedanken gemacht habt, dann überprüft eure Ideen an der folgenden Simulation: 

Wie der Abwurfwinkel die Flugbahn beeinflusst, könnt ihr am besten bei der folgenden GeoGebra-Simulation selbst ausprobieren:

https://www.geogebra.org/m/DPjS2FuD

Simulation schräger Wurf

Wenn man zu flach abwirft, kommt man nicht so weit. Das Gleiche gilt für zu steilen Abwurf.

Könnt ihr das anschaulich erklären?

Bei welchem Abwurfwinkel kommt man am weitesten?

Hier gibt es eine interessante Symmetrie. Welche?

Die größte Wurfweite erreicht man, wenn der Sinus des doppelten Abwurfwinkels den Wert 1 hat (ansonsten ist ja der Sinus immer kleiner als 1).

Passt das?

Vielleicht wollt ihr das alles mal selbst draußen ausprobieren?

Dann werdet ihr merken, dass der optimale Abwurfwinkel von der Abwurfhöhe abhängt.

Wenn ihr nicht vom Boden aus abwerft, sondern von einer Anfangshöhe, muss der optimale Winkel immer etwas kleiner als 45° sein.

Je höher der Abwurfort ist, desto kleiner muss der optimale Winkel sein. Es geht dabei aber nur um wenige Grad.

Beim Sport kann noch dazu kommen, dass man nur bei bestimmten Winkeln eine hohe Startgeschwindigkeit erzeugen kann. Dann muss man einen sinnvollen Kompromiss eingehen.

Die Berechnung führt zu weit, aber ich habe ebenfalls eine wunderbare GeoGebra-Simulation gefunden:

https://www.geogebra.org/m/ckZaDjh7

Schräger Wurf aus Abwurfhöhe

Um da wirklich etwas zu erkennen, solltet ihr Abwurfhöhen von einigen Metern wählen und dann die Abwurfwinkel durch die Schieberegler variieren.

Im nächsten Post werde ich die angesprochenen Fragen kurz beantworten und dann einige Beispiele für den Einfluss der Reibung vorstellen.

P 50: Manchmal hilft Mathe auch...

 8.5 Ermittlung der Bahngleichung

Dieses Abschnitt sollten vor allem zukünftige LKler ansehen...

Wir haben ja in der Simulation schon Bahnformen beim schrägen Wurf gesehen.

Vernachlässigen wir die Reibung, so sind es nach unten geöffnete verschobene Parabeln.

Wir wollen nun die Gleichung der Flugbahn herleiten.

Dazu benutzen wir wieder unsere Gesetze des schrägen Wurfs:

Wir brauchen nur die beiden WZG:

Um das y in Abhängigkeit zu x zu erhalten (das nennt man dann die Bahngleichung), müssen wir nur die Zeit t in Gl. 2b ersetzen durch die nach t aufgelöste Gleichung 2a.

Dann wird ein bisserl zusammengefasst und umsortiert und für sin/cos der Tangens gesetzt...

Die Gleichung hat die Form y = a*x - b * x².

In der Tat ist das die Gleichung einer umgekehrten Parabel.

Wer gerne Mathematik macht:

Setzt ihr die erste Ableitung y`(x) =0 und löst nach x auf, erhaltet ihr die Lage des Hochpunktes.

Wenn ihr die verdoppelt, kommt ihr auf die Wurfweite.

Ihr könnt aber auch die Funktion y(x) =0 nehmen, die Nullstellen sind der Startpunkt x =0 und die Wurfweite.

Die meisten von euch kennen noch keine Ableitungen, das kommt in E II in Mathe dran, ihr könnt nur die quadratische Gleichung lösen.

Was machen wir im nächsten Post?

Wir werfen mit verschiedenen Winkeln ab. Untersuchen das Ergebnis in einer Simulation, erklären es anschaulich...und dann zeigen wir, das unsere Bahngleichung das auch rein mathematisch erklärt (für die Mathe-Nerds).

Dann üben wir noch ein bisschen...und dann kommt endlich Albert!

P 49: Wir werden formal!

 Die letzten Kapitel sind vor allem für zukünftige LKler interessant und sehr wichtig.

Das zu verstehen, kann auch ein guter Test darüber sein, ob man den zukünftigen Anforderungen eines Physik LKs genügen kann.

Legen wir los!

8.4 Formale Herleitung der Formeln zum schrägen Wurf

Eigentlich haben wir alles schon in 8.2 und 8.3  gemacht, zuerst durch Überlegung an einem Zahlenbeispiel und dann etwas allgemeiner.

Hier möchte ich alle wichtigen Formeln noch einmal ganz formal herleiten.

Wir behandeln einen schrägen Wurf vom Boden aus, ohne jegliche Reibungseffekte.

Wir gehen aus von:

Beim schrägen Wurf müssen wir die Abwurfgeschwindigkeit in die Komponenten in x- und y- Richtung zerlegen.

Damit können wir sowohl für die x- als auch die y- Richtung das WZG und das GWG aufstellen.

Wir erhalten also vier Formeln (2a, 2b sowie 3a und 3b).

Mit diesen Formeln können wir alles berechnen, was wir für den schrägen Wurf herausfinden wollen!

Anmerkung: Wir müssen die Anfangsgeschwindigkeit und den Anfangsort wissen (hier: x =0 und y =0) und bestimmen Geschwindigkeit und Ort zu jeder Zeit der Flugphase.

In Q 3 werdet ihr im Rahmen der Quantenmechanik lernen, dass genau das für Objekte aus dem Mikrokosmos (Elektronen, Protonen) nicht geht. Ort und Geschwindigkeit können nie gemeinsam genau angegeben werden. Ind er Quantenmechanik, d.h. der Mikrowelt, gibt es keine Flugbahnen.

In meinem Unterrichtsblog zur Q3 könnt ihr dann alles dazu lernen:

Lichtmodelle und Quantenmechanik

Zurück zur E-Phase:

Um die Formeln zu verstehen, möchte ich euch an Folgendes erinnern:

Am Ende der Steigzeit ist die Geschwindigkeit in y-Richtung 0.

Damit können wir die Steigzeit ausrechnen.

Mit der Gleichung  2b können wir immer die y-Werte, also die Höhen, zu bestimmten Zeiten ausrechnen. Nehmen wir die Steigzeit für t, so erhalten wir die Wurfhöhe H für y.

Hier gibt es einen mathematischen Trick: Wir haben einen Term und ziehen die Hälfte dieses Terms ab und erhalten den halben Term: 1 Apfel - 1/2 Apfel = 1/2 Apfel...

Lasst es euch schmecken!

Die Flugdauer ist doppelt so lange wie die Steigzeit.

Setzen wir also die doppelte Steigzeit für t in Gl.2a ein, so erhalten wir die Wurfweite W für x.

Auch hier gibt es einen mathematischen Trick, denn wir uns nicht merken müssen (im Abitur wird die Formel dann angegeben): Multipliziert man den Sinus mit dem Cosinus des gleichen  Winkels, so ist das gleich der Hälfte des Sinus des doppelten Winkels.

Für einen Winkel von 45° kann man das leicht überprüfen:

sin 45° * cos 45° = 0,7071* 0,7071 = 1/2 sin 90° = 0,5

Notiert euch diese Herleitungen mit den Anmerkungen in euer Heft.

Erklärt laut redend die Herleitungen!

Ich hab das auch gemacht...

Im nächsten Post lernen wir dann,  (vor allem für die LKler), wie man die Gleichung der Flugbahn aufstellen kann.

Dann werde ich euch Links zum Üben geben und einige Übungsaufgaben und wir kommen endlich zum interessanten Teil der Mechanik, wenn wir Herrn Einstein bitten mitzumachen...

P 48: Wir konstruieren die Flugbahn

 8.3 Konstruktion der Flugbahn beim schrägen Wurf

Eigentlich finden hier zwei Bewegungen gleichzeitig statt.

Wären wir fern der Erde zwischen Galaxien in absoluter Schwerelosigkeit oder in der ISS, so würde ein Körper, den wir schräg abwerfen immer geradeaus fliegen...bis er in einer Galaxie landet oder an die Wand der ISS prallt.

Diese Flugbahn können wir leicht als Verlängerung des Startvektors einzeichnen und regelmäßige Abschnitte markieren, z.B. für jede Sekunde eine Markierung machen. Das ist die grüne Gerade im Bild.

Auf der Erde fällt der Körper gleichzeitig nach unten. Für diese reine Fallbewegung gilt unsere Formel  

s = 1/2 * g* t²

Mit g = 10 m/sec² erhalten wir daraus leicht die Fallstrecken nach jeder weiteren Sekunde:

t = 0 sec     s = 0 m

t = 1 sec     s = 5 m

t = 2 sec     s = 20 m

t = 3 Sec    s = 45 m u.s.w., das haben wir ja schon mehrmals berechnet.

Nun zeichnen wir die Fallstrecken an unsere gerade Linie an, verbinden die Endpunkte und haben die Flugbahn (im Bild habe ich das  nicht maßstäblich korrekt gemacht).

Macht es einmal....ruhig für verschiedene Startwinkel. Achtet darauf, dass ihr für alle Geschwindigkeiten den gleichen Maßstab wählt und an die Koordinaten anpasst (nach der 1. Sekunde ist der Körper um 5 m gefallen und hat sich in unserem Fall um 100 m auf seiner geraden Fluglinie weiterbewegt).

Das Prinzip gebe ich noch einmal vor. Aber ohne, dass ihr das mal selbst konstruiert habt, werdet ihr euch das nicht merken....

Wir werden bald lernen, wie man nur mit Koordinatenausrechnen vorgehen kann und auch die Bahngleichung herleiten.

Hier kannst Du auch in einer Simulation verschiedene Flugbahnen erzeugen und ansehen:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/waagerechter-und-schraeger-wurf/versuche/schraeger-wurf-simulation

Schräge Würfe