P 95: Heimliche Leistungsmessung

 17.2 Leistung

Als Leistung P (vom Wort Power) definiert man Arbeit oder Energiezufuhr pro Zeiteinheit:

P = W/t    (Achtung: W steht für AQrbeit)

Die Einheit ergibt sich somit zu J/sec oder Nm/sec oder Wsec/sec= W (W steht hier für Watt)

Eine Leistung ist dann besonders hoch, wenn viel Arbeit in kurzer Zeit verrichtet wird.

Beispiele: 

Wenn man 1 kg in 1 sec um 1 m hochhebt (Milchtüte stemmen...), so hat man eine Leistung von 9,81 W (Watt!) vollbracht.

Beim Spazierengehen leisten wir etwa 20 W, die Dauerleistung eines Menschen liegt bei 100 W, bei einem Pferd bei 400 W.

Leistungssportler können kurzzeitig auf 1500 W kommen. Ein ICE benötigt etwa 6 MW (MegaWatt, MillionenWatt)

Wenig bekannt, aber sehr hilfreich ist die folgende Formel:

P = F * v

Wenn eine Kraft F einen Gegenstand mit der Geschwindigkeit v bewegt oder sich dieser Gegenstand gegen eine solche einwirkende Kraft mit v fortbewegt, dann liegt die Leistung P = F*v vor.

Formale Herleitung: P = W/t = F*s/t = F * v

Damit kann man sehr schön die Leistung beim Treppensteigen messen:

Aus der Masse eines Menschen errechnet  man leicht seine Gewichtskraft (70 kg sind etwa 700 N), die Geschwindigkeit bestimmt man mit einer Stoppuhr und die Weglänge kann man vorher abmessen.

Wenn man die Steighöhe der Treppe bestimmt, kann man über die Laufzeit auch direkt die Leistung über die Hubarbeit bestimmen und die Ergebnisse beider Verfahren vergleichen.

Das habe ich immer meine Leistungskurse machen lassen.

Vo vielen Jahren hatte ich eine ältere Kollegin, die immer sehr gemächlich die Treppen hochging. Heimlich haben meine Schüler ihre Leistung gemessen (das geht ja ganz gut...) und ihr dann später mitgeteilt, es seien gerade mal 15 Watt gewesen.

Sie hat sich dann bei der Schulleitung über den Eingriff in ihre Privatsphäre beschwert....

Also: Macht mal solche Messungen...

Intermezzo

Damit sind wir mit den Inhalten der klassischen Mechanik durch.

Es beginnt jetzt ein Kapitel über Drehbewegungen, das besonders für zukünftige Leistungskurse wichtig ist.

Wir beginnen damit, dass wir den Umlauf des Mondes um die Erde untersuchen.

Dabei erkennen wir, ähnlich wie Newton, das Gravitationsgesetz.

Wir übertragen das auf die Planetenbewegung und lernen die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung kennen, mit denen man heute die Massen von Exoplaneten bestimmt..

Dann untersuchen wir systematisch die Drehungen von Körpern, lernen Begriffe wie Drehmoment, Trägheitsmoment etc. kennen.

Und wir entdecken: Alle Formeln, die wir bisher hatten, gibt es auch so bei den Drehbewegungen: Die Kraft wird zum Drehmoment, der Impuls zum Drehimpuls, die Geschwindigkeit zur Winkelgeschwindigkeit usw.

Zuerst werde ich aber noch einige Extraseiten online stellen und ein kurzes Kapitel über Wärmelehre, insbesondere deren mechanische Bezüge, einfügen.

P 94: Endlich wird gearbeitet

 17. Arbeit und Leistung

17.1 Was ist Arbeit?

In der Mittelstufe habt ihr die Formel W = F*s für die Arbeit W kennengelernt:

Eine Kraft F wirkt längs eines Weges s und verrichtet dabei die Arbeit W.

Andererseits wird auch oft von Energie als gespeicherte Arbeit gesprochen oder als die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten.

Gerade letzteres ist Unsinn, da ein sehr kaltes Gas z.B. Energie besitzt, aber  damit nicht mehr Arbeit verrichtet werden kann. Energie ist also mehr als nur Arbeit. Und Masse ist auch eine Form der Energie, aber in ihr ist keine Arbeit gespeichert. Das gilt auch für die Vakuumenergie.

In Post 71 habe ich das ausführlich besprochen:

https://newtonzueinstein.blogspot.com/2022/01/p-71-wir-wiederholen-mittelstufenphysik.html

Zur Arbeit

Ihr solltet das noch einmal nachlesen.

Wir wollen uns hier auf einen Zusammenhang zwischen Energie und Arbeit konzentrieren, der sich auf Bewegungen und Mechanik bezieht:

Es ist sinnvoll, immer dann von Arbeit zu sprechen, wenn wir einen Energiezustand ändern. Das tritt besonders dann auf, wenn ein Körper an verschiedenen Orten unterschiedliche Energien besitzt. Dann gibt es einen Abstand s dieser Orte. Um den zu überwinden, muss die Arbeit W verrichtet werden.

Ändert sich die Energie gleichmäßig längs des Weges s zwischen den Orten, dann muss man eine konstante Kraft F = W/s aufwenden, um vom Ort niedriger Energie zum Ort hoher Energie zu kommen.

Bevor ich das an einem Beispiel erkläre, erst einen Hinweis:

Hinweis:

Mathematisch ist die Kraft die Ableitung der Energie nach dem Weg. Man spricht von Gradient der Energie, allerdings nicht in der Schule.

Wenn sich die Energie nicht gleichmäßig ändert, muss man Integralrechnung bemühen. Die lernt ihr später, deswegen macht es jetzt wenig Sinn darauf einzugehen.

Ich werde aber den Hintergrund als Zusatzseite (für später...) zusammenfassen.

Nun ganz konkret:

Hubarbeit:

Ein Körper auf dem Erdboden hat relativ zum Boden die potenzielle Energie (Lageenergie) 0. Hebt man ihn auf die Höhe h, so hat er die Lageeenergie E = m*g*h. Dabei ist m*g die zum Hochheben notwendige Kraft (man muss gegen die Gewichtskraft F = m*g anarbeiten).

Also ist die zugeführte Energie W = F*s, Kraft mal Weg...passt

Ich habe die Darstellung aus maschinenbau-wissen.de etwas ergänzt:

Das geht  aber nur, weil sich bis zu einigen Hundert Metern Höhe die Lageenergie gleichmäßig mit der Höhe ändert. Mit m*g*h  kann man nicht ausrechnen, welche Arbeit man zum Anheben auf eine Raumstation benötigt.

Beschleunigungsarbeit

Ein stehendes Auto hat die Bewegungsenergie E = 0. Bewegt es sich mit der Geschwindigkeit v, so besitzt es die Bewegungsenergie E = 1/2*m*v².

Wenn es gleichmäßig beschleunigt wurde, hat es die Strecke s = 1/s*a*t² zurückgelegt. Die Momentangeschwindigkeit ist dabei gleichmäßig größer geworden: v (t) = a*t.

Aus diesen beiden Formeln haben wir schon mehrfach die Gleichung v² = 2*a*s gewonnen.

Setzen wir das in die Gleichung für die Bewegungsenergie ein, so erhalten wir:

E = 1/2*m*2*a*s, die Energie wächst also gleichmäßig mit dem zurückgelegten Weg s an.

Sofort sieht man: E = m*a*s = F*s, Kraft mal Weg für den Energiezuwachs, also die Arbeit.

Bei konstanter Beschleunigung ist eben auch die zur Beschleunigung verwendete Kraft längs des Beschleunigungsweges konstant.

Es passt also alles...

Einheit der Arbeit:

Wenn man Arbeit als Energiedifferenz auffasst, so muss die Einheit der Arbeit die Einheit der Energie sein:

[W] = Nm = J (Joule) = Wsec  (Wattsekunden)

Eine bekannte Einheit für elektrische Arbeit ist kWh.

Frage: Wieviel Nm ist 1 kWh?

Antwort: k steht für 1000, h für 3600 Sekunden: 1 kWh = 1000*W*3600 sec = 3,6 Mill Wsec = 3,6 Mill Nm

Das habt ihr bestimmt mal in der Mittelstufe gelernt.

Wichtige Anmerkungen:

Zum Schluss noch einige Hinweise aus Post 71: 

Zeigt die Kraft nicht in Richtung des Weges, so gilt: 

W = F*s*cos α

Physikalisch gesehen verrichtet man keine Arbeit, wenn man einen Gegenstand gleichförmig  geradeaus trägt:

Begründung 1: F steht senkrecht auf dem Weg, also ist α = 90° und cos α = 0

Begründung 2: Weder die Lageenergie (Höhe bleibt, es sei denn man hüpft...oder geht bergauf) noch die Bewegungsenergie (konstante Gehgeschwindigkeit) ändern sich. Arbeit aber ist Energieunterschied und somit 0.

Und wenn F nicht längs des Weges konstant ist, muss man die Formel W = ∫ F*ds verwenden (siehe (bald)  Extraseiten).

Herleitung der Energieformeln:

Wenn wir von der Formel W = F*s ausgehen, können wir natürlich die Formeln für die Energien ableiten:

Bewegungsenergie:

E = F*s = m*a*s = m* v²/2s *s = 1/2*m*v²

Lageenergie:

E = F*s = m*g *s = m*g*h

Das ist eher der übliche Weg, da man in der Schule oft die Kraft als Grundgröße einführt.

P 93: Lösung und Diskussion

 Zu meiner und eurer Bequemlichkeit hier noch einmal die Aufgaben:

Aufgabe 1:

F = m*a = 6 * 75 N = 450 N (das ist so, als würde ein Masse von 45 kg auf Dir liegen...), denn 1 N ist die Kraft, die einer Masse von 1 kg eine Beschleunigung von 1 m/sec² verleiht: N = kg*m/sec²

Aufgabe 2:

Aus F = m*a berechnen wir erst die Beschleunigung a =F/m = 1000 m/sec²

Da der Kraftstoß 0,02 sec dauert, ist die Geschwindigkeit danach v = a * t = 20 m/sec = 72 km/h

Aufgabe 3:

Die Beschleunigungsstrecke s beträgt 100m, am Ende soll v= 11200 m/sec vorliegen.

Wir haben in der Kinematik aus s = 1/2*a*t² und v = a*t schon eine Formel hergeleitet:

s= 1/2 * v²/a.

Die stellen wir nach der gesuchten Beschleunigung a um: a = 1/2*v²/s = 6272000 m/sec².

Das ergibt eine Beschleunigungskraft von 3,136 Milliarden Newton.

Das erscheint extrem unrealistisch.

Aufgabe 4:

Erdanziehung: F = 2 kg*10m/sec² = 20 N

Die Kugel zieht die Erde mit der gleichen Kraft von 20 N an, d.h. auf der Kugel wiegt die Erde 20 N.

Beschleunigung der Kugel durch die Erde: das ist g = 10 m/sec², da brauchen wir nichts zu rechnen...

Beschleunigung der Erde durch die Kugel: a = F/M = 3,3*10^(-24) m/sec²

M ist hier die Masse der Erde, weil ja die Erde beschleunigt wird, gilt F = M*a.

Diese extrem kleine Wirkung der Kraft liegt an der extrem großen trägen Masse der Erde.

Wäre auch blöd, dass die Erde immer hinterher fällt, wenn wir eine Bowling-Kugel hochheben...

Solche Aufgabe, bei denen über gleiche Kräfte unterschiedliche Wirkungen berechnet werden, spielen auch bei elektrischen Feldern eine große Rolle.

P 92: Definition der Kraft

 16.5 Newtons berühmte Formel F = m*a

Wir haben gesehen, dass die Impulsstromstärke Δp/Δt sich als Produkt der (trägen) Masse und der erwirkten Beschleunigung a schreiben lässt:

Δp/Δt = m*a

In einer Aufgabe haben wir sogar gesehen, dass Δp/Δt bei einem Fallversuch sogar der Gewichtskraft entspricht, die man aus der Mittelstufe kennt.

Deswegen liegt es nahe:

Definition:

Unter einer Kraft verstehen wir die Stärke des übertragenen Impulsstromes Δp/Δt.

Machen wir uns das plausibel:

Wann ist der Impulsstrom besonders groß? Wenn wir viel Impuls in kurzer Zeit übertragen (großer Zähler, kleiner Nenner)!

Praktisch ausgedrückt: Schell und heftig gegenboxen...das nennen wir im Alltag: Eine starke Kraft ausüben.

Die Kraft wirkt also nur während wir den Impuls übertragen, also während der Impulsstrom zwischen dem einwirkenden und dem bekommenden Körper fließt.

Der Impulsstrom überträgt natürlich einen Schwung in eine bestimmte Richtung. Und er geht auch von einem Körper aus und tritt am Angriffspunkt der Kraft in den anderen Körper ein.

Also gilt: 

F = Δp/Δt

Außerhalb des Schulunterrichtes gibt es auch die Größe F*Δt  = Δp. Die nennt man auch einen Kraftstoß, da die Kraft F nur in der Zeit Δt wirkt.

                                                    credit: leifiphysik

Nun haben wir für das zweite Newtonsche Axiom sogar eine Formel:

    F = m*a

Dazu gleich einige  Übungsaufgaben:

1) Ein Auto fährt mit einer Beschleunigung von 6 m/sec² an. Mit welcher Kraft wird der Fahrer der Masse 75 kg in den Sitz gedrückt?

2) Welche Geschwindigkeit erhält ein Fußball der Masse 0,5 kg, wenn er mit einer Kraft von 500 N getreten wird? Der Kraftstoß soll 0,02 sec dauern.

3) Kann man eine Rakete der Masse 500 kg aus einem 100 m langen Kanonenrohr abschießen?

Die notwendige Startgeschwindigkeit beträgt 11,2 km/sec.

4) Mit welcher Kraft zieht die Erde eine 2 kg Kugel an?

     Mit welcher Kraft zeigt die Kugel die Erde an?

     Welche Beschleunigung bekommt die Kugel durch die Erde?

     Welche Beschleunigung bekommt die Erde durch die Kugel (Erdmasse 6*10^24 kg).

    Sag was zum Ergebnis....

P 91: Der Kreis schließt sich

 In diesem Post möchte ich die Lösungen der Aufgaben aus dem letzten Post vorstellen:

Aufgabe 1:

a) In beiden Fällen erhält man die gleiche Endgeschwindigkeit, nämlich v = p/m = 80 m/sec. Es spielt also logischerweise keine Rolle, in welcher Zeit der Impuls zugefügt wird.

b) Die Beschleunigungen unterscheiden sich natürlich.  Wenn ich 80 m/sec erreichen will, ist es schon ein Unterschied, wenn ich das in 2 sec oder 4 sec machen soll...also sind die Beschleunigungen a = v/t:

   40 m/sec² für den ersten  Fall und 20 m/sec² für den zweiten Fall.

c) Für die Impulsstromstärke ist die Zeit logischerweise  auch wichtig:

Führt man 800 Hy in 2 sec zu, so hat man eine Impulsstromstärke von 400 Hy/sec

Lässt man sich 4 Sekunden Zeit, so sind es 200 Hy/sec.

d) Wenn man sich die Zahlen ansieht, stellt man fest, dass man nur die Beschleunigung mit der Masse multiplizieren muss und erhält die Impulsstromstärke:

 Δp/Δt = m * a

Mathematischer Einschub:

Bald könnt ihr differenzieren. Dann lernt ihr, dass für sehr kleine Zeiträume   Δt   der Bruch Δp/Δt gegen die Steigung der Funktion p(t) strebt. Da p aus einem Produkt besteht, muss man beim Differenzieren die Produktregel anwenden.

Ich schreibe für die erste Ableitungsfunktion dp/dt statt p`:

dp/dt = d(m*v)/dt = m*dv/dt + v *dm/dt

Nur in d er Relativitätstheorie kann die Masse sich mit dem Impuls verändern, ansonsten ist dm/dt = 0 und wir erhalten:

dp/dt = m*dv/dt = m*a,

denn die Steigung der Funktion v(t) ist die Beschleunigung.

Um das mathematisch korrekt zu beschreiben, hat Newton auch die Differenzialrechnung eingeführt.

Wir sehen, dass unser Weg auch eine relativistisch korrekte Form für die gesuchte Formel ergibt.

Das werden wir aber nicht verfolgen.

Aufgabe 2:

Ein Körper fällt mit g = 10 m/sec² 3 Sekunden lang und erhält v(t) = g*t = 30 m/sec.

Da er 10 kg Masse hat, muss er also den Impuls p = m*v = 300 Hy vom Gravitationsfeld er Erde bekommen haben.

Das ergibt eine Impulsstromstärke Δp/Δt = 300/3 = 100 Hy/sec

 Den Wert erhält man auch, wenn man die Masse des Körpers mit der Fallbeschleunigung g multipliziert.

Also auch hier ist: Δp/Δt = m*g.

m*g aber haben wir kennengelernt als die Gewichtskraft der Masse m im Gravitationsfeld mit der Fallbeschleunigung g: F = m*g

1 kg entspricht etwa 100 N.

Es macht also Sinn, die Impulsstromstärke als Kraft zu bezeichnen, so wie es Newton und Max Planck auch gemacht haben und so wie es in der Relativitätstheorie zur richtigen Kraftgleichung führt.

Das machen wir konkret im nächsten Post.

Aufgabe 3:

Auch die Einheitenrechnung passt.
 [Δp/Δt] = kg*m/sec / sec = kg*m/sec² = [m*a]

Achtung: m steht hier für Meter, außer bei m*a, da ist m die Masse....!

Mit [ ... ] bezeichnet man die Einheit des in der eckigen Klammer stehenden Terms.

Wir sind kurz davor: 

F = m*a ist die berühmte Gleichung von Newton.