P 160: Gedackt oder nicht gedackt...das ist die Frage!

 29.3 Schwingungen in Orgelpfeifen

Orgeln haben zwar Tastaturen wie ein Klavier, sind aber Blasinstrumente. Ein Blasebalg erzeugt einen Luft-Überdruck im Innenraum. Beim Herunterdrücken der Taste wird ein Ventil geöffnet, dass den Luftstrom zu einer Pfeife lenkt, die dann erklingt.

Jede Pfeife erzeugt den Ton ihrer Grundschwingung und den Klang durch die Oberschwingungen.

Der eintretende Luftstrom wird an einer Schneide (Labium) geteilt und erzeugt Wirbel, die Eigenschwingungen der Pfeife anregen (dazu kommt mehr im nächsten Post).

Der Lufteintritt gilt als offenes Ende.

Ist die Orgelpfeife am oberen Ende auch offen, so schwingen in der Grundschwingung am Eintritt und am oberen Ende zwei Bäuche. In der Mitte befindet sich ein Knoten.

Durch sog. Stimmrollen kann die Länge der Luftsäule leicht verändert werden und so die Orgelpfeife gestimmt werden.

Bei einer gedackten Pfeife ist das obere Ende verschlossen. Somit muss dort ein Knoten sein und dann gibt es nur einen Schwingungsbauch am unteren Ende.

 

Experimentierorgel im FutureSpace

Die nächsten Bilder sind von H.Schneider aus dem Begleitmaterial unserer Reihe Physik und Musik im FutureSpace:

Darstellung des Luftstromes

Grundschwingung in offener und gedackter Pfeife

 

Vergleich Klaviersaite, offene und gedackte Pfeife: Welche Tonhöhe der Grundschwingungen sind gleich?

Grund-und Oberschwingungen bei offenen und gedackten Pfeifen

Auch offene Pfeifen können gestimmt werden.

Wie auch bei der Klaviersaite ist bei offenen Pfeifen die Zeit zum Synchronisieren t = L/c , wobei L die Pfeifenlänge und c die Schallgeschwindigkeit ist.

Wie bei der Klaviersaite gilt:

Damit sich die Grundschwindung einstellt, muss das Signal einmal zwischen den Knoten hin und her laufen. Die Periodendauer der Grundschwingung ist also P = 2*L/c.

Bei einer gedackten Pfeife "passt" nur eine Viertelschwingung hinein (als Grundschwingung), also ist die Periodendauer dort 4*L/c, also doppelt so groß. Die gedackte Pfeife hat also bei gleicher Länge  einen Ton bei halber Frequenz, also eine Oktave tiefer.

Unsere Experimentierorgel hat nur 2 Oktaven. Die linke ist für die gedackten Holzpfeifen hinten und die rechte Oktave für die offenen Metallpfeifen.

Lauschen wir mal:

Bleibt noch die letzte Frage zu klären...wie sorgen wir dafür, dass die Pfeife den richtigen Ton erzeugt?

P 154 Die Ursache aller Strukturen

 28. Wie kann man ein Pendel zum Schwingen bringen?

Die Antwort ist klar: Man muss dem Pendel Schwung geben. Die Zufuhr von Impuls kann aber auf zwei völlig verschiedene Arten gehen: einmalig und ständig

28.1 Einmalige Zufuhr von Schwung

Bastle Dir aus Schürsenkel und Schlüssel ein einfaches Fadenpendel und hänge es am besten auf.

Auf zwei Arten kannst Du dem Pendel Schwung geben:

- Auslenken und loslassen.

- Anschubsen

Beim ersten Fall kommt der Schwung aus der Gravitation der Erde. Im zweiten Fall kommt der Schwung aus Deinen Muskeln.

Wie stark auch immer der Schwung ist, das Pendel schwingt immer in einer ihm eigenen Frequenz.

Diese Frequenz nennt man Eigenfrequenz und die zugehörige Schwingung Eigenschwingung (in technischer Literatur, insbesondere im Englischen spricht man von Mode, der Schwingungsmode.

Versuche:

Ändere die Pendellänge und ändere jeweils durch An- oder Abhängen von Gegenstanden die Masse m des Pendelkörpers.

Gibt dem Pendelkörper Schwung, wie auch immer. Was beobachtest Du?

Die Masse beeinflusst die Eigenfrequenz nicht (das haben wir schon besprochen: Alle Körper fallen gleich schnell). Aber die Eigenfrequenz hängt von der Pendellänge ab: Je länger das Pendel ist, desto niedriger ist die Eigenfrequenz.

Lange Pendel schwingen langsam.

Es gilt die Formel, die wir später auch herleiten:

Aufgabe: 

Welche Länge muss ein Pendel für die Periodendauer 1 sec auf der Erde und auf dem Mond haben?

Lösungshinweise: Du musst die Formel nach l auflösen, d.h. erst einmal quadrieren:

   P² = 4* π² *l/g, dann nach l auflösen: l = g*P²/(4* π²).

Auf der Erde ist g = 10 m/sec² und auf dem Mond 1/6 so groß.

Damit erhältst Du:

Pendellänge  auf der Erde etwa 25,2 cm

Pendellänge  auf dem Mond etwa 4,2 cm

Von einem Sekundenpendel spricht man blöderweise übrigens, wenn die halbe Schwingung 1 sec dauert.

Wie lang ist also ein Sekundenpendel?

1 m auf der Erde, etwa 17 cm auf dem Mond.

Flächen oder Körper besitzen mehrere Eigenschwingungen, mehrere Moden. Welche man anregt, hängt von der Art der Impulszufuhr ab.

Das wollen wir hier nicht vertiefen.

Wir werden aber bald eine andere Möglichkeit kennenlernen, Eigenschwingungen anzuregen.

Hier Bilder der möglichen Eigenschwingungen einer Metallplatte. Überall da, wo sie nicht (!) schwingt, bleibt drauf gestreuter Sand liegen.

Bild: Physik Uni Oldenburg

Auch das heiße Urknallgas ist 380 000 Jahre nach dem Urknall zu verschiedenen Eigenschwingungen gekommen. Deren Überlagerungen haben ein Netzwerk erzeugt, aus dem sich später die Galaxien gebildet haben.

Diese Aufnahme des Urknallgases mit Mikrowellen zeigt das Muster, was aus der Überlagerung aller Eigenschwingungen entsteht. Aus den blauen Flecken haben sich die Galaxien gebildet.

Dass hier verschiedene Eigenschwingungen vorliegen, erkennt man, wenn man eine Fouriertransformation (siehe Post 153) macht, also ausrechnet, welche Frequenzen mit welchen Amplituden schwingen:

Ist es nicht fantastisch:

Die Strukturen unserer Welt sind aus den Eigenschwingungen des Urknallgases entstanden.

Vertiefen und Üben:

(i) Formuliere „je mehr-desto mehr/weniger“ – Beziehungen zwischen Periodendauer und Pendellänge (vergleiche mit den Ergebnissen des durchgeführten Versuches) bzw. Periodendauer und Stärke des Gravitationsfeldes (fahr zum Mond)

(ii) Erkläre anschaulich mit Hilfe der früheren Posts:

- Die Periodendauer ist unabhängig von der Masse des Pendelkörpers.

- Die Periodendauer nimmt zu, wenn das Pendel länger ist.

- Die Periodendauer nimmt zu, wenn die Schwerkraft kleiner wird.

Tipp: Beschäftige Dich mit der Rückstellkraft

P 151: Manchmal hilft die Mathematik doch...

 27.2 Sinus und Cosinus am Einheitskreis

Das man über Kreise den Sinus und den Cosinus bekommt, sollte euch eigentlich aus dem Matheunterricht bekannt sein:

Ihr kennt den Einheitskreis, ein Kreis im Koordinatensystem mit dem Radius 1.

Jeder Punkt auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten P (cos φ; sin φ), wenn φ der Winkel zwischen positiver x-Achse und der Verbindung von Ursprung und P ist. Diese Verbindungsstrecke nennen wir Zeiger und die Darstellung einer Schwingung durch eine Kreisbewegung nennen wir Zeigerdarstellung. Vielleicht solltest Du die Matheaufzeichnungen der Klasse 10 noch einmal dazu ansehen.

Das kann man sich auch an einem rechtwinkligen Dreieck klarmachen: Die Hypotenuse ist der Radius der Länge 1, die Gegenkathete des Winkels φ ist der Sinus und die Ankathete des Winkels der Cosinus.

Solche Dreiecke lassen sich in allen vier Quadranten konstruieren.

Wenn jetzt der Punkt P auf dem Kreis entlang wandert, ändert sich natürlich der Winkel φ:

Für 0°< φ < 90° (1. Quadrant) kannst Du den Sinus auf de r positiven y-Achse ablesen, den Cosinus auf der positiven x-Achse.

Kommen wir in den 2. Quadranten (90°<φ<180°), so nimmt der Sinus wieder ab und der Cosinus wird negativ (negative x-Achse).

3. Quadrant (180°<φ<270°): Der Sinus (auf der negativen y-Achse wird negativ, der Cosinus bleibt negativ, nähert sich wieder der 0.

4.Quadrant (270°<φ<360°): Nun nähert sich der Sinus auf der negativen y-Achse wieder der 0 und der Cosinus wächst auf der positiven x-Achse bis zum Wert 1 bei 360° = 0°.

Dann beginnt alles wieder von vorne....

Man kann dabei also auch mehrfach herumdrehen.

Beispiel: sin(600°) = sin(600°-360°) = sin(240°) = - 0,8660

Und nun probiert dies mal mit dem schönen GeoGebra-Programm aus. Wir brauchen vorläufig nur die Elongation (Auslenkung) y.

Sinus durch Kreisbewgeung

27.3 Begründung der Schwingungsgleichung

In der Darstellung aus physikunterricht-online.de ist das noch einmal gut zusammengefasst. Ich habe unsere Begriffe eingetragen:

Die y-Koordinate y ist der zurückgelegte Weg s der Pendelmasse.

Deshalb können wir schreiben: s = A * sin φ, dabei ist A die Amplitude der Schwingung (maximale Auslenkung).

In der GeoGebra-Simulation kannst Du sehr schön ausprobieren, dass die Schwingungsamplitude gleich dem Kreisradius ist.

Dreht sich der Zeiger gleichmäßig mit der  konstanten Winkelgeschwindigkeit, so gilt: φ =ω*t und man erhält die Schwingungsgleichung: 

 s(t) = A * sin(ω*t).

Beginnt die Zeigerbewegung zu t = 0 bei dem Startwinkel φ₀ , so gilt: 

s(t) = A * sin(ω*t +  φ₀)

  φ₀ nennt man auch die Anfangsphase der Schwingung, besser den Anfangsphasenwinkel.

Ich habe das mal in einer Skizze dargestellt:

Aufgaben: 

1) Wie groß ist die Auslenkung eines Federpendels nach 17 sec, das zum Zeitpunkt 0 in der Ruhelage startet und mit einer Frequenz von 0,3 Hz bei einer Amplitude von 6 cm schwingt?

2) In einem Kreisbild werden zwei Schwingungen dargestellt, deren Zeiger einen Winkel von 180° einschließen.

Zeichne die beiden WZD in einen Graphen (Amplituden sollen gleich sein, Frequenz beliebig)

Solche Schwingungen nennt man gegenphasig.

3) Wie würden die WZD zweier gleichphasiger Schwingungen aussehen, deren Amplituden sich um einen Faktor 2 unterscheiden.

Kannst Du das Kreisbild dazu zeichnen, mit den Zeigern?

4) Nun sollen die beiden Zeiger einen Winkel von 90° einschließen.

Zeichne das Kreisbild und überlege Dir die WZD.

P 148: Die Globalisierung beginnt

26.3 Die erste Globalisierung

Rückkopplungsprozesse stabilisieren nicht nur Schwingungen, sondern können auch Strukturen erzeugen:  Sie  sind wesentlich bei der Entwicklung von sog. dynamischen Systemen. Durch sie bilden sich Strukturen und Muster. Durch die Rückkopplung der Aktivität der Gehirnneuronen auf das Gehirn selbst (nach ca. 3 „Takten“ ist ein Signal eines Neurons wieder beim gleichen Neuron angekommen, 99,9% der Eingangssignale von Gehirnneuronen stammen von anderen Gehirnneuronen, nur die restlichen 0,1% sind Sinneseindrücke) entsteht die Selbstwahrnehmung des Gehirnes, die wir Bewusstsein nennen.

Die Entdämpfung von Pendelschwingungen durch Rückkopplung hat auch zur ersten Globalisierung geführt:

Um auf dem Seeweg andere Länder/Kontinente (wieder) zu finden, muss man navigieren können. Die geographische Breite lässt sich mit für die damalige Zeit ausreichender Genauigkeit über die Höhe des Polarsternes über dem  Horizont bestimmen. Die geographische Länge erhält man nur über den Zeitvergleich zwischen dem täglichen Höchststand der Sonne beim Schiff und auf einer Landstation mit bekannter Breite. Da es damals noch kein Funk gab, musste man eine Uhr an Bord haben, die die entsprechende Sonnenzeit der Landstation anzeigte.

Frage: Welchen Längenunterschied gibt es, wenn auf dem Schiff zur Zeit des Sonnenhöchststandes die Pendeluhr für die Hafenzeit 11.00 Uhr anzeigt?

Denke daran: 360° Längenunterschied (einmal um die Erde herum) entsprechen 24 Stunden.

Vor 1759 lief Navigieren etwa so ab:

- Segel so lange nach Norden oder Süden, bis Du die gewünschte geographische Breite erreicht hast. Ist das Wetter mehrere Tage schlecht, musst Du eventuell zurücksegeln.

- Dann überleg Dir, ob Du nach rechts oder links abbiegen willst. Hast Du keine Informationen, dann wirf eine Münze.

- Nun segel auf gleicher Breite weiter, bis Du ankommst oder auch nicht....

Die Entdämpfung der Pendeluhrschwingungen ermöglichte also endlich eine Längenmessung und damit den globalen Schiffsverkehr: die Kolonialisierung der Welt (nicht immer zum Vorteil für die betroffenen Völker!)begann. Erfinder war Christiaan Huygens (1656), dessen Namen wir heute für die Impulseinheit kg*m/sec verwenden.

Aber eine Pendeluhr ist noch zu anfällig für Störungen. 1714 hat England ein Preisgeld zur Lösung des Navigationsproblems durch Erfinden einer stabil laufenden Uhr, einer Schiffsuhr, ausgesetzt.

Sein ganzes Leben lang widmete sich der Uhrmacher John Harrison (1693-1776) der Lösung dieser Aufgabe.

Bis 1727 konstruierte er Standuhren, die nur eine Abweichung von 1 Sekunde/Monat hatten.

Dann baute er Schiffsuhren. Die erste, H1, war 1735 fertig und erfolgreich auf einer Seereise nach Lissabon getestet. Aber die Strecke war für die Auszahlung des Preisgeldes zu kurz.

Das beste Modell, die H4, zeigte 1761 auf der 81-tägigen Seereise nach Jamaika nur eine Abweichung von 5 Sekunden.

Durch Intrigen erkannte aber das Preiskomitee diesen Erfolg nicht an. Erst durch Eingreifen des Königs erhielt Harrison 1773, drei Jahre vor seinem Tod, das gesamte  Preisgeld.

Bilder: wikipedia common

Ab 1920 wurde mit Zeitzeichensendern navigiert und heute nutzt man die Navigationssatelliten, wie beim Autofahren.

Weitere Informationen:

Das GPS des Mittelalters

Und hier ein Vortrag von mir zum Thema:

P 141: Viel Spaß beim Spielen!

 24.6 Simulationen

Das Projekt PhET der Universität von Colorado Boulder wurde 2002 vom Nobelpreisträger Carl Wieman (Nobelpreis 2001 für die Erzeugung eines Bose-Einstein-Kondensats) gegründet und stellt kostenlos die tollsten Simulationen zur Verfügung.

Wir wollen uns zwei Abteilungen ansehen:

Bei allen Simulationen könnt ihr euch ein Lineal und eine Stoppuhr einbauen und sogar quantitativ messen.

Pendelschwingungen

In der ersten Simulation könnt ihr Pendel verschiedener Massen und Längen bei unterschiedlicher Reibung und Gravitation zum Schwingen bringen. In der zweiten Simulation könnt ihr euch die Energien anzeigen lassen und bei der dritten Simulation die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen.

Federschwingungen

In der ersten Simulation könnt ihr Federn mit verschiedener Härte und Massen in unterschiedlicher Gravitation schwingen lassen.

Logischerweise ändert sich die Schwingung, wenn man das Gravitationsfeld ändert (Untersucht einmal, auf was die Schwerkraft einen Einfluss hat. Lasst euch dazu die Gleichgewichtslage (Ruhelage) anzeigen). Aber messt einmal die Schwingungsdauern, die bleiben gleich.

In der zweiten Simulation kann man sich Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und alle Kräfte anzeigen lassen.

In der dritten Simulationen geht es dann um die Energien.

Nehmt euch viel Zeit, ihr könnt hier viel Lernen!

P 132 Immer wieder von vorne

 Übersetzen wir erst einmal:

Wiederholte zeitliche Schwankung: Im Laufe der Zeit treten Veränderungen ein, die sich aber immer wieder wiederholen.

Zustandsgröße eines Systems: Bei einem Pendel wird der Zustand durch die Größe der Auslenkung beschrieben. Bei einem fahrenden Auto wird der Zustand durch den Abstand vom Startpunkt beschrieben.

Abweichungen von einem Mittelwert: Bei einem Pendel kann man die Veränderungen auf die Ruhelage beziehen, also wenn es einfach nur vor sich her hängt....

Jetzt sollte es klar sein, was eine Schwingung von einer linearen Bewegung unterscheidet:

Bei einer Schwingung wiederholt sich der Bewegungsablauf. Das kann bei einer Autofahrt nur passieren, wenn man hin- und herfährt.

Im Bild des letzten Posts wird klar, dass bei einer Schwingung die hier y genannte Auslenkung sich immer wiederholt, während bei der linearen Bewegung der Abstand y(t) immer neue Werte erhält.

Schwingungen sind also periodische Vorgänge.

Beispiele: 

Die Drehung der Erde ist periodisch, sie wiederholt sich nach 23h56m, einem sog. Sterntag.

Musikinstrumente erzeugen Schwingungen, die sich als Schallwelle durch die Luft übertragen und unser Trommelfell zum Schwingen bringen. Beim Ton "a" schwingt es 440 mal in der Sekunde.

Mit schwingenden Fadenpendeln oder Federpendeln hat man früher Uhren gebaut.

Die Atome in einem Molekül können gegeneinander Schwingen. Dabei entsteht Wärmestrahlung.

Es gibt sogar oszillierende chemische Reaktionen, die sich durch einen wiederkehrenden Farbwechsel bemerkbar machen.

23.2 Wichtige Begriffe

Ruhepunkt: Der Punkt eines Pendels, in dem es sich befindet, wenn es nicht zum Schwingen angeregt wird. Die Auslenkung ist hier 0.

Auslenkung: Der Abstand der Pendelmasse vom Ruhepunkt. Wir häufig mit s oder y bezeichnet, bzw. s(t) und y(t), weil es ja Größen sind, die von der Zeit abhängen.

In der Regel misst man die Auslenkung längs der Bewegungslinie der Pendelmasse. Man kann aber auch den Auslenkungswinkel φ angeben oder (manchmal) den seitlichen Abstand x.

Amplitude: Maximal mögliche Auslenkung, oft mit A bezeichnet.

Beim Fadenpendel spielt noch die Pendellänge l eine Rolle.

Zuerst einmal unterscheidet man Schwingungen nach der Form ihres Weg-Zeit-Gesetzes.

Schwingungen, deren Weg-Zeit-Gesetz eine Sinus-Kurve darstellen, nennt man auch harmonisch.

Dann gibt es Dreiecksschwingungen, Rechtecksschwingungen (für Taktgeber) und Sägezahnschwingungen (für Oszilloskope).

Wenn die Amplitude einer Schwingung immer gleich bleibt, dann nennt man die Schwingung ungedämpft.

Die Periodendauer kann man zwischen beliebigen Bereichen messen: startet man am Ruhepunkt, so ist bei t =T eine Periode abgelaufen. Die Schwingung wiederholt sich (rotes Kurvenstück).Aber auch die Zeit zwischen zwei benachbarten maximalen Auslenkungen ist eine Periodendauer (blaue Kurvenstücke)

Im Normalfall aber verlieren Schwingungen Energie, deshalb nimmt die Amplitude ab. Ein solcher Energieverlust heißt auch Dämpfung, die Schwingung nennt man dann gedämpft.

Die Stoßdämpfer bei einem Auto sind Vorrichtungen, die Schwingungen der Karosserie möglichst stark dämpfen, d.h. zum Erliegen bringen.

In Uhren dagegen sollte die Dämpfung möglichst klein sein, damit die Schwingungen zur Zeitmessung immer weiter gehen.

Frequenz f: Die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde nennt man Frequenz f. Sie wird in Hertz Hz gemessen: 1 Hz = 1 Schwingung pro Sekunde.

Wir hören Schwingungen von etwa 30 Hz bis 15 000 Hz, wenn wir jung sind, und 10 000 Hz, wenn wir alt sind.

Bei einer Frequenz von 20 Hz gibt es 20 Schwingungen in jeder Sekunde. Also dauert eine Schwingung 1/20 sec.

Der Kehrwert der Frequenz f ist also immer die Schwingungsdauer T = 1/f.

Schwingungsdauer T: Die Dauer einer Schwingung, nach T wiederholt sich der Schwingungsablauf.

(alle Abbildungen aus wikipedia common)