P114: Lösungen

 Aufgabe 1:

33 Umdrehungen pro Minute sind 0,55 Umdrehungen pro Sekunde und eine Umdrehungszeit P = 1,8 sec (f= 1/P)

a) Bogenmaß: Winkelgeschwindigkeit ω = 2π/P = 2π*f = 3,46/sec

     Grad: Winkelgeschwindigkeit ω  = 360°/P = 360°*f = 198°/sec

b) Bahngeschwindigkeit v =  ω * r, nun setze man die Radien in m ein:

   Innere Rille. v = 3,46/sec*0,068 m = 0,235 m/sec

   Äußere Rille: v = 3,46 sec *0,162 m = 0,56 m/sec

c) Das fassen wir als gleichförmige Kreisbewegung auf: Drehwinkel =  ω * t

t= 30 min = 1800 sec, also in Grad: 198°/sec*1800sec = 356400°

Teilt man das durch 360° so erhält man 990 Umdrehungen, das passt zu 33 Umdrehungen pro Minute...

d) Hier liegt eine gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung vor:

Wir brauchen die Winkelbeschleunigungen. Dazu müssen wir die End-Winkelgeschwindigkeiten (einmal in °/sec und einmal in 1/sec) durch die Anfahrzeit von 1,5 sec teilen:

Gradrechnung: 198°/1,5 sec = 132°/sec²

Bogenmaßrechnung: 3,46/1,5 = 2,3/sec².

Nun können wir mit dem Drehgesetz:

 Zurückgelegter Winkel = 1/2*Winkelbeschleunigung*t² 

den Drehwinkel  während des Anfahrens des Plattentellers ausrechnen: 

1/2*132°/sec²*1,5²sec² = 148,5 °, also knapp eine halbe Umdrehung.

Aufgabe 2:

Die Erde dreht sich in 86160 sec um ihre Achse.

a) Damit rechnen wir wieder die Winkelgeschwindigkeit aus:  ω = 360° bzw.2π/ 86160 sec.

Wir erhalten 0°,0042/sec  (1/4 Bogenminute pro Sekunde) bzw. 0,000073/sec für die Angabe im Bogenmaß.

b) Multiplizieren wir diesen Wert mit dem Erdradius, so erhalten wir die Drehgeschwindigkeit am Erdäquator:

v = 0,000073 * 6371 = 0,46 km/sec.

c) Der Abstand zur Rotationsachse verkürzt sich mit dem Cosinus der geographischen Breite φ (leider der gleiche Buchstabe wie für einen Drehwinkel...):

Abstand zur Drehachse = R * cos φ

Kassel ist nur 3966 km von der Drehachse entfernt.

Entsprechend erhält man bei gleicher Winkelgeschwindigkeit (!, sonst würde die Erde kaputtgehen) die entsprechende Rotationsgeschwindigkeit von Kassel: 0,29 km/sec.

d) Der Nordpol selbst dreht sich nicht, da er ja den Abstand r=0 zur Drehachse hat.

e) Im Prinzip kann man so vorgehen:

Man rechnet die Winkelgeschwindigkeit ω für den heutigen Tag mit 86160 sec aus, dann die Winkelgeschwindigkeit für einen Tag in 100 Jahren von 86159,998 sec.

Beide Winkelgeschwindigkeiten zieht man voneinander ab und teilt sie durch die Anzahl der Sekunden eines Jahrhunderts. Damit erhält man die Winkel-Brems-Beschleunigung: 5,38*10^(-22)/sec².

Verdammt wenig...und dennoch kann man das gut messen...

Hier noch eine Sendung mit der Maus  über Langspielplatten...

 

P 113: Alles schon mal da gewesen....

 20.2 Vergleich zwischen Kreisbewegung und linearer Bewegung

In beiden Bewegungsformen gibt es vergleichbare Festlegungen, was man unter einer Geschwindigkeit und einer Beschleunigung versteht.

Auch die Weg-Zeit-Gesetze WZG und Geschwindigkeit-Zeit-Gesetze GZG stimmen vollständig überein, wenn man nur die Geschwindigkeit v durch die Winkelgeschwindigkeit, die Beschleunigung a durch die Winkelbeschleunigung und den zurückgelegten Weg s durch den Drehwinkel ersetzt.

Das merkt man sich am besten durch diesen Überblick:

Notiere Dir die Formeln in einer eigenen Tabelle und erläutere sie kurz.

Wichtig ist, dass man fast immer die Kreisgrößen Winkel, Winkelbeschleunigung und Winkelgeschwindigkeit im Bogenmaß angibt. Man muss es nicht,. aber für weiterführende Rechnungen ist es hilfreich.

Im nächsten Post lernen wir, wie man die entsprechenden Größen ineinander überführt. Das kennst Du im Prinzip, deshalb versuch dich einmal an den folgenden Aufgaben:

Langspielplatten (LP)  kennst Du sicher nicht mehr, sie sind der Vorgänger einer CD. Auch wenn sie heute wenig eingesetzt werden, zum Rechnen eignen sie sich allemal (Bild: WDR):

Aufgabe 1:

Eine LP dreht sich mit 33 Umdrehungen pro Minute auf dem Plattenteller. In den Rillen, die sich spiralförmig nach Außen fortsetzen, ist die Musik gespeichert.

Die innere Rille als Kreis gedacht hat einen Radius von 6,8 cm, die äußere von 16,2 cm.

Berechne:

a) Bestimme die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich die Platte dreht. Gib sie im Bogenmaß/sec an, aber auch im anschaulicheren Maß Grad/sec.

b) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Punkt auf der inneren und auf der äußeren Rille auf seiner Kreisbahn?

c) Um wieviel Grad hat sich die LP nach 30 Minuten Spielzeit gedreht?

c) Nach dem Einschalten fährt ein Motor die LP sehr schnell auf die erforderliche Drehgeschwindigkeit hoch. Wir nehmen an, das passiert in 1,5 Sekunden.

- Wie hoch ist die (als konstant anzunehmende) Winkelbeschleunigung? Wieder mit Bogenmaß und Grad!

- Um wieviel Grad hat sich die LP während des Hochfahrens auf die Endgeschwindigkeit gedreht?

Aufgabe 2:

Auch die Erde dreht sich...in 23h56m einmal um ihre Achse. Berechne dazu:

a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde? Angabe mit Bogenmaß und Grad

b) Welche Geschwindigkeit hat ein Punkt auf dem Erdäquator (Erdradius 6371 km)?

c) Welche Geschwindigkeit hat Kassel mit einer geographischen Breite von 51°,5?

d) Mit welcher Geschwindigkeit dreht sich der Nordpol?

e) Durch die Gezeitenreibung nimmt die Rotationsdauer pro Jahrhundert um 0,002 sec ab. Berechne die Bremsbeschleunigung!