P 14: Lösungshinweise

 Aufgabe 1:

Die Skizze ist nicht maßstäblich!

 Da die Windgeschwindigkeit nach SO geht, also unter 45° gegen O oder S, kann man leicht die Südkomponente und die Ostkomponente ausrechnen: 50 km/h * cos bzw.sin 45° = 50 km/h * 0,7 = 35 km/h

Damit beträgt die Nordkomponente der Flugzeuggeschwindigkeit 150 - 35 = 115 km/h, die neue Ostkomponente ist 35 km/h.

Über den Satz des Pythagoras erhält man das Quadrat der Geschwindigkeit v² = 115² + 35².

Die Wurzel ergibt 120,2 km/h.

Das kann man auch konstruieren:

Windgeschwindigkeit in S- und O-Komponente zerlegen, S-Komponente von der N-Geschwindigkeit des Flugzeuges abziehen und Resultierende mit O-Komponente des Windes bilden (gelbe Hilfslinien in Skizze). 

Um die Abweichung vom Nordkurs durch den Wind auszurechnen, muss man entweder maßstäblich genau zeichnen und den Winkel ausmessen, oder mit dem cos-Satz arbeiten: Man erhält 17°.

50² = 150² + 120² - 2* 150*120*cos α

(PS: Ich neige zu Rechenfehlern...wenn jemand etwas anderes heraus hat, muss es deshalb nicht gleich falsch sein....bitte im Forum zur Diskussion stellen...).

Aufgabe 2:

Die Skizze macht deutlich, dass man erst einmal die Entfernung von Lichtjahren in km umrechnen muss.

 

Aus dem EB-Winkel pro Jahr erhält man die TG in km/Jahr mit Hilfe der Tangensfunktion (TG als Gegenkathete ist gesucht):

Man kommt mit tan(0,00063°) auf 3470 Millionen km/Jahr  (das ist mehr als 20 Mal die Entfernung Erde-Sonne).

Da 1 Jahr ungefähr 31,6 Millionen Sekunden sind, erhält man dafür 109,8 km/sec.

Nun kann man über die RG von 5 km/sec mit Hilfe des Satzes vom P. die Raumgeschwindigkeit ausrechnen. Man erhält 109,9 km/sec.

Arkturus fliegt zwar etwas in unsere Richtung, aber er wird voll an uns vorbeirasen...

 Die Aufgabe habe ich gestellt, weil der astronomische Hintergrund nicht gerade uninteressant ist. Aber vor allem, damit man mal übt mit "unhandlichen" Zahlen zu arbeiten...

Aufgabe 3:

Ich hab keine Ahnung von Sport, merke aber gerade, dass mein Schwimmer wohl recht flott ist...wenn euch das stört...ersetzt Schwimmer durch Boot...

Skizze:

Resultierende Geschwindigkeit erhält man durch Wurzel ziehen aus v² = 2² + 3². Es ergibt sich 3,6 m/sec

Da der Fluss 30 m breit ist, benötigt der Schwimmer 15 sec für die Durchquerung.

In dieser Zeit nimmt ihn der Fluss 45 m weit mit.

Er wird also 45 m weiter flußabwärts vom Startpunkt das andere Ufer erreichen.

Vielleicht sind einige jetzt verwundert...beeinflusst denn die Strömung überhaupt nicht die Überquerungszeit?

Da steckt ein wichtiges Prinzip dahinter, das wir im nächsten Post kennenlernen sollten.

 

Hinweis: 

Ich habe mich bemüht, keine abzuschreibende Lösungen anzugeben, sondern Hinweise. Bitte schreibt euch einen eigenen Lösungsweg in euer Heft.

Im Unterricht beantworte ich nur Fragen, bespreche Lösungswege, schreibe aber nur ganz wenig an die Tafel. So sind alle gezwungen, ihre Lösungen zu überarbeiten.

Dafür können dann noch einmal später Fragen gestellt werden.

Nicht das Abschreiben einer Lösung hilft, sondern das selbst darstellen, auch wenn die Lösungsidee nicht von einem selbst kommt. Aber man kann sie sich zu eigen machen!

P 13: Eine kosmische Kollision:Die Andromedagalaxie knallt in unsere Milchstraße rein

Wie bestimmt man die Komponenten eines Vektors:

Man projiziert den Vektor auf die Koordinatenachsen. In den üblichen rechtwinkligen Koordinatensystemen der Schule (kartesische Koordinaten) erhält man dann rechtwinklige Dreiecke mit dem Vektor als Hypotenuse und der x-Komponente als Ankathete des eingezeichneten Winkels. Die y-Komponente ist die Gegenkathete.

Damit ist klar, dass der Sinus und der Cosinus die Verhältnisse der Komponenten zur Länge des Vektors beschreiben:

Das habe ich in die letzte Abbildung eingetragen. Solltet ihr auch in euren Zeichnungen ergänzen.

Hier haben wir gesehen, wie man einen Geschwindigkeitsvektor in seine Komponenten zerlegt, wenn man den Winkel kennt.

Umgekehrt kann man leicht über den Satz des Pythagoras auch aus den Komponeten die Geschwindigkeit ausrechnen:

v² = a² + b²

Auch das kommt häufig vor (z.B. beim shchefen Wurf).

Extrafutter:

Ich kann es mir nicht verkneifen...(das hat hier nichts mit Schulstoff zu tun!).

In rechtwinkligen Koordinatensystem ist die Projektion eines Vektors auf die Achsen eindeutig. Wie sieht es aus, wenn die Achsen nicht senkrecht zueinander stehen?

Das ist in der Relativitätstheorie der Fall. Dann erhält man zwei Möglichkeiten, die zweite ist die sog. kovariante Darstellung des Vektors.

Probiert es mal aus...

1.7.3 Komponenten von Geschwindigkeitsvektoren

Wir werden die Bedeutung gleich an einigen Aufgabenbeispielen kennenlernen.

Die x-Komponten der Geschwindigkeit vx  (x soll ein Index sein, also etwas tiefer stehen), gibt an, wie schnell der Gegenstand, nur gemessen längs dieser Richtung, ist.

Das gilt entsprechend auch für die y-Komponente.

Ein einfaches Beispiel:

Ein Flugzeug fliegt mit 800 km/h (relativ zum Boden) Richtung NO. 

a) Wie groß ist seine Geschwindigkeit Richtung Norden?

b) Wie weit Richtung Osten ist das Flugzeug nach 2 Stunden gekommen?

Hier schauen wir uns mal gemeinsam die Lösung an:

a) NO bedeutet 45° von der Ostrichtung aus nach Norden. Wir wählen die Ostrichtung als x- Achse und die Nordrichtung als y-Achse. Mach eine Skizze!

Dann ist unser Winkel, der die Flugrichtung beschreibt,  45°.

Für die Nordrichtung benötigen wir den Sinus dieses Winkels (~ 0,71).

Also gilt für die Geschwindigkeitskomponente nach Norden: 800 km/h * 0,71 = 565,7 km/h

b) Um die Flugstrecke nach Osten auszurechnen, benötigen wir die Geschwindigkeitskomponente nach Osten. Dazu müssen wir den Cosinus nehmen. Bei 45°  erhalten wir für cos und sin den gleichen Wert.

Also ist das Flugzeug nach 2 Stunden 1131,4 km weiter im Osten, obwohl es 1600 km weit geflogen ist..

Rechne mal nach, schreib die Formeln hin und zeichne eine Skizze.

1.7.4 Aufgaben und Beispiele

Aufgabe 1) 

Ein kleines Flugzeug fliegt mit 150 km/h nach Norden. Dann kommt ein Sturm auf, der genau nach Südosten bläst, und zwar mit 50 km/h.

a) Zeichne die Geschwindigkeitsvektoren in ein geeignetes Koordinatensystem (maßstäblich korrekt) und konstruiere, wie beim Kräfteparallelogramm, die resultierende Geschwindigkeit, ihre Stärke und ihre Richtung.

b) Berechne die resultierende Geschwindigkeit aus den Angaben.

c) Vergleiche Rechnung und Zeichnung (es sollten 120 km/h herauskommen)

d) Unter welchem Winkel kommt das Flugzeug vom vorherigen Nordkurs ab?

e) Wie stark reduziert sich die Geschwindigkeitskomponente Richtung Norden?

Denkt dran, ihr könnt eure Lösungen im Forum vergleichen und diskutieren.

Ein Tipp: 

Kennt man alle x- Komponenten, so kann man diese einfach zur resultierenden x-Komponente aufaddieren. So erhält man auch die resultierende y-Komponente.

 

Aufgabe 2) 

Bei Sternen am Himmel unterscheidet man zwischen Eigenbewegung EB, Tangentialgeschwindigkeit TG  und Radialgeschwindigkeit  RG. Durch die EB verschiebt sich der Stern in Jahrzehnten am Himmel. Das gibt man als Winkel pro Jahr an. Kennt man die Entfernung des Sternes, kann man daraus  die Geschwindigkeit der EB, also die TG,  ausrechnen.

Das Bild zeigt den Anblick des Sternbidles Großer Wagen vor 50 000 Jahren, heute sowie in 50 000 bzw.100 000 Jahren (dlf). Die Verschiebungen der Sterne kommen durch unterschiedliche EB.

 

 

 

 

 

Die Radialbewegung zeigt in Richtung unserer Blicke, also auf uns zu oder von uns fort. Sie kann man durch eine Änderung der Wellenlänge des Lichtes (Dopplereffekt) recht einfach herausfinden.

Die Abbildung  (wikipedia) erklärt das gut.

 

 Hier ist allerdings eine Galaxie als Objekt genommen. Die EB von Galaxien sind extrem klein, erst das HubbleSpaceTeleskop war in der Lage vor wenigen Jahren die EB der Andromedagalaxie zu messen. Jetzt wissen wir, dass in 5 Milliarden Jahren unsere Galaxis und die Andromedagalaxie sich wirklich durchdringen werden!

Aber keine Angst...vorher wird die Sonne zum Roten Riesen und verglüht unsere Erde... 

Vielleicht können eure Ururururururur...enkel vom Mars aus zusehen...

Galaxien-Crash Computersimulation, dlf

Nun die Aufgabe:

Der Stern Arkturus zeigt eine EB von 2,28"/Jahr (Bogensekunden pro Jahr, 60" = 1`(Bogenminute, 60`= 1°), das sind also 0,00063°/Jahr.

a) Arkturus ist 36,66 Lichtjahre entfernt (1 Lichtjahr = 9,463 Billionen km). Berechne seine EB-Geschwindigkeit in km/sec, also sein TG.

b) Die RG von Arkturus beträgt - 5 km/sec, d.h. er kommt auf uns zu. Berechne seine Raumgeschwindigkeit.

c) Kann er die Sonne treffen?

Aufgabe 3)

Ein Schwimmer schafft eine Geschwindigkeit von 2 m/sec. Der Fluß, den er überqueren will, strömt mit 3 m/sec nach rechts. Er ist 30 m breit und fließt geradeaus.

Mit welcher Geschwindigkeit schwimmt er? Wo am gegenüberliegenden Ufer kommt er an?

Mache eine Skizze der Situation.

Hinweis Ferienworkshop 2021

 

P12: Geschwindigkeiten haben Richtungen!

 1.7 Vektoren

1.7.1 Etwas Mathematik

Ich stelle euch den Vektorbegriff erst einmal an einem bekannten Beispiel vor. Wegen der besonderen Schreibweise, die der Blog-Editor nicht kann, muss ich das in Word schreiben und als Bilderfolge hier kopieren...

Überlege Dir weitere Größen, die Vektoren sind und weitere Größen, die Skalare sind.

 

Mehr zu Vektoren, aber nur für Spezialisten, Nerds oder Neugierige 

 

 Schauen wir uns das nochmal an, was wir jetzt verstehen müssen:

Da wir die Koordinatenachsen mit x und y bezeichnen, nehme ich jetzt a und b als Koordinaten:

a ist die x-Koordinatenangabe und b die y-Koordinatenangabe von Punkt oder Vektor.

Bitte die Skizze selbst ins Heft zeichnen und erläutern!

Kräfte und Geschwindigkeiten haben eine Richtung, deshalb sind sie Vektoren.

Bezeichnen wir einen Vektor mit mit v, so bezeichnen wir die Länge des Vektorpfeiles nur mit dem Buchstaben v. Wir sprechen manchmal statt von der Pfeillänge auch vom Betrag des Vektors.

Bei den Kräften war das einfach die Stärke der Kraft, unabhängig von der Richtung.

1.7.2 Vektorkomponenten

Ihr habt früher bestimmt Komponenten der Kraft konstruiert, vielleicht sogar berechnet.

Im Bild ganz oben im Post seht ihr das am Kräfteparallelogramm.

Das geht natürlich mit jedem Vektor:

a ist die x-Komponente unseres Vektors v und b die y-Komponente des Vektors v.

Wie kann man die Komponenten eines Vektors berechnen?

Schaut euch mal das folgende Bild an und sucht eine Antwort!

Auch hier: Selbst abzeichnen und erläutern.

Erklärt einmal, wie man wann aus einem Vektor dessen Komponenten bestimmen kann.

Da tauchen so Begriffe auf wie rechtwinkliges Dreieck, Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse....

 😭

 Und dann: Welche Bedeutung haben die Komponenten des Geschwinidigkeitsvektors?

Könnt ihr euch ein praktisches Beispiel und eine sinnvolle Rechenaufgabe dazu überlegen?

Wir reden im nächsten Post darüber... 

P11: Wenn s proportional zu t ist

 1.6 Die gleichförmige Bewegung

1.6.1: Das Weg-Zeit-Gesetz

Nach allen Vorbereitungen ist der Schritt zur gleichförmigen Bewegung nun sehr klein...

Gleichförmig heißt: Mit gleichbleibender Geschwindigkeit

Symbolhaft schreibt man oft: v(t) = v = const. und meint damit, dass sich die Momentangeschwindigkeit im Laufe der Zeit nicht ändert.

Die Geschwindigkeit gibt an, um wieviel Meter man pro Sekunde weiter kommt...und wenn sie konstant ist, dann muss s gleichmäßig mit t anwachsen.

Achtung: Ich habe gleichmäßig anwachsen gesagt, nicht proportional!

Ist euch der Unterschied aus der Mittelstufenmathematik bekannt?

In P1 habe ich dazu ja schon eine Anregung zu eigenen Untersuchungen gegeben:

 Untersuche Bewegungen mit (möglichst) konstanter Momentangeschwindigkeit. Wie hängt der zurückgelegte Weg s von der benötigten Zeit t ab? Die Antwort kannst Du Dir sicher überlegen, noch schöner wäre es, wenn Du eine Messreihe machst, mit der Du Deine Überlegung überprüfen kannst.

 Das ist gar nicht so leicht durchzuführen...man müsste ja eigentlich schon eine konstante Geschwindighkeit haben, um die Messungen von s und t auszuführen...

Einige Jugendliche haben mich da mal komplett überrascht...

Sie haben die Spitze des Sekundenzeigers einer analogen Wanduhr verfolgt. Den Kreisbogen, auf dem die Spitze des Zeigers sich bewegt, haben sie bestimmt  (kann man entweder aus der Zeigerlänge berechnen oder mit einem Seilstück messen), und wo der Zeiger alle 5 Sekunden sein muss , war irgendwie sofort klar...

Künstliche Versuchsumgebung (aber hilfreich!):

In Leifiphysik gibt es auch eine Experimentiermöglichkeit:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/gleichfoermige-bewegung/grundwissen/charakterisierung-der-gleichfoermigen-bewegung

Hier der direkte Link:

v = const

Startet man zum Zeitpunkt t = 0 sec am Ort s = 0 m, so erhält man als WZD eine Ursprungsgerade mit der Gleichung s(t)  = v * t,  v = const.

Dies ist das Weg-Zeit-Gesetz WZG der gleichförmigen Bewegung.

Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz GZG ist einfach v(t) = const. 

1.6.2 Erste Begegnung mit der Quantenwelt:

Um die Bewegung eines Körpers in unserer Umgebung genau zu bestimmen, müssen wir seinen Ort s(t) und seine Geschwindigkeit v(t) kennen.

Wir benötigen also das WZG und das GZG!

Damit werden wir bald richtige Flugbahnen berechnen.

Und solche Flugbahnen von Gegenständen gibt es wirklich, denn sonst hätten unsere Vorfahren kaum Nahrungsquellen mit Pfeil und Bogen erledigen können...

In Q3 werdet ihr dagegen lernen, dass im Mikrokosmos genau das nicht geht. Da gibt es keine Flugbahnen von Objekten, denn man kann nicht gleichzeitig einen Ort und eine Geschwindigkeit angeben.

Entweder hat ein Elektron einen Ort, dann existiert keine Information über die Bewegung...oder wir kennen alle Bewegungsinformationen, dann besitzt das Elektron keinen Ort.

Besonders irre: Es ist nicht so, dass wir nur den Ort nicht kennen...der existiert wirklich nicht nicht als Eigenschaft unserer Welt.

Das wurde von Werner Heisenberg 1936 auf Helgoland entdeckt. Wir nennen es die Unbestimmtheitsbeziehung.

Physik in Q3 wird richtig spannend. Man lernt da etwas über die Realität der Welt.

Auch dazu gibt es einen Unterrichtsblog:

 https://physikkursq3lichtundquanten.blogspot.com/

Quantenmechanik (Q3)

 Um es noch mal klar zu sagen:

In de rklassischen (newtonschen) Mechanik sind WZG und GZD die bestimmenden Regeln. In der Quntenmechanik  können sie nicht eingesetzt werden.

Da sollte erst einmal als Hinweis auf die verrückte Quantenwelt reichen.

1.6.3 Achtung! Aufgepasst!

Der Graph einer gleichförmigen Bewegung im WZD ist eine Gerade.

Aber: Nicht jede Gerade gehört zu einer Proporionalität...nur Geraden, die durch den Urspung gehen.

Ganz konkret:

Fall 1: s(t) = 5 m/sec * t:

Dieser Graph geht durch den Ursprung, s und t sind zueinander proportional.

Das bedeutet: Verdoppelt oder verdreifacht sich die Zeit, so tut das auch der zurückgelegte Weg.

                        Der Quotient aus Weg und Zeit ist immer gleich!

                         Wie nennen wir den Quotienten s/t nochmal??? 

                         Könnt ihr das mit dem Quotientenkriterium für proportionale Zuordnungen verbinden,  das ihr in der Klasse 7 in Mathe kennengelernt habt?

 

Fall 2: s(t) = 5 m/sec * t + 500 m

Diese Gleichung gehört nicht zu einer  Proporionalität. Für t = 1 sec erhält man s= 505 m, für t = 2 sec dagegen 510 m.

510 m sind bekannterweise nicht doppelt so lang wie 505 m....

 Da muss man gut aufpassen...

Im  zweiten Fall kann man nur sagen: Es liegt ein linearer Zusammenhang zwischen s und t vor, aber keine Proportionalität.

Wir neigen dazu, alle linearen Zusammenhänge mit proporional zu bezeichnen. Das geht aber nur für diejenigen, die mit (0,0) anfangen...

Ihr müsst also genau aufpassen, wenn ihr einen linearen Zusammenhang als proportional bezeichnet.

Jeder proportionale Zusammenhang ist linear, aber nicht jeder lineare Zusammenhang ist proportional (nur diejenigen, für die.....)

 Das hat schon manchen Abiturienten Punkte im Abi gekostet.

 

Ich werde bald eine Zusatzseite zu Proportionalitäten und Antiproportionalitäten schreiben. 

Da könnt ihr das nochmal zusammenhängend durcharbeiten.

Im nächsten Post müssen wir auf die Richtung von Bewegungen eingehen. Da bekommen wir dann einen kurzen ersten Kontakt zur Allgemeinen Relativitätstheorie von Einstein.