Freitag, 8. April 2022

P114: Lösungen

 Aufgabe 1:

33 Umdrehungen pro Minute sind 0,55 Umdrehungen pro Sekunde und eine Umdrehungszeit P = 1,8 sec (f= 1/P)

a) Bogenmaß: Winkelgeschwindigkeit ω = 2π/P = 2π*f = 3,46/sec

     Grad: Winkelgeschwindigkeit ω  = 360°/P = 360°*f = 198°/sec

b) Bahngeschwindigkeit v =  ω * r, nun setze man die Radien in m ein:

   Innere Rille. v = 3,46/sec*0,068 m = 0,235 m/sec

   Äußere Rille: v = 3,46 sec *0,162 m = 0,56 m/sec

c) Das fassen wir als gleichförmige Kreisbewegung auf: Drehwinkel =  ω * t

t= 30 min = 1800 sec, also in Grad: 198°/sec*1800sec = 356400°

Teilt man das durch 360° so erhält man 990 Umdrehungen, das passt zu 33 Umdrehungen pro Minute...

d) Hier liegt eine gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung vor:

Wir brauchen die Winkelbeschleunigungen. Dazu müssen wir die End-Winkelgeschwindigkeiten (einmal in °/sec und einmal in 1/sec) durch die Anfahrzeit von 1,5 sec teilen:

Gradrechnung: 198°/1,5 sec = 132°/sec²

Bogenmaßrechnung: 3,46/1,5 = 2,3/sec².

Nun können wir mit dem Drehgesetz:

 Zurückgelegter Winkel = 1/2*Winkelbeschleunigung*t² 

den Drehwinkel  während des Anfahrens des Plattentellers ausrechnen: 

1/2*132°/sec²*1,5²sec² = 148,5 °, also knapp eine halbe Umdrehung.

Aufgabe 2:

Die Erde dreht sich in 86160 sec um ihre Achse.

a) Damit rechnen wir wieder die Winkelgeschwindigkeit aus:  ω = 360° bzw.2π/ 86160 sec.

Wir erhalten 0°,0042/sec  (1/4 Bogenminute pro Sekunde) bzw. 0,000073/sec für die Angabe im Bogenmaß.

b) Multiplizieren wir diesen Wert mit dem Erdradius, so erhalten wir die Drehgeschwindigkeit am Erdäquator:

v = 0,000073 * 6371 = 0,46 km/sec.

c) Der Abstand zur Rotationsachse verkürzt sich mit dem Cosinus der geographischen Breite φ (leider der gleiche Buchstabe wie für einen Drehwinkel...):

Abstand zur Drehachse = R * cos φ

Kassel ist nur 3966 km von der Drehachse entfernt.

Entsprechend erhält man bei gleicher Winkelgeschwindigkeit (!, sonst würde die Erde kaputtgehen) die entsprechende Rotationsgeschwindigkeit von Kassel: 0,29 km/sec.



d) Der Nordpol selbst dreht sich nicht, da er ja den Abstand r=0 zur Drehachse hat.

e) Im Prinzip kann man so vorgehen:

Man rechnet die Winkelgeschwindigkeit ω für den heutigen Tag mit 86160 sec aus, dann die Winkelgeschwindigkeit für einen Tag in 100 Jahren von 86159,998 sec.

Beide Winkelgeschwindigkeiten zieht man voneinander ab und teilt sie durch die Anzahl der Sekunden eines Jahrhunderts. Damit erhält man die Winkel-Brems-Beschleunigung: 5,38*10^(-22)/sec².

Verdammt wenig...und dennoch kann man das gut messen...

Hier noch eine Sendung mit der Maus  über Langspielplatten...

 



Mittwoch, 6. April 2022

Hinweis

 Die Lösungen versuche ich noch vor Beginn der Osterferien 2022 zu posten. In den Ferien werde ich etwas vorarbeiten und die Kreisbewegungen fortführen.

Für 2022: Ich wünsche euch erholsame Osterferien und möge Corona zurückweichen und dieser widerliche Angriffskrieg schnell aufhören....

P 113: Alles schon mal da gewesen....

 20.2 Vergleich zwischen Kreisbewegung und linearer Bewegung

In beiden Bewegungsformen gibt es vergleichbare Festlegungen, was man unter einer Geschwindigkeit und einer Beschleunigung versteht.

Auch die Weg-Zeit-Gesetze WZG und Geschwindigkeit-Zeit-Gesetze GZG stimmen vollständig überein, wenn man nur die Geschwindigkeit v durch die Winkelgeschwindigkeit, die Beschleunigung a durch die Winkelbeschleunigung und den zurückgelegten Weg s durch den Drehwinkel ersetzt.

Das merkt man sich am besten durch diesen Überblick:


Notiere Dir die Formeln in einer eigenen Tabelle und erläutere sie kurz.

Wichtig ist, dass man fast immer die Kreisgrößen Winkel, Winkelbeschleunigung und Winkelgeschwindigkeit im Bogenmaß angibt. Man muss es nicht,. aber für weiterführende Rechnungen ist es hilfreich.

Im nächsten Post lernen wir, wie man die entsprechenden Größen ineinander überführt. Das kennst Du im Prinzip, deshalb versuch dich einmal an den folgenden Aufgaben:

Langspielplatten (LP)  kennst Du sicher nicht mehr, sie sind der Vorgänger einer CD. Auch wenn sie heute wenig eingesetzt werden, zum Rechnen eignen sie sich allemal (Bild: WDR):

Aufgabe 1:

Eine LP dreht sich mit 33 Umdrehungen pro Minute auf dem Plattenteller. In den Rillen, die sich spiralförmig nach Außen fortsetzen, ist die Musik gespeichert.

Die innere Rille als Kreis gedacht hat einen Radius von 6,8 cm, die äußere von 16,2 cm.

Berechne:

a) Bestimme die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich die Platte dreht. Gib sie im Bogenmaß/sec an, aber auch im anschaulicheren Maß Grad/sec.

b) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Punkt auf der inneren und auf der äußeren Rille auf seiner Kreisbahn?

c) Um wieviel Grad hat sich die LP nach 30 Minuten Spielzeit gedreht?

c) Nach dem Einschalten fährt ein Motor die LP sehr schnell auf die erforderliche Drehgeschwindigkeit hoch. Wir nehmen an, das passiert in 1,5 Sekunden.

- Wie hoch ist die (als konstant anzunehmende) Winkelbeschleunigung? Wieder mit Bogenmaß und Grad!

- Um wieviel Grad hat sich die LP während des Hochfahrens auf die Endgeschwindigkeit gedreht?

Aufgabe 2:

Auch die Erde dreht sich...in 23h56m einmal um ihre Achse. Berechne dazu:

a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde? Angabe mit Bogenmaß und Grad

b) Welche Geschwindigkeit hat ein Punkt auf dem Erdäquator (Erdradius 6371 km)?

c) Welche Geschwindigkeit hat Kassel mit einer geographischen Breite von 51°,5?

d) Mit welcher Geschwindigkeit dreht sich der Nordpol?

e) Durch die Gezeitenreibung nimmt die Rotationsdauer pro Jahrhundert um 0,002 sec ab. Berechne die Bremsbeschleunigung!



Dienstag, 5. April 2022

P 112: Es dreht sich weiter...alles um die Lösungen

 Ich erläutere jetzt einmal die Lösungen:

Aufgabe 1:

P = 2 sec, d.h. eine Drehung dauert 2 Sekunden, d.h. in einer Sekunde liegt eine halbe Drehung vor: 

f = 1/2 Hz

Aufgabe 2: 

Damit ist klar: Je länger die Umdrehung dauert, desto kleiner ist die Frequenz.

P gibt die Dauer einer Umdrehu7ng an und f, wieviel Umdrehungen in eine Sekunde passen:

P = 3 sec   >>> f =1/3 sec

P = 0, 5 sec >>> f = 2 Hz

Also ist die Frequenz der Kehrwert der Drehungsdauer: 

f = 1/P

Aufgabe 3:

Geschwindigkeit v = Weg/Zeit, der Weg ist hier der Umfang U der Kreisbahn an den jeweiligen Stellen.

Ihr kennt die Formel U = 2*π*r aus der Mittelstufe.

M: r = 0, U = 0, v= 0

C: r = R = 0,1m >>> v = U/P = 0, 314259...m/sec

B: r = 1/2R >>> v = 0,1571 m/sec

A: r = 1/4R >>> v = 0,0785 m/sec

Aufgabe 4:

360° in 2 sec, also sind es 180° pro Sekunde.

Das ist die Winkelgeschwindigkeit ω , die ist für alle Punkte auf der Scheibe  gleich, außer für M, da ist sie 0.

Aufgabe 5:

ω gibt man im Bogenmaß pro Sekunde, also einfach in pro Sekunde, also Hz,  an: 

ω = 2π/P = 2π*f

Die 2π stehen für 360°.

Bei uns ist  ω = π Hz = 3,14 Hz.

Nun gilt (beachte: P = 1/f, d.h. 1/P = f):

 v = 2πr/P = 2πf * r = ω * r 

Also: Von der Winkelgeschwindigkeit ω zur Bahngeschwindigkeit kommt man über den Radius. Da ω  für die ganze Kreisscheibe ja gleich ist, muss die Bahngeschwindigkeit proportional zum Abstand r vom Mittelpunkt sein.

Damit haben wir die wichtigsten Formeln für die Kreisbewegung schon kennengelernt.

Im nächsten Post werden wir das systematisieren.

Vorher noch kurz die Rechenübungen:

Bogenmaß zu den angegebenen Winkeln: 0,79   0,52   0,17   6,98

Winkel zu angegebenem Bogenmaß: 57°   287°    2578°   5730°  (330°).


Montag, 4. April 2022

P 111: Alles dreht sich...

 20. Kreisbewegungen

20.1 Die drehende Kreisscheibe

Zuerst fahren wir einmal gemeinsam Karussell.

Auf unserer sich um M drehenden Kreisscheibe haben wir vier Punkte: M in der Mitte (r=0), dann A bei einem Viertel des Radius R (r=1/4*R), B bei der Hälfte (r = 1/2*R)  und C ganz außen beim Abstand r = R vom Mittelpunkt.

Die ganze Kreisscheibe dreht sich mit der Periodendauer P = 2 sec, d.h. alle 2 Sekunden ist jeder Punkt einmal herum. Das nennt man eine starre Rotation.



Im Vergleich dazu: Planeten um die Sonne rotieren so, dass jeder für sich eine eigene Umlaufszeit hat. Für die Erde ist das 1 Jahr, für den Jupiter z.B. sind das 12 Jahre.

Bei den Kreisbewegungen ist es üblich, auch die Frequenz f anzugeben.

f gibt die Anzahl der Drehungen pro Sekunde an! Die Einheit der Frequenz ist also [f] = 1/sec = Hertz Hz.

Ihr kennt die Angabe Hz vom Wechselstrom. Was das mit Drehungen zu tun hat, werdet ihr noch lernen.

Wir nehmen an, dass unsere Scheibe den Radius R = 0,1 m hat. Die Periodendauer P = 2 sec  hatte ich ja schon erwähnt.

Beantwortet für unsere Scheibe einmal die folgenden Fragen:

1) Mit welcher Frequenz f dreht sich die Scheibe?

2) Könnt ihr einen Zusammenhang zwischen Periodendauer P der Drehung und der Frequenz f herstellen?

- Je mehr desto?

- Sogar eine Formel angeben?

3) Welche Bahngeschwindigkeit v besitzen die Punkte M, A, B und C?

4) Um wieviel Grad pro Sekunde dreht sich der Punkt M, der Punkt A, B oder C?

 Die Gradzahl der Drehung pro Sekunde nennt man auch die Winkelgeschwindigkeit ω.

5) Fällt Dir ein Zusammenhang auf zwischen der Winkelgeschwindigkeit ω und der Bahngeschwindigkeit v? Kannst Du ihn auch begründen?

Hinweis: Bei Drehbewegungen ist es üblich, Winkel nicht in Grad anzugeben, sondern im Bogenmaß b.

Du kennst das (hoffentlich) aus der Mathematik: 360° entsprechen 2π, 180° entspricht π.

Ihr habt vielleicht auch eine Formel für das Bogenmaß b kennengelernt (sie gilt für den Einheitskreis):

 b/(2π) = φ/360°.

Diese Verhältnisgleichung spricht man so:

Der Bogen b verhält sich zum gesamten Umfang 2π * 1 (des Einheitskreises) wie der Mittelpunktswinkel φ zu 360°: Der Teil zum Ganzen wie der andere Teil zum anderen Ganzen....



Wenn Du die Winkelgeschwindigkeit mit Bogenmaß statt Winkel angibst, erkennst Du vielleicht die Antwort zu 5) leichter.

6) a) Welches Bogenmaß gehört zu 45°, 30°, 10°, 400°?

    b) Welcher Winkel gehört zum Bogenmaß 1, zu 5, zu 45 zu 1000?


Lösungen im nächsten Post.