P 154 Die Ursache aller Strukturen

 28. Wie kann man ein Pendel zum Schwingen bringen?

Die Antwort ist klar: Man muss dem Pendel Schwung geben. Die Zufuhr von Impuls kann aber auf zwei völlig verschiedene Arten gehen: einmalig und ständig

28.1 Einmalige Zufuhr von Schwung

Bastle Dir aus Schürsenkel und Schlüssel ein einfaches Fadenpendel und hänge es am besten auf.

Auf zwei Arten kannst Du dem Pendel Schwung geben:

- Auslenken und loslassen.

- Anschubsen

Beim ersten Fall kommt der Schwung aus der Gravitation der Erde. Im zweiten Fall kommt der Schwung aus Deinen Muskeln.

Wie stark auch immer der Schwung ist, das Pendel schwingt immer in einer ihm eigenen Frequenz.

Diese Frequenz nennt man Eigenfrequenz und die zugehörige Schwingung Eigenschwingung (in technischer Literatur, insbesondere im Englischen spricht man von Mode, der Schwingungsmode.

Versuche:

Ändere die Pendellänge und ändere jeweils durch An- oder Abhängen von Gegenstanden die Masse m des Pendelkörpers.

Gibt dem Pendelkörper Schwung, wie auch immer. Was beobachtest Du?

Die Masse beeinflusst die Eigenfrequenz nicht (das haben wir schon besprochen: Alle Körper fallen gleich schnell). Aber die Eigenfrequenz hängt von der Pendellänge ab: Je länger das Pendel ist, desto niedriger ist die Eigenfrequenz.

Lange Pendel schwingen langsam.

Es gilt die Formel, die wir später auch herleiten:

Aufgabe: 

Welche Länge muss ein Pendel für die Periodendauer 1 sec auf der Erde und auf dem Mond haben?

Lösungshinweise: Du musst die Formel nach l auflösen, d.h. erst einmal quadrieren:

   P² = 4* π² *l/g, dann nach l auflösen: l = g*P²/(4* π²).

Auf der Erde ist g = 10 m/sec² und auf dem Mond 1/6 so groß.

Damit erhältst Du:

Pendellänge  auf der Erde etwa 25,2 cm

Pendellänge  auf dem Mond etwa 4,2 cm

Von einem Sekundenpendel spricht man blöderweise übrigens, wenn die halbe Schwingung 1 sec dauert.

Wie lang ist also ein Sekundenpendel?

1 m auf der Erde, etwa 17 cm auf dem Mond.

Flächen oder Körper besitzen mehrere Eigenschwingungen, mehrere Moden. Welche man anregt, hängt von der Art der Impulszufuhr ab.

Das wollen wir hier nicht vertiefen.

Wir werden aber bald eine andere Möglichkeit kennenlernen, Eigenschwingungen anzuregen.

Hier Bilder der möglichen Eigenschwingungen einer Metallplatte. Überall da, wo sie nicht (!) schwingt, bleibt drauf gestreuter Sand liegen.

Bild: Physik Uni Oldenburg

Auch das heiße Urknallgas ist 380 000 Jahre nach dem Urknall zu verschiedenen Eigenschwingungen gekommen. Deren Überlagerungen haben ein Netzwerk erzeugt, aus dem sich später die Galaxien gebildet haben.

Diese Aufnahme des Urknallgases mit Mikrowellen zeigt das Muster, was aus der Überlagerung aller Eigenschwingungen entsteht. Aus den blauen Flecken haben sich die Galaxien gebildet.

Dass hier verschiedene Eigenschwingungen vorliegen, erkennt man, wenn man eine Fouriertransformation (siehe Post 153) macht, also ausrechnet, welche Frequenzen mit welchen Amplituden schwingen:

Ist es nicht fantastisch:

Die Strukturen unserer Welt sind aus den Eigenschwingungen des Urknallgases entstanden.

Vertiefen und Üben:

(i) Formuliere „je mehr-desto mehr/weniger“ – Beziehungen zwischen Periodendauer und Pendellänge (vergleiche mit den Ergebnissen des durchgeführten Versuches) bzw. Periodendauer und Stärke des Gravitationsfeldes (fahr zum Mond)

(ii) Erkläre anschaulich mit Hilfe der früheren Posts:

- Die Periodendauer ist unabhängig von der Masse des Pendelkörpers.

- Die Periodendauer nimmt zu, wenn das Pendel länger ist.

- Die Periodendauer nimmt zu, wenn die Schwerkraft kleiner wird.

Tipp: Beschäftige Dich mit der Rückstellkraft

P 151: Manchmal hilft die Mathematik doch...

 27.2 Sinus und Cosinus am Einheitskreis

Das man über Kreise den Sinus und den Cosinus bekommt, sollte euch eigentlich aus dem Matheunterricht bekannt sein:

Ihr kennt den Einheitskreis, ein Kreis im Koordinatensystem mit dem Radius 1.

Jeder Punkt auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten P (cos φ; sin φ), wenn φ der Winkel zwischen positiver x-Achse und der Verbindung von Ursprung und P ist. Diese Verbindungsstrecke nennen wir Zeiger und die Darstellung einer Schwingung durch eine Kreisbewegung nennen wir Zeigerdarstellung. Vielleicht solltest Du die Matheaufzeichnungen der Klasse 10 noch einmal dazu ansehen.

Das kann man sich auch an einem rechtwinkligen Dreieck klarmachen: Die Hypotenuse ist der Radius der Länge 1, die Gegenkathete des Winkels φ ist der Sinus und die Ankathete des Winkels der Cosinus.

Solche Dreiecke lassen sich in allen vier Quadranten konstruieren.

Wenn jetzt der Punkt P auf dem Kreis entlang wandert, ändert sich natürlich der Winkel φ:

Für 0°< φ < 90° (1. Quadrant) kannst Du den Sinus auf de r positiven y-Achse ablesen, den Cosinus auf der positiven x-Achse.

Kommen wir in den 2. Quadranten (90°<φ<180°), so nimmt der Sinus wieder ab und der Cosinus wird negativ (negative x-Achse).

3. Quadrant (180°<φ<270°): Der Sinus (auf der negativen y-Achse wird negativ, der Cosinus bleibt negativ, nähert sich wieder der 0.

4.Quadrant (270°<φ<360°): Nun nähert sich der Sinus auf der negativen y-Achse wieder der 0 und der Cosinus wächst auf der positiven x-Achse bis zum Wert 1 bei 360° = 0°.

Dann beginnt alles wieder von vorne....

Man kann dabei also auch mehrfach herumdrehen.

Beispiel: sin(600°) = sin(600°-360°) = sin(240°) = - 0,8660

Und nun probiert dies mal mit dem schönen GeoGebra-Programm aus. Wir brauchen vorläufig nur die Elongation (Auslenkung) y.

Sinus durch Kreisbewgeung

27.3 Begründung der Schwingungsgleichung

In der Darstellung aus physikunterricht-online.de ist das noch einmal gut zusammengefasst. Ich habe unsere Begriffe eingetragen:

Die y-Koordinate y ist der zurückgelegte Weg s der Pendelmasse.

Deshalb können wir schreiben: s = A * sin φ, dabei ist A die Amplitude der Schwingung (maximale Auslenkung).

In der GeoGebra-Simulation kannst Du sehr schön ausprobieren, dass die Schwingungsamplitude gleich dem Kreisradius ist.

Dreht sich der Zeiger gleichmäßig mit der  konstanten Winkelgeschwindigkeit, so gilt: φ =ω*t und man erhält die Schwingungsgleichung: 

 s(t) = A * sin(ω*t).

Beginnt die Zeigerbewegung zu t = 0 bei dem Startwinkel φ₀ , so gilt: 

s(t) = A * sin(ω*t +  φ₀)

  φ₀ nennt man auch die Anfangsphase der Schwingung, besser den Anfangsphasenwinkel.

Ich habe das mal in einer Skizze dargestellt:

Aufgaben: 

1) Wie groß ist die Auslenkung eines Federpendels nach 17 sec, das zum Zeitpunkt 0 in der Ruhelage startet und mit einer Frequenz von 0,3 Hz bei einer Amplitude von 6 cm schwingt?

2) In einem Kreisbild werden zwei Schwingungen dargestellt, deren Zeiger einen Winkel von 180° einschließen.

Zeichne die beiden WZD in einen Graphen (Amplituden sollen gleich sein, Frequenz beliebig)

Solche Schwingungen nennt man gegenphasig.

3) Wie würden die WZD zweier gleichphasiger Schwingungen aussehen, deren Amplituden sich um einen Faktor 2 unterscheiden.

Kannst Du das Kreisbild dazu zeichnen, mit den Zeigern?

4) Nun sollen die beiden Zeiger einen Winkel von 90° einschließen.

Zeichne das Kreisbild und überlege Dir die WZD.

P 150: Am liebsten harmonisch!

 27. Wie kann man eine Schwingung beschreiben?

27.1 Harmonische Schwingungen

Wenn man eine Kreisbewegung von der Seite ansieht, erkennt man nur ein Hin- und her...eine Schwingung.

Fachlicher ausgedrückt: Die Projektion einer Kreisbewegung ist eine Schwingung.

In diesem Video ist das wunderbar für eine Federschwingung zu sehen (das Justieren und Abstimmen muss Stunden gedauert haben...):

Aber umgekehrt gilt das nicht: Es gibt Schwingungen, die man nicht als Projektion einer Kreisbewegung darstellen kann (z.B. die Dreiecksschwingung).

Das Weg-Zeit-Diagramm der Projektion einer (gleichförmigen) Kreisbewegung ist eine Sinuskurve. Und solche Schwingungen, also die Sinus-Schwingungen, nennt man auch harmonisch.

 Bild aus leifiphysik

Hier ist r der Kreisradius und y(t) die Auslenkung. Die gelben Pfeile markieren die Projektionsrichtung.

Harmonische Schwingungen sind besonders wichtig, aber auch einfach zu beschreiben: Bei ihnen ist die rücktreibende Kraft immer proportional zur Auslenkung.

Blick einmal zurück: Wann sind Pendelschwingungen harmonisch?

--- Nur bei kleinen Auslenkungen, wenn der Unterschied zwischen dem Bogen und der seitlichen Auslenkung vernachlässigbar ist, also x in etwa so lange ist wie s. Nur der Auslenkungsbogen s und der Auslenkungswinkel φ sind zueinander proportional: s/(2π l) = φ/(2π), hierbei ist der Winkel  φ im Bogenmaß angegeben (2π entspricht dann 360°).

Durch Kürzen erhält man: s = φ * l

l ist also als Pendellänge die Proportionalitätskonstante, wenn man φ im Bogenmaß angibt.

Übrigens: Ganz entsprechende Formeln hatten wir bei der Einführung der Kreisbewegung: s = φ*r).

Federschwingungen sind, so lange die Feder nicht überdehnt wird, immer harmonisch. Und hier kennen wir auch die Federkraft als rücktreibende Kraft: F = D * s  (D: Federkonstante, Hookesches Gesetz).

Also: Das Hookesche Gesetz sorgt für eine harmonische Federschwingung.

In Mathematik hattet ihr eigentlich alles zu diesem Thema. Denn über Kreise habt ihr die Sinusfunktionen für den Winkelbereich bis 360° eingeführt. Nur hat sich da nichts bewegt...und es gab auch keine Verbindung zur physikalischen Welt.

Deshalb wiederholen wir das im nächsten Post nochmal.

P 148: Die Globalisierung beginnt

26.3 Die erste Globalisierung

Rückkopplungsprozesse stabilisieren nicht nur Schwingungen, sondern können auch Strukturen erzeugen:  Sie  sind wesentlich bei der Entwicklung von sog. dynamischen Systemen. Durch sie bilden sich Strukturen und Muster. Durch die Rückkopplung der Aktivität der Gehirnneuronen auf das Gehirn selbst (nach ca. 3 „Takten“ ist ein Signal eines Neurons wieder beim gleichen Neuron angekommen, 99,9% der Eingangssignale von Gehirnneuronen stammen von anderen Gehirnneuronen, nur die restlichen 0,1% sind Sinneseindrücke) entsteht die Selbstwahrnehmung des Gehirnes, die wir Bewusstsein nennen.

Die Entdämpfung von Pendelschwingungen durch Rückkopplung hat auch zur ersten Globalisierung geführt:

Um auf dem Seeweg andere Länder/Kontinente (wieder) zu finden, muss man navigieren können. Die geographische Breite lässt sich mit für die damalige Zeit ausreichender Genauigkeit über die Höhe des Polarsternes über dem  Horizont bestimmen. Die geographische Länge erhält man nur über den Zeitvergleich zwischen dem täglichen Höchststand der Sonne beim Schiff und auf einer Landstation mit bekannter Breite. Da es damals noch kein Funk gab, musste man eine Uhr an Bord haben, die die entsprechende Sonnenzeit der Landstation anzeigte.

Frage: Welchen Längenunterschied gibt es, wenn auf dem Schiff zur Zeit des Sonnenhöchststandes die Pendeluhr für die Hafenzeit 11.00 Uhr anzeigt?

Denke daran: 360° Längenunterschied (einmal um die Erde herum) entsprechen 24 Stunden.

Vor 1759 lief Navigieren etwa so ab:

- Segel so lange nach Norden oder Süden, bis Du die gewünschte geographische Breite erreicht hast. Ist das Wetter mehrere Tage schlecht, musst Du eventuell zurücksegeln.

- Dann überleg Dir, ob Du nach rechts oder links abbiegen willst. Hast Du keine Informationen, dann wirf eine Münze.

- Nun segel auf gleicher Breite weiter, bis Du ankommst oder auch nicht....

Die Entdämpfung der Pendeluhrschwingungen ermöglichte also endlich eine Längenmessung und damit den globalen Schiffsverkehr: die Kolonialisierung der Welt (nicht immer zum Vorteil für die betroffenen Völker!)begann. Erfinder war Christiaan Huygens (1656), dessen Namen wir heute für die Impulseinheit kg*m/sec verwenden.

Aber eine Pendeluhr ist noch zu anfällig für Störungen. 1714 hat England ein Preisgeld zur Lösung des Navigationsproblems durch Erfinden einer stabil laufenden Uhr, einer Schiffsuhr, ausgesetzt.

Sein ganzes Leben lang widmete sich der Uhrmacher John Harrison (1693-1776) der Lösung dieser Aufgabe.

Bis 1727 konstruierte er Standuhren, die nur eine Abweichung von 1 Sekunde/Monat hatten.

Dann baute er Schiffsuhren. Die erste, H1, war 1735 fertig und erfolgreich auf einer Seereise nach Lissabon getestet. Aber die Strecke war für die Auszahlung des Preisgeldes zu kurz.

Das beste Modell, die H4, zeigte 1761 auf der 81-tägigen Seereise nach Jamaika nur eine Abweichung von 5 Sekunden.

Durch Intrigen erkannte aber das Preiskomitee diesen Erfolg nicht an. Erst durch Eingreifen des Königs erhielt Harrison 1773, drei Jahre vor seinem Tod, das gesamte  Preisgeld.

Bilder: wikipedia common

Ab 1920 wurde mit Zeitzeichensendern navigiert und heute nutzt man die Navigationssatelliten, wie beim Autofahren.

Weitere Informationen:

Das GPS des Mittelalters

Und hier ein Vortrag von mir zum Thema:

P 147: Eine Erfindung verändert die Welt

 26.2 Die Pendeluhr

Im Zeitalter von Smart Watches muss man wahrscheinlich eine Pendeluhr im Museum ansehen...

Aber es gab eine Zeit, da war sie eine High Tech - Einrichtung.

Schon früh wurden Uhren erfunden, aber sie blieben schnell stehen, da durch den Energieverlust Schwingungen zu stark gedämpft waren.

Als erstes hat der niederländische Physiker und Mathematiker Christiaan Huygens 1656 ein Verfahren zur Entdämpfung einer Pendeluhr entwickelt.

In einem Gewicht wurde ausreichend Energie für einen langen Betrieb gespeichert (heute übernehmen das Batterien und Solarzellen...). Das Gewicht dreht beim Absinken über eine Welle ein Steigrad das durch die besonders geformten Klauen eines Ankers immer wieder angestoßen wird.

Die Pendeluhr steuert mit Hilfe von Steigrad und Anker selbst die Energiezufuhr aus dem absinkenden Gewicht mit der die Schwingungsenergie konstant gehalten wird.

Wenn das Gewicht unten angekommen ist, muss es wieder hochgezogen werden, sonst würde die Uhr stehen bleiben: Die Uhr wird aufgezogen.

Aber schaut euch das in dieser Animation aus wikipedia common selbst an:

Erklärt laut redend, wie der Mechanismus funktioniert.

Sehr lehrreich ist auch die Darstellung aus leifiphysik:

Man lernte sehr schnell, die Ganggenauigkeit der Pendeluhren durch technische Tricks zu verbessern. Sogar Luftdruck- und Temperaturschwankungen konnten berücksichtigt werden.

Auf Schiffen liefen sie wegen des Seegangs nicht so gut, dennoch waren sie der Anstoß für eine weltweite Entwicklung, die die Menschheit zum ersten Mal total umgekrempelt hat..

P 144: Wer den Sinus nicht mag....

 mag vielleicht  die Exponentialfunktion?

25.3 WZD der gedämpften Schwingung

Wenn ein Fadenpendel hin- und her schwingt, wird ständig potenzielle Energie der Pendelmasse in kinetische Energie umgewandelt und umgekehrt. Bei einem Federpendel spielt die potenzielle Energie keine Rolle: hier findet die Umwandlung zwischen der in der Feder gespeicherten Energie (die man auch als eine besondere potenzielle Energie ansehen kann) und der kinetischen Energie statt.

Bei diesen Umwandlungsprozessen wird natürlich auch Energie entwertet. Das macht sich in einer stetigen Abnahme der Amplituden bemerkbar. Wir sprechen von einer gedämpften Schwingung.

Bei der Schwingung des Stoßdämpfers eines Autos will man eine starke Dämpfung, bei der Schwingung des Pendels einer Uhr soll die Dämpfung möglichst schwach sein.

Woran erkenne ich, ob eine Dämpfung besonders stark ist?

Je schneller die Amplitude abnimmt, desto stärker ist die Dämpfung.

Versuch: Nimm ein Fadenpendel (Gewicht an einem Faden) und lass es in Luft pendeln und dann so, dass sich der Pendelkörper im Wasser (Waschbecken, Badewanne, Swimming-Pool, Ostsee) bewegt. Da siehst Du, was Dämpfung ausmacht.

Das wollen wir einmal genau vermessen:

Die Abbildung zeigt das WZD einer gedämpften Schwingung.

Bestimme alle Amplituden und trage sie gegen die Zeit auf.

Beachte: Die erste Amplitude liegt bei t=0 vor. Ich würde also jeweils auch nach einer halben Periodendauer messen. Amplituden sind immer positiv.

Letztlich kannst Du auch die Amplituden oberhalb der t-Achse direkt verbinden.

Zeige:

a) Die Periodendauer bleibt konstant, verändert sich nicht durch die Amplitudenabnahme.

b) Gibt es eine feste Zeit, nach der sich jeweils die Amplitude halbiert hat?

c) Wann wird die Amplitude (nicht Auslenkung!) unter 1 mm gesunken sein?

d) In der Mittelstufe hast Du sicher die Funktion f(x) = (1/2)^x kennengelernt.

     Wiederhole das und versuche die Abnahme der Amplitude durch eine solche Funktion zu beschreiben.

     Wer schon die e-Funktion kennt: f(x) = exp(-x) = e^(-x), kann auch damit arbeiten.

P 143: Von allen geliebt...der Sinus

 25.2 Die Sinusschwingung

Für kleine Auslenkungen erkennt man wirklich eine Sinus- oder Cosinus-Kurve als WZD  (je nach Startpunkt).

Wir werden das später näher begründen, aber bei solchen sinusförmigen Schwingungen ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung (hier der Auslenkungswinkel  φ, der von der Zeit t abhängt:  φ(t)).

Wir erkennen an der Skizze auch woran das liegt:

Das eingezeichnete Dreieck ist rechtwinklig mit x als Gegenkathete zu  φ und die Pendellänge l als Hypotenuse. 

Dann gilt: sin  φ  = x/l

Für sehr kleine Winkel (und nur dafür schwingt das Fadenpendel sinusförmig) ist x so groß wie der Bogen s(t), also der zurückgelegte Weg.

Dafür können wir also schreiben:

sin  φ = s(t)/l oder s(t) = l * sin  φ.

Das passt auch gut zu unserem optischen Eindruck der Schwingung:

In Zukunft wird der Sinus öfters vorkommen.

Wer möchte kann hier einige Infos über den Sinus nachabreiten:

Sinus

Aber nicht jede Schwingung läuft sinusförmig ab. Wir haben ja schon Rechteckschwingungen, Dreiecksschwingungen und Sägezahnschwingungen kennengelernt.

P 142: Mit Sand spielen...

 Aber vorher solltet ihr noch eine Übungsaufgabe lösen:

25. Wie schwingt ein Pendel?

25.1 Aufzeichnung von s(t) eines Fadenpendels

Wir wollen den Ort s des Pendelkörpers zur Zeit t wissen, also das Weg-Zeit-Gesetz WZG bzw. das Weg-Zeit-Diagramm WZD.

Da gibt es eine Reihe von trickreichen Experimenten.

Am einfachsten geht es mit einem Sandpendel:

Man bastelt aus Papier einen kleinen Trichter, der unten ein Loch hat.

Den hängt man als Pendelkörper auf, füllt ihn mit Sand und lässt das Pendel schwingen.

Das könnt ihr durchaus zu Hause selbst machen, Vogelsand ist sehr gut.

Damit man zeitaufgelöst den Ort registrieren kann, muss man nur ein (dunkles, damit man den Sand sieht) Blatt Papier unten drunter senkrecht zur Schwingungsrichtung wegziehen.

Warum senkrecht zur Schwingungsrichtung?

Die s- Achse steht im WZD auch senkrecht auf der Zeit-Achse...

Da gibt es schöne Versuche des Instituts für Physik der Universität Freiburg:

Und hier kann man sich auch ein kleines Video dazu anschauen:

Video

Die Kurve, die wir hier als WZD sehen, dürfte euch bekannt vorkommen...

Mehr im nächsten Post.

P 141: Viel Spaß beim Spielen!

 24.6 Simulationen

Das Projekt PhET der Universität von Colorado Boulder wurde 2002 vom Nobelpreisträger Carl Wieman (Nobelpreis 2001 für die Erzeugung eines Bose-Einstein-Kondensats) gegründet und stellt kostenlos die tollsten Simulationen zur Verfügung.

Wir wollen uns zwei Abteilungen ansehen:

Bei allen Simulationen könnt ihr euch ein Lineal und eine Stoppuhr einbauen und sogar quantitativ messen.

Pendelschwingungen

In der ersten Simulation könnt ihr Pendel verschiedener Massen und Längen bei unterschiedlicher Reibung und Gravitation zum Schwingen bringen. In der zweiten Simulation könnt ihr euch die Energien anzeigen lassen und bei der dritten Simulation die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen.

Federschwingungen

In der ersten Simulation könnt ihr Federn mit verschiedener Härte und Massen in unterschiedlicher Gravitation schwingen lassen.

Logischerweise ändert sich die Schwingung, wenn man das Gravitationsfeld ändert (Untersucht einmal, auf was die Schwerkraft einen Einfluss hat. Lasst euch dazu die Gleichgewichtslage (Ruhelage) anzeigen). Aber messt einmal die Schwingungsdauern, die bleiben gleich.

In der zweiten Simulation kann man sich Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und alle Kräfte anzeigen lassen.

In der dritten Simulationen geht es dann um die Energien.

Nehmt euch viel Zeit, ihr könnt hier viel Lernen!

P 139: Fallen und Pendeln

 24.4 Alle Pendel pendeln gleich schnell

Wie ihr durch eure Experimente festgestellt habt, ist diese Überschrift nicht ganz richtig:

Je länger ein Fadenpendel ist, desto langsamer schwingt es, d.h. desto länger ist seine Schwingungsperiode.

Eine Formel dazu werden wir noch herleiten.

Aber erstaunlich ist, dass die Masse m des Pendelkörpers keinen Einfluss auf die Periodendauer hat.

Ich habe einmal die Formeln für physikalisch vorkommende Fadenpendel zusammengestellt:

https://www.natur-science-schule.info/post/pendel-hin-und-her

Echte Fadenpendel

Das sind Pendel, die weit ausgelenkt werden und/oder die Pendelmasse nicht mehr punktförmig ist.

In keiner Formel für die Schwingungsdauer taucht die Pendelmasse auf.

Woran liegt das?

Den Grund kennen wir schon:

Schwere Masse und träge Masse sind gleich groß und heben sich somit in ihrer Wirkung auf:

Alle Körper fallen gleich schnell!

Auch die Masse eines Pendels fällt nach unten...nur eben nicht senkrecht sondern längs einer Kreisbahn, weil der Pendelfaden ja das freie Fallen verhindert.

Aber trotzdem gilt die Regel: Alle Körper fallen gleich schnell, egal auf welcher Bahn!

Wer das nochmal wiederholen möchte:

In den Posts P 57 bis P 61 (16.12.21 bis 29.12.21)>steht da sehr viel zu, weitere Infos sind in P 76 vom 30.1.22 und P 115 vom 20.4.22

Alle Körper fallen gleich schnell

Man findet diese Infos, wenn man in der bloginternen Suchmaschine "träge Masse" eingibt.

Aufgabe: Du kennst auch die Schwingung einer Feder.

Kannst Du nun den Ablauf mit rücklaufender Kraft und Trägheit sowie über Energieumwandlungen erklären?

P 138: Die Energie pendelt auch!

 Wenn das Pendel ausgelenkt wird, erhöhe ich die Lageenergie (potenzielle Energie Epot) m*g*h relativ zur Ruhelage. Ich verrichte dabei Hubarbeit.

Beim Loslassen wandelt sich diese potenzielle Energie in kinetische Energie Ekin= 1/2*m*v² um. Zu jedem Zeitpunkt t aber ist die Summe aus der momentanen kinetischen Energie und der momentanen potenziellen Energie immer gleich groß, nämlich so groß, wie ich als Hubarbeit beim Auslenken des Pendels zugeführt habe. Das ist die konstante Gesamtenergie Eges.

Das ist der Energieerhaltungssatz:

Ekin (t) + Epot(t) = Eges

In der Ruheposition gibt es nur kinetische Energie, diese ist dann natürlich gleich der Gesamtenergie. Das bedeutet auch, dass die Geschwindigkeit des Pendels am größten ist.

Durch den Schwung kann nun wieder Hubarbeit verrichtet werden, die kinetische Energie wird in potenzielle Energie umgewandelt.

In den Umkehrpunkten ist die Momentangeschwindigkeit v(t) = 0, damit auch die kinetische Energie. Die Gesamtenergie des Pendels besteht dann nur aus potenzieller Energie.

Und dann geht es wieder von vorne los....

nach: ingenieurkurse.de

Der Motor für die ständigen Energieumwandlungen sind Gewichtskraft und Trägheit. In der Schwerelosigkeit würde also nichts passieren, das Pendel würde in der ausgelenkten Position einfach stehen bleiben.

Durch Reibung an der Aufhängung oder an der Luft nimmt die zur Schwingung verfügbare Energie ab, da ein Teil der Energie als Wärmeenergie aus dem System geführt wird. Das nennt man Dämpfung der Schwingung.

Damit nimmt die Auslenkung und auch die maximale Geschwindigkeit ständig ab.

Der Energieerhaltungssatz gilt aber trotzdem, man muss nur die Reibungsenergie Ereib hinzunehmen:

Ekin + Epot + Ereib = Eges ist konstant.

Wenn die gesamte am Anfang zugeführte Hubarbeit als Wärmeenergie abgeführt wurde, dann bleibt das Pendel stehen. Die Gesamtenergie gibt es dann als Wärmeenergie in der Umgebung des Pendels.

Die Formulierung: Das Pendel verliert beim Schwingen Energie und bleibt deshalb stehen, ist so falsch. Man kann höchstens von an die Umgebung angegebenen Energie sprechen. Energie kann nie verloren gehen.

Aufgabe:

Baue Dir  ein Fadenpendel, an das Du verschiedene, nicht allzu ausgedehnte, Körper mit unterschiedlicher Massen hängst.

Binde das Pendel fest, lenke es immer gleich aus (nicht allzu weit) und bestimme mit einer Stoppuhr (Smartphone!) die Periodendauer.

Am besten stoppst Du 10 Schwingungen und teilst die gemessene Zeit durch 10.

Hinweis: Beginn beim Loslassen mit der 0 als Zahl zum Zählen...

Was fällt Dir auf?

Was passiert, wenn Du die Pendellänge änderst?

P 136: Der geliebte Sinus

 Ihr solltet wirklich einmal einige rücktreibende Kräfte durch Konstruktion bestimmen.

Mit der angegebenen Masse erhaltet ihr (unabhängig von der Pendellänge) zu den Auslenkungswinkel die folgenden Werte:

Die kann man in einem Graphen darstellen. Bei kleinen Winkeln sieht es so aus, als gäbe es einen linearen Zusammenhang, also als wäre die rücktreibende Kraft proportional zum Auslenkungswinkel.

Erst bei größeren Auslenkungswinkeln sieht man, dass die rücktreibende Kraft  immer langsamer anwächst:

Es sieht  wie bei einer Sinuskurve aus.

Das wird auch schnell klar:

Gewichtskraft, Seilkraft und rücktreibende Kraft bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der Gewichtskraft als Hypotenuse und der rücktreibenden Kraft als Gegenkathete zum Auslenkungswinkel φ:

sin φ = Gegenkathete/Hypotenuse = F/Fr und damit gilt für die rücktreibende Kraft:

Fr = F * sin φ

Die folgende Abbildung hilft euch bei der Erinnerung an die trigonometrischen Funktionen:

Im nächsten Post erklären wir den Schwingungsablauf über Energieumwandlungen.

P 134: Das Fadenpendel

 24. Warum schwingt ein Pendel?

24.1 Ein einfacher Versuch und viele Fragen

Baut euch ein einfaches Fadenpendel: Nehmt ein Seil und bindet eine Pendelmasse daran fest. Dann nehmt ihr das andere Ende in die Hand (oder befestigt es so, dass das Pendel frei hängen kann).

Die Pendelmasse wird durch die Schwerkraft nach unten gezogen: Es wirkt die Gewichtskraft. Das Pendel hängt in seiner Ruhelage.

Wir tun so, als hätte die Aufhängung keine Masse und somit keinen Einfluss auf die Schwingung. Die gesamte Pendelmasse soll am Ende des Seiles konzentriert sein.

Nun lenkt das Pendel aus.

Was passiert mit der Schwerkraft auf die Pendelmasse? In welche Richtung zeigt sie?

Lasst die Pendelmasse los.

Das Pendel schwingt zurück. 

Wo kommt die Kraft her, die das Pendel antreibt? Man nennt sie die rücktreibende Kraft, da sie das Pendel in die Ruhelage zurück treibt.

Überlegt euch, wie sich die rücktreibende Kraft verändert, wenn ich das Pendel immer weiter auslenke.

(Wenn ihr diesen Post in der Schule bearbeitet, kann man euch sicher Federwaagen geben und ihr könnt die rücktreibenden Kräfte in Abhängigkeit zur Auslenkung sogar messen. Achtet darauf, dass die Federwaage immer tangential zur Kreisbahn der Pendelmasse angreift.)

Wie groß kann die rücktreibende Kraft  maximal werden und wie habe ich dazu das Pendel ausgelenkt?

Was passiert also mit der rücktreibenden Kraft während das Pendel in die Ruhelage zurückschwingt?

Das Pendel bleibt aber in der Ruhelage jetzt nicht stehen, sondern es schwingt weiter auf die andere Seite.

Wieso?

Wenn ihr alle diese Fragen beantworten könnt, dann seid ihr in der Lage in einem fortlaufenden Text die Ursache für die Bewegung des Pendels zu erklären.

Tut dies einmal.

Es gibt aber noch einen anderen Zugang für die Beantwortung unserer Frage: Warum schwingt ein Pendel?

Beschreibt einmal den Vorgang mit Hilfe der kinetischen Energie Ekin = 1/2*m*v² und der Lageenergie Epot = m*g*h.  Wo sind die jeweiligen Energieformen maximal und wie werden sie ineinander umgewandelt?

Für Fortgeschrittene (oder zukünftige LKler/innen):

Wenn die Pendelmasse m ausgelenkt wird und los gelassen wird, setzt sie sich in Bewegung. Sie hat also Impuls. Wo kommt der Impuls her?

Und nun stellt euch vor, ihr seid auf dem Mond und würdet dort euer Fadenpendel auslenken.

Was ändert sich?

Und was passiert in absoluter Schwerelosigkeit?

Und nun noch einige weitere Anregungen zum Nachdenken:

Ihr habt ja schon in den Animationen ein Federpendel kennengelernt. Da hängt die Pendelmasse m an einer Feder.

Wie entsteht hier die rücktreibende Kraft?

Welche Rolle spielt die Gewichtskraft?

Was macht ein Federpendel auf dem Mond oder in der Schwerelosigkeit?

(Übrigens: Mit Federpendeln baut man auch Waagen für die Astronauten in der ISS, siehe Post 57: Wiegen unter Schwerelosigkeit  )

Ihr habt jetzt genügend Anregung zum Nachdenken bekommen. In den nächsten Posts werden wir auf die möglichen Antworten eingehen.

Wenn ihr in einer Gruppe zusammenarbeitet, dann besprecht die Fragen. Wenn ihr allein seid, dann redet ruhig laut mit euch selbst (siehe die entsprechende Zusatzseite oben).