Proportional - Antiproportional

 In der Physik werden ganz oft Größen einander zugeordnet:

So kann man der verstrichenen Zeit t die zurückgelegte Strecke s(t) zuordnen.

Solche Zuordnungen kann man in Tabellen oder Zuordnungstafeln beschreiben, aber auch durch einen Graph darstellen.

Besonders einfach sind Zuordnungen, die linear sind. 

Dies passiert z.B., wenn man an der Stelle 5 km losfährt und konstant mit v = 30km/h unterwegs ist.

Dann erhält man als Graph eine Gerade.

Die Zuordnung zwischen s und t ist aber nicht proportional. Man ist nach einer Stunde Fahrzeit bei 35 km angekommen, aber nach 2 Stunden nur bei 40 km und nicht bei 70 km.

Proportionalität:

Wann ist der zurückgelegte Weg s(t) proportional zu t, in Kurzform: s(t) ~ t?

Jede Rechnung in der Zuordnungstafel, die man in der linken Spalte macht, kann man komplett auf die rechte Spalte übertragen.

Wenn man also den Wert für t verdreifacht, so wird auch der Wert für s verdreifacht.

Bekannter ist aber das Quotientenkriterium:

Der Quotient s(t) / t ergibt immer den gleichen Wert.

Dies ist eine "pro-Angabe", also eine Meter Pro Sekunde - Angabe. Wir nennen das hier die Geschwindigkeit.

Der Graph der proportionalen Zuordnung s~ t ist eine Ursprungsgerade.

Damit wird deutlich: Jede proportionale Zuordnung ist auch linear (es its ja eine Urspungsgerade!).

Aber nicht jede lineare Zuordnung ist auch proportional, denn die zugehörige Gerade muss ja nicht durch den Ursprung gehen.

Im Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung s = v*t geht man davon aus, dass v = s/t konstant ist, also s proportional zu t ist.

Antiproportionalität

An der Gleichung kann man aber auch Antiproportionalität entdecken:

Dieses Mal nehmen wir eine feste Wegstrecke s, sagen wir 20 km.

Wenn ich jetzt die (konstante) Geschwindigkeit verdopple, dann halbiert sich die Fahrzeit (und umgekehrt.

Ist also das Produkt der beiden Größen v und t konstant (hier die feste Fahrstrecke), dann sind v und t antiproportional zueinander.

Das ist das Produktkriterium:

Ist das Produkt zweier zugeordneter Größen a und b konstant, dann liegt eine Antiproportionalität vor.

Das Produkt a*b nennt man dann die Antiproportionalitätskonstante k = a*b.

Oft macht man gerne aus einer Antiproportionalität eine Proportionalität:

Wenn a antiproportional zu b ist, dann ist a proportional zum Kehrwert 1/b von b.

Beweis:

a~1/b bedeutet a/(1/b) = a * b ist konstant.

Daran erkennt man, dass der Graph einer antiproportionalen Zuordnung eine Hyperbel ist.

Da sich das nicht eindeutig erkennen lässt, überprüft man eine Antiproportionalität immer durch die zugehörige Proportionalität des Kehrwertes.