P 156: Resonanzkatastrophen

 28.3 Resonanzkatastrophen

Das eindrucksvolle Video von der Tacomabrücke ist weltweit bekannt. Was ist da passiert?

Am 1.4. 1940 wurde die Brücke eingeweiht und am 7.11.1940 ging sie bei Windstärke 8 kaputt.

Ich würde es als eine resonanzartige Katastrophe beschreiben. Windwirbel haben die Brücke verstärkt zu Drehschwingungen angeregt. Durch diese, am Anfang wirklich eher als Resonanzeffekt verstärkt, konnte die Brücke einen immer größeren Windwiderstand hervorrufen (sie stellte sich quer zum Wind) und damit vollkommen unabhängig von einer Anregungsfrequenz Energie abziehen und schließlich sich selbst zerstören.

Schon kurz nach der Eröffnung war das Schwingungsproblem bekannt und oft gab es viele Schaulustige.

Die Brücke wurde aber frühzeitig gesperrt. Das Auto gehört einem Messtechniker, der aber die Brücke verlassen hat. Lediglich von dem Hund fehlt jede Spur...

Nach dem Einsturz begann man bei der Brückenkonstruktion auch dynamische Effekte zu berücksichtigen und Tests mit Modellen im Windkanal durchzuführen.

Was passiert bei einer richtigen Resonanzkatastrophe?

Da Anregungsfrequenz und Eigenfrequenz übereinstimmen (Resonanz), wird immer wieder Energie zugeführt. Wenn dies Zufuhr größer ist als die Abfuhr durch Dämpfung, dann wächst die Schwingungsamplitude unermesslich an.

Bei hohen Gebäuden in Erdbebengebieten baut man Schwinger ein, deren Eigenfrequenz gleich den typischen Erdbebenfrequenzen sind. Dadurch nehmen sie besonders viel Energie auf, dämpfen die Schwingung des Gebäudes und das bleibt stehen.

Das Bild (wikimedia) zeigt das Dämpfungspendel im Taipei 101:

Bei Hängebrücken ist es verboten, im Gleichschritt über die Brücke zu gehen. Die Menschengruppe könnte mit der Schrittfrequenz die Eigenfrequenz der Brücke treffen und diese zum Einsturz bringen.

Am 12.4.1831 ist dies bei der Broughton Suspension Bridge passiert, die 40 Soldaten zum Absturz brachten. Am 16.4.1850 fanden 226 Soldaten so bei der einstürzenden Hängebrücke von Angers den Tod.

Angeblich sollen Opernsängerinnen durch Resonanz mit ihrer Stimme Gläser zum Zerbrechen bringen.

Schaut zum Schluss dieses Themas mal in das folgende Video rein:

P 154 Die Ursache aller Strukturen

 28. Wie kann man ein Pendel zum Schwingen bringen?

Die Antwort ist klar: Man muss dem Pendel Schwung geben. Die Zufuhr von Impuls kann aber auf zwei völlig verschiedene Arten gehen: einmalig und ständig

28.1 Einmalige Zufuhr von Schwung

Bastle Dir aus Schürsenkel und Schlüssel ein einfaches Fadenpendel und hänge es am besten auf.

Auf zwei Arten kannst Du dem Pendel Schwung geben:

- Auslenken und loslassen.

- Anschubsen

Beim ersten Fall kommt der Schwung aus der Gravitation der Erde. Im zweiten Fall kommt der Schwung aus Deinen Muskeln.

Wie stark auch immer der Schwung ist, das Pendel schwingt immer in einer ihm eigenen Frequenz.

Diese Frequenz nennt man Eigenfrequenz und die zugehörige Schwingung Eigenschwingung (in technischer Literatur, insbesondere im Englischen spricht man von Mode, der Schwingungsmode.

Versuche:

Ändere die Pendellänge und ändere jeweils durch An- oder Abhängen von Gegenstanden die Masse m des Pendelkörpers.

Gibt dem Pendelkörper Schwung, wie auch immer. Was beobachtest Du?

Die Masse beeinflusst die Eigenfrequenz nicht (das haben wir schon besprochen: Alle Körper fallen gleich schnell). Aber die Eigenfrequenz hängt von der Pendellänge ab: Je länger das Pendel ist, desto niedriger ist die Eigenfrequenz.

Lange Pendel schwingen langsam.

Es gilt die Formel, die wir später auch herleiten:

Aufgabe: 

Welche Länge muss ein Pendel für die Periodendauer 1 sec auf der Erde und auf dem Mond haben?

Lösungshinweise: Du musst die Formel nach l auflösen, d.h. erst einmal quadrieren:

   P² = 4* π² *l/g, dann nach l auflösen: l = g*P²/(4* π²).

Auf der Erde ist g = 10 m/sec² und auf dem Mond 1/6 so groß.

Damit erhältst Du:

Pendellänge  auf der Erde etwa 25,2 cm

Pendellänge  auf dem Mond etwa 4,2 cm

Von einem Sekundenpendel spricht man blöderweise übrigens, wenn die halbe Schwingung 1 sec dauert.

Wie lang ist also ein Sekundenpendel?

1 m auf der Erde, etwa 17 cm auf dem Mond.

Flächen oder Körper besitzen mehrere Eigenschwingungen, mehrere Moden. Welche man anregt, hängt von der Art der Impulszufuhr ab.

Das wollen wir hier nicht vertiefen.

Wir werden aber bald eine andere Möglichkeit kennenlernen, Eigenschwingungen anzuregen.

Hier Bilder der möglichen Eigenschwingungen einer Metallplatte. Überall da, wo sie nicht (!) schwingt, bleibt drauf gestreuter Sand liegen.

Bild: Physik Uni Oldenburg

Auch das heiße Urknallgas ist 380 000 Jahre nach dem Urknall zu verschiedenen Eigenschwingungen gekommen. Deren Überlagerungen haben ein Netzwerk erzeugt, aus dem sich später die Galaxien gebildet haben.

Diese Aufnahme des Urknallgases mit Mikrowellen zeigt das Muster, was aus der Überlagerung aller Eigenschwingungen entsteht. Aus den blauen Flecken haben sich die Galaxien gebildet.

Dass hier verschiedene Eigenschwingungen vorliegen, erkennt man, wenn man eine Fouriertransformation (siehe Post 153) macht, also ausrechnet, welche Frequenzen mit welchen Amplituden schwingen:

Ist es nicht fantastisch:

Die Strukturen unserer Welt sind aus den Eigenschwingungen des Urknallgases entstanden.

Vertiefen und Üben:

(i) Formuliere „je mehr-desto mehr/weniger“ – Beziehungen zwischen Periodendauer und Pendellänge (vergleiche mit den Ergebnissen des durchgeführten Versuches) bzw. Periodendauer und Stärke des Gravitationsfeldes (fahr zum Mond)

(ii) Erkläre anschaulich mit Hilfe der früheren Posts:

- Die Periodendauer ist unabhängig von der Masse des Pendelkörpers.

- Die Periodendauer nimmt zu, wenn das Pendel länger ist.

- Die Periodendauer nimmt zu, wenn die Schwerkraft kleiner wird.

Tipp: Beschäftige Dich mit der Rückstellkraft

P 153: Atome des Klangs

 27.4 Alles ist harmonisch zusammengesetzt

Beliebige periodische und nicht periodische Vorgänge lassen sich durch Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen mit bestimmten Frequenzen und Amplituden erzeugen. Nach dem Erfinder Fourier spricht man von Fourier-Analyse oder Fourier-Transformation FT, wenn die Frequenzen und Amplituden derjenigen Sinus- oder Cosínus-Funktionen berechnet werden, die man zur Darstellung des Signals benötigt.

Bevor wir uns mit der  Fourieranalyse kurz beschäftigen, hier erst  weitere Beispiele für harmonische und nicht harmonische Schwingungen:

27.4.1 Harmonisch/nichtharmonisch

Die Schaukel kann sowohl harmonisch als auch nicht-harmonisch schwingen, bei kleinen Auslenkungen ist die Kraft linear zur Auslenkung (die Sinuskurve verläuft praktisch gerade im Bereich um 0°), d.h. die Schwingung ist harmonisch.

Bei großen Auslenkungen ist das Pendel / die Schaukel nicht harmonisch.

Ein Federpendel wird mit einer (linearen) Metallfeder harmonisch sein, mit einem (nicht linearen) Gummiband nicht.

Beim Auto werden oft nicht lineare Schraubenfedern in den Federbeinen eingesetzt.

Kugeln in einer parabelförmigen Schüssel werden harmonisch schwingen, in anderen beliebigen Formen nicht.

• Harmonische Schwingungen:

Feder-Schwere-Pendel, Fadenpendel (nur bei kleinen Auslenkungswinkeln); Flüssigkeitssäule in einem U-Rohr (typische LK-Abituraufgabe, werden wir noch vorstellen); Spannung bei üblichem Wechselstrom (Thema Q2); Schwingung von Spannung und Stromstärke im elektromagnetischen Schwingkreis (Thema Q2)

• Nicht-Harmonische Schwingungen:

Hoch- und Runterhüpfen eines Balls/Flummis etc.; Fadenpendel bei großem Auslenkungswinkel

Aber: Jede nichtharmonische Schwingungen lässt sich aus harmonischen Schwingungen zusammensetzen!

27.4.2 Zusammensetzen von Schwingungen

Das Beispiel zeigt, wie man mit Sinuskurven eine Kippschwingung zusammensetzen kann. Die Frequenz wird jeweils verdoppelt, die Amplitude sinnvoll verkleinert. Dann werden alle Auslenkungen aufaddiert.

Die Bilder habe ich mit dem Geogebra-Programm von K. Lindner gemacht, der Link zum Selbstausprobieren steht drunter...

Zusammensetzen zu einer Kippschwingung

27.4.3 Zerlegen in Einzelschwingungen

Wenn ein kompliziertes Signal gegeben ist, kann man mit Hilfe nicht einfacher Rechnungen diejenigen harmonischen Schwingungen bestimmen, durch deren Überlagerung das gegebene Signal entstanden ist.

Beispiele sind in der  Abb. zu sehen:

Die jeweils untere Kurve ist die Fouriertransformierte der darüber stehenden Schwingung. Die Fouriertransformierte gibt an, mit welchem Anteil A (Wert) eine bestimmte Frequenz (x-Wert) vorkommt, man nennt die Darstellung auch das Spektrum des Signals (Anteile nach Frequenz geordnet).

Bei einer reinen Schwingung taucht nur eine Frequenz auf (oberes Bild), bei einer Schwebung natürlich zwei nahe beieinander liegende Schwingungen.

So kann man auch Klangbilder analysieren:

Bei einer Klarinette kommt auch immer die 3-, 5-, 7-, fache Frequenz des Tones vor.

Bei einer Oboe dagegen die 2-, 4-, 6 fache Frequenz und die Schwingung bei der doppelten Frequenz ist stärker als die Schwingung bei der eigentlichen Frequenz des Tones.

27.4.4 Unser Ohr kann Fouriertransformation

Der ankommende Klang wird durch die Härchen im Innenohr in einzelne Frequenzen zerlegt, deren Stärke getrennt wahrgenommen wird. Daraus setzt das Gehirn dann den Klang erneut zusammen.

(Informiere Dich mal in einem Biobuch darüber, wie unser Ohr funktioniert).

Der Klang entsteht also in unserem Gehirn. Das wussten schon Komponisten vor vielen Jahrhunderten. Sie setzen durch das Orchester Schwingunen zusammen, die zu einem neuen Klangbild in dne Zuhörer/innen führten, ohne dass dieser Klang im Raum physikalisch messbar gewesen wäre.

Das gilt noch heute für Klaviertöne:

Im oberen Bild sehen wir das sog. Frequenzspektrum der 75 Hz Schwingung. Besonders stark ist die Schwingung beim sechsfachen Wert (450 Hz), die eigentliche Schwingung bei 75 Hz ist ganz schwach. Dies liegt am Resonanzverhalten des Klaviers. Es ist bei diesen tiefen Frequenzen nicht in Resonanz und die Saitenschwingung wird nicht verstärkt.

Trotzdem hören wir nicht den Ton bei 450 Hz sondern den bei 75 Hz. Unser Gehirn berechnet aus dem Klangbild das Frequenzspektrum und ordnet den Ton richtig zu.

Wird eine Saite bei 50 Hz angeschlagen, so strahlt das Klavier diesen Ton überhaupt nicht ab (unteres Bild). Über die Fourieranalyse erkennt unser Gehirn aber, dass die Saite diesen Ton erzeugen muss und konstruiert die Wahrnehmung!

Wir hören beim Klavierspiel Töne, die es gar nicht gibt!

Entsprechendes gilt auch für Pauken und Kirchenglocken.

·         

P 151: Manchmal hilft die Mathematik doch...

 27.2 Sinus und Cosinus am Einheitskreis

Das man über Kreise den Sinus und den Cosinus bekommt, sollte euch eigentlich aus dem Matheunterricht bekannt sein:

Ihr kennt den Einheitskreis, ein Kreis im Koordinatensystem mit dem Radius 1.

Jeder Punkt auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten P (cos φ; sin φ), wenn φ der Winkel zwischen positiver x-Achse und der Verbindung von Ursprung und P ist. Diese Verbindungsstrecke nennen wir Zeiger und die Darstellung einer Schwingung durch eine Kreisbewegung nennen wir Zeigerdarstellung. Vielleicht solltest Du die Matheaufzeichnungen der Klasse 10 noch einmal dazu ansehen.

Das kann man sich auch an einem rechtwinkligen Dreieck klarmachen: Die Hypotenuse ist der Radius der Länge 1, die Gegenkathete des Winkels φ ist der Sinus und die Ankathete des Winkels der Cosinus.

Solche Dreiecke lassen sich in allen vier Quadranten konstruieren.

Wenn jetzt der Punkt P auf dem Kreis entlang wandert, ändert sich natürlich der Winkel φ:

Für 0°< φ < 90° (1. Quadrant) kannst Du den Sinus auf de r positiven y-Achse ablesen, den Cosinus auf der positiven x-Achse.

Kommen wir in den 2. Quadranten (90°<φ<180°), so nimmt der Sinus wieder ab und der Cosinus wird negativ (negative x-Achse).

3. Quadrant (180°<φ<270°): Der Sinus (auf der negativen y-Achse wird negativ, der Cosinus bleibt negativ, nähert sich wieder der 0.

4.Quadrant (270°<φ<360°): Nun nähert sich der Sinus auf der negativen y-Achse wieder der 0 und der Cosinus wächst auf der positiven x-Achse bis zum Wert 1 bei 360° = 0°.

Dann beginnt alles wieder von vorne....

Man kann dabei also auch mehrfach herumdrehen.

Beispiel: sin(600°) = sin(600°-360°) = sin(240°) = - 0,8660

Und nun probiert dies mal mit dem schönen GeoGebra-Programm aus. Wir brauchen vorläufig nur die Elongation (Auslenkung) y.

Sinus durch Kreisbewgeung

27.3 Begründung der Schwingungsgleichung

In der Darstellung aus physikunterricht-online.de ist das noch einmal gut zusammengefasst. Ich habe unsere Begriffe eingetragen:

Die y-Koordinate y ist der zurückgelegte Weg s der Pendelmasse.

Deshalb können wir schreiben: s = A * sin φ, dabei ist A die Amplitude der Schwingung (maximale Auslenkung).

In der GeoGebra-Simulation kannst Du sehr schön ausprobieren, dass die Schwingungsamplitude gleich dem Kreisradius ist.

Dreht sich der Zeiger gleichmäßig mit der  konstanten Winkelgeschwindigkeit, so gilt: φ =ω*t und man erhält die Schwingungsgleichung: 

 s(t) = A * sin(ω*t).

Beginnt die Zeigerbewegung zu t = 0 bei dem Startwinkel φ₀ , so gilt: 

s(t) = A * sin(ω*t +  φ₀)

  φ₀ nennt man auch die Anfangsphase der Schwingung, besser den Anfangsphasenwinkel.

Ich habe das mal in einer Skizze dargestellt:

Aufgaben: 

1) Wie groß ist die Auslenkung eines Federpendels nach 17 sec, das zum Zeitpunkt 0 in der Ruhelage startet und mit einer Frequenz von 0,3 Hz bei einer Amplitude von 6 cm schwingt?

2) In einem Kreisbild werden zwei Schwingungen dargestellt, deren Zeiger einen Winkel von 180° einschließen.

Zeichne die beiden WZD in einen Graphen (Amplituden sollen gleich sein, Frequenz beliebig)

Solche Schwingungen nennt man gegenphasig.

3) Wie würden die WZD zweier gleichphasiger Schwingungen aussehen, deren Amplituden sich um einen Faktor 2 unterscheiden.

Kannst Du das Kreisbild dazu zeichnen, mit den Zeigern?

4) Nun sollen die beiden Zeiger einen Winkel von 90° einschließen.

Zeichne das Kreisbild und überlege Dir die WZD.

P 145: Hier geht es zur Lösung...

 Lösungen:

Einigermaßen gut erkennt man, dass die Amplituden nicht linear abfallen sondern der Graph immer flacher verläuft.

Nach 4 Sekunden hat sich die Anfangsamplitude von 4 cm auf 2 cm halbiert. Auch von 3 cm auf 1,5 cm dauert es genau 4 sec, und natürlich von 2 auf 1 cm ebenfalls 4 sec.

Das ist typisch für einen exponentiellen Abfall.

Diese 4 Sekunden nennen wir die Halbwertszeit τ. Immer nach der Halbwertszeit halbieren sich die Werte.

Damit kann man die Amplitude gut beschreiben:

 Maximale Auslenkung zur Zeit t = Startwert * (1/2)^(t/τ) = 4 cm* 0,5^(t/4sec).

Rechnet mal die gemessenen Amplituden nach. So einigermaßen stimmt es.

Die Periodendauer ändert sich nicht. Man erkennt das sofort daran, dass die Abstände der Nulldurchgänge immer gleich bleiben.

Mit diesen Informationen kann man auch ausrechnen, wann die Amplitude unter 0,1cm = 1 mm gesunken ist (links immer 4 sec dazuzählen, rechts immer halbieren)

Zeit                     Amplitude

0 sec                     4 cm

4 sec                     2 cm

8 sec                     1 cm

12 sec                   0,5 cm

16 sec                   0,25 cm

20 sec                   0,125 cm

24 sec                    0,063 cm

Zwischen 20 und 24 sec dauert es...wir können aber hier nicht interpolieren, da der Zusammenhang nicht linear ist...

Zur genauen Berechnung muss also eine Formel her.

Hier ist sie:

0,1 cm = 4 cm*0,5^(t/4)

Da die gesuchte Größe t im Exponenten steht, müssen wir auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus log anwenden:

log 0,1  = log[4*0,5^(t/4)]

Ihr habt die Rechenregeln für Logarithmen kennengelernt:

log(a*b) = log a + log b

log(x^y) = y*log x

Damit erhält man:

log 0,1 = log 4 + t/4* log 0,5

Diese Gleichung kann man nun nach t umstellen:

t = (log 0,1 - log 4)*4/log0,5

Tippt man das in einen Taschenrechner ein, so ergibt sich t = 21,3 sec.

Das passt gut zu unserer Abschätzung oben.

Ihr müsst die Rechnung oben nicht nur nachvollziehen, sondern sie selbst (ausführlicher) in euerem Heft aufschreiben.

P 141: Viel Spaß beim Spielen!

 24.6 Simulationen

Das Projekt PhET der Universität von Colorado Boulder wurde 2002 vom Nobelpreisträger Carl Wieman (Nobelpreis 2001 für die Erzeugung eines Bose-Einstein-Kondensats) gegründet und stellt kostenlos die tollsten Simulationen zur Verfügung.

Wir wollen uns zwei Abteilungen ansehen:

Bei allen Simulationen könnt ihr euch ein Lineal und eine Stoppuhr einbauen und sogar quantitativ messen.

Pendelschwingungen

In der ersten Simulation könnt ihr Pendel verschiedener Massen und Längen bei unterschiedlicher Reibung und Gravitation zum Schwingen bringen. In der zweiten Simulation könnt ihr euch die Energien anzeigen lassen und bei der dritten Simulation die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen.

Federschwingungen

In der ersten Simulation könnt ihr Federn mit verschiedener Härte und Massen in unterschiedlicher Gravitation schwingen lassen.

Logischerweise ändert sich die Schwingung, wenn man das Gravitationsfeld ändert (Untersucht einmal, auf was die Schwerkraft einen Einfluss hat. Lasst euch dazu die Gleichgewichtslage (Ruhelage) anzeigen). Aber messt einmal die Schwingungsdauern, die bleiben gleich.

In der zweiten Simulation kann man sich Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und alle Kräfte anzeigen lassen.

In der dritten Simulationen geht es dann um die Energien.

Nehmt euch viel Zeit, ihr könnt hier viel Lernen!

P 140: Federn gehen immer...

 24.5 Das Federpendel

Ein Fadenpendel baut eine rücktreibende Kraft über die Gewichtskraft auf.

Welche Rolle spielt die Gewichtskraft bei einem Federpendel?

Überraschend: Eigentlich keine.

Wenn wir nur eine Feder haben, dann hat diese eine bestimmte Länge L oft auch s(0) bezeichnet, die durch die Bauart vorgegeben ist.

Hängt man nun eine Masse m an, so dehnt sich die Feder so lange aus, bis die Federkraft genau die Gewichtskraft ausgleicht.

Das ist dann die Ruhelage des Federpendels.

Die Federkraft habt ihr bestimmt in der Mittelstufe kennengelernt. Für sie gilt das Hookesche Gesetz:

F = D * s, dabei ist s die Auslenkung und D=F/s die sog. Federkonstante ist. Diese wird in N/m angegeben. 

D = 5 N/m bedeutet, dass man pro Meter Auslenkung eine Kraft von 5 N braucht. Je größer die Federkonstante ist, desto schwerer lässt sich eine Feder auslenken:

Die Federkraft ist also proportional zur Ausdehnung und D ist die Proportionalitätskonstante. Natürlich gilt dieses Gesetz nicht mehr, wenn man die Feder überdehnt und sie nicht mehr in die ursprüngliche Form zurückkehrt.

Hänge ich nun eine Masse m an eine Feder mit der Federkonstante D an, so wird sie um s(0) ausgelenkt: 

F = D*s(0) = m*g, also s(0) = m/D*g. Die neue Länge der Feder in der Ruhelage ist dann L + s(0).

Um diese Ruhelage schwingt sie nun, die Auslenkung während dieser Schwingung bezieht sich auf diese Ruhelänge der Feder als Nullpunkt.

In der Abbildung ist die 0 als Index geschrieben.

Wenn wir das Pendel weiter auslenken, wird die Federkraft größer. Diese zusätzliche Federkraft ist dann die rücktreibende Kraft. Die Auslenkung  muss man wie gesagt von der neuen Ruhelage aus bestimmen.

   (nach: Bildungsserver Baden-Würtemberg)

Wenn man dann los lässt, schwingt die Feder zurück, angetrieben durch die Federkraft. In der Ruhelage bewirkt die Trägheit eine Weiterbewegung mit Zusammenstauchen der Feder, bis die Bewegungsenergie wieder in der Feder gespeichert ist.

Dann drückt die rücktreibende Kraft die Masse m wieder nach unten.

Bei dem ganzen Schwingungsvorgang spielt die Gewichtskraft keine Rolle. Die Gewichtskraft legt nur den Ruhepunkt fest.

Deswegen schwingt eine Feder überall gleich, sogar unter Schwerelosigkeit. Da ist eben die "Ruhelänge" der Feder gleich der Federlänge selbst. Aber schwingen wird sie trotzdem...

Wir haben ja gelernt, dass Astronauten in der ISS sich z.B. mit einem schwingenden "Federstuhl" "wiegen" können.

Energieumwandlungen:

Beim Auslenken der Feder wird Energie in der Feder gespeichert (ich muss ja Kraft zum Auslenken aufwenden, also arbeiten). Die Federenergie berechnet man mit Ef = 1/2*D*s², wenn s die Auslenkung aus der Ruhelage ist.

Während der Schwingung wird diese Federenergie in Bewegungsenergie und wieder zurück umgewandelt.

Wie kann man die Formel für die Federenergie begründen?

Die Energie berechnet sich über die verrichtete Arbeit W = F*s.

Hierbei ist s die maximale Auslenkung, die man erreichen will. Dann gilt für die Kraft F = D*s.

Eingesetzt ergibt dies W = F*s*s = F*s².

Aber die Kraft wächst ja während des Ausdehnens gleichmäßig von 0 auf D*s an. Deshalb muss man zur Berechnung der Gesamtarbeit die mittlere Kraft (D*s + 0)/2 nehmen, also 1/2*D*s.

Wenn man das jetzt in W*F*s einsetzt, erhält man die richtige Formel für die Federenergie.

P 132 Immer wieder von vorne

 Übersetzen wir erst einmal:

Wiederholte zeitliche Schwankung: Im Laufe der Zeit treten Veränderungen ein, die sich aber immer wieder wiederholen.

Zustandsgröße eines Systems: Bei einem Pendel wird der Zustand durch die Größe der Auslenkung beschrieben. Bei einem fahrenden Auto wird der Zustand durch den Abstand vom Startpunkt beschrieben.

Abweichungen von einem Mittelwert: Bei einem Pendel kann man die Veränderungen auf die Ruhelage beziehen, also wenn es einfach nur vor sich her hängt....

Jetzt sollte es klar sein, was eine Schwingung von einer linearen Bewegung unterscheidet:

Bei einer Schwingung wiederholt sich der Bewegungsablauf. Das kann bei einer Autofahrt nur passieren, wenn man hin- und herfährt.

Im Bild des letzten Posts wird klar, dass bei einer Schwingung die hier y genannte Auslenkung sich immer wiederholt, während bei der linearen Bewegung der Abstand y(t) immer neue Werte erhält.

Schwingungen sind also periodische Vorgänge.

Beispiele: 

Die Drehung der Erde ist periodisch, sie wiederholt sich nach 23h56m, einem sog. Sterntag.

Musikinstrumente erzeugen Schwingungen, die sich als Schallwelle durch die Luft übertragen und unser Trommelfell zum Schwingen bringen. Beim Ton "a" schwingt es 440 mal in der Sekunde.

Mit schwingenden Fadenpendeln oder Federpendeln hat man früher Uhren gebaut.

Die Atome in einem Molekül können gegeneinander Schwingen. Dabei entsteht Wärmestrahlung.

Es gibt sogar oszillierende chemische Reaktionen, die sich durch einen wiederkehrenden Farbwechsel bemerkbar machen.

23.2 Wichtige Begriffe

Ruhepunkt: Der Punkt eines Pendels, in dem es sich befindet, wenn es nicht zum Schwingen angeregt wird. Die Auslenkung ist hier 0.

Auslenkung: Der Abstand der Pendelmasse vom Ruhepunkt. Wir häufig mit s oder y bezeichnet, bzw. s(t) und y(t), weil es ja Größen sind, die von der Zeit abhängen.

In der Regel misst man die Auslenkung längs der Bewegungslinie der Pendelmasse. Man kann aber auch den Auslenkungswinkel φ angeben oder (manchmal) den seitlichen Abstand x.

Amplitude: Maximal mögliche Auslenkung, oft mit A bezeichnet.

Beim Fadenpendel spielt noch die Pendellänge l eine Rolle.

Zuerst einmal unterscheidet man Schwingungen nach der Form ihres Weg-Zeit-Gesetzes.

Schwingungen, deren Weg-Zeit-Gesetz eine Sinus-Kurve darstellen, nennt man auch harmonisch.

Dann gibt es Dreiecksschwingungen, Rechtecksschwingungen (für Taktgeber) und Sägezahnschwingungen (für Oszilloskope).

Wenn die Amplitude einer Schwingung immer gleich bleibt, dann nennt man die Schwingung ungedämpft.

Die Periodendauer kann man zwischen beliebigen Bereichen messen: startet man am Ruhepunkt, so ist bei t =T eine Periode abgelaufen. Die Schwingung wiederholt sich (rotes Kurvenstück).Aber auch die Zeit zwischen zwei benachbarten maximalen Auslenkungen ist eine Periodendauer (blaue Kurvenstücke)

Im Normalfall aber verlieren Schwingungen Energie, deshalb nimmt die Amplitude ab. Ein solcher Energieverlust heißt auch Dämpfung, die Schwingung nennt man dann gedämpft.

Die Stoßdämpfer bei einem Auto sind Vorrichtungen, die Schwingungen der Karosserie möglichst stark dämpfen, d.h. zum Erliegen bringen.

In Uhren dagegen sollte die Dämpfung möglichst klein sein, damit die Schwingungen zur Zeitmessung immer weiter gehen.

Frequenz f: Die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde nennt man Frequenz f. Sie wird in Hertz Hz gemessen: 1 Hz = 1 Schwingung pro Sekunde.

Wir hören Schwingungen von etwa 30 Hz bis 15 000 Hz, wenn wir jung sind, und 10 000 Hz, wenn wir alt sind.

Bei einer Frequenz von 20 Hz gibt es 20 Schwingungen in jeder Sekunde. Also dauert eine Schwingung 1/20 sec.

Der Kehrwert der Frequenz f ist also immer die Schwingungsdauer T = 1/f.

Schwingungsdauer T: Die Dauer einer Schwingung, nach T wiederholt sich der Schwingungsablauf.

(alle Abbildungen aus wikipedia common)