27.4 Alles ist harmonisch zusammengesetzt
Beliebige periodische und nicht
periodische Vorgänge lassen sich durch Überlagerung von sinusförmigen
Schwingungen mit bestimmten Frequenzen und Amplituden erzeugen. Nach dem
Erfinder Fourier spricht man von Fourier-Analyse oder Fourier-Transformation
FT, wenn die Frequenzen und Amplituden derjenigen Sinus- oder Cosínus-Funktionen
berechnet werden, die man zur Darstellung des Signals benötigt.
Bevor wir uns mit der Fourieranalyse kurz beschäftigen, hier erst weitere Beispiele für harmonische und nicht harmonische Schwingungen:
27.4.1 Harmonisch/nichtharmonisch
Die Schaukel kann sowohl harmonisch als auch nicht-harmonisch schwingen, bei kleinen Auslenkungen ist die Kraft linear zur Auslenkung (die Sinuskurve verläuft praktisch gerade im Bereich um 0°), d.h. die Schwingung ist harmonisch.
Bei großen Auslenkungen ist das Pendel / die Schaukel nicht harmonisch.
Ein Federpendel wird mit einer (linearen) Metallfeder harmonisch sein, mit einem (nicht linearen) Gummiband nicht.
Beim Auto werden oft nicht lineare Schraubenfedern in den Federbeinen eingesetzt.
Kugeln in einer parabelförmigen Schüssel werden harmonisch schwingen, in anderen beliebigen Formen nicht.
- Harmonische Schwingungen:
Feder-Schwere-Pendel, Fadenpendel (nur bei kleinen Auslenkungswinkeln); Flüssigkeitssäule in einem U-Rohr (typische LK-Abituraufgabe, werden wir noch vorstellen); Spannung bei üblichem Wechselstrom (Thema Q2); Schwingung von Spannung und Stromstärke im elektromagnetischen Schwingkreis (Thema Q2)
- Nicht-Harmonische Schwingungen:
Hoch- und Runterhüpfen eines Balls/Flummis etc.; Fadenpendel bei großem Auslenkungswinkel
Aber: Jede nichtharmonische Schwingungen lässt sich aus harmonischen Schwingungen zusammensetzen!
27.4.2 Zusammensetzen von Schwingungen
Das Beispiel zeigt, wie man mit Sinuskurven eine Kippschwingung zusammensetzen kann. Die Frequenz wird jeweils verdoppelt, die Amplitude sinnvoll verkleinert. Dann werden alle Auslenkungen aufaddiert.
Die Bilder habe ich mit dem Geogebra-Programm von K. Lindner gemacht, der Link zum Selbstausprobieren steht drunter...
Zusammensetzen zu einer Kippschwingung
27.4.3 Zerlegen in Einzelschwingungen
Wenn ein kompliziertes Signal gegeben ist, kann man mit Hilfe nicht einfacher Rechnungen diejenigen harmonischen Schwingungen bestimmen, durch deren Überlagerung das gegebene Signal entstanden ist.
Beispiele sind in der Abb. zu sehen:
Die jeweils untere Kurve ist die Fouriertransformierte der darüber stehenden Schwingung. Die Fouriertransformierte gibt an, mit welchem Anteil A (Wert) eine bestimmte Frequenz (x-Wert) vorkommt, man nennt die Darstellung auch das Spektrum des Signals (Anteile nach Frequenz geordnet).
Bei einer reinen Schwingung taucht nur eine Frequenz auf (oberes Bild), bei einer Schwebung natürlich zwei nahe beieinander liegende Schwingungen.
So kann man auch Klangbilder analysieren:
Bei einer Klarinette kommt auch immer die 3-, 5-, 7-, fache Frequenz des Tones vor.
Bei einer Oboe dagegen die 2-, 4-, 6 fache Frequenz und die Schwingung bei der doppelten Frequenz ist stärker als die Schwingung bei der eigentlichen Frequenz des Tones.
Im oberen Bild sehen wir das sog.
Frequenzspektrum der 75 Hz Schwingung. Besonders stark ist die Schwingung beim
sechsfachen Wert (450 Hz), die eigentliche Schwingung bei 75 Hz ist ganz
schwach. Dies liegt am Resonanzverhalten des Klaviers. Es ist bei diesen tiefen
Frequenzen nicht in Resonanz und die Saitenschwingung wird nicht verstärkt.
Trotzdem hören wir nicht den Ton
bei 450 Hz sondern den bei 75 Hz. Unser Gehirn berechnet aus dem Klangbild das
Frequenzspektrum und ordnet den Ton richtig zu.
Wird eine Saite bei 50 Hz
angeschlagen, so strahlt das Klavier diesen Ton überhaupt nicht ab (unteres
Bild). Über die Fourieranalyse erkennt unser Gehirn aber, dass die Saite diesen
Ton erzeugen muss und konstruiert die Wahrnehmung!
Wir hören beim Klavierspiel Töne, die es gar nicht gibt!
Entsprechendes gilt auch für Pauken und Kirchenglocken.
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