P 124: Kepler I und II

 22.2 Zentralkraft und Drehimpulserhaltung

Wenn wir annehmen, dass die Sonne fest steht und wegen ihrer viel größeren Masse vernachlässigbar wenig von den Planeten angezogen wird (was nicht ganz stimmt), der Raum um die Sonne nicht gekrümmt ist (was auch nicht stimmt) und die Planeten sich gegenseitig nicht anziehen (was ebenfalls nicht der Fall ist), dann kann man die Anziehungskraft der Sonne als Zentralkraft bezeichnen: Sie zeigt immer auf den Mittelpunkt der Sonne.

Eine solche Kraft kann auf einen Planeten  kein Drehmoment ausüben, d.h. er behält sein Drehimpuls.

Im Post 121 haben wir ΔL = M * Δt kennen gelernt: Wenn das Drehmoment M =0 ist, kann sich der Drehimpuls nicht ändern, d.h. ΔL = 0.

Der Drehimpuls eines Planeten ist aber L = m*v*r (Post 116).

Nun sind die Planetenbahnen Ellipsen, d.h. der Abstand r zur Sonne ändert sich. Wird r kleiner, so muss v entsprechend zunehmen, damit L gleich bleibt.

Das genau beschreibt das 2.Keplersche Gesetz: 

Es ist also der Drehimpulserhaltungssatz.

Mathematischer Exkurs:

Wir wollen die Sprechweise von Kepler begründen: Der Fahrstrahl des Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

                                                            wikipedia common

Wir nehmen eine winzig kleine Zeit Δt. Der Planet legt auf seiner Bahn die Strecke Δs = v * Δt zurück.

Damit haben wir eine Seite des Dreiecks, das näherungsweise rechtwinklig ist.

Dann ist die Fläche des Dreiecks ΔA = 1/2 * Basis * Höhe = 1/2 *r * Δr = 1/2 * r * v * Δt

Da L = m*r*v ist, können wir auch schreiben:

ΔA = 1/2 * L/m * Δt

Damit ergibt sich: ΔA/Δt = 1/2*L/m

ΔA/Δt ist eine Flächenänderung pro Zeit, das kann man als Flächengeschwindigkeit beschreiben.

Wenn also der Drehimpuls L konstant ist, dann muss die Flächengeschwindigkeit der Planetenbahn immer gleich sein, d.h. in gleichen Zeiten muss der Fahrstrahl gleiche Flächen überstreichen.

Faszinierend, wie Kepler die Drehimpulserhaltung gefunden hat, ohne den Begriff Drehimpuls zu kennen....

Ende mathematischer Exkurs

Kommen wir noch zum 1.Keplerschen Gesetz:

Da sich die Anziehungskraft der Sonne zeitlich nicht ändert (wir nennen das eine konservative Kraft), muss der Energieerhaltungssatz gelten.

Damit kann man zeigen, dass je nach Gesamtenergie E nur die folgenden Bahnformen vorkommen können:

E = 0:  Parabelbahn

E > 0:  Hyperbelbahn

E < 0: Kreisbahn oder Ellipsenbahn.

Und das ist letztlich Keplers erstes Gesetz.

                                                                   nach wikipedia common

Wenn man annimmt, dass der Planet auch die Sonne  anzieht, dann hat man ein sogenanntes Zwei-Körper-Problem vor sich liegen. Das kann man auch gut berechnen.

Sobald aber drei Massen oder mehr vorkommen, sind die Bahnen nicht berechenbar, sie können nur näherungsweise im Computer simuliert werden.

P 123: Kepler revolutioniert die Himmelsmechanik

 22. Dunkle Materie und Keplers Gesetze der Planetenbewegung

22.1 Was hat Kepler gemacht?

Nikolaus Kopernikus (1473 - 1543) hat im Jahr seines Todes ein Werk veröffentlicht, dass unser heliozentrisches Weltbild begründet: Die Erde als sich drehender Planet umläuft wie die anderen Planeten die Sonne auf einer Kreisbahn und steht damit nicht mehr im Mittelpunkt der Welt.

Tycho Brahe

Johannes Kepler (1571-1630) entdeckte dann 1606 und 1618 die drei grundlegenden Gesetze der Planetenbewegung. Er wertete die sehr genauen Beobachtungen von Tycho Brahe (1546-1601) zur Marsbewegung am Himmel aus.

Vermutlich hat Newton sein Gravitationsgesetz aus Keplers Gesetzen gewonnen. Wir werden später den umgekehrten Weg zeigen.

Wir wollen Keplers Gesetze einmal darstellen:

1.Keplersches Gesetz:

Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einen Brennpunkt die Sonne steht.

Eine Ellipse kennen wir aus den vergeblichen Versuchen einen Kreis zu zeichnen, sie sieht wie ein zusammengedrückter Kreis aus.

Wir müssen hier nur ein paar Begriffe kennen:

Wenn die Sonne in einem Brennpunkt steht (für alle Planetenbahnen ist es der auf der gleichen Seite), dann gibt es einen Punkt mit dem geringsten Sonnenabstand, den nennt man Perihel, und einen mit dem größten Sonnenabstand, den nennt man Aphel.

Die Strecke vom Mittelpunkt der Ellipse zu Perihel oder Aphel nennt man große Halbachse a. Sie wird oft auch als mittlere Planetenentfernung bezeichnet.

Bearbeitetes Bild aus leifiphysik

Beispiel Erde:

Mittlere Entfernung: 150 Mill km

Perihelabstand: 147 Millionen km

Aphelabstand: 152 Millionen km

Die Abweichung von einer Kreisbahn würde man mit freiem Auge bei der Erdbahn gar nicht erkennen.

Die Brennpunkt werden über die Bahnform definiert: Von jedem Punkt der Ellipse aus ist die Summe der beiden Abstände zu den beiden Brennpunkten immer gleich und zwar gleich 2a, wenn a die Länge der großen Halbachse ist.

Aufgabe: Wenn der Planet im Perihel oder Aphel steht, lässt sich leicht zeigen, dass die Summe der Brennpunktsabstände gleich 2a ist.

Der Begriff der Exzentrizität ist noch wichtig: Damit bezeichnet man das Verhältnis e aus dem Abstand eines Brennpunktes zum Mittelpunkt geteilt durch die große Halbachse.

Zeige: Ein Kreis hat die Exzentrizität e =0, die Exzentrizität einer Ellipse liegt zwischen 0 und 1.

Hinweis: e = 1 ist eine Parabel und e > 1 eine Hyperbel.

Himmelskörper auf Parabelbahnen gehören noch (für unendliche lange Zeit) zum Sonnensystem, Himmelskörper auf Hyperbelbahnen fliegen nur einmal vorbei und sind dann wieder weg....

2.Keplersches Gesetz:

Die Verbindungslinie Planet-Sonne (Kepler nennt das den Fahrstrahl des Planeten) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Aufgabe: Fahre mit dem Finger eine solche Bewegung ab. Was bedeutet dass, wenn der Planet das Perihel und was, wenn er das Aphel überstreicht?

Frage: Was kann man nach dem 2.Keplerschen Gesetz über die rot markierten Flächen sagen?

Aufgabe: Anfang Januar steht die Erde im Perihel ihrer Bahn, Anfang Juli im Aphel (noch einmal: die Jahreszeiten haben nichts mit dem Abstand Erde-Sonne zu tun, sondern mit der Neigung der Erdachse).

Das Sommerhalbjahr geht vom Frühlingsanfang am 20.3. bis zum Herbstanfang am 23.9.

Das Winterhalbjahr (der Nordhalbkugel) geht vom 23.9. zum 20.3.

Erkläre, wieso das Sommerhalbjahr etwa eine Woche länger ist. Es gibt zwei Effekte, die dazu beitragen.

3. Keplersches Gesetz:

Hier hat Kepler die Umlaufszeiten der Planeten P und ihre großen Halbachsen a in Beziehung gesetzt:

Das Verhältnis der Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten unserer Sonne ist gleich dem Verhältnis der Kuben ihrer großen Halbachsen:

P1²/P2² = a1³/a2³

Wir werden die physikalischen Hintergründe dieser drei Gesetze in den nächsten Posts kennenlernen und dabei erkennen, was sie mit der Dunklen Materie zu tun haben.

P 122: Wenn es im Juli schneit....

 21.6 Das Eiern der Erde

Wir haben im letzten Post gelernt, dass ein sich drehender Körper senkrecht zu einer angreifenden Kraft ausweicht. Er kippt nicht um.

Das kennen wir von einem Kinderkreisel:

Wenn man ihn anstößt, kippt er nicht, sondern seine Drehachse weicht seitlich zum Stoß aus. Sie umkreist die ursprüngliche Richtung auf einem Kegelmantel. Diese Bewegung nennen wir Präzession.

Dreht sich der Kreisel nicht und stößt man ihn an, so kippt er um. Das kennen wir auch beim Fahrradfahren. Die Räder sind Kreisel. Drehen sie sich, so kann man das Fahrrad gut stabilisieren. Steht es still, kippt man eigentlich sofort zur Seite.

Wird ein Kreisel so aufgehängt, dass er nicht angestoßen wird, dann behält er seine Drehimpulsachse bei. Das demonstriert sehr eindrucksvoll der Astronaut Alexander Gerst auf der ISS.

Es lohnt sich unbedingt dieses Video anzusehen:

In der Luft- und Raumfahrt werden solche Kreisel zur Lageregelung genutzt. Man nennt sie Gyroskope. Mehr können wir in diesem Rahmen leider dazu nicht behandeln.

Auch die Erde ist ein Kreisel.

Am Erdäquator ist sie etwas dicker als an den Polen (der Äquatordurchmesser ist etwa 42 km größer als der Poldurchmesser).

Da die Erdachse schrägt auf der Bahnebene steht, versuchen Sonne und Mond, die in der Bahnebene stehen, die Erdachse aufzurichten. Sie üben ein Drehmoment aus, dem die Erde seitlich ausweicht. Die Erdachse beschreibt deshalb in 26000 Jahren einen Kegelmantel. 

Sie eiert oder torkelt wie ein Kinderkreisel....nur viel viel langsamer...Zur Zeit zeigt sie auf den Polarstern.

Vor 12 000 Jahren war der helle Stern Wega in der Leier unser Polarstern.

Da die Lage der Erdachse auch unsere Jahreszeiten bestimmt, verschieben sich die Jahreszeiten jedes Jahr um etwa 20 Minuten. In 13  000 Jahren haben wir auf der Nordhalbkugel am 21.12. Sommer! Und im Juli wird es schneien.

Frage: Wieso hat das nichts mit dem Klimawandel zu tun?

In dieser Darstellung (wikipedia common) sieht man, wie der Himmelsnordpol in 26 000 Jahren einmal um den höchsten Punkt am Himmel, das Zenit, wandert.

Übrigens: Dadurch haben sich die Tierkreiszeichen von den Horoskopen gegen die echten Sternbilder verschoben. Wer heute das Horoskop für das Tierkreiszeichen Waage  liest, ist gar keine Waage, sondern astronomisch gesehen wurde die Person unter der Jungfrau geboren.

Daran erkennt man was für ein Blödsinn die Astrologie ist.....

Rechercheauftrag:

Wieso bestimmt die Neigung der Erdachse die Jahreszeiten?

Erkläre, warum die etwas größere Nähe zur Sonne Anfang Januar keinen Einfluss auf die Jahreszeiten hat.

Wie verlaufen die Jahreszeiten auf Uranus?

Vertiefung:

In dieser Darstellung (Physik - HU Berlin) sind die Vektoren eingezeichnet. Es gibt eine Kraftkomponente senkrecht zum Radius r, die ein Drehmoment nach vorne erzeugt. Eingezeichnet ist dann die Torkelbewegung.

Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession ist durch das Verhältnis aus Drehmoment und Drehimpuls bestimmt: ωp = M/L.

Das wollen wir hier nicht herleiten. Wenn durch Reibung die Drehung des Kreisels abnimmt, also L kleiner wird, dann nimmt die Präzessionsgeschwindigkeit zu. Vielleicht schaut ihr euch die ersten Videos noch einmal an, da könnt ihr das auch beobachten.

In den nächsten Posts behandeln wir die Gesetze der Planetenbewegung und werden dabei viel von dem anwenden, was wir bisher gelernt haben.

P 121: Beschleunigen und Kippen

 Kommen wir erst einmal zur Kran-Aufgabe:

Das Gewicht L, die Last, erzeugt am Lastarm l (rechts) ein Drehmoment ML (ich habe den Vektor mit der Drei-Finger-Regel bestimmt und eingezeichnet. Er geht entlang der Drehachse nach hinten).

Entsprechend erzeugt das angehängte Gegengewicht links eine Kraft F am Kraftarm f und damit ein Drehmoment MF nach vorne.

Beide Drehmomente sind gleich groß, wirken entgegen und heben sich gegenseitig auf:

F*f = L * l

Wenn diese Hebelgleichung erfüllt ist, kippt der Kran nicht.

21.5.2 Kraftwirkung in Bewegungsrichtung

Wirkt eine Kraft F tangential zur Kreisbahn, also in Richtung der Geschwindigkeit, so wird der Körper schneller.

Das ist irgendwie logisch, lässt sich aber auch mit Drehmomenten erklären:

Der Radius r der Bahn ist der Hebelarm, an dem die Kraft F senkrecht angreift. Nach der Drei-Finger-Regel zeigt dann der Drehmomentvektor nach oben, er verläuft parallel zum Vektor des Drehimpulses L (oder der Winkelgeschwindigkeit). Diese Vektoren addieren sich, der Drehimpuls nimmt zu. Die Drehung wird schneller.

Der Grund ist die Definition: Drehmoment ist Drehimpulsänderung pro Zeit. Also bewirkt ein Drehmoment, das eine Zeit lang wirkt, eine Drehimpulsänderung:

M = ΔL/Δt, also ΔL = M * Δt  (siehe P 120).

21.5.2 Kraftwirkung senkrecht zur Bahnebene

Wirkt eine Kraft senkrecht zur Bahnebene, so ist auch intuitiv klar, dass die Bahn kippt....

Aber nicht so, wie man denkt.... Mit der Drei-Finger-Regel (Daumen in Radiusrichtung, Zeigerfinger in Kraftrichtung) erkennt man, dass das Drehmoment senkrecht zur wirkenden Kraft zeigt. Die Drehachse wird nicht (in unserem Bild)  nach links sondern nach vorne gekippt.

Ein drehender Körper weicht immer senkrecht zur wirkenden Kraft aus.

Das erfahren schon kleine Kinder...und das spielt eine große Bedeutung bei der Stabilisierung von Satelliten

Mehr dazu im nächsten Post...

P 117 Da kann einem leicht übel werden...

 21.3 Drehimpulserhaltung

Jetzt haben wir alles zusammen, um eines der bekanntesten Erhaltungsgesetze kennenzulernen.

Drehimpulserhaltungssatz: Der Drehimpuls eines Körpers bleibt immer erhalten, vorausgesetzt, es gibt keine äußeren Einflüsse.

Das gilt sogar für den Drehimpulsvektor, also die Richtung: die Drehachse stabilisiert sich selbst im Raum.

Das ist gut so, sonst würden wir beim Fahrradfahren ständig umfallen....

Mir ist dieser Erhaltungssatz  schon als kleines Kind begegnet...da musste ich immer Weihnachten mit meiner Familie Eiskunstlauf ansehen...war Tradition...und da kommen die Pirouetten vor...Läufer/innen bringen sich in Drehung, ziehen die Arme an den Körper und drehen sich schneller...beim eleganten Ausstrecken der Arme bremsen sie ab....

Wenn die Masse also näher an die Drehachse verlagert wird, verringert sich das Trägheitsmoment Θ (für eine Punktmasse ist es ja mit Θ = m*r² sogar durch das Quadrat des Abstandes bestimmt...), da aber der Drehimpuls erhalten bleibt, also L =  Θ * ω sich nicht ändert, muss mit dem Kleinerwerden von  Θ die Winkelgeschwindigkeit ω größer werden. Der Mensch dreht sich schneller...

Aus diesem Grund drehen sich auch die 10 km großen (besser kleinen) Neutronensterne wahnsinnig schnell (teilweise in Millisekunden...), denn sie sind durch den Kollaps eines Überriesensternes entstanden.

Ihr könnt die Erhaltung des Drehimpulses auch selbst spüren...ihr braucht einen gut gelagerten drehbaren Schreibtischstuhl und zwei schwere Massen, die ihr mit ausgestreckten Armen haltet.

Nehmt am besten mit Wasser gefüllte wertvolle Porzellanschüsseln...oder zwei Stativfüße...

Ich führe euch das mit Philipp im Café-Bereich des FutureSpace vor...

Hinterfragt das mal...

Wieso wird Philipp schneller? Wo kommt die Energie her, wo die Kraft zum Beschleunigen...???

Klar, durch die Formel  L =  Θ * ω kann man das erklären, aber verstehen wir es?

Ich möchte hier nur ein paar Hinweise geben, es würde den Rahmen des Kurses sprengen:

Philipp muss, wenn er die Gewichte an sich zieht, Arbeit verrichten (gegen die Fliehkraft). Diese Arbeit wird in erhöhter Rotationsenergie gespeichert.

Genaue Konstruktionen zeigen, dass dabei auch beschleunigende Kräfte in Drehrichtung entstehen....

Aber viel pauschaler, damit einfacher, ergibt sich alles nur aus dem Erhaltungssatz für den Drehimpuls.

Aber wieso gilt der denn?

Auch dafür gibt es eine pauschale Erklärung. Die gebe ich in den nächsten 10 Tagen auf den Zusatzseiten.

Ich habe das schon bei P 70 angekündigt...nun wird es aber Zeit...

Wir haben ja inzwischen drei Erhaltungssätze kennengelernt: Energieerhaltung, Impulserhaltung und Drehimpulserhaltung.

Die haben unmittelbar etwas mit der inneren Struktur von Raum und Zeit zu tun...(siehe Extraseiten (bald)).

Aber erst einmal wollen wir zwei Dosen mit  Eintöpfen richtig durchschütteln...wir kommen zum berühmten Dosen-Wettrennen:

Wer wird gewinnen? Die Erbsensuppe oder die Hühnersuppe?

P 116: Planeten haben Drehimpuls

 21.2. Kreisende Punktmassen

Für einen einfachen Fall möchte ich die Formeln einmal herleiten:

Eine (punktförmige) Masse m umläuft  um einen Mittelpunkt M auf einer Kreisbahn im Abstand r.

Bisher haben wir die linearen Größen durch Multiplikation der Kreisgröße mit r erhalten, 

z.B.:  v = ω *r.

Hier ist es genau umgekehrt: Drehimpuls = Impuls der Kreisbewegung längs der Bahn * r, in Formeln also:

   L = p * r

Achtung Lerninterferenz:

Bei den einfachen Kreisgrößen (wie dem Winkel φ und der Winkelgeschwindigkeit ω) muss man diese mit r multiplizieren, um die Bahngrößen s und v zu bekommen.

Bahngeschwindigkeit v = Winkelgeschwindigkeit * r

Bei Drehimpuls (und Drehmoment M, kommt später) ist es umgekehrt: Hier muss man die Bahngrößen mit r multiplizieren, um die Kreisgrößen zu bekommen:

Drehimpuls L = Impuls * r

Drehmoment M = Kraft * r

Man kann sich das notfalls an den Einheiten klar machen. Mein Gehirn erzeugt hier ständig ein Lerninterferenz-Minimum...ich bringe das immer durcheinander...diesen Text habe ich dreimal überarbeiten müssen....

Achtung Mathealarm Vektorrechnung (nur für LKs....)!

Der Impuls p ist ein Vektor, d.h. eine gerichtete Größe. Das ist der Radius auch, denn er zeigt vom Mittelpunkt des Kreises zur Masse. Man spricht vom Radiusvektor.

Wir notieren Vektoren fett, unterstrichen  und kursiv, also p und r sind die Vektoren.

Wenn man zwei Vektoren multipliziert, dann denkt man oft an das Skalarprodukt. Dabei erhält man eine nicht gerichtete, skalare Größe.

Wir kennen das von der Arbeit W, sie ist das Skalarprodukt aus dem Kraftvektor mit dem Wegvektor: 

W = F * s und die Arbeit ist natürlich ungerichtet.

Das kann beim Drehimpuls nicht sein, Drehimpuls (Drehschwung) hat immer eine Richtung!

nach Lexikon der Physik

 Der Drehimpulsvektor L steht senkrecht auf der Bahn. Seine Richtung erhält  man, wenn man die Finger der rechten Hand in Richtung der Drehbewegung krümmt, dann zeigt der Daumen  die Richtung des Drehimpulses an.

Man kann das auch mit der Drei-Finger-Regel beschreiben:

nach wikipedia

Der Daumen der rechten Hand zeigt in Richtung des Radiusvektors, der Zeigefinger in Impulsrichtung, dann zeigt der Mittelfinger die Richtung des Drehimpulsvektors an.

Das geht natürlich nicht mit einem Skalarprodukt. Für diesen Fall gibt es ein spezielles Vektorprodukt oder Kreuzprodukt genannt.

Wie man das ausrechnet, wollen wir hier nicht behandeln, eventuell wird es im Algebrakurs in Mathe besprochen. In Physik wird es euch bei der Lorentzkraft in Q2 begegnen.

Richtig geschrieben: L = r  x  p, das x steht für das besondere Kreuzprodukt. Vektoriell geschrieben, muss der Radiusvektor als erstes im Produkt stehen, denn in seine Richtung muss ja der Daumen gehalten werden.

nach Chemie in der Schule

Im übrigen gilt das auch bei unserer Formel v = ω * r.

Auch die Winkelgeschwindigkeit ist eigentlich ein Vektor, er zeigt längs der Drehachse und lässt sich mit der rechten Hand so bestimmen wie der Drehimpulsvektor.

Die vektoriell richtige Formel wäre also mit dem Kreuzprodukt: v =   ω x r

Probiert das mal mit den drei Fingern der rechten Hand aus. Dabei werdet ihr merken, dass hier r nicht als erstes stehen darf: Daumen in Richtung der Drehachse, Zeigefinger vom Mittelpunkt der Kreisbahn zur Masse. Dann zeigt der Mittelfinger die Richtung der Bahngeschwindigkeit an.

Aber betrachtet das eher als Ergänzungen für Nerds...in meinen LKs habe ich das nie gemacht. In so einem Blog aber kann man ruhig mal etwas mehr Infos bereitstellen.

Ende des Mathealarms

Aber wir lassen hier die Vektoren außen vor...nutzen einfach die skalare Gleichung L = p*r.

Nun ersetzen wir p = m*v und erhalten: L = m*v*r

v aber können wir durch die Winkelgeschwindigkeit ausdrücken: v = ω * r

Damit erhalten wir unsere endgültige Formel für den Drehimpuls unserer Masse m auf ihrer Kreisbahn:

  L = m * r² * ω

Ich habe die Größen umsortiert (wo kommt das Quadrat her?).

Dann könnt ihr mit der Formel: L = θ  * ω vergleichen, θ ist ja unser Trägheitsmoment.

Welches Trägheitsmoment besitzt also die auf einem Kreis mit dem Radius r laufende Masse m?

Antwort:   θ = m* r²

Ihr seht also, dass die Trägheit quadratisch mit dem Abstand vom Drehzentrum ansteigt.

P 115: Drehschwung

 21. Drehimpuls und Trägheitsmoment

21.1 Schwung und Trägheit beim Drehen

Wir haben in den letzten Posts ja gesehen, dass man alle Größen und Formeln, die wir bei linearen Bewegungen kennengelernt haben, einfach auf Kreisbewegungen übertragen kann:

Aus der Geschwindigkeit v wird die Winkelgeschwindigkeit  ω , aus der Beschleunigung a wird die Winkelbeschleunigung  α und natürlich wird aus der Strecke s der Drehwinkel  φ .

Und dann kann man einfach die Formeln übertragen:

Aus s(t)  = v*t wird   φ(t) =  ω * t

Aus s = 1/2*a*t² wird  φ = 1/2*α* t²

Aus v = a*t wird  ω = α * t

Auch die Zusammenhänge sind leicht zu beschreiben:

  v =  ω * r und a = α * r

Die Winkelgröße wird einfach mit dem Radius der Kreisbahn multipliziert und man erhält die lineare Bahngröße, gemessen längs der Bahn.

Überprüfe einmal, ob auch die Einheiten passen!

Natürlich haben auch die anderen Größen der Newtonschen Mechanik entsprechende Größen bei Kreisbewegungen:

Der Schwung (Impuls) p längs einer geradlinigen Bahn wird zum Drehschwung (Drehimpuls) L bei einer Kreisbewegung.

Die träge Masse m bei einer linearen Bewegung wird zum Trägheitsmoment Θ bei einer Kreisbewegung.

Und schon können wir die beiden wichtigen Formeln hinschreiben:

Aus der Impulsformel p = m* v wird die Drehimpulsformel L = Θ * ω.

Macht euch in eigenen Worten klar, was die Formelzeichen in den beiden Formeln für eine Bedeutung haben.

Diese Abbildung kann euch helfen:

Schauen wir uns erst noch einmal an, was wir in P 76 (Kapitel 14) über die träge Masse gelernt haben:

Was bedeutet also 1 kg?

Eine Masse von 1 kg ist in der Lage einen Schwung von 1 Hy in eine Geschwindigkeit von 1 m/sec umzusetzen.

Je größer eine Masse ist, desto mehr Schwung muss sie aufnehmen, um eine bestimmte Geschwindigkeit zu erreichen.

Aufgenommene Menge = Konstante * Wirkung

                               p      =  m             *   v

 nennt man die Konstante eine Kapazität.

Denkt an unsere Badewanne:

Wir haben zwei Badewannen, in die beide 30 Liter pro Minute fließen. Bei Wanne A steigt jede Minute der Wasserspiegel um 3 cm, bei Wanne B um 2 mm.

Die Formel wäre: Wassermenge = Konstante * Höhe des Wasserspiegels

Wir sagen: Wanne B hat eine größere Kapazität für Wasser als Wanne A.

Entsprechend ist die  träge Masse  also eine Angabe zur  Kapazität, mit der sie  Schwung aufnehmen kann: Träge Masse ist eine Schwungkapazität.

Je höher die träge Masse, desto mehr Schwung kann sie speichern und desto mehr Schwung braucht man, um sie auf eine bestimmte Geschwindigkeit zu bringen.

Eigentlich ist nur dieser letzte Satz wichtig. Er sollte an sich aber eher eine Trivialität ausdrücken...

Leider wird in unserer Umgangssprache das Wort Kapazität auch für Fassungsvermögen verwendet. Das ist in der Physik falsch: Eine Kapazität ist in der Physik eine Pro-Angabe, ein Fassungsvermögen gibt an, wieviel von etwas wo reinpasst. Ohne Pro und Kontra....

Eine Badewanne hat an sich nur ein Fassungsvermögen. Erst wenn wir Wasser reinlaufen lassen und wir wissen wollen, wie die Zuflussmenge in Wasserstand umgesetzt ist, benötigen wir die Kapazität der Wanne.

Je größer die Kapazität der Wanne ist, desto langsamer steigt der Wasserspiegel an.

Und genau so beschreibt das Trägheitsmoment  Θ, wie der Drehschwung L in Drehung (ω) umgesetzt wird:

Je größer das Trägheitsmoment  Θ ist, desto mehr widersetzt sich der Körper einer Drehung, d.h. desto mehr Drehschwung L brauche ich, um ihn auf eine bestimmte Winkelgeschwindigkeit ω zu bringen.

Beim Drehen kommt es aber auch darauf an, wie die Drehachse relativ zum Körper angeordnet ist und vor allem wie sich die Masse innerhalb des Körpers verteilt.

Ist der Körper in größeren Abständen von der Drehachse besonders massereich, so kann man ihn nur schwer in Drehung versetzen.

Je dichter die Masse an der Drehachse liegt, desto leichter lässt sich ein Körper drehen, sein Trägheitsmoment  Θ ist dann kleiner.

Seilläufer stabilisieren sich in dem sie lange Stangen halten. Dadurch bekommen sie ein größeres Trägheitsmoment und sind nicht so leicht zum Drehen (Kippen) zu bringen.

                                                    Bild: Metallbau Goltings

Das Berechnen von Trägheitsmoment ist nicht einfach, es muss oft integriert werden. Man schlägt Formeln einfach nach, wenn man das Trägheitsmoment zu bestimmten Körpern berechnen will.

Zur Übung: 

Bestimme einmal die Formel für den Drehimpuls einer Kreisbewegung und das zugehörige Trägheitsmoment.

Nimm an, dass sich eine punktförmige Masse m mit der Bahngeschwindigkeit v auf einem Kreis mit dem Radius r bewegt.