P 37 Die allgemeine Formel

 5.3 Bahngleichung der Flugbahn

Im Prinzip müssen wir die Rechnung ähnlich wie eben bei der Aufgabe machen, nur setzen wir keine Zahlen ein, sondern lassen alle Buchstaben stehen.

5.3.1 y-Achse zeigt nach unten

Wir wählen das bequeme Koordinatensystem, d.h. das, in dem die y-Achse in Richtung der Fallbewegung zeigt.

Dann haben wir die folgenden Gleichungen:

x-Richtung (gleichförmige Bewegung mit der Abwurfgeschwindigkeit v als feste Größe):

x = v*t

y-Richtung (gleichmäßig beschleunigte Bewegung, freier Fall): 

y = 1/2 g*t²

Die Bestimmung einer Bahngleichung bedeutet: Wir wollen y in Abhängigkeit von x kennen. Da stört das t...also schmeißen wir es raus:

Wir lösen die erste Gleichung nach t auf und setzen das für das t in die zweite Gleichung ein.

Dann erhalten wir:

  y = g/(2v²)  * x²

Das ist die Gleichung einer Parabel durch den Ursprung.

t ist weg und mit x kann ich y direkt berechnen....

Eine solche Wurfparabel habt ihr selbst gezeichnet oder ihr seht sie auch im letzten Post.

Der Vorfaktor g/(2v²) regelt, wie steil die Parabel verläuft.

Wenn die Schwerkraft größer wird, dann steigt g und damit verläuft die Wurfbahn steiler.

Wenn man schneller abwirft, wird der Nenner größer, aber der ganze Vorfaktor kleiner, d.h. die Parabel verläuft flacher. Man wirft weiter.

Kennt ihr.

Auf einem Neutronenstern plumpst euch der Ball beim Loslassen direkt auf die Füße....

Eine mathematisch üblichere Darstellung ist die Folgende:

5.3.2 y-Achse zeigt nach oben

 

 

 

 

 

 

 

Wir werfen in der Höhe h ab. Die Gleichung für die x-Bewegung ändert sich nicht: x = v*t

Wie muss sich die Gleichung fürt die y-Bewegung ändern?

Wir starten mit h und ziehen immer die Fallstrecke 1/2g*t² ab:

y = h - 1/2g*t²

Wieder ersetzen wir das t in der zweiten Gleichung durch x/v (also t² durch x²/v²)  und erhalten nach einer leichten Umformung:

y = h - g/(2v²) * x² 

Diesen Funktionsgraph habe ich für h = 10 m und drei Abwurfgeschwindigkeiten 2 m/sec (blau), 4 m/sec (rot) und 8 m/sec (grün) für die Erde geplottet:

Ich habe die gesamte Funktion geplottet, für die Physik hat nur der erste Quadrant eine Bedeutung.

Und nun vergleichen wir mal Erde und Mond für v = 2 m/sec:

 Schaut euch nochmal das Video vom hüpfendnen und singenden Astronauten an...das ist die Übertragung auf die Realität...

Du kannst solche Graphen leicht selbst erzeugen: Plottprogramm aufrufen, graphikfähigen Taschenrechner benutzten oder Punkte ausrechnen und Graphen per Hand zeichnen...

Im nächsten Post machen wir noch kurz etwas besonders für zukünftige LKler: Wir arbeiten beim waagerechten Wurf mit Vektoren.

P 36 Lösung der Aufgabe

 5.2 Berechnung von Fallzeit und Wurfweite

5.2.1 Vorbereitung

Unsere kleinen Experimente haben gezeigt:

Zwei fallende Körper kommen immer zur gleichen Zeit am Boden auf, ja sie sind sogar immer auf gleicher Höhe, egal wie schnell einer der Körper zusätzlich zur Seite fliegt.

Das haben wir als das Unabhängigkeitsprinzip bei der Überlagerung von Bewegungen kennengelernt.

Wir werden also die waagerechte Bewegung mit x(t) bezeichnen. Das ist eine gleichförmige Bewegung mit der konstanten Geschwindigkeit vo = 2 m/sec.

In y-Richtung haben wir eine Fallbewegung aus der Höhe 10 m. Dafür können wir schreiben: y(t) = 10 - 1/2 g*t².

5.2.2  Ein neuer Trick

Einfacher wird aber alles, wenn wir einen neuen Trick lernen:

Anpassen des Koordinatensystems:

Wir lassen die y-Achse in Richtung des Fallens, also nach unten zeigen. Dann gilt y(t) = 1/2g*t² 

Wie weit kommt der Körper, bevor er auftrifft?

Dazu müssen wir wissen, wie lange er unterwegs ist, also wie lange es dauert, bis er nach 10 m Fall unten auftrifft.

Dazu interessiert nur die Fallbewegung y(t) = 1/2g*t².

Wir setzen y = 10 m und nehmen g = 10 m/sec², stellen nach t um (Wurzel ziehen!) und erhalten ungefähr t = 1,4 sec.

In dieser Zeit fliegt der>Körper also mit 2 m/sec in x-Richtung. Er wird also 2,8 m weit kommen.

5.2.3 Konstruieren des Graphen

Um die Flugbahn zu konstruieren (gleich lernen wir noch ein allgemeineres Verfahren kennen), müssen wir uns Zeiten t vorgeben.

Dann zu jeder Zeit t  die zugehörigen Koordinaten x = v*t und y = 1/2 g*t² ausrechnen. Auch hier wählen wir wieder g = 10 m/sec².

Wir erhalten

t in sec        x in m     y in m

0                  0             0 

0,2               0,4          0,2

0,4               0,8          0,8

0,6               1,2          1,8

0,8               1,6          3,2

1,0               2,0          5,0

1,2               2,4          7,2

1,4               2,8          9,8

Daraus ergibt sich der folgende Graph:

Im nächsten Post lernen wir dann das allgemeine Verfahren kennen und wie man die Bahngleichung bestimmt. Das ist vor allem für zukünftige LKler sehr wichtig!

P 35: Das Wettfallen zweier Münzen

 5. Der waagerechte Wurf

5.1 Die Aufgabe

5.1.1 Die Aufgabenstellung

Ein Körper fliegt waagerecht in einer Höhe h von 10 m mit einer Geschwindigkeit von vo = 2 m/sec von einem geraden Dach weg nach unten.

 

Wie weit vom Hausrand entfernt kommt er auf dem Boden auf? Berechne diese Wurfweite W.

Zeichne die Flugbahn.

(Luftreibung wird vernachlässigt)

5.1.2  Die Vorbereitung

Ich möchte das Wissen zusammenstellen, das Dir für die Lösung der Aufgabe hilfreich sein kann.

So kannst Du übrigens imemr vorgehen:

Die Aufgabe ansehen, das Wissen zusammenstellen (richtig notieren), was damit in Verbindung stehen könnte, und dann erst lösen...

Viele starren nur die Aufgabe an und warten auf eine Eingebung...die kommt eher selten..., aber fast von alleine, wenn man sich mögliches Vorwissen dazu bewusst macht (durch das notieren).

a) Bewegungen können sich überlagern

Dazu machst Du am besten selbst einen einfachen Versuch.

Lege, wie in der Abbildung, zwei Münzen an eine Tischkante, eine vor und eine auf ein Lineal. Dann dreh das Lineal ruckartig.

                                              aus Leifiphysik

Was fällt Dir auf, wenn Du den Aufprall hörst?

Wieso ist das eher verwunderlich? (Stell Dir die Flugbahnen der beiden Münzen vor!)

Erkläre die gemachte Beobachtung mit Hifle des Unabhängigkeitsbprinzips.

 Dabei können Dir die nächsten beiden Bilder helfen:

                                                  A.V. Gradwohl, TU Graz

  

                                                              leifiphysik

Ich hab mir nicht nehmen lassen, zu Hause schnell einen solchen Versuch in der Küche zu improvisieren...

 Die hintere Münze wird zur Seite gestoßen, sie macht einen waagerechten Wurf.

Der vorderen Münze ziehe ich "den Boden unter den Füßen" weg, sie fällt nur.

b) Welche Bewegungen überlagern sich hier?

Schreib die Gesetze für diese Bewegungen hin. Das ist ein GZG und es sind zwei WZG.

d) Was haben die Größen der Formeln mit unserer Aufgabe bzw. den Wurfversuchen zu tun?

Interpretiere die Buchstaben t und s Deiner Formeln für unsere Versuche.

5.1.3 Die Lösung

Deine Aufgabe...

Wenn Du weitere Hilfe brauchst, dann schau Dir die wunderschöne Simulation  bei Leifiphysik an:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/waagerechter-und-schraeger-wurf/grundwissen/waagerechter-wurf

Simulation waagerechter Wurf

Das Sammelsurium vieler Formeln unter der Simulation kannst Du getrost ignorieren.

Erstens kommst Du selbst auf die Lösung der Aufgabe und zweitens lernen wir die meisten dieser Formeln noch kennen, aber etwas langsamer und übersichtlicher...

Nun ran an die Lösung....