5.3 Bahngleichung der Flugbahn
Im Prinzip müssen wir die Rechnung ähnlich wie eben bei der Aufgabe machen, nur setzen wir keine Zahlen ein, sondern lassen alle Buchstaben stehen.
5.3.1 y-Achse zeigt nach unten
Wir wählen das bequeme Koordinatensystem, d.h. das, in dem die y-Achse in Richtung der Fallbewegung zeigt.
Dann haben wir die folgenden Gleichungen:
x-Richtung (gleichförmige Bewegung mit der Abwurfgeschwindigkeit v als feste Größe):
x = v*t
y-Richtung (gleichmäßig beschleunigte Bewegung, freier Fall):
y = 1/2 g*t²
Die Bestimmung einer Bahngleichung bedeutet: Wir wollen y in Abhängigkeit von x kennen. Da stört das t...also schmeißen wir es raus:
Wir lösen die erste Gleichung nach t auf und setzen das für das t in die zweite Gleichung ein.
Dann erhalten wir:
y = g/(2v²) * x²
Das ist die Gleichung einer Parabel durch den Ursprung.
t ist weg und mit x kann ich y direkt berechnen....
Eine solche Wurfparabel habt ihr selbst gezeichnet oder ihr seht sie auch im letzten Post.
Der Vorfaktor g/(2v²) regelt, wie steil die Parabel verläuft.
Wenn die Schwerkraft größer wird, dann steigt g und damit verläuft die Wurfbahn steiler.
Wenn man schneller abwirft, wird der Nenner größer, aber der ganze Vorfaktor kleiner, d.h. die Parabel verläuft flacher. Man wirft weiter.
Kennt ihr.
Auf einem Neutronenstern plumpst euch der Ball beim Loslassen direkt auf die Füße....
Eine mathematisch üblichere Darstellung ist die Folgende:
5.3.2 y-Achse zeigt nach oben
Wir werfen in der Höhe h ab. Die Gleichung für die x-Bewegung ändert sich nicht: x = v*t
Wie muss sich die Gleichung fürt die y-Bewegung ändern?
Wir starten mit h und ziehen immer die Fallstrecke 1/2g*t² ab:
y = h - 1/2g*t²
Wieder ersetzen wir das t in der zweiten Gleichung durch x/v (also t² durch x²/v²) und erhalten nach einer leichten Umformung:
y = h - g/(2v²) * x²
Diesen Funktionsgraph habe ich für h = 10 m und drei Abwurfgeschwindigkeiten 2 m/sec (blau), 4 m/sec (rot) und 8 m/sec (grün) für die Erde geplottet:
Ich habe die gesamte Funktion geplottet, für die Physik hat nur der erste Quadrant eine Bedeutung.
Und nun vergleichen wir mal Erde und Mond für v = 2 m/sec:
Schaut euch nochmal das Video vom hüpfendnen und singenden Astronauten an...das ist die Übertragung auf die Realität...
Du kannst solche Graphen leicht selbst erzeugen: Plottprogramm aufrufen, graphikfähigen Taschenrechner benutzten oder Punkte ausrechnen und Graphen per Hand zeichnen...
Im nächsten Post machen wir noch kurz etwas besonders für zukünftige LKler: Wir arbeiten beim waagerechten Wurf mit Vektoren.
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