P 130: Eigentlich kann es unsere Galaxis nicht geben...

 22.5.2 Kepler und die Dunkle Materie

Auch unsere Galaxis besteht zum größten Teil aus nicht sichtbarer Dunkler Materie DM.

Woher wissen wir das?

In den Außenbereichen dreht sich unsere Galaxis so schnell, dass durch die Fliehkraft alle Sterne schon längst weggeflogen wären, würden sie nur von den anderen sichtbaren Sternen angezogen. Unsere Galaxis hätte sich ohne DM schon längst aufgelöst....

Die Sterne  werden also von DM auf ihrer Bahn gehalten.

Die Beobachtungen dazu wurden von der Astronomin Vera C. Rubin (1928-2016) durchgeführt. 1962 stellte sie einer ihrer Studentengruppen die Aufgabe, eine Rotationskurve von unserer Galaxis zu messen.

In dieser Kurve soll die Rotationsgeschwindigkeit für verschiedene Abstände vom Zentrum bestimmt werden.

Wieder geht das nur, in dem man die Farbveränderungen beobachtet, die durch die Rotationsbewegungen von leuchtenden Gasen entstehen (Dopplereffekt: zeigt der Geschwindigkeitsvektor von uns fort, beobachtet man eine Rotverschiebung, ansonsten eine Blauverschiebung).

Was war zu erwarten?

Wäre unsere Galaxis eine starre rotierende Scheibe, so würde die Rotationsgeschwindigkeit v proportional zum Abstand r ansteigen: v = ω * r.

Die Formel kennen  wir.

Würden alle Sterne wie Planeten um eine zentrale Masse kreisen (Kepler Rotation) so gilt (siehe Post 127):

v = √ ( G * M / r), d.h. die Rotationsgeschwindigkeit nimmt mit der Wurzel aus dem Abstand ab.

Auch diese Formel haben wir hergeleitet.

Was haben Rubin und ihre Studenten gesehen?

In den äußeren Bereichen bleibt die Rotationsgeschwindigkeit nahezu konstant, vollkommen unerwartet..

Das kann nur so erklärt werden, dass weit außen, also da, wo man keine Sterne mehr sieht, große Mengen an DM die schnelle Rotationsbewegung der Sterne verursachen.

Als nächstes (1970) bestimmte sie die Rotationskurve der Andromedagalaxie, unserer großen Nachbargalaxie:

Im Zentrum rotiert sie wie eine starre Scheibe, dann gibt es einen kleinen Bereich mit Kepler Rotation und ab da geht es ab...die DM macht Dampf!

In den Jahren danach hat Rubin die Rotationskurven von vielen anderen Galaxien  bestimmt und immer wieder das gleiche Ergebnis gefunden:

In einer Veröffentlichung von 1980 schreibt sie:

"The conclusion is inescapable that non-luminous matter exists beyond the optical galaxy.”

Die Entdeckung Zwickys fast 50 Jahre vorher konnte sie als allgemeines Gesetz bestätigen.

Sie hat die DM nicht entdeckt. Als Rubin ihre Ausbildung begann, war die Idee der DM schon da. Aber sie hat zweifelsfrei die Existenz von DM in den Galaxien nachgewiesen.

Heute vermuten wir, dass DM einen entscheidenden Anteil an der Bildung von kosmischen Strukturen hat. DM bildet ein Netzwerk im Kosmos (das auch beobachtet wird), an deren Knoten sich die sichtbare Materie angelagert hat, konzentriert wurde und Sterne und Galaxien gebildet hat.

Wir leben und sind gefangen in einem gigantischen Netzwerk aus Dunkler Materie.

Alles, was wir über die Gravitation und Kreisbewegungen in diesem Kurs gelernt haben, ermöglicht es uns, diese Erkenntnis nachzuvollziehen.

Die Formel für einen waagerechten Wurf werdet ihr wahrscheinlich nach der Schule nie wieder brauchen, die Erkenntnis in einem Netz aus unsichtbarer Materie zur Existenz gekommen zu sein, solltet ihr nie wieder vergessen.

Das Bild zeigt eine Computersimulation der Strukturbildung im Kosmos durch DM.

Nächste Woche beginnt der letzte große Abschnitt: Schwingungen

Sie spielen in vielen Bereichen der Physik in Q2 und Q3 eine große Rolle. Wir werden das Thema vor allem an Schallschwingungen und Musikinstrumenten entwickeln.

P 128: Die kosmische Waage

 22.4 Massenbestimmung im Kosmos

Für die Sonnenmasse habt ihr es ja schon gemacht:

Umlaufszeit der Erde: 1 Jahr

Abstand der Erde r= 150 Millionen km.

Aber Achtung: P muss in Sekunden und r in Metern eingesetzt werden.

Wer das gemacht hat, erhält die richtige Sonnenmasse: M = 2*10^30 kg.

Jetzt müsste auch klar sein, wie man Massen im Kosmos bestimmt!

Was benötigt man?

Einen Körper, der die zu bestimmende Masse umläuft. Das kann ein Planet sein, das kann ein Mond sein, das kann ein Satellit sein, das kann ein Stern sein, der um das Zentrum der Milchstraße kreist, das kann eine Galaxie sein, die um eine andere kreist...

Wir brauchen immer die Umlaufszeit des Himmelskörpers und seinen Abstand zum Körper, dessen Masse wir berechnen wollen.

Das mit der Umlaufszeit ist schwierig, wenn ein Stern um das galaktische Zentrum kreist. Die Sonne braucht dazu 240 Millionen Jahre. Da kann man natürlich nicht warten...

Aber es gibt einen Effekt, den Dopplereffekt (den lernt ihr später kennen), mit dem kann man leicht Geschwindigkeiten von leuchtenden Objekten messen (und Geschwindigkeiten von  Autos in Radarfallen...). Kennt man die Umlaufsgeschwindigkeit v und den Abstand r, so erhält man die Umlaufsperiode P = 2* π  *r / v. Um den Abstand r, also den Bahnradius zu bestimmen, muss man allerdings die Entfernung kennen...

Also ganz so einfach ist die Massenbestimmung nicht...

Ein nicht allzu oft anwendbares Verfahren ist die sog. Gravitationsrotverschiebung: Wenn Licht von einem kompakten Objekt wegfliegt, wird es röter. Kennt man die ursprüngliche Farbe, so kann man aus der Rötung auf die Masse des Objektes schließen. Das geht insbesondere bei Weißen Zwergen.

Nun sollt ihr mal die ein oder andere Masse ausrechnen:

Wie groß ist die Masse des Jupiters?

Der Jupitermond Io umkreist den Jupiter in 1 Tag 18,5 Stunden in einem Abstand von 421600 km.

Wie groß ist die Masse der Erde?

Der Erdmond läuft in 27,3 Tage in einem mittleren Abstand von 384400 km um die Erde.

Wie groß ist die Masse des inneren Teil unserer Milchstraße?

Die Sonne läuft in 240 Millionen km in einem Abstand von 25 000 Lichtjahren um das Zentrum der Galaxis.

Der Stern S2 läuft in einem Abstand  von 4 Lichttagen in 16 Jahren um das Schwarze Loch im Zentrum unserer Galaxis.

                           

(Bild: MPE)

                                                                  

Welche Masse hat das Schwarze Loch?

(Das Ergebnis entspricht nicht genau den bekannten Werten, da die Sternbahn eine stark abgeplattete Ellipse ist. Er nähert sich dem Schwarzen Loch bis auf 18 Milliarden km.)

Hier übrigens ein Bild der Umgebung des Schwarzen Loches, erst vor wenigen Wochen veröffentlicht:

P 127: Aus Newton wird Kepler (und umgekehrt)

 Zuerst etwas zu den Aufgaben:

Kepler hat die Entfernung Erde-Mars nicht in km angeben können. Dazu hätte er die Entfernung Erde-Sonne (1AE) kennen müssen oder die Marsentfernung direkt messen müssen. Beides war erst messtechnisch Jahrzehnte später möglich.

Die Entfernungen der Planeten in AE sind: Merkur 0,39 AE, Venus 0,62 AE, Erde 1 AE, Mars 1,5 AE, Jupiter 5,2 AE Saturn 9,6 AE.

Damit lässt sich leicht ein maßstäbliches Modell zeichnen. Wer da Pluto mit drauf haben will (er ist aber kein Planet) muss bis 40 AE erweitern....

22.3.3 Herleitung des dritten Keplerschen Gesetzes aus dem Gravitationsgesetz

Wir besprechen nur den sehr einfachen Fall, bei dem ein Planet mit der vernachlässigbaren kleinen Masse m auf einer Kreisbahn um die Sonne mit der Masse M umläuft.

In P 102 vom 16.3. haben wir die Zentralbeschleunigung kennengelernt.

Zentralbeschleunigung

Achtung: Wir werden jetzt a ausschließlich für eine Beschleunigung verwenden. Da wir Kreisbahnen behandeln, ist der Radius r die große Halbachse. Dafür werden wir kein a mehr nehmen.

Zentralbeschleunigung: a = v²/r

Das ergibt die Zentralkraft F = m*a = m*v²/r.

Diese Zentralkraft, die den Planet auf der Bahn hält (damit er nicht wegen seiner Trägheit tangential wegfliegt) wird durch die Gravitationskraft F = G * M*m/r² erzeugt (G ist die Gravitationskonstante, die wir ja auch schon kennengelernt haben).

Beide Kräfte müssen gleich groß sein:

m*v²/r  = G * m * M/r²

Auf beiden Seiten der Gleichung können wir durch m dividieren, d.h. m, die Planetenmasse, fällt raus.

Was heißt das?

Bei Kreisbahnen ist es egal, ob eine winzige Raumfahrermaus oder ein riesiger Jupiter um die Sonne laufen...

wdr-Maus

Nun lösen wir nach v auf (beide Seite mit r multiplizieren und wurzeln...):

v² = G * M / r       (Gl.#)

 v = √ ( G * M / r)

Diese wichtige Formel führt uns gleich zur Entdeckung der Dunklen Materie.

Ganz ähnliche Herleitungen werdet ihr in Q2 bei elektrischen und magnetischen Feldern durchführen. Da kommen auch Kreisbahnen von Ladungen vor... Es gibt sogar ein drittes Keplersches Gesetz für Elektronenbahnen in Atomen....

Erst einmal soll es weitergehen zu Kepler III:

v = Weg/Zeit = Bahnumfang/Umlaufsperiode = 2 * π * r / P

Damit: v² = 4π²r²/P²

Das setzen wir in Gl.# ein:

4π²r²/P² = G*M/r

Damit erhält man (probiere die Umformungen selbst aus):

  P² *G*M/r = 4π²r²

und somit:

P² = 4π²/(G*M) * r³

Das bedeutet: P² ~ r³

Das ist die Aussage des 3. Keplerschen Gesetzes: Die Quadrate der Umlaufszeiten sind proportional zu den dritten Potenzen der großen Halbachsen, d.h. der Bahnradien.

Und wir kennen jetzt auch die Proportionalitätskonstante: Es ist die Masse der Sonne, als wesentlicher Bestandteil!

Aufgabe: Berechne die Sonnenmasse.

P 126:Kepler III

 22.3 Gravitationsgesetz und das dritte Keplersche Gesetz

Kepler hat lange gebraucht, um die "Zahlenspielerei" seines dritten Gesetzes zu finden: P² ~ a³:

Die Quadrate der Umlaufszeiten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse.

22.3.1 Kepler spielt mit Zahlen

Von der Erde wusste er die Umlaufszeit: 1 Jahr.

Von den anderen großen Planeten konnte er sie bestimmen, aber das ist gar nicht so einfach:

Wir haben jetzt soviel gelernt, dass wir sogar seine Idee nachvollziehen können:

In Post 105 vom 22.3. haben wir das, etwas einfacher dargestellt, schon einmal für den Mond durchdacht:

Mond statt Mars

Der Mars bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω(M) um die Sonne, die Erde mit der Winkelgeschwindigkeit ω(E).

Der Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Umlaufsperiode ist uns bekannt:

   ω = 2*π* f = 2*π/P, da P = 1/f als Umlaufsdauer der Kehrwert der Umlaufsfrequenz ist.

Da wir den Mars von der bewegten Erde aus beobachten, erkennen wir nur die Differenz der Winkelgeschwindigkeiten als Bewegung am Himmel.

Auftrag: Mache Dir das an zwei Autos klar. Wir beobachten ein Auto aus einem fahrenden Auto heraus....

Wir nennen diese Differenz die scheinbare oder synodische Bewegung:

    ω(syn) = ω(E) - ω(M)

Auch die synodische (scheinbare) Winkelgeschwindigkeit lässt sich als Kehrwert einer synodischen, scheinbaren Periodendauer darstellen.

Damit erhalten wir:

   1/P(syn) = 1/P(E) - 1/P(M)

Frage: Was ist mit den vielen Pi`s passiert????

Kepler hat ja die Marsbahn gut beobachtet, er konnte die synodische Periodendauer des Mars bestimmen. Das ist z.B. die Zeit zwischen zwei Stellungen, in denen der Mars der Sonne gegenübersteht (Oppositionsstellungen, Mars ist die ganze Nacht zu sehen). Das sind 2,14 Jahre.

Die Umlaufszeit P(E) der Erde um die Sonne kannte Kepler auch: P(E) = 1 Jahr.

Was Kepler suchte, war die Umlaufszeit P(M) des Mars:

  1/2,14 = 1/1 - 1/P(M)

Aufgabe: Rechne damit die Umlaufszeit des Mars aus.

Man erhält 1,88 Jahre.

Hinweis: 

Das alles ist kein Abiturwissen. Ich denke unter 10% alle Physikkurse in Deutschland behandeln dieses Thema. Ich finde das aber blöd...denn es gibt  Einblick in die Entwicklung unseres Weltbildes und zeigt uns, wie präzise Kepler schon damals die Zusammenhänge erdacht hatte.

Also: Alle 1,88 Jahre umrundet der Mars die Sonne und alle 2,14 Jahre sehen wir auf der Erde ihn relativ zur Sonne in der gleichen Position. Nur diese letzte Zahl konnte Kepler beobachten. Die gesuchte Zahl musste er durch diese Überlegungen errechnen.

                                                                Bilder: Keplermuseum Graz

                                                 

Auf diese Art hat er auch die  (wahren) Umlaufszeiten der anderen Planeten bestimmt.

Das nützte ihm aber nichts, denn er hatte nur präzise Beobachtungen der Marsbewegung, aus denen er die Marsbahn relativ zur Erdbahn konstruieren konnte.

Nahm er die Entfernung der Erde dabei als Einheit (1 AE = 1 Astronomische Einheit = 150 Millionen km), konnte er auch die Entfernung des Mars zur Sonne in AE, aber nicht in km, bestimmen.

Er erhielt aus seinen Konstruktionen der Marsbahn 1,5 AE.

Frage: Was hätte Kepler bekannt sein müssen, um die Entfernung des Mars auch in Kilometern anzugeben?

Achtung Falle: Hier ist a die große Halbachse der Ellipse. Früher war a für uns eine Beschleunigung. Man muss aus dem Zusammenhang erkennen, welche Bedeutung a hat.

Welche Zentralbeschleunigung a besitzt ein Planet, dessen Bahn die große Halbachse a hat?

Ist nicht ganz ernst gemeint, heraus käme die Formel : a = v²/a  (hatten wir als a = v²/r)...und wer jetzt in de  letzten Formel die beiden a´s zusammenfasst, hat verloren...a² = v², kompletter Unsinn...

Die spinnen die Physiker...oder die Germanisten hätten mehr Buchstaben im Alphabet erfinden sollen...

Nun machen wir mit Kepler weiter: 1,88² = 1,5³ ...wer hätte das gedacht...

Damit hatte er seine Formel gefunden...  P² ~ a³

23.3.2 Ein maßstäbliches Modell des Planetensystems

Aufgabe: Berechne die Entfernung  a(M) des Mars zur Sonne in AE:

Lösung: a(M)³ / (1 AE)³  = (1,88 Jahre)² / (1 Jahr)²

Man erhält 1,52 AE.

Aufgabe: 

Zeichne ein maßstäbliches Modell des Planetensystems mit den Planeten, die Kepler gekannt hatte:.

Umlaufszeiten der Planeten:

Merkur: 88 Tage

Venus: 0,625 Jahre

Erde: 1 Jahr

Mars: 1,88 Jahre

Jupiter: 11,9 Jahre

Saturn: 29,6 Jahre

wird fortgesetzt...

P 124: Kepler I und II

 22.2 Zentralkraft und Drehimpulserhaltung

Wenn wir annehmen, dass die Sonne fest steht und wegen ihrer viel größeren Masse vernachlässigbar wenig von den Planeten angezogen wird (was nicht ganz stimmt), der Raum um die Sonne nicht gekrümmt ist (was auch nicht stimmt) und die Planeten sich gegenseitig nicht anziehen (was ebenfalls nicht der Fall ist), dann kann man die Anziehungskraft der Sonne als Zentralkraft bezeichnen: Sie zeigt immer auf den Mittelpunkt der Sonne.

Eine solche Kraft kann auf einen Planeten  kein Drehmoment ausüben, d.h. er behält sein Drehimpuls.

Im Post 121 haben wir ΔL = M * Δt kennen gelernt: Wenn das Drehmoment M =0 ist, kann sich der Drehimpuls nicht ändern, d.h. ΔL = 0.

Der Drehimpuls eines Planeten ist aber L = m*v*r (Post 116).

Nun sind die Planetenbahnen Ellipsen, d.h. der Abstand r zur Sonne ändert sich. Wird r kleiner, so muss v entsprechend zunehmen, damit L gleich bleibt.

Das genau beschreibt das 2.Keplersche Gesetz: 

Es ist also der Drehimpulserhaltungssatz.

Mathematischer Exkurs:

Wir wollen die Sprechweise von Kepler begründen: Der Fahrstrahl des Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

                                                            wikipedia common

Wir nehmen eine winzig kleine Zeit Δt. Der Planet legt auf seiner Bahn die Strecke Δs = v * Δt zurück.

Damit haben wir eine Seite des Dreiecks, das näherungsweise rechtwinklig ist.

Dann ist die Fläche des Dreiecks ΔA = 1/2 * Basis * Höhe = 1/2 *r * Δr = 1/2 * r * v * Δt

Da L = m*r*v ist, können wir auch schreiben:

ΔA = 1/2 * L/m * Δt

Damit ergibt sich: ΔA/Δt = 1/2*L/m

ΔA/Δt ist eine Flächenänderung pro Zeit, das kann man als Flächengeschwindigkeit beschreiben.

Wenn also der Drehimpuls L konstant ist, dann muss die Flächengeschwindigkeit der Planetenbahn immer gleich sein, d.h. in gleichen Zeiten muss der Fahrstrahl gleiche Flächen überstreichen.

Faszinierend, wie Kepler die Drehimpulserhaltung gefunden hat, ohne den Begriff Drehimpuls zu kennen....

Ende mathematischer Exkurs

Kommen wir noch zum 1.Keplerschen Gesetz:

Da sich die Anziehungskraft der Sonne zeitlich nicht ändert (wir nennen das eine konservative Kraft), muss der Energieerhaltungssatz gelten.

Damit kann man zeigen, dass je nach Gesamtenergie E nur die folgenden Bahnformen vorkommen können:

E = 0:  Parabelbahn

E > 0:  Hyperbelbahn

E < 0: Kreisbahn oder Ellipsenbahn.

Und das ist letztlich Keplers erstes Gesetz.

                                                                   nach wikipedia common

Wenn man annimmt, dass der Planet auch die Sonne  anzieht, dann hat man ein sogenanntes Zwei-Körper-Problem vor sich liegen. Das kann man auch gut berechnen.

Sobald aber drei Massen oder mehr vorkommen, sind die Bahnen nicht berechenbar, sie können nur näherungsweise im Computer simuliert werden.

P 123: Kepler revolutioniert die Himmelsmechanik

 22. Dunkle Materie und Keplers Gesetze der Planetenbewegung

22.1 Was hat Kepler gemacht?

Nikolaus Kopernikus (1473 - 1543) hat im Jahr seines Todes ein Werk veröffentlicht, dass unser heliozentrisches Weltbild begründet: Die Erde als sich drehender Planet umläuft wie die anderen Planeten die Sonne auf einer Kreisbahn und steht damit nicht mehr im Mittelpunkt der Welt.

Tycho Brahe

Johannes Kepler (1571-1630) entdeckte dann 1606 und 1618 die drei grundlegenden Gesetze der Planetenbewegung. Er wertete die sehr genauen Beobachtungen von Tycho Brahe (1546-1601) zur Marsbewegung am Himmel aus.

Vermutlich hat Newton sein Gravitationsgesetz aus Keplers Gesetzen gewonnen. Wir werden später den umgekehrten Weg zeigen.

Wir wollen Keplers Gesetze einmal darstellen:

1.Keplersches Gesetz:

Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einen Brennpunkt die Sonne steht.

Eine Ellipse kennen wir aus den vergeblichen Versuchen einen Kreis zu zeichnen, sie sieht wie ein zusammengedrückter Kreis aus.

Wir müssen hier nur ein paar Begriffe kennen:

Wenn die Sonne in einem Brennpunkt steht (für alle Planetenbahnen ist es der auf der gleichen Seite), dann gibt es einen Punkt mit dem geringsten Sonnenabstand, den nennt man Perihel, und einen mit dem größten Sonnenabstand, den nennt man Aphel.

Die Strecke vom Mittelpunkt der Ellipse zu Perihel oder Aphel nennt man große Halbachse a. Sie wird oft auch als mittlere Planetenentfernung bezeichnet.

Bearbeitetes Bild aus leifiphysik

Beispiel Erde:

Mittlere Entfernung: 150 Mill km

Perihelabstand: 147 Millionen km

Aphelabstand: 152 Millionen km

Die Abweichung von einer Kreisbahn würde man mit freiem Auge bei der Erdbahn gar nicht erkennen.

Die Brennpunkt werden über die Bahnform definiert: Von jedem Punkt der Ellipse aus ist die Summe der beiden Abstände zu den beiden Brennpunkten immer gleich und zwar gleich 2a, wenn a die Länge der großen Halbachse ist.

Aufgabe: Wenn der Planet im Perihel oder Aphel steht, lässt sich leicht zeigen, dass die Summe der Brennpunktsabstände gleich 2a ist.

Der Begriff der Exzentrizität ist noch wichtig: Damit bezeichnet man das Verhältnis e aus dem Abstand eines Brennpunktes zum Mittelpunkt geteilt durch die große Halbachse.

Zeige: Ein Kreis hat die Exzentrizität e =0, die Exzentrizität einer Ellipse liegt zwischen 0 und 1.

Hinweis: e = 1 ist eine Parabel und e > 1 eine Hyperbel.

Himmelskörper auf Parabelbahnen gehören noch (für unendliche lange Zeit) zum Sonnensystem, Himmelskörper auf Hyperbelbahnen fliegen nur einmal vorbei und sind dann wieder weg....

2.Keplersches Gesetz:

Die Verbindungslinie Planet-Sonne (Kepler nennt das den Fahrstrahl des Planeten) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Aufgabe: Fahre mit dem Finger eine solche Bewegung ab. Was bedeutet dass, wenn der Planet das Perihel und was, wenn er das Aphel überstreicht?

Frage: Was kann man nach dem 2.Keplerschen Gesetz über die rot markierten Flächen sagen?

Aufgabe: Anfang Januar steht die Erde im Perihel ihrer Bahn, Anfang Juli im Aphel (noch einmal: die Jahreszeiten haben nichts mit dem Abstand Erde-Sonne zu tun, sondern mit der Neigung der Erdachse).

Das Sommerhalbjahr geht vom Frühlingsanfang am 20.3. bis zum Herbstanfang am 23.9.

Das Winterhalbjahr (der Nordhalbkugel) geht vom 23.9. zum 20.3.

Erkläre, wieso das Sommerhalbjahr etwa eine Woche länger ist. Es gibt zwei Effekte, die dazu beitragen.

3. Keplersches Gesetz:

Hier hat Kepler die Umlaufszeiten der Planeten P und ihre großen Halbachsen a in Beziehung gesetzt:

Das Verhältnis der Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten unserer Sonne ist gleich dem Verhältnis der Kuben ihrer großen Halbachsen:

P1²/P2² = a1³/a2³

Wir werden die physikalischen Hintergründe dieser drei Gesetze in den nächsten Posts kennenlernen und dabei erkennen, was sie mit der Dunklen Materie zu tun haben.