Zuerst etwas zu den Aufgaben:
Kepler hat die Entfernung Erde-Mars nicht in km angeben können. Dazu hätte er die Entfernung Erde-Sonne (1AE) kennen müssen oder die Marsentfernung direkt messen müssen. Beides war erst messtechnisch Jahrzehnte später möglich.
Die Entfernungen der Planeten in AE sind: Merkur 0,39 AE, Venus 0,62 AE, Erde 1 AE, Mars 1,5 AE, Jupiter 5,2 AE Saturn 9,6 AE.
Damit lässt sich leicht ein maßstäbliches Modell zeichnen. Wer da Pluto mit drauf haben will (er ist aber kein Planet) muss bis 40 AE erweitern....
22.3.3 Herleitung des dritten Keplerschen Gesetzes aus dem Gravitationsgesetz
Wir besprechen nur den sehr einfachen Fall, bei dem ein Planet mit der vernachlässigbaren kleinen Masse m auf einer Kreisbahn um die Sonne mit der Masse M umläuft.
In P 102 vom 16.3. haben wir die Zentralbeschleunigung kennengelernt.
Achtung: Wir werden jetzt a ausschließlich für eine Beschleunigung verwenden. Da wir Kreisbahnen behandeln, ist der Radius r die große Halbachse. Dafür werden wir kein a mehr nehmen.
Zentralbeschleunigung: a = v²/r
Das ergibt die Zentralkraft F = m*a = m*v²/r.
Diese Zentralkraft, die den Planet auf der Bahn hält (damit er nicht wegen seiner Trägheit tangential wegfliegt) wird durch die Gravitationskraft F = G * M*m/r² erzeugt (G ist die Gravitationskonstante, die wir ja auch schon kennengelernt haben).
Beide Kräfte müssen gleich groß sein:
m*v²/r = G * m * M/r²
Was heißt das?
Bei Kreisbahnen ist es egal, ob eine winzige Raumfahrermaus oder ein riesiger Jupiter um die Sonne laufen...
wdr-Maus
Nun lösen wir nach v auf (beide Seite mit r multiplizieren und wurzeln...):
v² = G * M / r (Gl.#)
v = √ ( G * M / r)
Diese wichtige Formel führt uns gleich zur Entdeckung der Dunklen Materie.
Ganz ähnliche Herleitungen werdet ihr in Q2 bei elektrischen und magnetischen Feldern durchführen. Da kommen auch Kreisbahnen von Ladungen vor... Es gibt sogar ein drittes Keplersches Gesetz für Elektronenbahnen in Atomen....
Erst einmal soll es weitergehen zu Kepler III:
v = Weg/Zeit = Bahnumfang/Umlaufsperiode = 2 * π * r / P
Damit: v² = 4π²r²/P²
Das setzen wir in Gl.# ein:
4π²r²/P² = G*M/r
Damit erhält man (probiere die Umformungen selbst aus):
P² *G*M/r = 4π²r²
und somit:
P² = 4π²/(G*M) * r³
Das bedeutet: P² ~ r³
Das ist die Aussage des 3. Keplerschen Gesetzes: Die Quadrate der Umlaufszeiten sind proportional zu den dritten Potenzen der großen Halbachsen, d.h. der Bahnradien.
Und wir kennen jetzt auch die Proportionalitätskonstante: Es ist die Masse der Sonne, als wesentlicher Bestandteil!
Aufgabe: Berechne die Sonnenmasse.
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