P 163: Chaos ist überall

30. Auch Schwingungen können chaotisch sein

 Die Inhalte dieser Informationen werden nicht in Prüfungen oder Klausuren abgefragt. Sie gehören zu aktuellen Entwicklungen der Naturwissenschaften, die erst seit ca. 15 Jahren von Bedeutung sind.

Im Folgenden gibt es einige grundlegende Informationen zum Chaos.

 -          Was ist Chaos?

Immer wenn die Beziehungen zwischen Ursachen und Wirkungen nichtlinear sind, können Rückkopplungen auftreten, d.h. Wirkungen können Ursachen verändern. So entstehen Prozesse der Selbstorganisation, die sowohl chaotisch ablaufen aber auch Strukturen erzeugen (wie Galaxienbildung, Ameisenstaaten, Organismen, Evolution, Bewusstsein). Chaos und Strukturen bedingen sich wechselseitig in Entwicklungsprozessen. Sie sind keine Gegensätze sondern verschiedene ständig ineinander übergehende Entwicklungsstadien von komplexen Systemen.

 -          Eigenschaften chaotischer Systeme:

Die Entwicklung chaotischer Systeme verläuft nicht zufällig, sondern ist durch streng determinierte Naturgesetze bestimmt.

Wegen der Nichtlinearität aber hängt die Entwicklung extrem empfindlich von den Anfangsbedingungen ab. Zu Beginn ähnliche Entwicklungen entwickeln sich schnell exponentiell auseinander.

Verändert man einen Systemparameter, so kann das System aus einem stabilen Zustand zwei stabile Zustände und dann vier und dann 8 stabile Zustände machen. Dies nennt man unglücklicherweise eine Periodenverdopplung, es ist besser eine Verdopplung möglicher stabiler Zustände. Das Fachwort heißt Bifurkation (weil das im Feigenbaumdiagramm wie eine Gabel aussieht). Ändert man den Systemparameter weiter, so treten schließlich alle möglichen Zustände auf. Das System verhält sich chaotisch.

Es gibt aber auch noch andere Wege von der Ordnung ins Chaos als den der Periodenverdopplung.

 -          Seltsame Attraktoren:

Die Menge aller möglichen stabilen Endzustände eines Systems nennt man Attraktor. Chaotische Systeme entwickeln sich häufig auf einen solchen Attraktorzustand hin. Dabei aber bleiben die chaotischen Eigenschaften erhalten: Obwohl nur eine begrenzte Anzahl von Endzuständen im Attraktor liegen, laufen die Entwicklungen exponentiell auseinander. Der Attraktor zieht also die Entwicklungen an und schleudert sie dann in seinem begrenzten Inneren exponentiell auseinander. Das geht nur, wenn der Attraktor fraktale Strukturen hat, eben seltsam ist.

 -          Eigenschaften von Fraktalen:

Fraktale sind extrem komplizierte geometrische Gebilde, die aber durch einfache Regeln (und Rückkopplungen) erzeugt werden (ihr habt bestimmt einige bei der Videorückkopplung gesehen). Sie sind wieder in sich selbst zerlegbar, sie sind selbstähnlich, d.h. in jedem Teil von ihnen steckt ein Bild des ganzen (ein Farnzweig sieht entsprechend vergrößert wie ein Farn aus). Fraktale haben gebrochenzahlige Dimensionen, so hat z.B. Kleinfeld 1990 entdeckt, das neuronale Aktivitäten im menschlichen Gehirn fraktale Muster bilden, die die Dimension 1,7 +/- 0,1 besitzen, also fast flächenförmig sind, und deutlich mehr als linear.

 - Feigenbaumdiagramm

Trägt man die möglichen  Endzustände eines chaotischen Systems gegen eine bestimmende Größe auf (das kann bei einem Pendel die Dämpfung sein),  so erhält man das Feigenbaum-Diagramm, an dem man den Übergang ins Chaos durch „Periodenverdopplung“ erkennen kann. Ganz am Ende, wenn alle möglichen Zustände auch als Endzustände vorkommen können, dann ist das System im Chaos.

 -          Phasenraumdarstellung:

Eine weitere Möglichkeit mit Hilfe komplizierter Messungen oder Computersimulationen die Entwicklung eines Systems zu beschreiben sind Phasenraumdarstellungen. Das hat nur manchmal was mit Phasen zu tun, eigentlich werden immer nur zwei verschiedene das System beschreibende Größen gegeneinander aufgetragen.

-   Beispiele:

1)      Der tropfende Wasserhahn

 Bei kleinem Wasserdruck kommen die Tropfen regelmäßig. Erhöht man den Wasserdruck (und damit die Ausströmgeschwindigkeit, das ist der Parameter, verdoppelt sich immer wieder die Tropffrequenz bis es zu einem chaotischen Tropfen kommt, das dann in eine Strömung übergeht.

     2)      Herzschwingungen

Trägt man die Zeit zwischen zwei, drei und vier aufeinander folgenden Herzschlägen in einem Diagramm dreidimensional auf, so erkennt man beim gesunden Herz einen Attraktorbereich, der bei Erkrankung in einen immer breiteren chaotischen Bereich übergeht. Das Herzflimmern ist der komplett chaotische Bereich, es führt meist zum Tod. Die Darstellung des Chaoszustandes der Herzschläge ist inzwischen ein zuverlässigeres Diagnosemittel als das normale EKG. 

 Vielleicht macht so ein Ausflug in aktuelle (physikalische) Forschung auch etwas Spaß!

Die in der Schule behandelte „lineare“ Physik ist eigentlich nur ein Grenzfall in der nichtlinearen chaotisch-komplexen Realität. In einer linearen Welt gäbe es weder Galaxien noch Leben noch Bewusstsein.

      3) Chaotisches Doppelpendel:

 Hängt man zwei Pendel aneinander und lenkt sie beide auf, so gibt es eine Rückkopplung zwischen den Pendeln, die zu einem chaotischen Verhalten führt.

Das hat Prof. René Matzdorf (Universität Kassel) sehr schön für sein virtuelles Physiklabor aufbereitet.

Es lohnt sich einmal damit zu spielen:

Spielen mit dem chaotischen Doppelpendel

Vielleicht macht so ein Ausflug in aktuelle (physikalische) Forschung auch etwas Spaß!

Die in der Schule behandelte „lineare“ Physik ist eigentlich nur ein Grenzfall in der nichtlinearen chaotisch-komplexen Realität. In einer linearen Welt gäbe es weder Galaxien noch Leben noch Bewusstsein.

Das Chaos ist die Normalität, die linearen Formeln der Schulphysik nur ein Grenzfall der Realität.

Wer sich mehr mit diesem Thema "Chaos und Fraktale "auseinandersetzen will, ist eingeladen, meinen Online-Workshop mitzumachen:

Komplexe Zahlen, Chaos und Fraktale

Noch ein paar Vokabeln zum Thema:

Vocabulary:

Perturbation     Störung                                    mapping  Abbildung, Funktion

Phase space Phasenraum                                  Self-similiar structure  selbstähnl.Struktur

Trajectory  Bahn im Phasenraum                     Stable orbit  stabile Bahn

Derivation  Ableitung, Änderung                      fractal dimension

 

P 55: Meter und Sekunden

 Teil 2: Einstein denkt über das Fallen nach

Dieser Teil kann auch nach der Behandlung der Newtonschen Axiome durchgearbeitet werden.

Ich habe mich entschieden, das Thema vorzuziehen. Dann muss ich hier rein vom Phänomen her vorgehen, da mir die Newtonschen Formeln nicht zur Verfügung stehen. Aber dadurch machen wir mal etwas vielleicht interessanteres.

Andererseits, wenn wir den Formalismus  in Teil 3 behandeln, können wir gleich kritischer mit dem von Newton verwendeten Massenbegriff umgehen.

10. Mechanische Grundgrößen

10.1 Was haben wir bisher gemacht?

Wir haben gelernt, das man aus dem Startort und der Startgeschwindigkeit mit Hilfe des WZG und des GZG den vorliegenden Bewegungsablauf berechnen kann.

Wir konnten sogar die Bahngleichung des waagerechten und des schiefen Wurfes bestimmen.

Dieses erfolgreiche Vorgehen der Mechanik führte zur Vorstellung, das alle Prozesse der Welt aus Bewegungen bestehen und somit berechenbar sein müssen.

Vor 20 Jahren zeigte sich die Grenze dieser Vorstellung:

Sobald Gesetze und Regeln nichtlinear werden (also Sinus, Wurzeln  oder Quadrate in den Formeln stehen), kann Chaos eintreten. Dann wachsen kleinste Abweichungen extrem (exponentiell) an.

"Das Bewegen eines Schmetterlingsflügels in Brasilien kann in Europa einen Orkan auslösen".

Unsere Welt ist eigentlich chaotisch. Aber seltsamerweise bringt das Chaos immer wieder geordnete, stabile Zustände hervor. Das ist unsere bestimmbare Welt.

Eine andere Grenze der  klassischen Mechanik ist seit 100 Jahren bekannt:

Elementarteilchen haben weder Orte noch Geschwindigkeiten. Bahnen, auf denen sie sich bewegen, gibt es nicht.

Bewegungen sind Erfindungen unseres Gehirnes in der makroskopischen Welt, die es uns bzw. unseren Vorfahren ermöglicht haben, einen Speer so zu werfen, dass er das Wildschein trifft und die Familie ausreichend viel zu essen hat.

Die Mechanik, die wir bisher behandelt haben, dient also nur dazu, unsere makroskopischen Eindrücke der Welt zu beschreiben.

Und dabei haben wir es uns besonders einfach gemacht: Wir haben von "Massenpunkten" gesprochen, also punktförmigen Objekten, die sich ohne Reibung bewegen.

Gänzlich verzichtet haben wir bisher, über die Größen Länge, Zeit und Masse nachzudenken.

Das wollen wir (teilweise) jetzt im Kurs, ergänzt durch Extraseiten nachholen.

10.2 Grundeinheiten für  Länge und Zeit

Wir machen hier nur einige kurze Angaben. Ganze Forschungsinstitute beschäftigen sich mit diesem Thema.

10.2.1 Die Sekunde

Bis 1967 wurde eine Sekunde über astronomische Messungen bestimmt. Sie ist der 86400-te Teil eines mittleren Sonnentages eines bestimmten Jahres. Dann lernte man Zeiten genauer zu messen und erkannte, dass sich die astronomischen Eigenschaften der Erddrehung und der Erdbahn ändern und schwanken.

Seit 1967 definiert man Sekunden mit sog. Atomuhren. In ihnen erzeugen Atome Mikrowellenschwingungen mit einer ganz bestimmten Schwingungszahl pro Sekunde. Man gibt an, nach wieviel Schwingungen eine Sekunde abgelaufen ist: 9.192.631.770 Schwingungen ergeben eine Sekunde.

Mit diesen Atomuhren "kontrolliert" man unsere Zeit (Physikalisch-Technische Bundesanstalt in Braunschweig):

Damit kann man bis auf 16 Stellen hinter dem Komma genaue Zeitangaben machen.

Nun haben wir kurz gesehen, wie man Zeiteinheiten festlegt. Aber wir haben nicht darüber gesprochen, was denn Zeit IST.

Da gehen wir später drauf ein.

Aber Einstein gibt uns hier eine einfache Definition: "Zeit ist das, was eine Uhr misst."

Basta.

10.2.2 Das Meter

1793 wurde in Frankreich erstmalig ein Meter festgelegt: 1 m ist der 10 Millionste Teil der Strecke Nordpol - Paris - Erdäquator, also vereinfacht gesagt, ein bestimmter Bruchteil eines Erdumfangs.

Damit man nicht ständig zwischen Nordpol, Paris und dem Erdäquator hin- und herrennen muss, entschloss man sich aus Platin einen festen Maßstab von 1m herzustellen, das Urmeter (Bild).

Später ergab sich, dass das Urmeter zu kurz geraten war und auch die Erde keine Kugel darstellt.

Dann wurde das Meter als Vielfache der Wellenlänge von orangenem Licht von Krypton festgelegt, natürlich so, dass es mit der alten Festlegung übereinstimmte, aber nun besser zu reproduzieren war.

Vor 50 Jahren lernte man die Lichtgeschwindigkeit immer genauer zu messen, bis auf 1 m/sec genau. 1975 wurde dann verabredet, dass ab sofort die Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) nicht mehr gemessen sondern festgelegt wird.

Da auch die Sekunde festgelegt ist, war es nun naheliegend das Meter als die Strecke festzulegen, die ein Lichtstrahl im Vakuum in 1/299 792 458 Sekunde zurücklegt.

Damit haben wir gelernt, wie man die Grundgröße Meter festlegt, aber nicht, was 1 m IST. Einstein sagt uns, dass das, was  wir 1 m nennen, von der Bewegung und dem Gravitationsfeld abhängt.

Dazu in den Zusatzseiten bald mehr...

Im nächsten Post kommen wir dann zum Kilogramm. Aber hier fragen wir auch danach, was denn nun eine Masse von 1 kg ist und nicht nur, wie man 1 kg festlegt.

P 15: Wir fordern Unabhängigkeit!

 1.8 Das Superpositionsprinzip

Ihr habt (intuitiv) dieses wichtige Prinzip der Physik schon angewandt.

Ich nenne es euch erst einmal. Dann überlegt, wobei ihr das schon ausgenutzt habt.

Dann werde ich die Grenzen dieses Prinzips aufzeigen. Und dann versteht ihr auch den Titel dieses Posts.

 

Superpositionsprinzip oder Unabhängigkeitsprinzip von Bewegungen

 Setzt sich eine Bewegung aus zwei Teilbewegungen zusammen, so spircht man von einer Überlagerung oder Superposition.

Nennt Beispiele aus unseren bisherigen Posts.

Führt ein Körper mehrere Teilbewegungen aus, so überlagern (superpositionieren) sich diese Teilbewegungen unabhängig voneinander zu einer resultierenden Teilbewegung.

Ganz konkret bedeutet das: Die Teilbewegungen beeinflussen und stören sich nicht gegenseitig.

Auch hier nenn bitte Beispiele!

Beispiel Flußüberquerung:

Wir können die Überquerungszeit unabhängig von der Strömung des Flusses ausrechnen und dann damit die Bewegung längs des Flusslaufes bestimmen.

So haben wir die Übungsaufgabe gelöst.

Aber: Bei einem stark strömenden Fluß strengt die Überquerung deutlich mehr an, der Schwimmer wird langsamer und braucht länger.

In der Praxis gilt das Prinzip der ungestörten Überlagerung nicht unbedingt immer. Dann wird aber die Berechnung schwierig.

Beispiel Flugzeug und Wind

Wir haben die einzelnen Geschwindigkeitskomponenten addiert und dann wieder zur neuen resultierenden Geschwindigkeit zusammengesetzt.

Funktioniert sicher ebenfalls bestens, so lange bei orkanartigen Stürmen keine Turbulenzen auftreten.

Beispiel Eisenbahnfahrt

Wenn ich in einem Zug in Fahrtrichtung durch den Wagon gehe, addieren sich die Geschwindigkeiten von mir und dem Zug zur resultierenden Geschwindigkeit.

Dies gilt auch in sog. relativistischen Zügen bei nahezu Lichtgeschwindigkeit, nur wird eine andere Additionsformel benutzt.

Waagerechter Wurf:

Wir werden bald ein weiteres Beispiel kennenlernen:

Ein waagerecht abgeworfener Körper kommt in der gleichen Zeit am Boden an, wie ein Körper, den man gleichzeitig einfach nur fallen lässt.

Ihr merkt schon:

Das Unabhängigkeitsprinzip erleichtert uns die Beschreibung und Analyse von Bewegungen. Es ist eine Vorgabe von uns an die Art der Beschreibung der Natur, nicht aber eine Grundeigenschaft der Natur.

Im Gegenteil...in der Regel verlaufen alle Prozesse der Natur chaotisch, d.h. Abläufe und Komponenten beeinflussen sich gegenseitig.

Seit etwa 20 Jahren ist diese Chaosphysik eine gesicherte Erkenntnis unserer Naturbeschreibung.

Chaotische Systeme streben aber häufig auf stabile Zustände hin. Die können wir dann gut mit unseren einfachen Methoden beschreiben.

Ein berühmtes Beispiel ist das Dopppelpendel:

Zwei Pendel hängen aneinander. Die beiden Bewegungen beeinflussen sich gegenseitig und können schon nach kurzer Zeit nicht mehr vorhergesagt werden.

Das zeigt die Animation von Wikipedia schön: 

Man spricht von einer gegenseitigen Rückkopplung auf die jeweils andere Bewegung.

Die mathematische Beschreibung funktioniert aber weiterhin. Man muss sog. gekoppelte Differenzialgleichungen benutzen.

Die eine Bewegung ist nicht unabhängig von der anderen, die Überlagerung verläuft chaotisch.

So etwas tritt immer auf, wenn Quadrate oder Sinus-Funktionen in den WZG vorkommen.

Wir werden sicher später mehr auf solche Systeme eingehen, allerdings ohne Mathematik....

Übrigens: Das Feuern der Neuronen im Gehirn erfolgt auch chaotisch. Stabile Zustände nennen wir Gedanken. 

Dann bringt das Chaos in euren Gehirnen mal zur Ruhe, macht euch Gedanken zum Thema und notiert euch eure Erkenntnisse.