P 49: Wir werden formal!

 Die letzten Kapitel sind vor allem für zukünftige LKler interessant und sehr wichtig.

Das zu verstehen, kann auch ein guter Test darüber sein, ob man den zukünftigen Anforderungen eines Physik LKs genügen kann.

Legen wir los!

8.4 Formale Herleitung der Formeln zum schrägen Wurf

Eigentlich haben wir alles schon in 8.2 und 8.3  gemacht, zuerst durch Überlegung an einem Zahlenbeispiel und dann etwas allgemeiner.

Hier möchte ich alle wichtigen Formeln noch einmal ganz formal herleiten.

Wir behandeln einen schrägen Wurf vom Boden aus, ohne jegliche Reibungseffekte.

Wir gehen aus von:

Beim schrägen Wurf müssen wir die Abwurfgeschwindigkeit in die Komponenten in x- und y- Richtung zerlegen.

Damit können wir sowohl für die x- als auch die y- Richtung das WZG und das GWG aufstellen.

Wir erhalten also vier Formeln (2a, 2b sowie 3a und 3b).

Mit diesen Formeln können wir alles berechnen, was wir für den schrägen Wurf herausfinden wollen!

Anmerkung: Wir müssen die Anfangsgeschwindigkeit und den Anfangsort wissen (hier: x =0 und y =0) und bestimmen Geschwindigkeit und Ort zu jeder Zeit der Flugphase.

In Q 3 werdet ihr im Rahmen der Quantenmechanik lernen, dass genau das für Objekte aus dem Mikrokosmos (Elektronen, Protonen) nicht geht. Ort und Geschwindigkeit können nie gemeinsam genau angegeben werden. Ind er Quantenmechanik, d.h. der Mikrowelt, gibt es keine Flugbahnen.

In meinem Unterrichtsblog zur Q3 könnt ihr dann alles dazu lernen:

Lichtmodelle und Quantenmechanik

Zurück zur E-Phase:

Um die Formeln zu verstehen, möchte ich euch an Folgendes erinnern:

Am Ende der Steigzeit ist die Geschwindigkeit in y-Richtung 0.

Damit können wir die Steigzeit ausrechnen.

Mit der Gleichung  2b können wir immer die y-Werte, also die Höhen, zu bestimmten Zeiten ausrechnen. Nehmen wir die Steigzeit für t, so erhalten wir die Wurfhöhe H für y.

Hier gibt es einen mathematischen Trick: Wir haben einen Term und ziehen die Hälfte dieses Terms ab und erhalten den halben Term: 1 Apfel - 1/2 Apfel = 1/2 Apfel...

Lasst es euch schmecken!

Die Flugdauer ist doppelt so lange wie die Steigzeit.

Setzen wir also die doppelte Steigzeit für t in Gl.2a ein, so erhalten wir die Wurfweite W für x.

Auch hier gibt es einen mathematischen Trick, denn wir uns nicht merken müssen (im Abitur wird die Formel dann angegeben): Multipliziert man den Sinus mit dem Cosinus des gleichen  Winkels, so ist das gleich der Hälfte des Sinus des doppelten Winkels.

Für einen Winkel von 45° kann man das leicht überprüfen:

sin 45° * cos 45° = 0,7071* 0,7071 = 1/2 sin 90° = 0,5

Notiert euch diese Herleitungen mit den Anmerkungen in euer Heft.

Erklärt laut redend die Herleitungen!

Ich hab das auch gemacht...

Im nächsten Post lernen wir dann,  (vor allem für die LKler), wie man die Gleichung der Flugbahn aufstellen kann.

Dann werde ich euch Links zum Üben geben und einige Übungsaufgaben und wir kommen endlich zum interessanten Teil der Mechanik, wenn wir Herrn Einstein bitten mitzumachen...

P 47: Geschickt zerlegt (aktualisiert)

 8.2 Lösung durch Zerlegen der Startgeschwindigkeit

Nochmal die gestellte Aufgabe: Ein Körper wird mit 100 m/sec unter einem Winkel von 60° gegen die Horizontale vom Boden aus schräg nach oben geschossen.

In dieser Aufgabe steckt ein senkrechter Wurf, allerdings nicht mit 100 m/sec als Startgeschwindigkeit, sondern mit 100 m/sec * sin 60° = 86,6 m/sec.

Nun kann man mit unseren bekannten Formeln für den senkrechten Wurf die Steigzeit ausrechnen:

 86,6 m/sec  /  10 m/sec² = 8,66 sec.

Auch die Wurfhöhe ergibt sich mit unserer bekannten Formel zu 1/2 * (86,6 m/sec)² /g = 375 m

Da der Körper schräg fliegt, hat er, obwohl er vom Boden abgeschossen wurde, auch eine Wurfweite.

Dazu müssen wir nur die Flugdauer (das ist das doppelte der Steigzeit, also 17,3 sec) mit der Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung multiplizieren:

100 m/sec * cos 60° * 17,3 sec = 866 m

Im folgenden Bild sehen wir die Zerlegung der Anfangsgeschwindigkeit  mit der Zusammenstellung der verwendeten Formeln.

Ich habe mit farbigen Einkreisungen Zusammenhänge deutlich gemacht.

Eine Formel ist neu: Das Produkt aus dem sinus und dem sinus eines Winkels ist gleich dem sinus des doppelten Winkels.

Die nehmen wir einfach hin.

Damit können wir im nächsten Post besser die Zusammenhänge diskutieren.

Seht euch nochmal den Rechenweg oben mit den Zahlen an (und schriebt ihn euch auf). Nichts anderes habe ich hier mit allgemeinen Formeln gemacht.

(Anmerkung: Die Formel lautet: 

sin Winkel * cos Winkel = 1/2 * sin (doppelter Winkel)

Ich habe in einer früheren Version des Posts den Faktor 1/2 vergessen. Nun stimmt es.)

P 46: Nun werfen wir wieder...

 8. Der schräge Wurf

8.1 Problemstellung

Von einem schrägen Wurf sprechen wir, wenn der Abwurfwinkel relativ zum Boden zwischen 0° und 90° liegt. Bei 0° geht er in den waagerechten Wurf über und bei 90° in den senkrechten Wurf.

Nehmen wir wie bei unserem Eingangsbeispiel für den senkrechten Wurf wieder eine Abwurfgeschwindigkeit von 100 m/sec (das ist ja dann eher ein Schießen als Werfen...).

Wir hatten eine Wurfhöhe von 500 m und eine Steigzeit von 10 sec.

Nun "werfen" wir unter einem Winkel von 60° schräg nach oben, wieder direkt vom Boden aus.

Fragen:

Kommt der Körper weiterhin auf 500 m Höhe? Braucht er auch wieder 10 sec für das Aufsteigen?

Er muss ja nicht so hoch fliegen, aber er fliegt auch langsamer nach oben...

Und vergleicht mal mit einem waagerechten Wurf der Abwurfgeschwindigkeit von 100 m/sec:

Auch beim schrägen Wurf gibt es eine Wurfweite. Vergleicht die mal mit der vom waagerechten Wurf.

Versucht nun einmal die Steigzeit und die Wurfhöhe für unseren schrägen Wurf (100 m/sec, 60°) auszurechnen, vielleicht auch die Wurfweite.

Ich gebe euch dazu folgende Tipps:

Ihr könnt die "schräge Bewegung" zerlegen in eine senkrechte Bewegung (in y-Richtung nach oben) und in eine waagerechte Bewegung (in x-Richtung nach rechts).

Dazu müsst ihr nur die Geschwindigkeit von 100 m/sec auf die beiden Richtungen x und y aufteilen.

Natürlich lösen wir in ein paar Tagen die Aufgabe gemeinsam und stellen dann das Formelsystem wieder allgemein zusammen.

Der schräge Wurf wird in späteren Jahrgangsstufen wichtig, wenn Elektronen schräg durch elektrische Felder "geworfen" werden, und das kommt dann auch im Abi dran...Es ist also sinnvoll, das hier schon einmal zu lernen...

Ich denke, auch das von mir ergänzte Bild aus physikunterricht online, kann  euch inspirieren, eine eigene Lösung zu suchen. Achtet darauf: Es ist kein WZD sondern die Darstellung einer Flugbahn!

P 38: Waagerechter Wurf vektoriell

 5.4 Berechnung der Auftreffgeschwindigkeit

Ich erkläre die Herleitung der Formel in einem kurzen Video. Ihr solltet den Inhalt in euer Heft übertragen und vor allem auch die angesprochenen Umformungen selbst durchführen.

Leider habe ich im letzten Satz das Wort "Wurzel aus" vergessen, ich hoffe ihr merkt es.

Worum geht es?

Ein waagerecht abgeworfener Körper trifft schräg auf dem Boden auf, denn er hat zwei Geschwindigkeitskomponenten:

In x- Richtung immer noch die Abwurfgeschwindigkeit (wir vernachlässigen ja die Luftreibung) und in y-Richtung die Fallgeschwindigkeit am Ende der Fallzeit.

Beide Geschwindigkeiten müssen wir vektoriell addieren.

Wie das geht, erkläre ich im Video!

Zuerst ein Bild der Herleitung:

Und nun das Video:

Man kann natürlich auch den Auftreffwinkel berechnen:

Nun haben wir genug waagerecht geworfen, suchen wir uns andere Wurfrichtungen aus...

P 37 Die allgemeine Formel

 5.3 Bahngleichung der Flugbahn

Im Prinzip müssen wir die Rechnung ähnlich wie eben bei der Aufgabe machen, nur setzen wir keine Zahlen ein, sondern lassen alle Buchstaben stehen.

5.3.1 y-Achse zeigt nach unten

Wir wählen das bequeme Koordinatensystem, d.h. das, in dem die y-Achse in Richtung der Fallbewegung zeigt.

Dann haben wir die folgenden Gleichungen:

x-Richtung (gleichförmige Bewegung mit der Abwurfgeschwindigkeit v als feste Größe):

x = v*t

y-Richtung (gleichmäßig beschleunigte Bewegung, freier Fall): 

y = 1/2 g*t²

Die Bestimmung einer Bahngleichung bedeutet: Wir wollen y in Abhängigkeit von x kennen. Da stört das t...also schmeißen wir es raus:

Wir lösen die erste Gleichung nach t auf und setzen das für das t in die zweite Gleichung ein.

Dann erhalten wir:

  y = g/(2v²)  * x²

Das ist die Gleichung einer Parabel durch den Ursprung.

t ist weg und mit x kann ich y direkt berechnen....

Eine solche Wurfparabel habt ihr selbst gezeichnet oder ihr seht sie auch im letzten Post.

Der Vorfaktor g/(2v²) regelt, wie steil die Parabel verläuft.

Wenn die Schwerkraft größer wird, dann steigt g und damit verläuft die Wurfbahn steiler.

Wenn man schneller abwirft, wird der Nenner größer, aber der ganze Vorfaktor kleiner, d.h. die Parabel verläuft flacher. Man wirft weiter.

Kennt ihr.

Auf einem Neutronenstern plumpst euch der Ball beim Loslassen direkt auf die Füße....

Eine mathematisch üblichere Darstellung ist die Folgende:

5.3.2 y-Achse zeigt nach oben

 

 

 

 

 

 

 

Wir werfen in der Höhe h ab. Die Gleichung für die x-Bewegung ändert sich nicht: x = v*t

Wie muss sich die Gleichung fürt die y-Bewegung ändern?

Wir starten mit h und ziehen immer die Fallstrecke 1/2g*t² ab:

y = h - 1/2g*t²

Wieder ersetzen wir das t in der zweiten Gleichung durch x/v (also t² durch x²/v²)  und erhalten nach einer leichten Umformung:

y = h - g/(2v²) * x² 

Diesen Funktionsgraph habe ich für h = 10 m und drei Abwurfgeschwindigkeiten 2 m/sec (blau), 4 m/sec (rot) und 8 m/sec (grün) für die Erde geplottet:

Ich habe die gesamte Funktion geplottet, für die Physik hat nur der erste Quadrant eine Bedeutung.

Und nun vergleichen wir mal Erde und Mond für v = 2 m/sec:

 Schaut euch nochmal das Video vom hüpfendnen und singenden Astronauten an...das ist die Übertragung auf die Realität...

Du kannst solche Graphen leicht selbst erzeugen: Plottprogramm aufrufen, graphikfähigen Taschenrechner benutzten oder Punkte ausrechnen und Graphen per Hand zeichnen...

Im nächsten Post machen wir noch kurz etwas besonders für zukünftige LKler: Wir arbeiten beim waagerechten Wurf mit Vektoren.

P 36 Lösung der Aufgabe

 5.2 Berechnung von Fallzeit und Wurfweite

5.2.1 Vorbereitung

Unsere kleinen Experimente haben gezeigt:

Zwei fallende Körper kommen immer zur gleichen Zeit am Boden auf, ja sie sind sogar immer auf gleicher Höhe, egal wie schnell einer der Körper zusätzlich zur Seite fliegt.

Das haben wir als das Unabhängigkeitsprinzip bei der Überlagerung von Bewegungen kennengelernt.

Wir werden also die waagerechte Bewegung mit x(t) bezeichnen. Das ist eine gleichförmige Bewegung mit der konstanten Geschwindigkeit vo = 2 m/sec.

In y-Richtung haben wir eine Fallbewegung aus der Höhe 10 m. Dafür können wir schreiben: y(t) = 10 - 1/2 g*t².

5.2.2  Ein neuer Trick

Einfacher wird aber alles, wenn wir einen neuen Trick lernen:

Anpassen des Koordinatensystems:

Wir lassen die y-Achse in Richtung des Fallens, also nach unten zeigen. Dann gilt y(t) = 1/2g*t² 

Wie weit kommt der Körper, bevor er auftrifft?

Dazu müssen wir wissen, wie lange er unterwegs ist, also wie lange es dauert, bis er nach 10 m Fall unten auftrifft.

Dazu interessiert nur die Fallbewegung y(t) = 1/2g*t².

Wir setzen y = 10 m und nehmen g = 10 m/sec², stellen nach t um (Wurzel ziehen!) und erhalten ungefähr t = 1,4 sec.

In dieser Zeit fliegt der>Körper also mit 2 m/sec in x-Richtung. Er wird also 2,8 m weit kommen.

5.2.3 Konstruieren des Graphen

Um die Flugbahn zu konstruieren (gleich lernen wir noch ein allgemeineres Verfahren kennen), müssen wir uns Zeiten t vorgeben.

Dann zu jeder Zeit t  die zugehörigen Koordinaten x = v*t und y = 1/2 g*t² ausrechnen. Auch hier wählen wir wieder g = 10 m/sec².

Wir erhalten

t in sec        x in m     y in m

0                  0             0 

0,2               0,4          0,2

0,4               0,8          0,8

0,6               1,2          1,8

0,8               1,6          3,2

1,0               2,0          5,0

1,2               2,4          7,2

1,4               2,8          9,8

Daraus ergibt sich der folgende Graph:

Im nächsten Post lernen wir dann das allgemeine Verfahren kennen und wie man die Bahngleichung bestimmt. Das ist vor allem für zukünftige LKler sehr wichtig!

P 35: Das Wettfallen zweier Münzen

 5. Der waagerechte Wurf

5.1 Die Aufgabe

5.1.1 Die Aufgabenstellung

Ein Körper fliegt waagerecht in einer Höhe h von 10 m mit einer Geschwindigkeit von vo = 2 m/sec von einem geraden Dach weg nach unten.

 

Wie weit vom Hausrand entfernt kommt er auf dem Boden auf? Berechne diese Wurfweite W.

Zeichne die Flugbahn.

(Luftreibung wird vernachlässigt)

5.1.2  Die Vorbereitung

Ich möchte das Wissen zusammenstellen, das Dir für die Lösung der Aufgabe hilfreich sein kann.

So kannst Du übrigens imemr vorgehen:

Die Aufgabe ansehen, das Wissen zusammenstellen (richtig notieren), was damit in Verbindung stehen könnte, und dann erst lösen...

Viele starren nur die Aufgabe an und warten auf eine Eingebung...die kommt eher selten..., aber fast von alleine, wenn man sich mögliches Vorwissen dazu bewusst macht (durch das notieren).

a) Bewegungen können sich überlagern

Dazu machst Du am besten selbst einen einfachen Versuch.

Lege, wie in der Abbildung, zwei Münzen an eine Tischkante, eine vor und eine auf ein Lineal. Dann dreh das Lineal ruckartig.

                                              aus Leifiphysik

Was fällt Dir auf, wenn Du den Aufprall hörst?

Wieso ist das eher verwunderlich? (Stell Dir die Flugbahnen der beiden Münzen vor!)

Erkläre die gemachte Beobachtung mit Hifle des Unabhängigkeitsbprinzips.

 Dabei können Dir die nächsten beiden Bilder helfen:

                                                  A.V. Gradwohl, TU Graz

  

                                                              leifiphysik

Ich hab mir nicht nehmen lassen, zu Hause schnell einen solchen Versuch in der Küche zu improvisieren...

 Die hintere Münze wird zur Seite gestoßen, sie macht einen waagerechten Wurf.

Der vorderen Münze ziehe ich "den Boden unter den Füßen" weg, sie fällt nur.

b) Welche Bewegungen überlagern sich hier?

Schreib die Gesetze für diese Bewegungen hin. Das ist ein GZG und es sind zwei WZG.

d) Was haben die Größen der Formeln mit unserer Aufgabe bzw. den Wurfversuchen zu tun?

Interpretiere die Buchstaben t und s Deiner Formeln für unsere Versuche.

5.1.3 Die Lösung

Deine Aufgabe...

Wenn Du weitere Hilfe brauchst, dann schau Dir die wunderschöne Simulation  bei Leifiphysik an:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/waagerechter-und-schraeger-wurf/grundwissen/waagerechter-wurf

Simulation waagerechter Wurf

Das Sammelsurium vieler Formeln unter der Simulation kannst Du getrost ignorieren.

Erstens kommst Du selbst auf die Lösung der Aufgabe und zweitens lernen wir die meisten dieser Formeln noch kennen, aber etwas langsamer und übersichtlicher...

Nun ran an die Lösung....