P 113: Alles schon mal da gewesen....

 20.2 Vergleich zwischen Kreisbewegung und linearer Bewegung

In beiden Bewegungsformen gibt es vergleichbare Festlegungen, was man unter einer Geschwindigkeit und einer Beschleunigung versteht.

Auch die Weg-Zeit-Gesetze WZG und Geschwindigkeit-Zeit-Gesetze GZG stimmen vollständig überein, wenn man nur die Geschwindigkeit v durch die Winkelgeschwindigkeit, die Beschleunigung a durch die Winkelbeschleunigung und den zurückgelegten Weg s durch den Drehwinkel ersetzt.

Das merkt man sich am besten durch diesen Überblick:

Notiere Dir die Formeln in einer eigenen Tabelle und erläutere sie kurz.

Wichtig ist, dass man fast immer die Kreisgrößen Winkel, Winkelbeschleunigung und Winkelgeschwindigkeit im Bogenmaß angibt. Man muss es nicht,. aber für weiterführende Rechnungen ist es hilfreich.

Im nächsten Post lernen wir, wie man die entsprechenden Größen ineinander überführt. Das kennst Du im Prinzip, deshalb versuch dich einmal an den folgenden Aufgaben:

Langspielplatten (LP)  kennst Du sicher nicht mehr, sie sind der Vorgänger einer CD. Auch wenn sie heute wenig eingesetzt werden, zum Rechnen eignen sie sich allemal (Bild: WDR):

Aufgabe 1:

Eine LP dreht sich mit 33 Umdrehungen pro Minute auf dem Plattenteller. In den Rillen, die sich spiralförmig nach Außen fortsetzen, ist die Musik gespeichert.

Die innere Rille als Kreis gedacht hat einen Radius von 6,8 cm, die äußere von 16,2 cm.

Berechne:

a) Bestimme die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich die Platte dreht. Gib sie im Bogenmaß/sec an, aber auch im anschaulicheren Maß Grad/sec.

b) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Punkt auf der inneren und auf der äußeren Rille auf seiner Kreisbahn?

c) Um wieviel Grad hat sich die LP nach 30 Minuten Spielzeit gedreht?

c) Nach dem Einschalten fährt ein Motor die LP sehr schnell auf die erforderliche Drehgeschwindigkeit hoch. Wir nehmen an, das passiert in 1,5 Sekunden.

- Wie hoch ist die (als konstant anzunehmende) Winkelbeschleunigung? Wieder mit Bogenmaß und Grad!

- Um wieviel Grad hat sich die LP während des Hochfahrens auf die Endgeschwindigkeit gedreht?

Aufgabe 2:

Auch die Erde dreht sich...in 23h56m einmal um ihre Achse. Berechne dazu:

a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde? Angabe mit Bogenmaß und Grad

b) Welche Geschwindigkeit hat ein Punkt auf dem Erdäquator (Erdradius 6371 km)?

c) Welche Geschwindigkeit hat Kassel mit einer geographischen Breite von 51°,5?

d) Mit welcher Geschwindigkeit dreht sich der Nordpol?

e) Durch die Gezeitenreibung nimmt die Rotationsdauer pro Jahrhundert um 0,002 sec ab. Berechne die Bremsbeschleunigung!

P40: Lösungen

 6.2: Beispielrechnung zu senkrechtem Wurf

Beginnen wir mit dem Brainstorming...

Beim senkrechten Wurf (nach oben) überlagern sich zwei Bewegungen:

Der Körper fliegt, da wir Reibung vernachlässigen, mit seiner Anfangsgeschwindigkeit immer weiter..., es gilt s = v*t, gleichzeitig aber fällt er zu Boden, es gilt das Gesetz s` = 1/2g*t²

Wegen des Unabhängigkeitsprinzips dürfen wir beide Bewegungen getrennt ausrechnen und voneinander abziehen, die Differenz s - s`gibt die momentante Höhe h(t) an.

Wir werden sehen, dass diese Idee so allgemein ist, dass wir damit nicht nur das Hochwerfen, sondern auch das anschließende  Herunterfallen erfassen können.

Am besten beginnen wir mit der Geschwindigkeit:

Der Körper  startet mit der Anfangsgeschwindigkeit vo, die er beibehält und damit immer nach oben fliegt. Zusätzlich fällt er immer schneller mit der Geschwindigkeit g*t, so dass seine momentane Geschwindigkeit die Differenz  v(t) = vo - g*t ist.

Das berechnen wir jetzt (g = 10 m/sec²):

t/sec    gleichf. Bew. in m/sec      Fallgeschwindigkeit     Wahre Geschwindigkeit (Differenz) in m/sec

0           100                                               0                                    100 

1           100                                             10                                      90         

2           100                                             20                                      80 

...

9           100                                             90                                      10

10         100                                           100                                       0

11         100                                           110                                    - 10

12         100                                           120                                    - 20

...

19         100                                           190                                   -  90

20         100                                           200                                   - 100

21         100                                           210                                   - 110

 

Wie wir das vom Werfen nach oben kennen, wird der Körper immer langsamer. Die Erdanziehung bremst ihn stetig ab. Nach 10 Sekunden hat er v=0 m/sec. Er bleibt nicht stehen, da das ja eine Momentangeschwindigkeit ist, er kehrt nur die Richtung seiner Bewegung um.

Er hat aber nun die höchste Höhe erreicht, da er ja nicht weiter nach oben fliegen kann. Wir nennen das die Steigzeit und die dazugehörige höchste Höhe die Steighöhe.

Nach 10 Sekunden wird v(t) negativ, d.h. die Richtung der Geschwindigkeit kehrt sich um, wir haben einen freien Fall aus dieser Höhe.

Bei t =20 sec kommt er sozusagen mit der umgekehrten Startgeschwindigkeit wieder am Startplatz an. Die weiteren Werte für t =21 sec würden nur einen Sinn machen, wenn man ein Loch in den Boden buddelt...

20 sec sind die Flugdauer oder Wurfzeit. Sie ist logischerweise doppelt so lang wie die Steigzeit.

Aufgabe: 

Der Körper startet  mit 17,34 m/sec nach oben. Wie groß ist seine Steigzeit (g=9,81 m/sec²)?

Um diese Aufgabe zu lösen, musst Du eine Formel finden.

Ergebnis: 1,768 sec

Den Verlauf der Geschwindigkeit  können wir auch schön in einem GZD darstellen. So sollte auch das aussehen, was Du ev./hoffentlich selbst gezeichnet hast.

Nun kümmern wir uns um die momentane Höhe des Körpers.

Oben haben wir die Idee erläutert.

Wir geben uns die Zeit t vor, rechnen aus, wie weit er mit der Startgeschwindigkeit ohne Schwerkraft gekommen wäre (vo*t) und ziehen davon die Fallstrecke 1/2g*t² ab.

Das trage ich dieses Mal in eine Excel-Tabelle ein:

 

Damit zeichne ich das WZD.

Mit den eingetragenen Hinweisen dürfte die Zuordnung zum Bewegungsablauf klar werden.

Wir können die Wurfhöhe gut ablesen...es sind 500 m.

Hast Du eine Idee, wie man die Wurfhöhe auch ausrechnen kann? Nimm das Beispiel mit den blöden Zahlen oben...Du müsstest auf 15,33 m kommen.

Wie das allgemein geht, klären wir im nächsten Post. Dann besprechen wir auch die Zusatzaufgabe aus dem Bergpark Wilhelmshöhe des letzten Posts.

Vorsicht: Das Bild oben ist keine Flugbahn, da auf der waagerechten Achse eine Zeit aufgetragen wird. Das ist wirklich nur ein WZD.

 

P 35: Das Wettfallen zweier Münzen

 5. Der waagerechte Wurf

5.1 Die Aufgabe

5.1.1 Die Aufgabenstellung

Ein Körper fliegt waagerecht in einer Höhe h von 10 m mit einer Geschwindigkeit von vo = 2 m/sec von einem geraden Dach weg nach unten.

 

Wie weit vom Hausrand entfernt kommt er auf dem Boden auf? Berechne diese Wurfweite W.

Zeichne die Flugbahn.

(Luftreibung wird vernachlässigt)

5.1.2  Die Vorbereitung

Ich möchte das Wissen zusammenstellen, das Dir für die Lösung der Aufgabe hilfreich sein kann.

So kannst Du übrigens imemr vorgehen:

Die Aufgabe ansehen, das Wissen zusammenstellen (richtig notieren), was damit in Verbindung stehen könnte, und dann erst lösen...

Viele starren nur die Aufgabe an und warten auf eine Eingebung...die kommt eher selten..., aber fast von alleine, wenn man sich mögliches Vorwissen dazu bewusst macht (durch das notieren).

a) Bewegungen können sich überlagern

Dazu machst Du am besten selbst einen einfachen Versuch.

Lege, wie in der Abbildung, zwei Münzen an eine Tischkante, eine vor und eine auf ein Lineal. Dann dreh das Lineal ruckartig.

                                              aus Leifiphysik

Was fällt Dir auf, wenn Du den Aufprall hörst?

Wieso ist das eher verwunderlich? (Stell Dir die Flugbahnen der beiden Münzen vor!)

Erkläre die gemachte Beobachtung mit Hifle des Unabhängigkeitsbprinzips.

 Dabei können Dir die nächsten beiden Bilder helfen:

                                                  A.V. Gradwohl, TU Graz

  

                                                              leifiphysik

Ich hab mir nicht nehmen lassen, zu Hause schnell einen solchen Versuch in der Küche zu improvisieren...

 Die hintere Münze wird zur Seite gestoßen, sie macht einen waagerechten Wurf.

Der vorderen Münze ziehe ich "den Boden unter den Füßen" weg, sie fällt nur.

b) Welche Bewegungen überlagern sich hier?

Schreib die Gesetze für diese Bewegungen hin. Das ist ein GZG und es sind zwei WZG.

d) Was haben die Größen der Formeln mit unserer Aufgabe bzw. den Wurfversuchen zu tun?

Interpretiere die Buchstaben t und s Deiner Formeln für unsere Versuche.

5.1.3 Die Lösung

Deine Aufgabe...

Wenn Du weitere Hilfe brauchst, dann schau Dir die wunderschöne Simulation  bei Leifiphysik an:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/waagerechter-und-schraeger-wurf/grundwissen/waagerechter-wurf

Simulation waagerechter Wurf

Das Sammelsurium vieler Formeln unter der Simulation kannst Du getrost ignorieren.

Erstens kommst Du selbst auf die Lösung der Aufgabe und zweitens lernen wir die meisten dieser Formeln noch kennen, aber etwas langsamer und übersichtlicher...

Nun ran an die Lösung....

 

 

P 24: Wir fassen zusammen

 3.5 Das WZG der gleichm.beschl.Bewegung

Unter zwei Annahmen konnten wir das Gesetz herleiten:

- Wir starten mit der Geschwindigkeit 0. Dann lässt sich die Durchschnittsgeschwindigkeit leicht ausrechnen.

- Für die Durchschnittsgeschwindigkeit können wir das bekannte Gesetz s = v*t anwenden.

Auf ähnliche Weise hat wohl Galilei auch diesen Zusammenhang begründet.

Aber: Das erhaltene Gesetz musste einer experimentellen Prüfung unterzogen werden.

Erst wenn Experimente unsere Überlegungen bestätigen, können wir von einer Entdeckung eines Naturgesetzes ausgehen.

Ich bin mir sicher, dass dieses naturwissenschaftliche Prinzip, das Galilei eingeführt hat (durchaus erst überlegen, dann aber durch Experimente oder Beobachtungen bestätigen), heute nicht immer konsequent durchgehalten wird.

Sonst würden wir nicht über Dunkle Energie und Dunkle Materie so reden, als sei ihre Existenz schon bewiesen. Es sind gute und sinnvolle Annahmen, nicht mehr.

Die Überprüfung werden wir am Beispiel des freien Falls vornehmen.

Das konnte Galilei nicht, denn er hatte keine Möglichkeiten so kleine Zeiten präzise zu messen.

Er "verlangsamte" die Fallbewegung auf einer schiefen Rutsche.

aus Leifi Physik

 Den Schiefen Turm zu Pisa hat er nicht genutzt.

Zusammenfassung:

Wir haben nun zwei Bewegungen kennengelernt, eine mit konstanter Geschwindigkeit und eine mit konstanter Beschleunigung.

Die folgende Tabelle fasst die Bewegungsgesetze zusammen:

Wir werden sehen, dass wir alle Probleme der Bewegungslehre dadurch lösen können, dass wir WZG und GZG gemeinsam nutzen.

In der Q3 werdet ihr dann lernen, dass das im atomaren Bereich so nicht funktioniert. WZG und GZG verlieren dort ihre Gültigkeit, es gibt weder Bewegungsabläufe noch Bahnen. Zum ersten Mal hat das Werner Heisenberg durch seine Unbestimmtheitsbeziehung ausgedrückt.

Das ist dann die nichtklassische Physik, die Quantenmechanik.

P23 Wir spielen alle mal den Galileo

 3.4.2 Die Lösung

Schritt 1: Zusammenstellen der Daten

Wir haben folgende Informationen:

Geschwindigkeit beim Losrollen: v(0 sec) = 0 km/h

Geschwindigkeit biem Abheben: v(35 sec) = 260 km/h

Zeit vom Losrollen bis zum Abheben: 35 sec.

Schritt 2: Berechnung der mittleren Beschleunigung

Damit wir überhaupt weiterdenken können, müssen wir nun annehmen, dass das Flugzeug gleichmäßig beschleunigt. Das ist näherungsweise sicher richtig, aber in der Praxis wird der Pilot die Triebwerke erst langsam hochfahren, während er zu Rollen beginnt.

Aber unter der Annahme einer konstanten durchgehend gleichen Beschleunigung a gilt das WZG der gleichmäßig beschleunigten Bewegung: v(t) = a*t.

Damit können wir die Beschleunigung ausrechnen: v(35 sec) = a * 35 sec.

Macht das mal...Ihr müsst dazu natürlich die Geschwindigkeit in m/sec umrechnen.

Das Ergebnis: a = 2,06 m/sec².

Ist das realistisch?

Das ist etwa 20% der Fallbeschleunigung von 10 m/sec² auf der Erde. Man wird also mit "20% seines Gewichtes in den Sitz gedrückt". Das erscheint realistisch, denn man merkt ja den Start durchaus.

Zwischenziel erreicht.

Schritt 3: Gedanken zur Durchschnittsgeschwindigkeit

Was haben wir nun davon?

Erst einmal nichts...denn wir kennen ja, wie Galilei, das WZG nicht, d.h. wir wissen nicht wie der zurückgelegte Weg s von der Zeit t abhängt.

Aber jetzt kommt Galileis Trick:

Wir wissen, zu welcher Zeit t das Flugzeug abhebt. Wir wissen nicht wo. Nennen wir diese Strecke mal s(t), dann können wir aus der bekannten Zeit  t = 35 sec und unserer gesuchten Strecke s(t) eine Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit vd bestimmen: 

vd = s(t)/t.

Und diese Durchschnittsgeschwindigkeit können wir auch aus unseren bekannten Geschwindigkeiten ausrechnen:

Da das Flugzeug mit v = 0 losfährt und mit v(t) abhebt, muss es die Durchschnittsgeschwindigkeit 

vd = v(t) * 1/2 haben.

Schritt 4: Lösung mit unseren Durchschnittswerten

Nun sind wir am Ziel:

Anschaulicher letzter Schritt:

Wir bestimmen die Durchschnittsgeschwindigkeit vd = 260 km/h / 2 = 130 km/h.

Mit unserer Startzeit von t= 35 sec können wir daraus direkt die Länge der Startbahn ausrechnen: 

s(t) = 130 km/h * 35 sec.

Wir erhalten 1264 m.

Formaler letzter Schritt:

Wir haben zwei Formeln für die Durchschnittsgeschwindigkeit erhalten:

vd = s(t)/t  und vd = 1/2*v(t).

Setzen wir die rechte Seiten gleich, so erhalten wir s(t)/t = 1/2 * v(t) bzw.

      s(t) = 1/2*v(t) * t

Für v(t) haben wir aber auch eine Formel: v(t) = a*t.

Wenn wir das einsetzen erhalten wir s(t) = 1/2 * a * t * t, also s(t) = 1/2 * a * t².

Damit können wir aus der Rollzeit t die Strecke s(t) bis zum Abheben ausrechnen.

Von Rundungsfehlern abgesehen erhalten wir genau die Hälfte unseres falschen Wertes, wenn wir mit der Endgeschwinhdigkeit über den gesamten Startvorgang rechnen.

Ich hoffe, euch ist klar, warum das der Fall ist?

Was heißt das?

Konstrukteure vonm Startbahnen brauchen keine Ahnung von Mechanik zu haben, sie können falsch rechnen, erhalten aber einen umsetzbaren Wert, denn der falsche Wert ist der verdoppelte richtige Wert...falls sie nicht auf die Idee kommen, den aus Sicherheitsgründen auch nochmal zu verdoppeln.

Dann wird höchstens Beton verplempert...

Ich habe die gemachten Überlegungen noch einmal mit zwei Graphen und einem Bild in Verbindung gebracht.

 

Bitte schreibt einen Bildtext zu den beiden Graphen, aus dem hervorgeht, was an den Graphen in Hinblick auf unsere Aufgabenlösung erkannt werden soll.

Zusammen mit dem Lösungsweg übertragt das in eurer Heft und wir können dann in einem kurzen nächsten Post das Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung hinschreiben und anwenden.

 

P21: Wenn sich v gleichmäßig ändert

3.3 Das GZG der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz GZG, also die Formel, die angibt,wie sich v mi8t der Zeit ändert, ergibt sich direkt aus der Definition der Beschleunigung a:

Wir nehmen an, dass a konstant ist, d.h. sich nicht während der Bewegung ändert. Deshalb sprechen wir ja von der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Das Wort "gleichmäßig" drückt die konstante Beschleunigung aus.

Wie haben wir die Beschleunigung a in P19   definiert? 

 Starten wir die Bewgeung bei der Zeit 0 sec mit der Geschwindigkeit 0 m/sec, dann vereinfacht sich die Formel, vor allem wenn wir dann nur v und t schreiben:

Und damit sind wir beim GZG der gleichmäßig beschleunigten Bewegung:

   v(t) = a * t, mit a = const.  (damit ist gemeint: a ändert sich nicht während der Bewegung)

Den Graphen können wir sofort skizzieren, es ist eine Ursprungsgerade.

 

Was heißt das?

Bei einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung ist die Geschwindigkeit v(t) proportional zu t, vorausgesetzt man startet zum Zeitpunkt 0 mit der Geschwindigkeit 0.

Anderenfalls gilt: v(t) = a*t + v0, wobei v0 die Startgeschwindigkeit ist.

In dem Fall ist v nicht mehr porportional zu t, sondern wächst nur linear mit t an.

Das hatten wir gerade alles...

Lerntipps:

Aber hier könnt ihr wieder euer Gehirn unterstützen:

Zeigt eurem Gehirn die sehr ähnlich klingenden Notizen zu s = v*t, v = const. und v = a*t, a = const

Euer Gehirn hat sie ja mit eurer Hand selbst geschrieben, wird sie sofort wieder erkennen.

Dann erzählt laut, warum das sich entspricht, was aber der Unterschied ist (das eine ist eine Strecke s, mit einer Geschwindigkeit v, die sich nicht ändert und das andere eine Geschwindigkeit v, die sich ändert, mit einer Beschleunigung, die sich nicht ändert).

Wenn ihr das alles auseinanderdividiert und dann wieder zusammen gebracht habt, dnan ist es vernetzt und ohne Lerninterferenz abgespeichert!

Überprüft es:

Aufgabe:

Ein ICE fährt mit 200 km/h konstant 3 Stunden lang. Wie weit kommt er?

Ein Stein fällt mit 10 m/sec² konstant noch unten. Welche Geschwindigkeit hat er nach 3 Sekunden?

Sinnvolle Übung:

Ich empfehle euch die kleine Animation in Leifiphysik mal anzusehen. Da wird nochmal sehr konkret die Bedeutung einer momentanen und einer mittleren Beschleunigung deutlich:

Mittlere Beschleunigung

 https://www.leifiphysik.de/mechanik/beschleunigte-bewegung/grundwissen/mittlere-beschleunigung

 Anmerkung:

Wir haben das GZG allein aus unserer Definition begründet, nicht durch Experimente und Messungen. Ich halte das für naheliegender, zumal Geschwindigkeitsmessungen nicht leicht sind, wie wir wissen.

Auch das WZG der gleichmäßig beschleunigten Bewgeung werden wir uns theoretisch überlegen. Das soll angeblich auch Galilei so gemacht haben. Wir werden seine Argumente benutzen.

Was der vor über 400 Jahren konnte, das können wir auch!

Natürlich messen wir dann auch nach... 

Aber vorher starten wir erst einmal vom viel genutzten Flughafen Kassel-Calden in den Süden. P22 wird gleich aufgerufen.