3.4.2 Die Lösung
Schritt 1: Zusammenstellen der Daten
Wir haben folgende Informationen:
Geschwindigkeit beim Losrollen: v(0 sec) = 0 km/h
Geschwindigkeit biem Abheben: v(35 sec) = 260 km/h
Zeit vom Losrollen bis zum Abheben: 35 sec.
Schritt 2: Berechnung der mittleren Beschleunigung
Damit wir überhaupt weiterdenken können, müssen wir nun annehmen, dass das Flugzeug gleichmäßig beschleunigt. Das ist näherungsweise sicher richtig, aber in der Praxis wird der Pilot die Triebwerke erst langsam hochfahren, während er zu Rollen beginnt.
Aber unter der Annahme einer konstanten durchgehend gleichen Beschleunigung a gilt das WZG der gleichmäßig beschleunigten Bewegung: v(t) = a*t.
Damit können wir die Beschleunigung ausrechnen: v(35 sec) = a * 35 sec.
Macht das mal...Ihr müsst dazu natürlich die Geschwindigkeit in m/sec umrechnen.
Das Ergebnis: a = 2,06 m/sec².
Ist das realistisch?
Das ist etwa 20% der Fallbeschleunigung von 10 m/sec² auf der Erde. Man wird also mit "20% seines Gewichtes in den Sitz gedrückt". Das erscheint realistisch, denn man merkt ja den Start durchaus.
Zwischenziel erreicht.
Schritt 3: Gedanken zur Durchschnittsgeschwindigkeit
Was haben wir nun davon?
Erst einmal nichts...denn wir kennen ja, wie Galilei, das WZG nicht, d.h. wir wissen nicht wie der zurückgelegte Weg s von der Zeit t abhängt.
Aber jetzt kommt Galileis Trick:
Wir wissen, zu welcher Zeit t das Flugzeug abhebt. Wir wissen nicht wo. Nennen wir diese Strecke mal s(t), dann können wir aus der bekannten Zeit t = 35 sec und unserer gesuchten Strecke s(t) eine Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit vd bestimmen:
vd = s(t)/t.
Und diese Durchschnittsgeschwindigkeit können wir auch aus unseren bekannten Geschwindigkeiten ausrechnen:
Da das Flugzeug mit v = 0 losfährt und mit v(t) abhebt, muss es die Durchschnittsgeschwindigkeit
vd = v(t) * 1/2 haben.
Schritt 4: Lösung mit unseren Durchschnittswerten
Nun sind wir am Ziel:
Anschaulicher letzter Schritt:
Wir bestimmen die Durchschnittsgeschwindigkeit vd = 260 km/h / 2 = 130 km/h.
Mit unserer Startzeit von t= 35 sec können wir daraus direkt die Länge der Startbahn ausrechnen:
s(t) = 130 km/h * 35 sec.
Wir erhalten 1264 m.
Formaler letzter Schritt:
Wir haben zwei Formeln für die Durchschnittsgeschwindigkeit erhalten:
vd = s(t)/t und vd = 1/2*v(t).
Setzen wir die rechte Seiten gleich, so erhalten wir s(t)/t = 1/2 * v(t) bzw.
s(t) = 1/2*v(t) * t
Für v(t) haben wir aber auch eine Formel: v(t) = a*t.
Wenn wir das einsetzen erhalten wir s(t) = 1/2 * a * t * t, also s(t) = 1/2 * a * t².
Damit können wir aus der Rollzeit t die Strecke s(t) bis zum Abheben ausrechnen.
Von Rundungsfehlern abgesehen erhalten wir genau die Hälfte unseres falschen Wertes, wenn wir mit der Endgeschwinhdigkeit über den gesamten Startvorgang rechnen.
Ich hoffe, euch ist klar, warum das der Fall ist?
Was heißt das?
Konstrukteure vonm Startbahnen brauchen keine Ahnung von Mechanik zu haben, sie können falsch rechnen, erhalten aber einen umsetzbaren Wert, denn der falsche Wert ist der verdoppelte richtige Wert...falls sie nicht auf die Idee kommen, den aus Sicherheitsgründen auch nochmal zu verdoppeln.
Dann wird höchstens Beton verplempert...
Ich habe die gemachten Überlegungen noch einmal mit zwei Graphen und einem Bild in Verbindung gebracht.
Bitte schreibt einen Bildtext zu den beiden Graphen, aus dem hervorgeht, was an den Graphen in Hinblick auf unsere Aufgabenlösung erkannt werden soll.
Zusammen mit dem Lösungsweg übertragt das in eurer Heft und wir können dann in einem kurzen nächsten Post das Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung hinschreiben und anwenden.
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