P 124: Kepler I und II

 22.2 Zentralkraft und Drehimpulserhaltung

Wenn wir annehmen, dass die Sonne fest steht und wegen ihrer viel größeren Masse vernachlässigbar wenig von den Planeten angezogen wird (was nicht ganz stimmt), der Raum um die Sonne nicht gekrümmt ist (was auch nicht stimmt) und die Planeten sich gegenseitig nicht anziehen (was ebenfalls nicht der Fall ist), dann kann man die Anziehungskraft der Sonne als Zentralkraft bezeichnen: Sie zeigt immer auf den Mittelpunkt der Sonne.

Eine solche Kraft kann auf einen Planeten  kein Drehmoment ausüben, d.h. er behält sein Drehimpuls.

Im Post 121 haben wir ΔL = M * Δt kennen gelernt: Wenn das Drehmoment M =0 ist, kann sich der Drehimpuls nicht ändern, d.h. ΔL = 0.

Der Drehimpuls eines Planeten ist aber L = m*v*r (Post 116).

Nun sind die Planetenbahnen Ellipsen, d.h. der Abstand r zur Sonne ändert sich. Wird r kleiner, so muss v entsprechend zunehmen, damit L gleich bleibt.

Das genau beschreibt das 2.Keplersche Gesetz: 

Es ist also der Drehimpulserhaltungssatz.

Mathematischer Exkurs:

Wir wollen die Sprechweise von Kepler begründen: Der Fahrstrahl des Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

                                                            wikipedia common

Wir nehmen eine winzig kleine Zeit Δt. Der Planet legt auf seiner Bahn die Strecke Δs = v * Δt zurück.

Damit haben wir eine Seite des Dreiecks, das näherungsweise rechtwinklig ist.

Dann ist die Fläche des Dreiecks ΔA = 1/2 * Basis * Höhe = 1/2 *r * Δr = 1/2 * r * v * Δt

Da L = m*r*v ist, können wir auch schreiben:

ΔA = 1/2 * L/m * Δt

Damit ergibt sich: ΔA/Δt = 1/2*L/m

ΔA/Δt ist eine Flächenänderung pro Zeit, das kann man als Flächengeschwindigkeit beschreiben.

Wenn also der Drehimpuls L konstant ist, dann muss die Flächengeschwindigkeit der Planetenbahn immer gleich sein, d.h. in gleichen Zeiten muss der Fahrstrahl gleiche Flächen überstreichen.

Faszinierend, wie Kepler die Drehimpulserhaltung gefunden hat, ohne den Begriff Drehimpuls zu kennen....

Ende mathematischer Exkurs

Kommen wir noch zum 1.Keplerschen Gesetz:

Da sich die Anziehungskraft der Sonne zeitlich nicht ändert (wir nennen das eine konservative Kraft), muss der Energieerhaltungssatz gelten.

Damit kann man zeigen, dass je nach Gesamtenergie E nur die folgenden Bahnformen vorkommen können:

E = 0:  Parabelbahn

E > 0:  Hyperbelbahn

E < 0: Kreisbahn oder Ellipsenbahn.

Und das ist letztlich Keplers erstes Gesetz.

                                                                   nach wikipedia common

Wenn man annimmt, dass der Planet auch die Sonne  anzieht, dann hat man ein sogenanntes Zwei-Körper-Problem vor sich liegen. Das kann man auch gut berechnen.

Sobald aber drei Massen oder mehr vorkommen, sind die Bahnen nicht berechenbar, sie können nur näherungsweise im Computer simuliert werden.

P 117 Da kann einem leicht übel werden...

 21.3 Drehimpulserhaltung

Jetzt haben wir alles zusammen, um eines der bekanntesten Erhaltungsgesetze kennenzulernen.

Drehimpulserhaltungssatz: Der Drehimpuls eines Körpers bleibt immer erhalten, vorausgesetzt, es gibt keine äußeren Einflüsse.

Das gilt sogar für den Drehimpulsvektor, also die Richtung: die Drehachse stabilisiert sich selbst im Raum.

Das ist gut so, sonst würden wir beim Fahrradfahren ständig umfallen....

Mir ist dieser Erhaltungssatz  schon als kleines Kind begegnet...da musste ich immer Weihnachten mit meiner Familie Eiskunstlauf ansehen...war Tradition...und da kommen die Pirouetten vor...Läufer/innen bringen sich in Drehung, ziehen die Arme an den Körper und drehen sich schneller...beim eleganten Ausstrecken der Arme bremsen sie ab....

Wenn die Masse also näher an die Drehachse verlagert wird, verringert sich das Trägheitsmoment Θ (für eine Punktmasse ist es ja mit Θ = m*r² sogar durch das Quadrat des Abstandes bestimmt...), da aber der Drehimpuls erhalten bleibt, also L =  Θ * ω sich nicht ändert, muss mit dem Kleinerwerden von  Θ die Winkelgeschwindigkeit ω größer werden. Der Mensch dreht sich schneller...

Aus diesem Grund drehen sich auch die 10 km großen (besser kleinen) Neutronensterne wahnsinnig schnell (teilweise in Millisekunden...), denn sie sind durch den Kollaps eines Überriesensternes entstanden.

Ihr könnt die Erhaltung des Drehimpulses auch selbst spüren...ihr braucht einen gut gelagerten drehbaren Schreibtischstuhl und zwei schwere Massen, die ihr mit ausgestreckten Armen haltet.

Nehmt am besten mit Wasser gefüllte wertvolle Porzellanschüsseln...oder zwei Stativfüße...

Ich führe euch das mit Philipp im Café-Bereich des FutureSpace vor...

Hinterfragt das mal...

Wieso wird Philipp schneller? Wo kommt die Energie her, wo die Kraft zum Beschleunigen...???

Klar, durch die Formel  L =  Θ * ω kann man das erklären, aber verstehen wir es?

Ich möchte hier nur ein paar Hinweise geben, es würde den Rahmen des Kurses sprengen:

Philipp muss, wenn er die Gewichte an sich zieht, Arbeit verrichten (gegen die Fliehkraft). Diese Arbeit wird in erhöhter Rotationsenergie gespeichert.

Genaue Konstruktionen zeigen, dass dabei auch beschleunigende Kräfte in Drehrichtung entstehen....

Aber viel pauschaler, damit einfacher, ergibt sich alles nur aus dem Erhaltungssatz für den Drehimpuls.

Aber wieso gilt der denn?

Auch dafür gibt es eine pauschale Erklärung. Die gebe ich in den nächsten 10 Tagen auf den Zusatzseiten.

Ich habe das schon bei P 70 angekündigt...nun wird es aber Zeit...

Wir haben ja inzwischen drei Erhaltungssätze kennengelernt: Energieerhaltung, Impulserhaltung und Drehimpulserhaltung.

Die haben unmittelbar etwas mit der inneren Struktur von Raum und Zeit zu tun...(siehe Extraseiten (bald)).

Aber erst einmal wollen wir zwei Dosen mit  Eintöpfen richtig durchschütteln...wir kommen zum berühmten Dosen-Wettrennen:

Wer wird gewinnen? Die Erbsensuppe oder die Hühnersuppe?

P 86: Last not Least...die Kraft

 16. Grundgröße Kraft

Wir kommen nun zur dritten Grundgröße nach Impuls und Energie, zum Begriff der Kraft.

Bitte wiederholt alles, was wir in P 66 vom 11.1. über Kraft, insbesondere als Mittelstufenwiederholung gesagt haben.

Zu P 66

Wie auch bei den anderen Grundgrößen können wir nicht wirklich sagen, was Kraft ist im Sinne des Seins in dieser Welt. Wir müssen uns damit begnügen, Eigenschaft festzulegen und dadurch zu charakterisieren, wann wir wie diesen Begriff verwenden können.

16.1 Eigenschaften einer Kraft

In der Mittelstufe haben wir gelernt:

- Kräfte werden durch ihre Wirkungen charakterisiert. Eine Kraft kann etwas beschleunigen (d.h. auch abbremsen und ablenken) und verformen.

- Kräfte werden durch drei Angaben charakterisiert: Größe, Richtung und Angriffspunkt. Deshalb kann man Kräfte gut durch Pfeile beschreiben.

- Kräfte werden in Newton N gemessen. Eine Masse von 102 g entspricht einer Gewichtskraft von 1 N.

Wer sich noch einmal mit diesen Eigenschaften beschäftigen möchte, dem sei eine Seite  in LEIFIpyhsik sehr empfohlen:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-kraftarten/grundwissen/beschreibung-von-kraeften

Beschreibung von Kräften

Hier findet man auch die folgende Abbildung:

Nun ergänzen wir das:

- Kräfte sind Vektoren, d.h. gerichtete physikalische Größen.

- Kräfte können nur über einen Vermittler einwirken. Das werden wir gleich in einem Extrakapitel besprechen. In der Regel werden sog. Kraftvermittlerobjekte dabei ausgetauscht.

- Kräfte brauchen immer einen Verursacher und einen Empfänger: Vom Verursacher gehen Kraftvermittlerobjekte aus, beim Empfänger kommen sie an.

                                  (nach Aulis Verlag, KPK)

- Kräfte können sich gegenseitig aufheben. Wir sprechen dann vom Kräftegleichgewicht. Ein Körper könnte dann genau so viele Kraftvermittlerobjekte erhalten, wie er abgibt.

                                             (Aulis Verlag, KPK)

- Kräfte sind nur während ihrer Wirkung vorhanden, sie können nicht vom Objekt behalten werden.

   Die typische Aussage: "Ich habe Kraft" ergibt somit physikalisch keinen Sinn. Nur mengenartige Größen kann man besitzen, nur bei ihnen kann man von viel oder wenig reden. Unsere Kraftvermittlerobjekte existieren also nur während der Vermittlung, sie sammeln sich nicht in Objekten an. Kräfte haben, im Gegensatz zu Impuls und Energie, keine mengenartigen Eigenschaften.

Es ist somit falsch zu sagen: "Der Körper übt viel Kraft aus". Besser wäre es von Stärke zu reden: "Die Kraft, die der Körper ausübt, ist stark".

Somit gibt es auch keinen Krafterhaltungssatz!

Das unterscheidet den Begriff Kraft besonders deutlich von Energie und Impuls, da wir ja einen Energieerhaltungssatz und einen Impulserhaltungssatz kennen.

In welcher Beziehung Kräfte zu Energie und Impuls stehen, werden wir bald klären. Vorher möchte ich aber zeigen, wie die moderne Physik Kräfte beschreibt.

Weg von Newton, auf ins 21. Jahrhundert, auf zum nächsten Post...

P 85: Achtung! Mathe

 15.3.5 Mathematische Behandlung eines einfachen elastischen Stoßes

Die Herleitungen spielen in späteren Posts keine Rolle, aber vielleicht für zukünftige Leistungskursler eine gute Gelegenheit ,sich  etwas stärker mit Formelherleitungen und Mathematik zu beschäftigen.

Wem es fröstelt...ihr könnt das gerne überspringen...aber ich fänd es schade...versucht es doch mal...

Ich versuche alle Sinne anzusprechen.

Wir wollen erst einmal die Formel für den folgenden Stoß herleiten:

Eine Masse m (unser Neutron) kommt mit einer Geschwindigkeit v1 zentral an eine ruhende Masse M (unser Sauerstoffatomkern) an.

Danach bewegen sich m und M mit bestimmten Geschwindigkeiten, die wir u1 und u2 nennen, weiter.

Genau für diese Geschwindigkeiten wollen wir Formeln haben.

Da es sehr mühsam ist, das alles mit Textverarbeitung aufzuschreiben, habe ich Papier und Kugelschreiber geholt....

Hier erst noch einmal die Aufgabe:

Und nun zur Lösung:

Wir schreiben erst einmal den Impuls- und den Energieerhaltungssatz hin.

Dann vereinfachen wir, sortieren die Gleichungen um, wenden die dritte binomische Gleichung an und dividieren die beiden so erhaltenen Gleichungen (2) durch (1). Dann kürzt sich alles raus und wir erhalten eine ganz einfache Gleichung, die uns erlaubt, bei einem Stoßvorgang dieser Art einfach nur (bestimmte) Geschwindigkeiten zu addieren. Um erst einmal u1, die Geschwindigkeit der Masse m nach dem Stoß, zu erhalten, müssen wir in Gleichung (1) u2 ersetzen und dann mit einigen Tricks nach u1 auflösen.

Dann nehmen wir Gleichung (3) und erhalten dann die andere gesuchte Geschwindigkeit u2.

Nun kennen wir alle Geschwindigkeiten und können den Energieerhaltungssatz überprüfen:

Das war sozusagen die Kür der Kür...

Wer das wirklich verstehen möchte, sollte sich die Herleitung selbst auf ein Blatt hinschreiben und jede Umformung ausführen.

Zum besseren Verständnis erkläre ich auch die wichtigsten Schritte in dem folgenden 10-minütigen Video:

Das war der Exkurs in die extreme Welt für Mathe-Nerds...so ganz nebenbei...weder diejenigen, denen das zu hoch ist, noch diejenigen, die das so richtig toll finden, müssen jetzt beschämt nach unten schauen...

Ach die Rechenaufgabe habe ich ja fast vergessen:

Wir nehmen m = 1 und M = 16 und benutzen Gleichung (4):

u1 = (1-16)/(1+16)  * 20 000 km/sec  = - 17647 km/sec

Das Neutron prallt fast mit der gleichen Geschwindigkeit, mit der es angekommen ist, am Sauerstoffkern ab.

Gleichung (5) gibt uns an, welche Geschwindigkeit der Sauerstoffkern bekommt:

u2 = 2*1(17 *20 000 km/sec = 2354 km/sec

Er wird nicht all zu schnell. Das bedeutet auch, dass das Neutron nur wenig Energie an den Sauerstoffkern gegeben hat.

Nun wiederholen wir die Rechnung mit m=1 und M=1:

u1 = 0 km/sec

u2 = 20000 km/sec

Das Neutron verliert seine gesamte Energie und gibt es an das Proton ab.

Wenn da  Neutron noch Energie behalten will, bremst man es durch ein Deuteron ab, das ist ein Kern aus einem Proton und einem Neutron. Deswegen wird oft sog. schweres Wasser als Abbremsmittel in Kernkraftwerken genutzt.

In den Zusatzseiten werde ich in den nächsten Tagen etwas über Wolfgang Pauli schreiben, der vor etwa 90 Jahren voller Verzweiflung die Gültigkeit des Impulserhaltungssatzes gerettet hat, in dem er etwas eingeführt hat, was mit nichts reagiert und was man nicht nachweisen kann...

Auch wenn es nur eine Zusatzseite ist, lest es euch ruhig mal durch, ist vielleicht spannender als diese Rechnerei...

P 83: Stoßvorgänge

 15.3 Anwendung der Impulserhaltung bei Stoßvorgängen

Das ist ein weites Feld, ich möchte nur einige unterschiedlich schwierige Aspekte vorstellen.

15.3.1 Klassifizierung von Stößen

In Leifi-Physik gibt es eine sehr schön Übersicht mit guten Animationen. Ich empfehle, die zu bearbeiten und vor allem wichtige Inhalte in eurer Heft zu übertragen.

Klärt dabei die folgenden Fragen:

- Welche Rolle spielt der Impulserhaltungssatz bei der Behandlung von Stoßvorgängen?

- Warum tauchen vier Geschwindigkeiten auf? Was bedeuten die Indizes 1 und 2, was der Strich?

- Charakterisiere:

a) Zwei Stahlkugeln prallen aufeinander

b) Eine Tomate prallt auf einen Pfirsich

c) Zwei Kugeln aus Knete prallen aufeinander

- Beschreibe die verschiedenen Arten von Stoßvorgängen mit eigenen Worten.

https://www.leifiphysik.de/mechanik/impulserhaltung-und-stoesse/grundwissen/stoesse

Klassifizierung von Stößen

15.3.2 Beispiele und Aufgaben

Experiment: 

Schnipse  Geldstücke auf ruhende andere Münzen und variiere Massen und Richtungen. Notiere Deine Beobachtungen und vergleiche sie mit den Ergebnissen der folgenden Aufgaben.

Versuche einmal die folgenden Aufgaben zu lösen:

Aufgabe 1: Koppeln

Ein leerer Güterwagen der Masse 6 Tonnen rollt mit einer Geschwindigkeit von 6 km/h auf einen ruhenden beladenen Wagen mit der Masse 15 Tonnen und koppelt an.

Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich beide Wagen gemeinsam weiter?

(Märklin)

Aufgabe 2: Bremsen

Schnelle Neutronen in einem Kernkraftwerk sollen abgebremst werden.

Nehmen wir an, ein Neutron entsteht bei der Kernspaltung mit einer Geschwindigkeit von 20 000 km/sec.

Es hat eine Masse von 1,67*10^-27 kg.

a) Solche Neutronen stoßen zentral und elastisch auf ein Sauerstoffatom mit ungefähr der Masse von 16 Neutronen. Welche Geschwindigkeit hat das Neutron anschließend, welche das Sauerstoffatom?

b) Was ändert sich, wenn die Neutronen auf Wasserstoffatome (etwa mit der Masse eines Neutrons) stoßen?

(Bild Uni Leipzig)

Aufgabe 3: Rückstoß

Beim Kugelstoßen wird eine Kugel der Masse 7 kg mit der Geschwindigkeit 10 m/sec abgeworfen. Mit welcher Geschwindigkeit müsste sich der Werfer (Masse 80 kg) zurückbewegen?

Was würde passieren, wenn er auf einem Rollbrett stände?

Formel Herleitung:

Aufgabe 1:

Leite eine allgemeine Formel für die Rückstoßgeschwindigkeit her, d.h. für die Geschwindigkeit, mit der sich der abwerfende Körper nach hinten bewegen würde.

Aufgabe 2:

Ein Körper der Masse m stößt elastisch und zentral auf einen ruhenden Körper der Masse M.

a) Leite Formeln her für die  Geschwindigkeiten der Masse m und der Masse M nach dem Stoß.

b) Wie siehst Du an den Formeln, dass die Masse m bei einer Hauswand reflektiert würde?

c) Rechne nach, dass der Energieerhaltungssatz erfüllt ist.

Besprechungen im nächsten  Post

P 82: Tiefe Einsichten

 15.2 Impuls trägt nur bestimmte Energien

15.2.1 Verunsicherung

Ich denke, es gibt zahlreiche sehr sinnvolle Fragen zum Verhalten der Kugeln beim Newton Cradle.

Gerade gegen Ende des Videos wird es ja richtig komplex.

Wir wollen hier eine grundlegende Frage klären:

Wenn ich links eine oder zwei Kugeln auftreffen lasse, warum fliegen rechts dann genau soviel Kugeln gemeinsam weg wie links gemeinsam gekommen sind?

Das findet ihr irgendwie einleuchtend?

Dann will ich euch mal verunsichern:

Wir nehmen den Fall mit einer einzigen Kugel, die links auftrifft und dann dafür sorgt, dass auch nur eine Kugel rechts wegfliegt.

Die Kugel links hat die Masse m, sie kommt mit der Geschwindigkeit v am Cradle an. Dann ist ihr Impuls p = m*v.

Dieser Impuls wandert durch die Pendelkette hindurch, die letzte Kugel rechts kann ihn nicht weitergeben, sie nimmt ihn auf (ihre Masse ist ja eine Impulskapazität) und setzt ihn in Bewegung um.

Dann fliegt rechts die Kugel mit dem Impuls p = m*v weg.

Es könnten aber doch drei Kugeln sich zusammentun, sie hätten dann die Masse 3m. Würden sie mit einem Drittel der Geschwindigkeit wegfliegen, also 1/3v, so würde der Impulserhaltungssatz wieder erfüllt sein:

m*v = 3m*1/3v

Aber das passiert nicht! Obwohl es der Impulserhaltungssatz erlaubt.

15.2.2 Anschauliche Erklärung

Wie müssen auch an den Energieerhaltungssatz denken. Die Energie der Kugel links (Bewegungsenergie E = 1/2* m*v²) muss auch (Reibung wird vernachlässigt) rechts wieder auftauchen.

Die Geschwindigkeit, die der rechts ankommende Schwung bei drei Massen erzeugt, reicht aber nicht aus!

Der Grund: Schwung ist proportional zur Geschwindigkeit, kinetische Energie proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit.

Damit wäre der Energieerhaltungssatz nicht erfüllt und drei wegfliegende Kugeln kommen deshalb nicht vor.

15.2.3 Formale Erklärung I

Das mit Formeln zu erklären, ist nicht schwierig und leuchtet vielleicht besser ein:

Rechnen wir doch erst einmal aus, welche kinetische Energie denn die drei Kugeln zusammen hätten (Masse 3 m), wenn sie ein Drittel der Geschwindigkeit bekämen (1/3v), wie es der Impulserhaltungssatz erfordert.

E = 1/2* 3m* (1/3*v)² = 1/2*m*v²*1/3. (Achtung: Ich habe einmal einen Faktor 3 gekürzt)

Das ist nur ein Drittel der ankommenden Energie.

Der Impuls schafft es also nicht, 2/3 der ankommenden Energie auf die drei Kugeln zu übertragen.

Bei einer Kugel passt das, deshalb fliegt auch nur eine weg....

15.2.4 Wieviel Energie besitzt der Schwung?

Impuls und Energie sind ganz eng aneinander gekoppelt. Ich leite jetzt eine Formel her, die später oft Anwendung findet und sehr wichtig wird:

Wir beginnen mit der Formel für kinetische Energie E = 1/2*mv². Wir erweitern die rechte Seite mit m/m = 1 und erhalten:

  E = 1/2*mv²*m/m    = 1/2*(m*v)²/m = 1/2*p²/m, denn p= m*v ist ja der Impuls.

Also: 

Der Impuls p trägt immer die kinetische Energie E = 1/2*p²/m mit sich!

15.2.5 Formale Erklärung II

Auch mit dieser Formel können wir das Verhalten der Kugeln erklären:

Auf der linken und der rechten Seite ist der Impuls p gleich. Links liegt die Masse m vor, also ist die kinetische Energie E = 1/2*p²/m.

Rechts liegt aber die Masse 3m vor. Also ist die kinetische Energie rechts E = 1/2*p²/(3m).

Das ist (wie oben) nur ein Drittel der Energie der linken Seite.

Der Rest weiß nicht wohin, also findet der Vorgang mit 3 Kugeln nicht statt.

15.2.6 Allgemeiner Fall

Nun lassen wir links l Kugeln ankommen und überlegen uns wie groß die Zahl r der rechts wegfliegenden Kugeln ist. Die wegfliegenden Kugeln dürfen eine gemeinsame andere Geschwindigkeit u haben. v ist weiterhin die Geschwindigkeit der links ankommenden Kugeln.

Impulserhaltungssatz:

l*m*v = r* m *u, also l*v = r*u

Energieerhaltungssatz:

l*1/2*mv²  = r* 1/2*mu², also l*v² = r*u²

Diese beiden Gleichungen müssen zusammen erfüllt sein.

Das geht nur, wenn l=r und u=v ist, also links und rechts jeweils gleich viele Kugeln mit gleicher Geschwindigkeit unterwegs sind.

Die anderen komplizierten Fälle überlasse ich als Übungsaufgabe euch....😜