P 85: Achtung! Mathe

 15.3.5 Mathematische Behandlung eines einfachen elastischen Stoßes

Die Herleitungen spielen in späteren Posts keine Rolle, aber vielleicht für zukünftige Leistungskursler eine gute Gelegenheit ,sich  etwas stärker mit Formelherleitungen und Mathematik zu beschäftigen.

Wem es fröstelt...ihr könnt das gerne überspringen...aber ich fänd es schade...versucht es doch mal...

Ich versuche alle Sinne anzusprechen.

Wir wollen erst einmal die Formel für den folgenden Stoß herleiten:

Eine Masse m (unser Neutron) kommt mit einer Geschwindigkeit v1 zentral an eine ruhende Masse M (unser Sauerstoffatomkern) an.

Danach bewegen sich m und M mit bestimmten Geschwindigkeiten, die wir u1 und u2 nennen, weiter.

Genau für diese Geschwindigkeiten wollen wir Formeln haben.

Da es sehr mühsam ist, das alles mit Textverarbeitung aufzuschreiben, habe ich Papier und Kugelschreiber geholt....

Hier erst noch einmal die Aufgabe:

Und nun zur Lösung:

Wir schreiben erst einmal den Impuls- und den Energieerhaltungssatz hin.

Dann vereinfachen wir, sortieren die Gleichungen um, wenden die dritte binomische Gleichung an und dividieren die beiden so erhaltenen Gleichungen (2) durch (1). Dann kürzt sich alles raus und wir erhalten eine ganz einfache Gleichung, die uns erlaubt, bei einem Stoßvorgang dieser Art einfach nur (bestimmte) Geschwindigkeiten zu addieren. Um erst einmal u1, die Geschwindigkeit der Masse m nach dem Stoß, zu erhalten, müssen wir in Gleichung (1) u2 ersetzen und dann mit einigen Tricks nach u1 auflösen.

Dann nehmen wir Gleichung (3) und erhalten dann die andere gesuchte Geschwindigkeit u2.

Nun kennen wir alle Geschwindigkeiten und können den Energieerhaltungssatz überprüfen:

Das war sozusagen die Kür der Kür...

Wer das wirklich verstehen möchte, sollte sich die Herleitung selbst auf ein Blatt hinschreiben und jede Umformung ausführen.

Zum besseren Verständnis erkläre ich auch die wichtigsten Schritte in dem folgenden 10-minütigen Video:

Das war der Exkurs in die extreme Welt für Mathe-Nerds...so ganz nebenbei...weder diejenigen, denen das zu hoch ist, noch diejenigen, die das so richtig toll finden, müssen jetzt beschämt nach unten schauen...

Ach die Rechenaufgabe habe ich ja fast vergessen:

Wir nehmen m = 1 und M = 16 und benutzen Gleichung (4):

u1 = (1-16)/(1+16)  * 20 000 km/sec  = - 17647 km/sec

Das Neutron prallt fast mit der gleichen Geschwindigkeit, mit der es angekommen ist, am Sauerstoffkern ab.

Gleichung (5) gibt uns an, welche Geschwindigkeit der Sauerstoffkern bekommt:

u2 = 2*1(17 *20 000 km/sec = 2354 km/sec

Er wird nicht all zu schnell. Das bedeutet auch, dass das Neutron nur wenig Energie an den Sauerstoffkern gegeben hat.

Nun wiederholen wir die Rechnung mit m=1 und M=1:

u1 = 0 km/sec

u2 = 20000 km/sec

Das Neutron verliert seine gesamte Energie und gibt es an das Proton ab.

Wenn da  Neutron noch Energie behalten will, bremst man es durch ein Deuteron ab, das ist ein Kern aus einem Proton und einem Neutron. Deswegen wird oft sog. schweres Wasser als Abbremsmittel in Kernkraftwerken genutzt.

In den Zusatzseiten werde ich in den nächsten Tagen etwas über Wolfgang Pauli schreiben, der vor etwa 90 Jahren voller Verzweiflung die Gültigkeit des Impulserhaltungssatzes gerettet hat, in dem er etwas eingeführt hat, was mit nichts reagiert und was man nicht nachweisen kann...

Auch wenn es nur eine Zusatzseite ist, lest es euch ruhig mal durch, ist vielleicht spannender als diese Rechnerei...