P 113: Alles schon mal da gewesen....

 20.2 Vergleich zwischen Kreisbewegung und linearer Bewegung

In beiden Bewegungsformen gibt es vergleichbare Festlegungen, was man unter einer Geschwindigkeit und einer Beschleunigung versteht.

Auch die Weg-Zeit-Gesetze WZG und Geschwindigkeit-Zeit-Gesetze GZG stimmen vollständig überein, wenn man nur die Geschwindigkeit v durch die Winkelgeschwindigkeit, die Beschleunigung a durch die Winkelbeschleunigung und den zurückgelegten Weg s durch den Drehwinkel ersetzt.

Das merkt man sich am besten durch diesen Überblick:

Notiere Dir die Formeln in einer eigenen Tabelle und erläutere sie kurz.

Wichtig ist, dass man fast immer die Kreisgrößen Winkel, Winkelbeschleunigung und Winkelgeschwindigkeit im Bogenmaß angibt. Man muss es nicht,. aber für weiterführende Rechnungen ist es hilfreich.

Im nächsten Post lernen wir, wie man die entsprechenden Größen ineinander überführt. Das kennst Du im Prinzip, deshalb versuch dich einmal an den folgenden Aufgaben:

Langspielplatten (LP)  kennst Du sicher nicht mehr, sie sind der Vorgänger einer CD. Auch wenn sie heute wenig eingesetzt werden, zum Rechnen eignen sie sich allemal (Bild: WDR):

Aufgabe 1:

Eine LP dreht sich mit 33 Umdrehungen pro Minute auf dem Plattenteller. In den Rillen, die sich spiralförmig nach Außen fortsetzen, ist die Musik gespeichert.

Die innere Rille als Kreis gedacht hat einen Radius von 6,8 cm, die äußere von 16,2 cm.

Berechne:

a) Bestimme die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich die Platte dreht. Gib sie im Bogenmaß/sec an, aber auch im anschaulicheren Maß Grad/sec.

b) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Punkt auf der inneren und auf der äußeren Rille auf seiner Kreisbahn?

c) Um wieviel Grad hat sich die LP nach 30 Minuten Spielzeit gedreht?

c) Nach dem Einschalten fährt ein Motor die LP sehr schnell auf die erforderliche Drehgeschwindigkeit hoch. Wir nehmen an, das passiert in 1,5 Sekunden.

- Wie hoch ist die (als konstant anzunehmende) Winkelbeschleunigung? Wieder mit Bogenmaß und Grad!

- Um wieviel Grad hat sich die LP während des Hochfahrens auf die Endgeschwindigkeit gedreht?

Aufgabe 2:

Auch die Erde dreht sich...in 23h56m einmal um ihre Achse. Berechne dazu:

a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde? Angabe mit Bogenmaß und Grad

b) Welche Geschwindigkeit hat ein Punkt auf dem Erdäquator (Erdradius 6371 km)?

c) Welche Geschwindigkeit hat Kassel mit einer geographischen Breite von 51°,5?

d) Mit welcher Geschwindigkeit dreht sich der Nordpol?

e) Durch die Gezeitenreibung nimmt die Rotationsdauer pro Jahrhundert um 0,002 sec ab. Berechne die Bremsbeschleunigung!

P 30 Wir werten aus

 4.3.2 Die Auswertung

Ich habe zuerst einmal s gegen t aufgetragen, dabei nicht den sicheren Punkt (0,0) vergessen.

Im Graphen sind das die schwarzen Kreuze.

Mit etwas Wohlwollen kann man da eine Parabel erkennen.

Aber wie daraus die Fallbeschleunigung bestimmen?

Das geht, mit Ausgleichsrechnungen...Excel kann das gut, aber hat bei mir mal wieder gestreikt, weil der  Messwert 12,1 als Datum 12.1.1900 interpretiert wurde....

Also habe ich weiter selbst gezeichnet..., das ging schneller...

Für uns eine gute Gelegenheit ein wichtiges Verfahren kennenzulernen, das Linearisieren.

Vereinbarung:

Wir wollen in Zukunft Beschleunigungen, die durch Schwerkraft entstehen, immer mit g (von Gravitation) abkürzen.

Dann haben wir die Gleichung s(t) = 1/2 g * t² zu überprüfen.

Tragen wir s gegen t auf, so ergibt sich eine Kurve, aus der wir nur schwer erkennen können, ob g gleich bleibt und wie groß g ist. Ist der Exponent von t wirklich eine 2 oder könnte es auch 1,95 sein???

Besser ist es s gegen t² aufzutragen.

Nennen wir t² hier mal x, dann gilt also:

s = 1/s*g*t² = 1/2 * g * x

Das erinnert  jetzt an die Gleichung y = m*x, die ihr aus der Mittelstufenmathematik für eine Urspungsgerade mit der  Steigung m kennt.

Tragen wir s gegen x auf (also t²), so sollte sich eine Gerade ergeben, wenn g wirklich konstant ist. Und aus der Steigung m der Geraden können wir g berechnen:

 m = 1/2 * g, d.h. g = 2*m

Ich habe in roter Farbe s gegen x aufgetragen (dabei habe ich die Zahleneinteilung der waagerechten Achse übernommen, war halt zu faul ein zweites Koordinatensystem zu zeichnen..., ich denke, da ihr alle selbst diese Grpahen gezeichnet habt, ist es für einen Vergleich ausreichend...😜).

 

Die vier roten Punkte streuen leidlich gut um eine Gerade (rot) mit der Steigung 4,35, die ich mit dem gestrichelt eingezeichneten Steigungsdreieck bestimmt habe.

Das bedeutet einmal: g ist unabhängig von der Fallhöhe.

Und zum anderen können wir g = 2*m = 8,7 m/sec² aus der Steigung ausrechnen.

Der Wert ist zu klein, es hätte 9,8 m/sec² herauskommen müssen. Aber wir konnten trotz allem die Luftreibung nicht perfekt ausschließen. Im Fallschacht war die Luft nicht abgepumpt...

Das macht man in professionellen Fallschächten wie in Bremen wirklich: 

In einer riesigen luftleeren Röhre der Höhe 110 m können Gegenstände nach unten fallen. 

Warum, werden wir bald sehen.

Aber wie lange dauert denn dieser freie Fall?

(Antwort 4,74 sec, bitte nachrechnen!).

 

 

 

 Wäre unser Wert zu groß gewesen, hätte ich keine Erklärung gehabt.

Was bedeutet nocheinmal: g = 9,8 m/sec?

In jeder Sekunde wächst die Geschwindigkeit eines auf der Erde fallenden Körpers um 9,8 m/sec, wenn man Luftreibung vernachlässigt.

Und wir wissen schon, verstehen es aber nicht, dass dieser Wert nicht vom Gewicht des fallenden Körpers abhängt (Hammer und Feder...).

Im nächsten Post zeige ich, wie man mit der Gleichung v = g*t die Fallbeschleunigung g berechnet und wir üben noch einmal das Linearisieren.

Dann stelle ich eine professionelle Methode vor, die drei Jugendliche entwickelt haben.

Dann glauben wir unserer Herleitung endgültig.

Es sei denn, jemand von euch bekommt heraus, dass die Fallbeschleunigung g von der Fallhöhe abhängt....

Vielleicht hat jemand ja Lust, den Mt.Everest zu besteigen und dort zu messen????

Wir kommen da noch zu...

P 15: Wir fordern Unabhängigkeit!

 1.8 Das Superpositionsprinzip

Ihr habt (intuitiv) dieses wichtige Prinzip der Physik schon angewandt.

Ich nenne es euch erst einmal. Dann überlegt, wobei ihr das schon ausgenutzt habt.

Dann werde ich die Grenzen dieses Prinzips aufzeigen. Und dann versteht ihr auch den Titel dieses Posts.

 

Superpositionsprinzip oder Unabhängigkeitsprinzip von Bewegungen

 Setzt sich eine Bewegung aus zwei Teilbewegungen zusammen, so spircht man von einer Überlagerung oder Superposition.

Nennt Beispiele aus unseren bisherigen Posts.

Führt ein Körper mehrere Teilbewegungen aus, so überlagern (superpositionieren) sich diese Teilbewegungen unabhängig voneinander zu einer resultierenden Teilbewegung.

Ganz konkret bedeutet das: Die Teilbewegungen beeinflussen und stören sich nicht gegenseitig.

Auch hier nenn bitte Beispiele!

Beispiel Flußüberquerung:

Wir können die Überquerungszeit unabhängig von der Strömung des Flusses ausrechnen und dann damit die Bewegung längs des Flusslaufes bestimmen.

So haben wir die Übungsaufgabe gelöst.

Aber: Bei einem stark strömenden Fluß strengt die Überquerung deutlich mehr an, der Schwimmer wird langsamer und braucht länger.

In der Praxis gilt das Prinzip der ungestörten Überlagerung nicht unbedingt immer. Dann wird aber die Berechnung schwierig.

Beispiel Flugzeug und Wind

Wir haben die einzelnen Geschwindigkeitskomponenten addiert und dann wieder zur neuen resultierenden Geschwindigkeit zusammengesetzt.

Funktioniert sicher ebenfalls bestens, so lange bei orkanartigen Stürmen keine Turbulenzen auftreten.

Beispiel Eisenbahnfahrt

Wenn ich in einem Zug in Fahrtrichtung durch den Wagon gehe, addieren sich die Geschwindigkeiten von mir und dem Zug zur resultierenden Geschwindigkeit.

Dies gilt auch in sog. relativistischen Zügen bei nahezu Lichtgeschwindigkeit, nur wird eine andere Additionsformel benutzt.

Waagerechter Wurf:

Wir werden bald ein weiteres Beispiel kennenlernen:

Ein waagerecht abgeworfener Körper kommt in der gleichen Zeit am Boden an, wie ein Körper, den man gleichzeitig einfach nur fallen lässt.

Ihr merkt schon:

Das Unabhängigkeitsprinzip erleichtert uns die Beschreibung und Analyse von Bewegungen. Es ist eine Vorgabe von uns an die Art der Beschreibung der Natur, nicht aber eine Grundeigenschaft der Natur.

Im Gegenteil...in der Regel verlaufen alle Prozesse der Natur chaotisch, d.h. Abläufe und Komponenten beeinflussen sich gegenseitig.

Seit etwa 20 Jahren ist diese Chaosphysik eine gesicherte Erkenntnis unserer Naturbeschreibung.

Chaotische Systeme streben aber häufig auf stabile Zustände hin. Die können wir dann gut mit unseren einfachen Methoden beschreiben.

Ein berühmtes Beispiel ist das Dopppelpendel:

Zwei Pendel hängen aneinander. Die beiden Bewegungen beeinflussen sich gegenseitig und können schon nach kurzer Zeit nicht mehr vorhergesagt werden.

Das zeigt die Animation von Wikipedia schön: 

Man spricht von einer gegenseitigen Rückkopplung auf die jeweils andere Bewegung.

Die mathematische Beschreibung funktioniert aber weiterhin. Man muss sog. gekoppelte Differenzialgleichungen benutzen.

Die eine Bewegung ist nicht unabhängig von der anderen, die Überlagerung verläuft chaotisch.

So etwas tritt immer auf, wenn Quadrate oder Sinus-Funktionen in den WZG vorkommen.

Wir werden sicher später mehr auf solche Systeme eingehen, allerdings ohne Mathematik....

Übrigens: Das Feuern der Neuronen im Gehirn erfolgt auch chaotisch. Stabile Zustände nennen wir Gedanken. 

Dann bringt das Chaos in euren Gehirnen mal zur Ruhe, macht euch Gedanken zum Thema und notiert euch eure Erkenntnisse.

P11: Wenn s proportional zu t ist

 1.6 Die gleichförmige Bewegung

1.6.1: Das Weg-Zeit-Gesetz

Nach allen Vorbereitungen ist der Schritt zur gleichförmigen Bewegung nun sehr klein...

Gleichförmig heißt: Mit gleichbleibender Geschwindigkeit

Symbolhaft schreibt man oft: v(t) = v = const. und meint damit, dass sich die Momentangeschwindigkeit im Laufe der Zeit nicht ändert.

Die Geschwindigkeit gibt an, um wieviel Meter man pro Sekunde weiter kommt...und wenn sie konstant ist, dann muss s gleichmäßig mit t anwachsen.

Achtung: Ich habe gleichmäßig anwachsen gesagt, nicht proportional!

Ist euch der Unterschied aus der Mittelstufenmathematik bekannt?

In P1 habe ich dazu ja schon eine Anregung zu eigenen Untersuchungen gegeben:

 Untersuche Bewegungen mit (möglichst) konstanter Momentangeschwindigkeit. Wie hängt der zurückgelegte Weg s von der benötigten Zeit t ab? Die Antwort kannst Du Dir sicher überlegen, noch schöner wäre es, wenn Du eine Messreihe machst, mit der Du Deine Überlegung überprüfen kannst.

 Das ist gar nicht so leicht durchzuführen...man müsste ja eigentlich schon eine konstante Geschwindighkeit haben, um die Messungen von s und t auszuführen...

Einige Jugendliche haben mich da mal komplett überrascht...

Sie haben die Spitze des Sekundenzeigers einer analogen Wanduhr verfolgt. Den Kreisbogen, auf dem die Spitze des Zeigers sich bewegt, haben sie bestimmt  (kann man entweder aus der Zeigerlänge berechnen oder mit einem Seilstück messen), und wo der Zeiger alle 5 Sekunden sein muss , war irgendwie sofort klar...

Künstliche Versuchsumgebung (aber hilfreich!):

In Leifiphysik gibt es auch eine Experimentiermöglichkeit:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/gleichfoermige-bewegung/grundwissen/charakterisierung-der-gleichfoermigen-bewegung

Hier der direkte Link:

v = const

Startet man zum Zeitpunkt t = 0 sec am Ort s = 0 m, so erhält man als WZD eine Ursprungsgerade mit der Gleichung s(t)  = v * t,  v = const.

Dies ist das Weg-Zeit-Gesetz WZG der gleichförmigen Bewegung.

Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz GZG ist einfach v(t) = const. 

1.6.2 Erste Begegnung mit der Quantenwelt:

Um die Bewegung eines Körpers in unserer Umgebung genau zu bestimmen, müssen wir seinen Ort s(t) und seine Geschwindigkeit v(t) kennen.

Wir benötigen also das WZG und das GZG!

Damit werden wir bald richtige Flugbahnen berechnen.

Und solche Flugbahnen von Gegenständen gibt es wirklich, denn sonst hätten unsere Vorfahren kaum Nahrungsquellen mit Pfeil und Bogen erledigen können...

In Q3 werdet ihr dagegen lernen, dass im Mikrokosmos genau das nicht geht. Da gibt es keine Flugbahnen von Objekten, denn man kann nicht gleichzeitig einen Ort und eine Geschwindigkeit angeben.

Entweder hat ein Elektron einen Ort, dann existiert keine Information über die Bewegung...oder wir kennen alle Bewegungsinformationen, dann besitzt das Elektron keinen Ort.

Besonders irre: Es ist nicht so, dass wir nur den Ort nicht kennen...der existiert wirklich nicht nicht als Eigenschaft unserer Welt.

Das wurde von Werner Heisenberg 1936 auf Helgoland entdeckt. Wir nennen es die Unbestimmtheitsbeziehung.

Physik in Q3 wird richtig spannend. Man lernt da etwas über die Realität der Welt.

Auch dazu gibt es einen Unterrichtsblog:

 https://physikkursq3lichtundquanten.blogspot.com/

Quantenmechanik (Q3)

 Um es noch mal klar zu sagen:

In de rklassischen (newtonschen) Mechanik sind WZG und GZD die bestimmenden Regeln. In der Quntenmechanik  können sie nicht eingesetzt werden.

Da sollte erst einmal als Hinweis auf die verrückte Quantenwelt reichen.

1.6.3 Achtung! Aufgepasst!

Der Graph einer gleichförmigen Bewegung im WZD ist eine Gerade.

Aber: Nicht jede Gerade gehört zu einer Proporionalität...nur Geraden, die durch den Urspung gehen.

Ganz konkret:

Fall 1: s(t) = 5 m/sec * t:

Dieser Graph geht durch den Ursprung, s und t sind zueinander proportional.

Das bedeutet: Verdoppelt oder verdreifacht sich die Zeit, so tut das auch der zurückgelegte Weg.

                        Der Quotient aus Weg und Zeit ist immer gleich!

                         Wie nennen wir den Quotienten s/t nochmal??? 

                         Könnt ihr das mit dem Quotientenkriterium für proportionale Zuordnungen verbinden,  das ihr in der Klasse 7 in Mathe kennengelernt habt?

 

Fall 2: s(t) = 5 m/sec * t + 500 m

Diese Gleichung gehört nicht zu einer  Proporionalität. Für t = 1 sec erhält man s= 505 m, für t = 2 sec dagegen 510 m.

510 m sind bekannterweise nicht doppelt so lang wie 505 m....

 Da muss man gut aufpassen...

Im  zweiten Fall kann man nur sagen: Es liegt ein linearer Zusammenhang zwischen s und t vor, aber keine Proportionalität.

Wir neigen dazu, alle linearen Zusammenhänge mit proporional zu bezeichnen. Das geht aber nur für diejenigen, die mit (0,0) anfangen...

Ihr müsst also genau aufpassen, wenn ihr einen linearen Zusammenhang als proportional bezeichnet.

Jeder proportionale Zusammenhang ist linear, aber nicht jeder lineare Zusammenhang ist proportional (nur diejenigen, für die.....)

 Das hat schon manchen Abiturienten Punkte im Abi gekostet.

 

Ich werde bald eine Zusatzseite zu Proportionalitäten und Antiproportionalitäten schreiben. 

Da könnt ihr das nochmal zusammenhängend durcharbeiten.

Im nächsten Post müssen wir auf die Richtung von Bewegungen eingehen. Da bekommen wir dann einen kurzen ersten Kontakt zur Allgemeinen Relativitätstheorie von Einstein.