P 152: Erst mal die Lösungen...

 Damit ihr nicht blättern müsst, hier nochmal die Aufgaben:

1) Wie groß ist die Auslenkung eines Federpendels nach 17 sec, das zum Zeitpunkt 0 in der Ruhelage startet und mit einer Frequenz von 0,3 Hz bei einer Amplitude von 6 cm schwingt?

Nicht vergessen, den Taschenrechner auf Bogenmaß umzustellen!

Zur Frequenz 0,3 Hz gehört eine Periodendauer von 1/0,3 = 3,33 sec.

Das bedeutet: Nach 17 Sekunden sind 5,1 Perioden abgelaufen und es wird diese Auslenkung erneut angenommen.

2) In einem Kreisbild werden zwei Schwingungen dargestellt, deren Zeiger einen Winkel von 180° einschließen.

Zeichne die beiden WZD in einen Graphen (Amplituden sollen gleich sein, Frequenz beliebig)

Solche Schwingungen nennt man gegenphasig.

Das Bild dazu findet man im schulphysikwiki

3) Wie würden die WZD zweier gleichphasiger Schwingungen aussehen, deren Amplituden sich um einen Faktor 2 unterscheiden.

Kannst Du das Kreisbild dazu zeichnen, mit den Zeigern?

4) Nun sollen die beiden Zeiger einen Winkel von 90° einschließen.

Zeichne das Kreisbild und überlege Dir die WZD.

Um die Kurven zu erzeugen, stell Dir vor, dass sich beide Zeiger gegen den Uhrzeigersinn gemeinsam drehen.

Der Kreis ist nur als Hilfe eingezeichnet, er hat keine Bedeutung mehr.

Letztlich ist eine um 90° phasenverschobene Sinus-Kurve eine Cosinus-Kurve.

Ihr kennt die Formeln:

 sin φ = cos (90° - φ) bzw.  cos φ = sin (90° - φ)

   sin 30° = cos 60° = 0,5

Das wird später wichtig bei erzwungenen Schwingungen und der Resonanz. Eine Cos-Schwingung kann optimal Energie auf eine Sin-Schwingung übertragen: Die cos-Kurve "zieht" die sin-Kurve in ihre Richtung...

P119: Lösungen zur Suppe und zum Pulsar

 Die Pulsaraufgabe ist wieder etwas gemein, denn alle Zusammenhänge sind nicht linear. Man darf also nicht die Differenzen nehmen und damit rechnen.

Gegeben war die Frequenz von 30 Hz. Das liefert die Winkelgeschwindigkeit von 188,49556 /sec

Formel: ω = 2*π*f

Die Periodendauer erhält man als Kehrwert von f zu 1/30 sec. Davon muss man die 0,00001 sec abziehen, dann erhält man die Periodendauer vor einem Jahr (früher drehte sich der Stern schneller).

Daraus bestimmt man wieder als Kehrwert (Achtung: Auch Kehrwerte sind nicht lineare Zusammenhänge) die frühere Drehfrequenz und die frühere Winkelgeschwindigkeit zu 188,55212 /sec.

Nun brauchen wir das Trägheitsmoment einer Kugel Θ = 2/5*M*R². Pulsare werden langsamer, weil sie über die Magnetfelder Energie verlieren, nicht weil sie sich ausdehnen.

Nun können wir die beiden Rotationsenergien ausrechnen, wir müssen nur die entsprechenden Winkelgeschwindigkeiten einsetzen. Die Differenz ergibt 1,157 * 10^39 Nm.

Das ist der Energieverlust von einem Jahr. Die Leuchtkraft der Sonne bezieht sich aber auf die Energieaussendung pro Sekunde.

Also müssen wir den Energieverlust noch durch die Anzahl der Sekunden eines Jahres teilen. Dann kommen wir auf 92000 Sonnenleuchtkräfte.

Und nun kommen wir zum Suppen-Wettrennen:

Beim Herunterrollen kommt die Erbsensuppe langsamer in Fahrt. Denn der feste Inhalt (Erbsenpampe) muss sich mit drehen. Das bedeutet ein recht hohes Trägheitsmoment. Es geht also viel der durch den Höhenunterschied gewonnenen potenziellen Energie in die Rotationsenergie, nur ein Rest steht als Bewegungsenergie zur Verfügung.

Die Hühnersuppe ist extrem flüssig, die Flüssigkeit dreht sich am Anfang überhaupt nicht mit, es bleibt viel für Bewegungsenergie übrig, die Hühnersuppe ist schneller. Wegen ihres kleineren Trägheitsmomentes hat sie auf der Hangabfahrt weniger Rotationsenergie gespeichert. Deswegen kullert sie deutlich eher aus und bleibt liegen, deutlich früher als die  Erbsensuppe.

Das kennen wir: Wenn träge Massen erst mal in Bewegung sind, dann kann man sie kaum bremsen...

Damit wir zum Schluss noch verstehen können, warum sich die Jahreszeiten der Erde verschieben, benötigen wir den Begriff des Drehmomentes. Der hilft übrigens auch beim Wechseln von Autoreifen...

Das kommt im nächsten Post.

P 113: Alles schon mal da gewesen....

 20.2 Vergleich zwischen Kreisbewegung und linearer Bewegung

In beiden Bewegungsformen gibt es vergleichbare Festlegungen, was man unter einer Geschwindigkeit und einer Beschleunigung versteht.

Auch die Weg-Zeit-Gesetze WZG und Geschwindigkeit-Zeit-Gesetze GZG stimmen vollständig überein, wenn man nur die Geschwindigkeit v durch die Winkelgeschwindigkeit, die Beschleunigung a durch die Winkelbeschleunigung und den zurückgelegten Weg s durch den Drehwinkel ersetzt.

Das merkt man sich am besten durch diesen Überblick:

Notiere Dir die Formeln in einer eigenen Tabelle und erläutere sie kurz.

Wichtig ist, dass man fast immer die Kreisgrößen Winkel, Winkelbeschleunigung und Winkelgeschwindigkeit im Bogenmaß angibt. Man muss es nicht,. aber für weiterführende Rechnungen ist es hilfreich.

Im nächsten Post lernen wir, wie man die entsprechenden Größen ineinander überführt. Das kennst Du im Prinzip, deshalb versuch dich einmal an den folgenden Aufgaben:

Langspielplatten (LP)  kennst Du sicher nicht mehr, sie sind der Vorgänger einer CD. Auch wenn sie heute wenig eingesetzt werden, zum Rechnen eignen sie sich allemal (Bild: WDR):

Aufgabe 1:

Eine LP dreht sich mit 33 Umdrehungen pro Minute auf dem Plattenteller. In den Rillen, die sich spiralförmig nach Außen fortsetzen, ist die Musik gespeichert.

Die innere Rille als Kreis gedacht hat einen Radius von 6,8 cm, die äußere von 16,2 cm.

Berechne:

a) Bestimme die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich die Platte dreht. Gib sie im Bogenmaß/sec an, aber auch im anschaulicheren Maß Grad/sec.

b) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Punkt auf der inneren und auf der äußeren Rille auf seiner Kreisbahn?

c) Um wieviel Grad hat sich die LP nach 30 Minuten Spielzeit gedreht?

c) Nach dem Einschalten fährt ein Motor die LP sehr schnell auf die erforderliche Drehgeschwindigkeit hoch. Wir nehmen an, das passiert in 1,5 Sekunden.

- Wie hoch ist die (als konstant anzunehmende) Winkelbeschleunigung? Wieder mit Bogenmaß und Grad!

- Um wieviel Grad hat sich die LP während des Hochfahrens auf die Endgeschwindigkeit gedreht?

Aufgabe 2:

Auch die Erde dreht sich...in 23h56m einmal um ihre Achse. Berechne dazu:

a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde? Angabe mit Bogenmaß und Grad

b) Welche Geschwindigkeit hat ein Punkt auf dem Erdäquator (Erdradius 6371 km)?

c) Welche Geschwindigkeit hat Kassel mit einer geographischen Breite von 51°,5?

d) Mit welcher Geschwindigkeit dreht sich der Nordpol?

e) Durch die Gezeitenreibung nimmt die Rotationsdauer pro Jahrhundert um 0,002 sec ab. Berechne die Bremsbeschleunigung!

P 92: Definition der Kraft

 16.5 Newtons berühmte Formel F = m*a

Wir haben gesehen, dass die Impulsstromstärke Δp/Δt sich als Produkt der (trägen) Masse und der erwirkten Beschleunigung a schreiben lässt:

Δp/Δt = m*a

In einer Aufgabe haben wir sogar gesehen, dass Δp/Δt bei einem Fallversuch sogar der Gewichtskraft entspricht, die man aus der Mittelstufe kennt.

Deswegen liegt es nahe:

Definition:

Unter einer Kraft verstehen wir die Stärke des übertragenen Impulsstromes Δp/Δt.

Machen wir uns das plausibel:

Wann ist der Impulsstrom besonders groß? Wenn wir viel Impuls in kurzer Zeit übertragen (großer Zähler, kleiner Nenner)!

Praktisch ausgedrückt: Schell und heftig gegenboxen...das nennen wir im Alltag: Eine starke Kraft ausüben.

Die Kraft wirkt also nur während wir den Impuls übertragen, also während der Impulsstrom zwischen dem einwirkenden und dem bekommenden Körper fließt.

Der Impulsstrom überträgt natürlich einen Schwung in eine bestimmte Richtung. Und er geht auch von einem Körper aus und tritt am Angriffspunkt der Kraft in den anderen Körper ein.

Also gilt: 

F = Δp/Δt

Außerhalb des Schulunterrichtes gibt es auch die Größe F*Δt  = Δp. Die nennt man auch einen Kraftstoß, da die Kraft F nur in der Zeit Δt wirkt.

                                                    credit: leifiphysik

Nun haben wir für das zweite Newtonsche Axiom sogar eine Formel:

    F = m*a

Dazu gleich einige  Übungsaufgaben:

1) Ein Auto fährt mit einer Beschleunigung von 6 m/sec² an. Mit welcher Kraft wird der Fahrer der Masse 75 kg in den Sitz gedrückt?

2) Welche Geschwindigkeit erhält ein Fußball der Masse 0,5 kg, wenn er mit einer Kraft von 500 N getreten wird? Der Kraftstoß soll 0,02 sec dauern.

3) Kann man eine Rakete der Masse 500 kg aus einem 100 m langen Kanonenrohr abschießen?

Die notwendige Startgeschwindigkeit beträgt 11,2 km/sec.

4) Mit welcher Kraft zieht die Erde eine 2 kg Kugel an?

     Mit welcher Kraft zeigt die Kugel die Erde an?

     Welche Beschleunigung bekommt die Kugel durch die Erde?

     Welche Beschleunigung bekommt die Erde durch die Kugel (Erdmasse 6*10^24 kg).

    Sag was zum Ergebnis....

P 84 Mathematische Klimmzüge: Vorbereitung

 15.3.3 Lösungen und Rückstoß

In der Regel haben wir 6 Größen bei einem elastischen Stoß: die beiden Massen m und M sowie die Geschwindigkeiten der beiden Körper vor dem Stoß, wir bezeichnen sie mit v, und nach dem Stoß, da verwenden wir u.

Wenn wir keinen zentralen Stoß betrachten, dann müssen wir alle Geschwindigkeiten in x - und y-Komponenten zerlegen. Für jede Koordinatenrichtung gibt es einen eigenen Impulserhaltungssatz: In jeder einzelnen Richtung ist die Summe alle Impulse vor dem Stoß und nach dem Stoß gleich.

Das gilt natürlich auch für den Gesamtimpuls.

Oft liegen solche Fälle beim Aufeinanderschnipsen von Münzen vor, da man selten genau zentral trifft. Die Münzen fliegen dann in alle Richtungen.

Wenn zwei Stahlkugeln (oder Münzen) aufeinander prallen haben wir einen elastischen Stoß. Die Körper können sich zwar beim Aufprall verformen, aber die dafür notwendige Energie geht wieder elastisch in die Bewegung zurück.

Bekannterweise lassen sich bei Tomaten und Pfirsichen Verformungen nicht rückgängig machen. Solche Stöße sind nicht elastisch, ebenso, wenn die beiden Objekte aneinander kleben bleiben.

Nun kommen wir zu den ersten Aufgaben:

Aufgabe 1 Koppeln:

Da sich auf beiden Seiten alle Einheiten jeweils aufheben, brauchen wir nichts umzurechnen und wir erhalten aus dem Impulserhaltungssatz:

m*v = (m+M)*u

dabei ist m die Masse des mit v ankommenden Wagons, M die des stehenden Wagens. Beide aneinander gekoppelten Wagen bewegen sich mit der gemeinsamen Geschwindigkeit u weiter.

Wir erhalten 6 t * 6 km/h = 11 t * u km/h und somit u = 1,7 km/h  (t steht für Tonnen)

Auch hier seht ihr, dass ich mir das Umwandeln der Einheiten erspart habe. Das geht aber nur, weil sie sich auf beiden Seiten aufheben!

Aufgabe 3 Rückstoß

Auch hier können wir direkt den Impulserhaltungssatz hinschreiben:

Die Kugel der Masse m = 7 kg wird mit v = 10 m/sec vom ruhenden Werfer abgestoßen. Ihr Impuls von 70 Hy muss der Werfer aufbringen, er verliert diesen Impuls in Wurfrichtung. Das spürt er als Impuls der von d er Kugel auf ihn gegen die Wurfbewegung übertragen wird. Er fühlt sich zurückgestoßen. Deswegen nennt man das den Rückstoß.

Da seine Masse größer ist (M = 80 kg) wird er sich mit kleinerer Geschwindigkeit u nach hinten bewegen.

Es gilt m*v = M * u, also u = 0,88 m/sec.

Da der Werfer vorher stillstand, hat er jetzt kinetische Energie bekommen. Diese geht der Kugel verloren.

Deshalb stützt der Werfer sich an der Erde ab. Dadurch vergrößert er scheinbar seine Masse so sehr, dass er nahezu keine Geschwindigkeit erhält und die Kugel somit die volle Energie bekommt.

u = m*v/M ist dann sehr klein, da M die Masse der Erde ist.

Wir erinnern uns: Der Impuls p trägt die Energie E = 1/2*p²/M mit sich und die ist eben sehr sehr klein, wenn M letztlich die Masse der Erde ist, an die der Werfer gekoppelt ist.

15.3.4 Rückstoßfreie Aussendung (Mößbauereffekt)

Die Reduzierung der Rückstoßenergie macht man sich in der Kernphysik zu nutze.

Wenn Atomkerne Strahlungen aussenden, erhalten sie einen Rückstoß, der die Energie der Strahlung reduziert.

Wenn man aber die Atomkerne so in einen Festkörper einbettet, dass der den ganzen Rückimpuls aufnehmen muss, gibt es keine Rückbewegung und die emittierte Strahlung verliert keine Energie.

Die so entwickelte "rückstoßfreie Aussendung von Gammastrahlung" durch Rudolf  Mößbauer (1929-2011) hat zu bedeutenden messtechnischen Verbesserungen in der Atomphysik geführt. Dafür hat er 1961   den Nobelpreis für Physik enthalten.

Es lohnt sich also, in der E-Phase in Mechanik aufzupassen...

1960 konnte man mit Hilfe des Mößbauereffektes die Gravitationsrotverschiebung nachweisen, die entsteht, wenn Strahlung auf der Erde 20 m (!!!) nach oben fliegt (Pound-Rebka-Experiment im Jefferson-Laboratory in Cambridge), sozusagen die Gewichtsabnahme des Lichtes, wenn es 20 m hoch steigt.

                                                (wikipedia, engl.)

                                                           wikipedia

Bevor wir die anderen Aufgaben lösen, leite ich erst einmal die entsprechenden Formeln allgemein her. Dann wenden wir sie auf die Aufgaben an. Das kommt im nächsten Post.

P 83: Stoßvorgänge

 15.3 Anwendung der Impulserhaltung bei Stoßvorgängen

Das ist ein weites Feld, ich möchte nur einige unterschiedlich schwierige Aspekte vorstellen.

15.3.1 Klassifizierung von Stößen

In Leifi-Physik gibt es eine sehr schön Übersicht mit guten Animationen. Ich empfehle, die zu bearbeiten und vor allem wichtige Inhalte in eurer Heft zu übertragen.

Klärt dabei die folgenden Fragen:

- Welche Rolle spielt der Impulserhaltungssatz bei der Behandlung von Stoßvorgängen?

- Warum tauchen vier Geschwindigkeiten auf? Was bedeuten die Indizes 1 und 2, was der Strich?

- Charakterisiere:

a) Zwei Stahlkugeln prallen aufeinander

b) Eine Tomate prallt auf einen Pfirsich

c) Zwei Kugeln aus Knete prallen aufeinander

- Beschreibe die verschiedenen Arten von Stoßvorgängen mit eigenen Worten.

https://www.leifiphysik.de/mechanik/impulserhaltung-und-stoesse/grundwissen/stoesse

Klassifizierung von Stößen

15.3.2 Beispiele und Aufgaben

Experiment: 

Schnipse  Geldstücke auf ruhende andere Münzen und variiere Massen und Richtungen. Notiere Deine Beobachtungen und vergleiche sie mit den Ergebnissen der folgenden Aufgaben.

Versuche einmal die folgenden Aufgaben zu lösen:

Aufgabe 1: Koppeln

Ein leerer Güterwagen der Masse 6 Tonnen rollt mit einer Geschwindigkeit von 6 km/h auf einen ruhenden beladenen Wagen mit der Masse 15 Tonnen und koppelt an.

Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich beide Wagen gemeinsam weiter?

(Märklin)

Aufgabe 2: Bremsen

Schnelle Neutronen in einem Kernkraftwerk sollen abgebremst werden.

Nehmen wir an, ein Neutron entsteht bei der Kernspaltung mit einer Geschwindigkeit von 20 000 km/sec.

Es hat eine Masse von 1,67*10^-27 kg.

a) Solche Neutronen stoßen zentral und elastisch auf ein Sauerstoffatom mit ungefähr der Masse von 16 Neutronen. Welche Geschwindigkeit hat das Neutron anschließend, welche das Sauerstoffatom?

b) Was ändert sich, wenn die Neutronen auf Wasserstoffatome (etwa mit der Masse eines Neutrons) stoßen?

(Bild Uni Leipzig)

Aufgabe 3: Rückstoß

Beim Kugelstoßen wird eine Kugel der Masse 7 kg mit der Geschwindigkeit 10 m/sec abgeworfen. Mit welcher Geschwindigkeit müsste sich der Werfer (Masse 80 kg) zurückbewegen?

Was würde passieren, wenn er auf einem Rollbrett stände?

Formel Herleitung:

Aufgabe 1:

Leite eine allgemeine Formel für die Rückstoßgeschwindigkeit her, d.h. für die Geschwindigkeit, mit der sich der abwerfende Körper nach hinten bewegen würde.

Aufgabe 2:

Ein Körper der Masse m stößt elastisch und zentral auf einen ruhenden Körper der Masse M.

a) Leite Formeln her für die  Geschwindigkeiten der Masse m und der Masse M nach dem Stoß.

b) Wie siehst Du an den Formeln, dass die Masse m bei einer Hauswand reflektiert würde?

c) Rechne nach, dass der Energieerhaltungssatz erfüllt ist.

Besprechungen im nächsten  Post

P 75 Lösungen

 Die Wurzel schreibe ich als sqr, also Wurzel aus 2 wäre dann sqr(2)

Aufgabe 1:

a) Klassische Formelherleitung:

h = 1/2*g*t liefert die Fallzeit t = sqr(2*h/g) also 1,4 sec

Einsetzen in v = g*t = g * sqr(2*h/g) = sqr( 2*h*g²/g) = sqr( 2*h*g) also 14,1 m/sec also etwa 51 km/h

(Deswegen schmerzen "Bauchplatscher" aus 10 m Höhe so...)

b) Herleitung mit Energieerhaltung:

Die Springerin hat oben die potenzielle Energie Epot = m*g*h. Diese wird beim Fallen in kinetische Energie umgewandelt (Entwertung durch Reibung wird vernachlässigt).

Da das Wasser der Bezugspunkt für die potenzielle Energie ist, muss dort der Umwandlungsprozess abgeschlossen sein, d.h. die gesamte potenzielle Energie ist zur kinetischen geworden.

Somit gilt: m*g*h = 1/2*m*v², nach v auflösen ergibt wieder die bekannte Formel.

Hier sieht man sehr schön, dass die Masse m auf beiden Seiten der Gleichung steht, also wegfällt.

Kommt euch das bekannt vor? Alle Körper fallen ....

Aufgabe 2:

Beim Start bekommt die Rakete kinetische Energie, die geht in potenzielle Energie über.

Dann gilt: m*g*h = 1/2*m*v².

Für h erhält man die Formel: h = v²/(2*g), hier 4500 m.

Das ist nicht allzu hoch, deswegen werden die Raketenmotoren nach dem Start auch nicht ausgeschaltet..

Allerdings: Erreicht die Rakete Höhen um die 100 km, gilt die Formel für die potenzielle Energie nicht mehr...dazu später mehr.

Aufgabe 3:

Erst einmal alles in m/sec umrechnen: Das Auto beschleunigt von  8,3 m/sec auf 13,9 m/sec.

Warum gibt es keine Zeitangabe? Nun es geht nur um die Energie, nicht um die Leistung!

Achtung: Man darf nicht den Geschwindigkeitsunterschied quadrieren und damit rechnen. Man muss die kinetische Energie vor der Beschleunigung von der kinetischen Energie nach der Beschleunigung abziehen:

Energiebedarf = Ekin(50km/h) - Ekin (30km/h)

                        = 1/2*m*13,9² - 1/2*m*8,3²     Wir klammern aus

                         = 1/2*m*(13,9² - 8,3²)

Man sieht: Das ist etwas anderes als 1/2*m*(13,9-8,3)²...

Wer es nicht glaubt, sollte sich mal um die binomischen Formeln kümmern.

Dass man Geschwindigkeitsunterschiede nicht direkt in kinetische Energie umrechnen kann, liegt daran, dass hier ein quadratischer Zusammenhang besteht: Die Energie hängt von v² ab, nicht von v!

Nun muss man noch eine Massenangabe für ein Auto suchen...nehmen wir 800 kg...dann wären es etwa 49730 J (und nicht 12544 J...die bräuchte man von 0 auf 20 km/h).

Aufgabe 4:

Kommen wir zum Edersee...hier dürfen wir mit Höhendifferenzen arbeiten, denn die potenzielle Energie hängt linear von der Höhe ab (zumindest in der Nähe der Erdoberfläche).

Masse des Wassers: 200 Milliarden kg

Höhendifferenz: 21 m

Energiefreisetzung: E = m*g*Δh = 42 Billionen J oder Ws

Wir müssen Ws in kWh umrechnen:

1 kWh = 1000 W*3600sec = 3,6 Millionen Ws

Damit erhalten wir E = 11,7 Millionen kWh (also 11,7 GWh)

Damit können rund 1670 Menschen ein Jahr lang mit Energie versorgt werden.

Nun die Zusatzfrage:

3,6 Millionen Ws sollen in Wärmeenergie Q = c * m *ΔT (verlustfrei) umgewandelt werden und damit sollen die 200 Milliarden kg Wasser erwärmt werden.

Wir kennen Q, c (4190 Ws/(kg*K)) und m und können zur Temperaturdifferenz auflösen:

Man erhält nur 0,05°C Temperaturunterschied...

Wasser ist eben verdammt schwer zu erhitzen...

P 74: Energie erleichtert Rechnungen

 13.4 Formeln 

Damit wir auch etwas berechnen können, gebe ich jetzt einige Formeln für Energie an. Wir werden sie später begründen, insbesondere den Faktor 1/2.:

Lageenergie oder potenzielle Energie:  Epot = m * g * h

Achtung: Das ist die zusätzliche Energie, die ein Körper der Masse m an der Erdoberfläche hat, wenn er um die Höhe h angehoben wurde.

Diese Formel gilt nur, wenn sich die Gravitation nicht ändert. Damit kann man nicht die potenzielle Energie in 100 km Höhe ausrechnen. Wie das dann geht, lernen wir noch.

Bewegungsenergie oder kinetische Energie: Ekin = 1/2*m*v²

Diese Energie besitzt ein Körper der Masse m, wenn er sich mit der Geschwindigkeit v bewegt.

Einheit der Energie: Aus den Formeln ergibt sich kg*m²/sec² als Einheit.

Es gilt: 1 kg*m²/sec² = 1 Nm (Newtonmeter) = 1 J (Joule) = 1 Ws (Wattsekunde)

Die Einheiten können wir später besser begründen.

Schreibe zu diesem Bild (kernenergietechnologie) eine erklärende Bildunterschrift:

Noch eine Formel benötigen wir:

Wärmeenergie Q = c * m * ΔT

Dabei ist m die Masse des Körpers, der um die Temperatur ΔT erwärmt wurde. Q kommt von Quantität (Wärmemenge)

c ist die spezifische Wärmekapazität. c gibt an, welche Energie man pro kg und pro Grad Erwärmung benötigt. Wir werden den Begriff Kapazität bald noch in anderem Zusammenhang nutzen.

Für Wasser ist sie sehr hoch: c = 4190 J/(kg K).

Für Stahl liegt sie bei 550 J/(kg K).

Anmerkung: K steht für Kelvin. Die Kelvinskala beginnt beim absoluten Nullpunkt (-273,15°C) und steigt so in gleichen Schritten an wie die Celsiusskala. Hier könnte man statt K auch einfach Grad schreiben, da es nur um Temperaturdifferenzen geht.

Merke: Wenn man eine Stahlstange anfasst, hat man sehr bald das Gefühl sie sei warm. Wenn man eine Hand in ein Gefäß mit kaltem Wasser steckt, bleibt das Kältegefühl lange erhalten.

Kannst Du das mit den unterschiedlichen Wärmekapazitäten von Stahl und Wasser erklären?

13.5 Energieerhaltung erleichtert Rechnungen

Aufgabe 1: Sprung vom 10 m Turm

Mit welcher Geschwindigkeit trifft ein Körper der Masse m = 70 kg unter Vernachlässigung der Luftreibung auf die 10 m tiefer liegende Wasseroberfläche auf?

Wir haben in der Kinematik diese Aufgabe mit Hilfe des WZG s = 1/2*g*t² (zuerst Fallzeit berechnen!) und des GZG v = g*t gelöst.

a) Bestimme die Geschwindigkeit mit dem WZG und dem GZG.

b) Auf dem Sprungbrett liegt die potenzielle Energie m*g*h relativ zur Wasseroberfläche vor. Diese wird umgewandelt in kinetische Energie. Der Umwandlungsprozess ist an der Wasseroberfläche abgeschlossen. Es liegt dann nur noch kinetische Energie 1/2*m*v² vor.

Das können wir sagen, da der Energieerhaltungssatz gilt und keine Entwertung stattfindet, die Reibung in der Luft  wollten wir vernachlässigen.

Stelle wieder die Formel für die Auftreffgeschwindigkeit v auf und berechne sie erneut.

Aufgabe 2: Senkrechter "Wurf"

Eine Rakete startet mit v = 300 m/sec. Wie hoch kommt sie unter Vernachlässigung der Luftreibung?

Bestimme direkt eine Formel über den Energieerhaltungssatz und rechne die Höhe h aus.

Aufgabe 3: Gas geben

Ein Auto beschleunigt von 30 km/h auf 50 km/h. Welche Zufuhr an Bewegungsenergie (unter Vernachlässigung der Reibung) ist nötig.

Achtung: Falle!!!😜

Aufgabe 4: Stausee

Am Edersee-Stausee werden 200 Millionen m³ Wasser aus 42 m Höhe auf 21 m Höhe abgelassen.

Annahme: 1 m³ Wasser hat die Masse von 1000 kg.

a) Wieviel elektrische Energie kann man damit maximal erhalten? Angabe auch in kWh (kiloWattStunden).

b) Der Energiebedarf einer Person liegt etwa bei 7000 kWh pro Jahr. Wieviel Personen kann man damit für ein Jahr mit elektrischer Energie versorgen (wieder maximal, da keine Entwertung angenommen...).

c) Um wieviel Grad kann man diese Wassermenge mit dieser Energie erwärmen?

P 54: Lösungen

 Aufgabe 1:

Man zieht erst einmal die während der Reaktionszeit gefahrene Strecke ab und stellt für die restliche Strecke  (33 m) das WZG auf. Damit berechnet man die Fahrzeit für diese 33 m.

Das ist eine quadratische Gleichung, von der nur eine Lösung eine brauchbare Zeit liefert.

Mit dieser Zeit kann man dann über das GZG die verbliebene Geschwindigkeit berechnen.

Aufgabe 2:

Aus dem senkrechten Wurf bestimmt man die Abwurfgeschwindigkeit (Höhe bekannt) und berechnet damit aus dem waagerechten Wurf die Wurfweite. Dazu muss man aus dem 1 m Fallstrecke die Fallzeit berechnen.

Aufgabe 3: 

Das ist ein waagerechter Wurf mit bekannter Abwurfhöhe und Abwurfgeschwindigkeit. Man muss erst die Fallzeit berechnen, damit man die Wurfweite erhält.

Aufgabe 4:

Einfach in die Formeln für den schrägen Wurf einsetzen und daran denken, dass die Wurfbahn symmetrisch zum Hochpunkt verläuft (wir haben ja keine Reibung).

Aufgabe 5:

Der Fall des Steines ist eine Fallbewegung, anschließend kommt der Schall mit konstanter Geschwindigkeit zurück.

Für beide Formeln verwendet man verschiedene Zeiten. Die Summe beider Zeiten ist die gemessene Zeit.

Dadurch bleibt eine quadratische Gleichu7ng, aus der man die Fallstrecke berechnen kann.

Ein ausführlich durchgerechnete Lösung findet man hier:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/freier-fall-senkrechter-wurf/aufgabe/tiefe-eines-brunnens

Lösung Aufgabe 5

Eine etwas abgewandelte Fragestellung, und dadurch erheblich leichter zu lösen, findet man hier:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/freier-fall-senkrechter-wurf/aufgabe/stein-faellt-den-brunnen

Turmfall

Hinweis:

Wir haben auch ein Forum:

https://discord.gg/56ngQmhcCW

Forum zum Mechanik-Kurs

Hier könnt ihr neure Lösungswege posten, wenn Fragen auftauchen...oder auf meine Fehler beim Lösen hinweisen....

Wie geht es weiter?

Am Wochenende beginne ich den Teil 2 zu posten: Einstein denkt über das Fallen nach

Wir werden genauer darüber "reden", was es bedeutet, dass alle Körper gleich schnell fallen. Dazu müssen wir genau fragen, was eigentlich Masse ist. Wir werden auf den Begriff der trägen und der schweren Masse stoßen.

Daraus können wir die Grundidee der Allgemeinen Relativitätstheorie entwickeln.

Etwas mehr zu dieser Theorie wird es dann als Zusatzseite geben.

In den Weihnachtsferien werde ich weiter posten, um etwas vorzuarbeiten und ev. auch Kursen, die schon weiter sind, dann Material zur Verfügung stellen zu können.

P 53: Übung macht den Meister

 9. Übungen

Zum Schluss dieses großen Abschnittes einige Übungsaufgaben.

Lest den Text genau durch, denn zuerst müsst ihr herausfinden, um welche Bewegungs- oder Wurfart es sich handelt.

Dann stellt euch die behandelten Formeln zusammen und versucht zu bestimmen, welche Größen bekannt sind oder leicht zu erhalten sind (wie g). Dann identifiziert die gesuchte Größe.

Dadurch müsstet ihr meistens die Aufgabe lösen können.

Aufgabe 1:

Es herrscht Nebel. Ein Auto fährt mit 90 km/h. 58 m vor dem Auto taucht ein ruhendes Hindernis auf. Mit einer Reaktionszeit von 1 sec reagiert der Fahrer und bremst mit 8 m/sec².

Mit welcher Geschwindigkeit prallt das Auto auf das Hindernis auf?

Aufgabe 2:

Eine Abwurfvorrichtung sczleudert einen Körper 200 m hoch. Wie weit kommt der Körper, wenn man waagerecht abschleudert und er nicht mehr als 1 m fallen soll?

Aufgabe 3:

Ein Flugzeug bringt Hilfsgüter zu Seglerinnen, die auf einer einsamen Insel gestrandet sind. Es fliegt in 2 km Höhe mit 500 km/h. Wie weit vor der Insel muss es, unter Vernachlässigung der Luftreibung, die Care-Pakete abwerfen?

Aufgabe 4:

a) Wie hoch und wie weit kommt ein mit v= 20 m/sec unter 20° vom Boden abgeworfener Körper?

b) Unter welchem Winkel und mit welcher Geschwindigkeit kommt er auf?

c) Mit welcher Fallgeschwindigkeit trifft er auf?

Aufgabe 5 (DER Klassiker):

Ein Kind lässt einen Stein in einen Brunnen fallen und hört genau 1,5 sec nach dem Loslassen den Aufprall.

Wie tief ist der Brunnen?

Schallgeschwinhdigkeit: 340 m/sec

 (Bild: wikipedia)

 

 

P 26: Lösungen

 Hinweis: Ich deute Lösungsschritte nur an, damit man wirklich selbst alles nachvollziehen muss.

                 Bei Fragen oder Gesprächsbedarf: https://discord.gg/56ngQmhcCW

Aufgabe 1:

Es liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewgeung vor.

Da die Bewegung mit der Geschwindigkeit v(0) = 0 beginnt, können wir die Zeit direkt mit v = a*t berechnen. Zuvor müssen wir v von km/h auf m/sec umrechnen.

Wir erhalten t = 150,8 sec.

Nun arbeiten wir mit dem WZG s = 1/2 * a * t2 und erhalten s = 202,2 km.

Aufgabe 2:

Auto A: gleichmäßig beshcl. Bewegung ( a = const)

Auto B: gleichförmige Bewgeung ( a=0, v = const)

a) Mit v = a*t = 15 m/sec können wir die Zeit ausrechnen, nach der das Auto die Geschwindigkeit vom anderen Auto besitzt: t = 5 sec.

Die GZD ist hier:

b) Für Auto A gilt: s = 1/2 * a * t² = 50 m. Daraus bestimmen wir t = 5,8 sec.

     Nach dieser Zeit kommt Auto A am Ziel an.

     Für Auto B gilt: s = v*t = 50 m, da es mit der konstanten Geschwindigkeit v = 15 m/sec fährt.

     Dieses Auto kommt nach 3,3 sec an, die Zeitdifferenz sind also rund 2,5 sec.

 c) Wir rechnen die Fahrtstrecke aus, nach  der beide Autos auf gleicher Höhe sind.  

 Nun benutzen wir beide Bewegungsformen in einer Formel. Das ist fast wie zweihändiges               Klavierspielen mit Violin und Bassschlüssel....

    Die Bedingungsgleichung ist: 1/2 * a * t² = v * t . Wir kennen a und v. Was ist t?

    t ist die Zeit, zu der beide Autos gleichauf sind.

   Wir erhalten eine quadratische Gleichung: 1/2*a*t² - v*t = 0.

     Wir können mit der pq-Formel arbeiten, mit der quadratischen Ergänzung oder mit unserem Gehirn:

      Wir klammern t aus:

       t * (1/2*a*t - v ) =0

       Nun kommt eine wichtige Regel zum Einsatz:

  Ein Produkt ist 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

 Aus der einen quadratischen Gleichung werden damit zwei lineare Gleichungen (für jeden Faktor eine):

     t = 0 oder 1/2*a*t - v =0

Daraus erhalten wir die beiden Lösungen für t:

     t = 0 sec oder t = 2*v/a = 10 sec.

Das macht Sinn, denn ganz am Anfang (t=0) fährt B ja an A vorbei, beide Autos sind gleichauf.

Das entspricht der ersten Lösung!

Und nach 10 sec hat Auto A aufgeholt und fängt an B zu überholen.

Das ist die zweite Lösung.

(Nicht immer entsprechen beide mathematischen Lösungen sinnvoller Physik, hier schon).

Da wir nun den Zeitpunkt kennen, haben wir zwei Möglichkeiten, die notwendige Strecke auszurechnen:

Wer gerne Zahlen in Taschenrechner eintippt, nimmt Auto A und die Formel s = 1/2 * a*t²,

alle anderen nehmen Auto B und rechnen s = v * t  = 150 m leicht im Kopf aus... 

Die WZD sind hier:

 

 Wie kann man an den WZD erkennen, ab wann das eine Auto schneller ist als das andere?

Und wie erkennt man, wann sie gleichauf sind?

Aufgabe 3:

Am besten rechnet man wieder die Geschwindigkeiten in m/sec um, da in der Aufgabe die Zeit in Sekunden angegeben ist.

a) a = (13,9 m/sec - 2,8 m/sec)/3 sec = 3,7 m/sec²

b) Wer 16,65 m heraus hat, hat einen Denkfehler gemacht. Welchen?

Die notwendige Formel lautet: s = 2,8 m/sec * 3 sec + 1/2*a*t² = 25,05 m

Wie kommt man auf die Formel? Was hat das mit dem Unabhängigkeitsprinzip zu tun?

Nun kommen wir zur Anwendung des Gelernten bei der Fallbewegung. Dabei wollen wir aber nicht nur Kinematik betreiben, also ausrechnen wo, wann und wie schnell der Körper unten ankommt...sondern auch einige Grundprinzipien der Mechanik erfassen, die uns zu den Gedanken von Einstein führen, aus denen er vor über 110 Jahren die Allgemeine Relativitätstheorie entwickelt hat.

Bald werden wir verstehen: Ein fallender Körper fällt nicht, er folgt der vorliegenden Krümmung des Raumes. Er kann einfach nicht anders....

P 25: Übung macht den Meister

 3.6 Weitere Übungen

Tipp: 

Unbedingt zuerst überlegen, welche Bewegungsart vorliegt. Dann die entsprechenden Formeln nachschlagen und aufschreiben. Dadurch wird das Gehirn vorbereitet und fängt schon an Verknüpfungen zu produzieren, die mir bei der Lösungsfindung helfen.

Dann erst loslegen.

Am Ende überlegen, ob die Lösung plausibel ist.

Aufgabe 1:

Eine Rakete beschleunigt aus dem Start heraus mit 17,78 m/sec² bis sie 9650 km/h erreicht hat.

a) Wie lange dauert das?

b) Wie weit kommt sie in der Zeit?

Aufgabe 2:

Zwei PKW fahren eine Strecke von 50 m.

Auto A beschleunigt vom Stand weg mit 3 m/sec².

Auto B kommt mit 15 m/sec am startenden Auto A vorbei und fährt mit dieser Geschwindigkeit weiter.

a) Ab wann ist Auto A schneller als B?

    Zeichne ein GZD für beide Autos.

b) Wieviel später kommt Auto A an der 50 m - Marke an?

c) Wie kange muss die Fahrtstrecke sein, damit Auto A zuerst ankommt?

d) Zeichne die WZD und überprüfe die Lösungen.

Aufgabe 3:

Ein Auto fährt mit 10 km/h. 3 Sekunden später hat es 50 km/h.

a) Welche (mittlere) Beschleunigung besitzt es?

b) Welche Strecke legt es in den 3 Sekunden zurück?

P23 Wir spielen alle mal den Galileo

 3.4.2 Die Lösung

Schritt 1: Zusammenstellen der Daten

Wir haben folgende Informationen:

Geschwindigkeit beim Losrollen: v(0 sec) = 0 km/h

Geschwindigkeit biem Abheben: v(35 sec) = 260 km/h

Zeit vom Losrollen bis zum Abheben: 35 sec.

Schritt 2: Berechnung der mittleren Beschleunigung

Damit wir überhaupt weiterdenken können, müssen wir nun annehmen, dass das Flugzeug gleichmäßig beschleunigt. Das ist näherungsweise sicher richtig, aber in der Praxis wird der Pilot die Triebwerke erst langsam hochfahren, während er zu Rollen beginnt.

Aber unter der Annahme einer konstanten durchgehend gleichen Beschleunigung a gilt das WZG der gleichmäßig beschleunigten Bewegung: v(t) = a*t.

Damit können wir die Beschleunigung ausrechnen: v(35 sec) = a * 35 sec.

Macht das mal...Ihr müsst dazu natürlich die Geschwindigkeit in m/sec umrechnen.

Das Ergebnis: a = 2,06 m/sec².

Ist das realistisch?

Das ist etwa 20% der Fallbeschleunigung von 10 m/sec² auf der Erde. Man wird also mit "20% seines Gewichtes in den Sitz gedrückt". Das erscheint realistisch, denn man merkt ja den Start durchaus.

Zwischenziel erreicht.

Schritt 3: Gedanken zur Durchschnittsgeschwindigkeit

Was haben wir nun davon?

Erst einmal nichts...denn wir kennen ja, wie Galilei, das WZG nicht, d.h. wir wissen nicht wie der zurückgelegte Weg s von der Zeit t abhängt.

Aber jetzt kommt Galileis Trick:

Wir wissen, zu welcher Zeit t das Flugzeug abhebt. Wir wissen nicht wo. Nennen wir diese Strecke mal s(t), dann können wir aus der bekannten Zeit  t = 35 sec und unserer gesuchten Strecke s(t) eine Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit vd bestimmen: 

vd = s(t)/t.

Und diese Durchschnittsgeschwindigkeit können wir auch aus unseren bekannten Geschwindigkeiten ausrechnen:

Da das Flugzeug mit v = 0 losfährt und mit v(t) abhebt, muss es die Durchschnittsgeschwindigkeit 

vd = v(t) * 1/2 haben.

Schritt 4: Lösung mit unseren Durchschnittswerten

Nun sind wir am Ziel:

Anschaulicher letzter Schritt:

Wir bestimmen die Durchschnittsgeschwindigkeit vd = 260 km/h / 2 = 130 km/h.

Mit unserer Startzeit von t= 35 sec können wir daraus direkt die Länge der Startbahn ausrechnen: 

s(t) = 130 km/h * 35 sec.

Wir erhalten 1264 m.

Formaler letzter Schritt:

Wir haben zwei Formeln für die Durchschnittsgeschwindigkeit erhalten:

vd = s(t)/t  und vd = 1/2*v(t).

Setzen wir die rechte Seiten gleich, so erhalten wir s(t)/t = 1/2 * v(t) bzw.

      s(t) = 1/2*v(t) * t

Für v(t) haben wir aber auch eine Formel: v(t) = a*t.

Wenn wir das einsetzen erhalten wir s(t) = 1/2 * a * t * t, also s(t) = 1/2 * a * t².

Damit können wir aus der Rollzeit t die Strecke s(t) bis zum Abheben ausrechnen.

Von Rundungsfehlern abgesehen erhalten wir genau die Hälfte unseres falschen Wertes, wenn wir mit der Endgeschwinhdigkeit über den gesamten Startvorgang rechnen.

Ich hoffe, euch ist klar, warum das der Fall ist?

Was heißt das?

Konstrukteure vonm Startbahnen brauchen keine Ahnung von Mechanik zu haben, sie können falsch rechnen, erhalten aber einen umsetzbaren Wert, denn der falsche Wert ist der verdoppelte richtige Wert...falls sie nicht auf die Idee kommen, den aus Sicherheitsgründen auch nochmal zu verdoppeln.

Dann wird höchstens Beton verplempert...

Ich habe die gemachten Überlegungen noch einmal mit zwei Graphen und einem Bild in Verbindung gebracht.

 

Bitte schreibt einen Bildtext zu den beiden Graphen, aus dem hervorgeht, was an den Graphen in Hinblick auf unsere Aufgabenlösung erkannt werden soll.

Zusammen mit dem Lösungsweg übertragt das in eurer Heft und wir können dann in einem kurzen nächsten Post das Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung hinschreiben und anwenden.

 

P 16: Schnelligkeit - Geschwindigkeit

 1.9 Schnelligkeit - Geschwindigkeit

Wir wenden uns bald den beschleunigten Bewegungen zu. Da geht es um Änderungen von Geschwindigkeiten.

Da ist leider der deutsche Sprachgebrauch nicht einheitlich exakt.

Unter Geschwindigkeit sollte man den Geschwindigkeitsvektor v verstehen, also die Größe, in die auch die Richtung eingeht.

Wenn man nur den Betrag des Vektors meint, also darüber reden möchte, wie schnell ein Körper, unabhängig von seiner Richtung, ist, so sollte man von der Schnelligkeit v sprechen.

Das ist nicht immer üblich...und ich weiß auch nicht, ob ich das in diesem Blog durchhalte...

Aber es hilft, wenn man beim Lesen des Wortes Geschwindigkeit überlegt, ob der Vektor oder die Schnelligkeit gemeint ist.

Wir hatten mal das Beispiel der gleichförmigen Bewegung einer Sekundenzeigerspitze. Diese erfolgt mit konstanter Schelligkeit. Die Geschwindigkeit ändert sich aber ständig (weil ja der Vektor immer in andere Richtungen zeigt).

Obwohl also die Schelligkeit bleibt, gilt diese Kreisbewegung  als beschleunigte Bewegung.

Übrigens, im englischsprachigen Raum ist man oft konsequenter: Speed steht für Schnelligkeit und mit velocity meint man den Vektor.

Noch eine ergänzende Bemerkung zur Addition:

Addiert man Schnelligkeiten, so werden einfach Zahlen addiert: 30 km/h + 20 km/h = 50 km/h.

Addiert man Geschwindigkeit(svektoren), so werden die einzelnen Komponenten adddiert und zum neuen Geschwindigkeitsvektor zusammengesetzt: 

Diese einfachen Regeln gelten aber nur, wenn alle Schelligkeiten unter 10% der Lichtgeschwindigkeit liegen.

Aufgabe:

 

Zeichnet beide Vektoren in ein Koordinatensystem. 

a) Berechne die Summe und trage auch den Summenvektor ein.

b) Vektoren kann man auch durch "Kräfteparallelogramme" graphisch addieren. Überprüf das an diesem Beispiel. Dazu musst Du Pfeile verschieben.

Wenn Du alles richtig gemacht hast, stimmen Rechnung und Konstruktion überein.

c) Fasse die Vektoren als Geschwindigkeitsvektoren in m/sec auf. Wie groß sind die drei Schnelligkeiten?

Da passt was nicht...Wieso?

Gerne im Forum diskutieren....

  https://discord.gg/cWQEYuSv5D

Discord Forum 

Und wir wenden uns den Beschleunigungen zu...

P 14: Lösungshinweise

 Aufgabe 1:

Die Skizze ist nicht maßstäblich!

 Da die Windgeschwindigkeit nach SO geht, also unter 45° gegen O oder S, kann man leicht die Südkomponente und die Ostkomponente ausrechnen: 50 km/h * cos bzw.sin 45° = 50 km/h * 0,7 = 35 km/h

Damit beträgt die Nordkomponente der Flugzeuggeschwindigkeit 150 - 35 = 115 km/h, die neue Ostkomponente ist 35 km/h.

Über den Satz des Pythagoras erhält man das Quadrat der Geschwindigkeit v² = 115² + 35².

Die Wurzel ergibt 120,2 km/h.

Das kann man auch konstruieren:

Windgeschwindigkeit in S- und O-Komponente zerlegen, S-Komponente von der N-Geschwindigkeit des Flugzeuges abziehen und Resultierende mit O-Komponente des Windes bilden (gelbe Hilfslinien in Skizze). 

Um die Abweichung vom Nordkurs durch den Wind auszurechnen, muss man entweder maßstäblich genau zeichnen und den Winkel ausmessen, oder mit dem cos-Satz arbeiten: Man erhält 17°.

50² = 150² + 120² - 2* 150*120*cos α

(PS: Ich neige zu Rechenfehlern...wenn jemand etwas anderes heraus hat, muss es deshalb nicht gleich falsch sein....bitte im Forum zur Diskussion stellen...).

Aufgabe 2:

Die Skizze macht deutlich, dass man erst einmal die Entfernung von Lichtjahren in km umrechnen muss.

 

Aus dem EB-Winkel pro Jahr erhält man die TG in km/Jahr mit Hilfe der Tangensfunktion (TG als Gegenkathete ist gesucht):

Man kommt mit tan(0,00063°) auf 3470 Millionen km/Jahr  (das ist mehr als 20 Mal die Entfernung Erde-Sonne).

Da 1 Jahr ungefähr 31,6 Millionen Sekunden sind, erhält man dafür 109,8 km/sec.

Nun kann man über die RG von 5 km/sec mit Hilfe des Satzes vom P. die Raumgeschwindigkeit ausrechnen. Man erhält 109,9 km/sec.

Arkturus fliegt zwar etwas in unsere Richtung, aber er wird voll an uns vorbeirasen...

 Die Aufgabe habe ich gestellt, weil der astronomische Hintergrund nicht gerade uninteressant ist. Aber vor allem, damit man mal übt mit "unhandlichen" Zahlen zu arbeiten...

Aufgabe 3:

Ich hab keine Ahnung von Sport, merke aber gerade, dass mein Schwimmer wohl recht flott ist...wenn euch das stört...ersetzt Schwimmer durch Boot...

Skizze:

Resultierende Geschwindigkeit erhält man durch Wurzel ziehen aus v² = 2² + 3². Es ergibt sich 3,6 m/sec

Da der Fluss 30 m breit ist, benötigt der Schwimmer 15 sec für die Durchquerung.

In dieser Zeit nimmt ihn der Fluss 45 m weit mit.

Er wird also 45 m weiter flußabwärts vom Startpunkt das andere Ufer erreichen.

Vielleicht sind einige jetzt verwundert...beeinflusst denn die Strömung überhaupt nicht die Überquerungszeit?

Da steckt ein wichtiges Prinzip dahinter, das wir im nächsten Post kennenlernen sollten.

 

Hinweis: 

Ich habe mich bemüht, keine abzuschreibende Lösungen anzugeben, sondern Hinweise. Bitte schreibt euch einen eigenen Lösungsweg in euer Heft.

Im Unterricht beantworte ich nur Fragen, bespreche Lösungswege, schreibe aber nur ganz wenig an die Tafel. So sind alle gezwungen, ihre Lösungen zu überarbeiten.

Dafür können dann noch einmal später Fragen gestellt werden.

Nicht das Abschreiben einer Lösung hilft, sondern das selbst darstellen, auch wenn die Lösungsidee nicht von einem selbst kommt. Aber man kann sie sich zu eigen machen!

P 13: Eine kosmische Kollision:Die Andromedagalaxie knallt in unsere Milchstraße rein

Wie bestimmt man die Komponenten eines Vektors:

Man projiziert den Vektor auf die Koordinatenachsen. In den üblichen rechtwinkligen Koordinatensystemen der Schule (kartesische Koordinaten) erhält man dann rechtwinklige Dreiecke mit dem Vektor als Hypotenuse und der x-Komponente als Ankathete des eingezeichneten Winkels. Die y-Komponente ist die Gegenkathete.

Damit ist klar, dass der Sinus und der Cosinus die Verhältnisse der Komponenten zur Länge des Vektors beschreiben:

Das habe ich in die letzte Abbildung eingetragen. Solltet ihr auch in euren Zeichnungen ergänzen.

Hier haben wir gesehen, wie man einen Geschwindigkeitsvektor in seine Komponenten zerlegt, wenn man den Winkel kennt.

Umgekehrt kann man leicht über den Satz des Pythagoras auch aus den Komponeten die Geschwindigkeit ausrechnen:

v² = a² + b²

Auch das kommt häufig vor (z.B. beim shchefen Wurf).

Extrafutter:

Ich kann es mir nicht verkneifen...(das hat hier nichts mit Schulstoff zu tun!).

In rechtwinkligen Koordinatensystem ist die Projektion eines Vektors auf die Achsen eindeutig. Wie sieht es aus, wenn die Achsen nicht senkrecht zueinander stehen?

Das ist in der Relativitätstheorie der Fall. Dann erhält man zwei Möglichkeiten, die zweite ist die sog. kovariante Darstellung des Vektors.

Probiert es mal aus...

1.7.3 Komponenten von Geschwindigkeitsvektoren

Wir werden die Bedeutung gleich an einigen Aufgabenbeispielen kennenlernen.

Die x-Komponten der Geschwindigkeit vx  (x soll ein Index sein, also etwas tiefer stehen), gibt an, wie schnell der Gegenstand, nur gemessen längs dieser Richtung, ist.

Das gilt entsprechend auch für die y-Komponente.

Ein einfaches Beispiel:

Ein Flugzeug fliegt mit 800 km/h (relativ zum Boden) Richtung NO. 

a) Wie groß ist seine Geschwindigkeit Richtung Norden?

b) Wie weit Richtung Osten ist das Flugzeug nach 2 Stunden gekommen?

Hier schauen wir uns mal gemeinsam die Lösung an:

a) NO bedeutet 45° von der Ostrichtung aus nach Norden. Wir wählen die Ostrichtung als x- Achse und die Nordrichtung als y-Achse. Mach eine Skizze!

Dann ist unser Winkel, der die Flugrichtung beschreibt,  45°.

Für die Nordrichtung benötigen wir den Sinus dieses Winkels (~ 0,71).

Also gilt für die Geschwindigkeitskomponente nach Norden: 800 km/h * 0,71 = 565,7 km/h

b) Um die Flugstrecke nach Osten auszurechnen, benötigen wir die Geschwindigkeitskomponente nach Osten. Dazu müssen wir den Cosinus nehmen. Bei 45°  erhalten wir für cos und sin den gleichen Wert.

Also ist das Flugzeug nach 2 Stunden 1131,4 km weiter im Osten, obwohl es 1600 km weit geflogen ist..

Rechne mal nach, schreib die Formeln hin und zeichne eine Skizze.

1.7.4 Aufgaben und Beispiele

Aufgabe 1) 

Ein kleines Flugzeug fliegt mit 150 km/h nach Norden. Dann kommt ein Sturm auf, der genau nach Südosten bläst, und zwar mit 50 km/h.

a) Zeichne die Geschwindigkeitsvektoren in ein geeignetes Koordinatensystem (maßstäblich korrekt) und konstruiere, wie beim Kräfteparallelogramm, die resultierende Geschwindigkeit, ihre Stärke und ihre Richtung.

b) Berechne die resultierende Geschwindigkeit aus den Angaben.

c) Vergleiche Rechnung und Zeichnung (es sollten 120 km/h herauskommen)

d) Unter welchem Winkel kommt das Flugzeug vom vorherigen Nordkurs ab?

e) Wie stark reduziert sich die Geschwindigkeitskomponente Richtung Norden?

Denkt dran, ihr könnt eure Lösungen im Forum vergleichen und diskutieren.

Ein Tipp: 

Kennt man alle x- Komponenten, so kann man diese einfach zur resultierenden x-Komponente aufaddieren. So erhält man auch die resultierende y-Komponente.

 

Aufgabe 2) 

Bei Sternen am Himmel unterscheidet man zwischen Eigenbewegung EB, Tangentialgeschwindigkeit TG  und Radialgeschwindigkeit  RG. Durch die EB verschiebt sich der Stern in Jahrzehnten am Himmel. Das gibt man als Winkel pro Jahr an. Kennt man die Entfernung des Sternes, kann man daraus  die Geschwindigkeit der EB, also die TG,  ausrechnen.

Das Bild zeigt den Anblick des Sternbidles Großer Wagen vor 50 000 Jahren, heute sowie in 50 000 bzw.100 000 Jahren (dlf). Die Verschiebungen der Sterne kommen durch unterschiedliche EB.

 

 

 

 

 

Die Radialbewegung zeigt in Richtung unserer Blicke, also auf uns zu oder von uns fort. Sie kann man durch eine Änderung der Wellenlänge des Lichtes (Dopplereffekt) recht einfach herausfinden.

Die Abbildung  (wikipedia) erklärt das gut.

 

 Hier ist allerdings eine Galaxie als Objekt genommen. Die EB von Galaxien sind extrem klein, erst das HubbleSpaceTeleskop war in der Lage vor wenigen Jahren die EB der Andromedagalaxie zu messen. Jetzt wissen wir, dass in 5 Milliarden Jahren unsere Galaxis und die Andromedagalaxie sich wirklich durchdringen werden!

Aber keine Angst...vorher wird die Sonne zum Roten Riesen und verglüht unsere Erde... 

Vielleicht können eure Ururururururur...enkel vom Mars aus zusehen...

Galaxien-Crash Computersimulation, dlf

Nun die Aufgabe:

Der Stern Arkturus zeigt eine EB von 2,28"/Jahr (Bogensekunden pro Jahr, 60" = 1`(Bogenminute, 60`= 1°), das sind also 0,00063°/Jahr.

a) Arkturus ist 36,66 Lichtjahre entfernt (1 Lichtjahr = 9,463 Billionen km). Berechne seine EB-Geschwindigkeit in km/sec, also sein TG.

b) Die RG von Arkturus beträgt - 5 km/sec, d.h. er kommt auf uns zu. Berechne seine Raumgeschwindigkeit.

c) Kann er die Sonne treffen?

Aufgabe 3)

Ein Schwimmer schafft eine Geschwindigkeit von 2 m/sec. Der Fluß, den er überqueren will, strömt mit 3 m/sec nach rechts. Er ist 30 m breit und fließt geradeaus.

Mit welcher Geschwindigkeit schwimmt er? Wo am gegenüberliegenden Ufer kommt er an?

Mache eine Skizze der Situation.

P8: Lösungen

1) Vogelaufgabe

Hier kann man natürlich versuchen für jeden Flug die Strecke auszurechnen... und dann alle diese Strecken addieren...

Aber einfacher geht es so:

Die beiden Züge sind 60 km entfernt und fahren mit je 30 km/h aufeinander zu, d.h. sind 1 Stunde unterwegs.

Diese Stunde hat der Vogel Zeit zum Hin- und Herfliegen. Das macht er mit mit 60 km/h, also legt er 60 km zurück.....

Ausruhzeiten und Wendemanöver verkürzen die Strecke, aber die sollten wir ja vernachlässigen. Ob das dem Vogel Recht ist, war nicht gefragt...

2)

Man muss die Gesamtstrecke (2*60 km + 4* 80 km) ausrechnen und durch die Gesamtzeit teilen (8h). Ergebnis: 93,33 km/h

Mathematiker bilden aber auch den sog. gewichteten Mittelwert: (2*60 + 4*80)/(2+4) mit den Fahrzeiten als Gewichtsfaktoren...das ist aber genau die gleiche Rechnung...

3)

Die Frage habe ich korrigiert: Naheliegender ist es zu fragen, warum nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit 45 km/h herauskommt, das wäre ja das Mittel aus 30 und 60.

Wenn es unterschiedliche Zeiträume oder Strecken sind, kann man nicht einfach die Geschwindigkeiten mitteln.

Man muss erst die Gesamtfahrzeit ausrechnen: 2 Stunden und dann die Gesamtstrecke (40+40=80 km) durch diese Fahrzeit teilen. Dann kommt man auf 40 km/h als Mittelwert. 

Weg-Zeit-Diagramme:

A: Mit konstanter Geschwindigkeit

B: Langsam voran gehen, stehen bleiben, schneller zurück gehen

C: Langsam vorangehen, stehenbleiben, schneller weitergehen

D: Bei einem entfernteren Ort mit konstanter Geschwindigkeit losgehen

E: Von einem entfernten Ort mit konstanter Geschwindigkeit zurückgehen

F: Immer schneller werden, dann aber eine konstante Geschwindigkeit

G: Abbremsen und Stehen bleiben

H: An einem Ort verschwinden und im gleichen Moment woanders auftauchen

>>> Kennen wir im Alltag leider nicht, aber in der Quantenmechanik ist das möglich (Teleportation)

J: Zu einem Zeitpunkt überall sein

>>> Kennen wir auch nicht, aber für Lichtteilchen (Photonen) ist das Alltag...für sie vergeht keine Zeit und in ihrer Eigenzeit gerechnet sind sie überall...

K: In der Zeit rückwärts laufen

>>> Zeitreisen kennen wir nicht, aber Feynman interpretiert Antimaterie als in der Zeit rückwärtslaufende Materie.

Da es auf 1 Milliarden Anti-Materieteilchen (1 Milliarden + 1 Materieteilchen) gibt, erklärt das vielleicht, warum für uns die Zeit vorwärts läuft...

L: Alle drei Bewegungen haben die gleiche Durchschnittsgeschwindigkeit...die eine ist abgebremst (oben), die andere beschleunigt (unten), die mittlere hat diese Durchschnittsgeschwindigkeit ständig als Momentangeschwindigkeit.

M: Diese Bewegung geht hin und her...das ist eine Schwingung.

Neue Aufgabe:

Überlegt euch einmal, wie man am WZD die Geschwindigkeit eines Körpers ablesen kann und verbindet das mit dem, was ihr in der Mathematik gelernt habt.

P6: Übung

 Übungsaufgaben zur Durchschnittsgeschwindigkeit

1) Zwei Züge bewegen sich mit jeweils 30 km/h auf dem gleichen Gleis aufeinander zu. In dem Moment, in dem die beiden Züge 60 km weit voneinander entfernt sind, fliegt ein Vogel von der Spitze eines Zuges mit 60 km/h los und zwar direkt auf den anderen Zug zu. Kaum hat er diesen erreicht, kehrt er sofort um und fliegt zur Spitze des ersten Zuges zurück…usw. (Warum ein Vogel so etwas machen sollte, weiß nur der Erfinder dieser Aufgabe….). Welche Gesamtstrecke legt der Vogel zurück bis zu dem Zeitpunkt, an dem die beiden Züge aufeinander krachen (natürlich ist niemand drin, wird niemand verletzt und die Züge sind aus Plastik…).

 🐦🚂

 2) Ein Auto fährt 2 Stunden mit v = 60 km/h und weitere 4  Stunden mit v= 80 km/h. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Fahrstrecke

🚗

3) Ein Auto fährt auf einer geraden Strecke 40 km weit mit 30 km/h. Anschließend bewegt es sich weitere 40 km weit mit 60 km/h. Warum ist die durchschnittliche Geschwindigkeit nicht 45 km/h? Wie groß ist sie wirklich?