24.5 Das Federpendel
Ein Fadenpendel baut eine rücktreibende Kraft über die Gewichtskraft auf.
Welche Rolle spielt die Gewichtskraft bei einem Federpendel?
Überraschend: Eigentlich keine.
Wenn wir nur eine Feder haben, dann hat diese eine bestimmte Länge L oft auch s(0) bezeichnet, die durch die Bauart vorgegeben ist.
Hängt man nun eine Masse m an, so dehnt sich die Feder so lange aus, bis die Federkraft genau die Gewichtskraft ausgleicht.
Das ist dann die Ruhelage des Federpendels.
Die Federkraft habt ihr bestimmt in der Mittelstufe kennengelernt. Für sie gilt das Hookesche Gesetz:
F = D * s, dabei ist s die Auslenkung und D=F/s die sog. Federkonstante ist. Diese wird in N/m angegeben.
D = 5 N/m bedeutet, dass man pro Meter Auslenkung eine Kraft von 5 N braucht. Je größer die Federkonstante ist, desto schwerer lässt sich eine Feder auslenken:
Die Federkraft ist also proportional zur Ausdehnung und D ist die Proportionalitätskonstante. Natürlich gilt dieses Gesetz nicht mehr, wenn man die Feder überdehnt und sie nicht mehr in die ursprüngliche Form zurückkehrt.
Hänge ich nun eine Masse m an eine Feder mit der Federkonstante D an, so wird sie um s(0) ausgelenkt:
F = D*s(0) = m*g, also s(0) = m/D*g. Die neue Länge der Feder in der Ruhelage ist dann L + s(0).
Um diese Ruhelage schwingt sie nun, die Auslenkung während dieser Schwingung bezieht sich auf diese Ruhelänge der Feder als Nullpunkt.
In der Abbildung ist die 0 als Index geschrieben.
Wenn wir das Pendel weiter auslenken, wird die Federkraft größer. Diese zusätzliche Federkraft ist dann die rücktreibende Kraft. Die Auslenkung muss man wie gesagt von der neuen Ruhelage aus bestimmen.
Wenn man dann los lässt, schwingt die Feder zurück, angetrieben durch die Federkraft. In der Ruhelage bewirkt die Trägheit eine Weiterbewegung mit Zusammenstauchen der Feder, bis die Bewegungsenergie wieder in der Feder gespeichert ist.
Dann drückt die rücktreibende Kraft die Masse m wieder nach unten.
Bei dem ganzen Schwingungsvorgang spielt die Gewichtskraft keine Rolle. Die Gewichtskraft legt nur den Ruhepunkt fest.
Deswegen schwingt eine Feder überall gleich, sogar unter Schwerelosigkeit. Da ist eben die "Ruhelänge" der Feder gleich der Federlänge selbst. Aber schwingen wird sie trotzdem...
Wir haben ja gelernt, dass Astronauten in der ISS sich z.B. mit einem schwingenden "Federstuhl" "wiegen" können.
Energieumwandlungen:
Beim Auslenken der Feder wird Energie in der Feder gespeichert (ich muss ja Kraft zum Auslenken aufwenden, also arbeiten). Die Federenergie berechnet man mit Ef = 1/2*D*s², wenn s die Auslenkung aus der Ruhelage ist.
Während der Schwingung wird diese Federenergie in Bewegungsenergie und wieder zurück umgewandelt.
Wie kann man die Formel für die Federenergie begründen?
Die Energie berechnet sich über die verrichtete Arbeit W = F*s.
Hierbei ist s die maximale Auslenkung, die man erreichen will. Dann gilt für die Kraft F = D*s.
Eingesetzt ergibt dies W = F*s*s = F*s².
Aber die Kraft wächst ja während des Ausdehnens gleichmäßig von 0 auf D*s an. Deshalb muss man zur Berechnung der Gesamtarbeit die mittlere Kraft (D*s + 0)/2 nehmen, also 1/2*D*s.
Wenn man das jetzt in W*F*s einsetzt, erhält man die richtige Formel für die Federenergie.
