P 124: Kepler I und II

 22.2 Zentralkraft und Drehimpulserhaltung

Wenn wir annehmen, dass die Sonne fest steht und wegen ihrer viel größeren Masse vernachlässigbar wenig von den Planeten angezogen wird (was nicht ganz stimmt), der Raum um die Sonne nicht gekrümmt ist (was auch nicht stimmt) und die Planeten sich gegenseitig nicht anziehen (was ebenfalls nicht der Fall ist), dann kann man die Anziehungskraft der Sonne als Zentralkraft bezeichnen: Sie zeigt immer auf den Mittelpunkt der Sonne.

Eine solche Kraft kann auf einen Planeten  kein Drehmoment ausüben, d.h. er behält sein Drehimpuls.

Im Post 121 haben wir ΔL = M * Δt kennen gelernt: Wenn das Drehmoment M =0 ist, kann sich der Drehimpuls nicht ändern, d.h. ΔL = 0.

Der Drehimpuls eines Planeten ist aber L = m*v*r (Post 116).

Nun sind die Planetenbahnen Ellipsen, d.h. der Abstand r zur Sonne ändert sich. Wird r kleiner, so muss v entsprechend zunehmen, damit L gleich bleibt.

Das genau beschreibt das 2.Keplersche Gesetz: 

Es ist also der Drehimpulserhaltungssatz.

Mathematischer Exkurs:

Wir wollen die Sprechweise von Kepler begründen: Der Fahrstrahl des Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

                                                            wikipedia common

Wir nehmen eine winzig kleine Zeit Δt. Der Planet legt auf seiner Bahn die Strecke Δs = v * Δt zurück.

Damit haben wir eine Seite des Dreiecks, das näherungsweise rechtwinklig ist.

Dann ist die Fläche des Dreiecks ΔA = 1/2 * Basis * Höhe = 1/2 *r * Δr = 1/2 * r * v * Δt

Da L = m*r*v ist, können wir auch schreiben:

ΔA = 1/2 * L/m * Δt

Damit ergibt sich: ΔA/Δt = 1/2*L/m

ΔA/Δt ist eine Flächenänderung pro Zeit, das kann man als Flächengeschwindigkeit beschreiben.

Wenn also der Drehimpuls L konstant ist, dann muss die Flächengeschwindigkeit der Planetenbahn immer gleich sein, d.h. in gleichen Zeiten muss der Fahrstrahl gleiche Flächen überstreichen.

Faszinierend, wie Kepler die Drehimpulserhaltung gefunden hat, ohne den Begriff Drehimpuls zu kennen....

Ende mathematischer Exkurs

Kommen wir noch zum 1.Keplerschen Gesetz:

Da sich die Anziehungskraft der Sonne zeitlich nicht ändert (wir nennen das eine konservative Kraft), muss der Energieerhaltungssatz gelten.

Damit kann man zeigen, dass je nach Gesamtenergie E nur die folgenden Bahnformen vorkommen können:

E = 0:  Parabelbahn

E > 0:  Hyperbelbahn

E < 0: Kreisbahn oder Ellipsenbahn.

Und das ist letztlich Keplers erstes Gesetz.

                                                                   nach wikipedia common

Wenn man annimmt, dass der Planet auch die Sonne  anzieht, dann hat man ein sogenanntes Zwei-Körper-Problem vor sich liegen. Das kann man auch gut berechnen.

Sobald aber drei Massen oder mehr vorkommen, sind die Bahnen nicht berechenbar, sie können nur näherungsweise im Computer simuliert werden.

P 122: Wenn es im Juli schneit....

 21.6 Das Eiern der Erde

Wir haben im letzten Post gelernt, dass ein sich drehender Körper senkrecht zu einer angreifenden Kraft ausweicht. Er kippt nicht um.

Das kennen wir von einem Kinderkreisel:

Wenn man ihn anstößt, kippt er nicht, sondern seine Drehachse weicht seitlich zum Stoß aus. Sie umkreist die ursprüngliche Richtung auf einem Kegelmantel. Diese Bewegung nennen wir Präzession.

Dreht sich der Kreisel nicht und stößt man ihn an, so kippt er um. Das kennen wir auch beim Fahrradfahren. Die Räder sind Kreisel. Drehen sie sich, so kann man das Fahrrad gut stabilisieren. Steht es still, kippt man eigentlich sofort zur Seite.

Wird ein Kreisel so aufgehängt, dass er nicht angestoßen wird, dann behält er seine Drehimpulsachse bei. Das demonstriert sehr eindrucksvoll der Astronaut Alexander Gerst auf der ISS.

Es lohnt sich unbedingt dieses Video anzusehen:

In der Luft- und Raumfahrt werden solche Kreisel zur Lageregelung genutzt. Man nennt sie Gyroskope. Mehr können wir in diesem Rahmen leider dazu nicht behandeln.

Auch die Erde ist ein Kreisel.

Am Erdäquator ist sie etwas dicker als an den Polen (der Äquatordurchmesser ist etwa 42 km größer als der Poldurchmesser).

Da die Erdachse schrägt auf der Bahnebene steht, versuchen Sonne und Mond, die in der Bahnebene stehen, die Erdachse aufzurichten. Sie üben ein Drehmoment aus, dem die Erde seitlich ausweicht. Die Erdachse beschreibt deshalb in 26000 Jahren einen Kegelmantel. 

Sie eiert oder torkelt wie ein Kinderkreisel....nur viel viel langsamer...Zur Zeit zeigt sie auf den Polarstern.

Vor 12 000 Jahren war der helle Stern Wega in der Leier unser Polarstern.

Da die Lage der Erdachse auch unsere Jahreszeiten bestimmt, verschieben sich die Jahreszeiten jedes Jahr um etwa 20 Minuten. In 13  000 Jahren haben wir auf der Nordhalbkugel am 21.12. Sommer! Und im Juli wird es schneien.

Frage: Wieso hat das nichts mit dem Klimawandel zu tun?

In dieser Darstellung (wikipedia common) sieht man, wie der Himmelsnordpol in 26 000 Jahren einmal um den höchsten Punkt am Himmel, das Zenit, wandert.

Übrigens: Dadurch haben sich die Tierkreiszeichen von den Horoskopen gegen die echten Sternbilder verschoben. Wer heute das Horoskop für das Tierkreiszeichen Waage  liest, ist gar keine Waage, sondern astronomisch gesehen wurde die Person unter der Jungfrau geboren.

Daran erkennt man was für ein Blödsinn die Astrologie ist.....

Rechercheauftrag:

Wieso bestimmt die Neigung der Erdachse die Jahreszeiten?

Erkläre, warum die etwas größere Nähe zur Sonne Anfang Januar keinen Einfluss auf die Jahreszeiten hat.

Wie verlaufen die Jahreszeiten auf Uranus?

Vertiefung:

In dieser Darstellung (Physik - HU Berlin) sind die Vektoren eingezeichnet. Es gibt eine Kraftkomponente senkrecht zum Radius r, die ein Drehmoment nach vorne erzeugt. Eingezeichnet ist dann die Torkelbewegung.

Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession ist durch das Verhältnis aus Drehmoment und Drehimpuls bestimmt: ωp = M/L.

Das wollen wir hier nicht herleiten. Wenn durch Reibung die Drehung des Kreisels abnimmt, also L kleiner wird, dann nimmt die Präzessionsgeschwindigkeit zu. Vielleicht schaut ihr euch die ersten Videos noch einmal an, da könnt ihr das auch beobachten.

In den nächsten Posts behandeln wir die Gesetze der Planetenbewegung und werden dabei viel von dem anwenden, was wir bisher gelernt haben.

P 121: Beschleunigen und Kippen

 Kommen wir erst einmal zur Kran-Aufgabe:

Das Gewicht L, die Last, erzeugt am Lastarm l (rechts) ein Drehmoment ML (ich habe den Vektor mit der Drei-Finger-Regel bestimmt und eingezeichnet. Er geht entlang der Drehachse nach hinten).

Entsprechend erzeugt das angehängte Gegengewicht links eine Kraft F am Kraftarm f und damit ein Drehmoment MF nach vorne.

Beide Drehmomente sind gleich groß, wirken entgegen und heben sich gegenseitig auf:

F*f = L * l

Wenn diese Hebelgleichung erfüllt ist, kippt der Kran nicht.

21.5.2 Kraftwirkung in Bewegungsrichtung

Wirkt eine Kraft F tangential zur Kreisbahn, also in Richtung der Geschwindigkeit, so wird der Körper schneller.

Das ist irgendwie logisch, lässt sich aber auch mit Drehmomenten erklären:

Der Radius r der Bahn ist der Hebelarm, an dem die Kraft F senkrecht angreift. Nach der Drei-Finger-Regel zeigt dann der Drehmomentvektor nach oben, er verläuft parallel zum Vektor des Drehimpulses L (oder der Winkelgeschwindigkeit). Diese Vektoren addieren sich, der Drehimpuls nimmt zu. Die Drehung wird schneller.

Der Grund ist die Definition: Drehmoment ist Drehimpulsänderung pro Zeit. Also bewirkt ein Drehmoment, das eine Zeit lang wirkt, eine Drehimpulsänderung:

M = ΔL/Δt, also ΔL = M * Δt  (siehe P 120).

21.5.2 Kraftwirkung senkrecht zur Bahnebene

Wirkt eine Kraft senkrecht zur Bahnebene, so ist auch intuitiv klar, dass die Bahn kippt....

Aber nicht so, wie man denkt.... Mit der Drei-Finger-Regel (Daumen in Radiusrichtung, Zeigerfinger in Kraftrichtung) erkennt man, dass das Drehmoment senkrecht zur wirkenden Kraft zeigt. Die Drehachse wird nicht (in unserem Bild)  nach links sondern nach vorne gekippt.

Ein drehender Körper weicht immer senkrecht zur wirkenden Kraft aus.

Das erfahren schon kleine Kinder...und das spielt eine große Bedeutung bei der Stabilisierung von Satelliten

Mehr dazu im nächsten Post...

P 120: In Drehung versetzen

 21.5 Drehmomente

21.5.1 Festlegung des Begriffs

Wir versuchen, diesen abstrakten Begriff wieder in Analogie zur geradlinigen Bewegung zu verstehen:

Geradlinige Bewegung:

Kräfte  versetzen Körper in Bewegung, sie erhöhen ihren Impuls.

Wir haben  die Kraft als den Impulszuwachs pro Zeit eingeführt, allgemeiner als Impulsstromstärke:

 F = Δp/Δt = m*a

Drehbewegung:

Nun kann man mit einer Kraft auch eine Drehung erzeugen, man führt dann Drehimpuls ΔL hinzu.

Die Drehimpulsstromstärke, also den Drehimpulszuwachs pro Zeit, nennt man Drehmoment M:

M = ΔL/Δt = Θ * α  

(Trägheitsmoment statt träger Masse, Drehbeschleunigung statt normaler Beschleunigung).

Einige wichtige Anmerkungen und Lerninterferenzen:

Eine Drehmoment ist keine Kraft, sondern die Wirkung einer Kraft in Verbindung mit einem Angriffspunkt, der einen Abstand r vom Drehpunkt oder der Drehachse hat:

M = r* F

Man nennt r auch den Hebelarm, an dem die Kraft angreift.

                                                        wikipedia: M = r*F, wenn r senkrecht auf F steht

Achtung: Siehe die Lerninterferenz von Post 116! Hier wird die lineare Größe Kraft mit dem Radius r multipliziert, nicht die Kreisgröße M, um einen Zusammenhang zwischen M und r herzustellen.

Damit eine Kraft auch etwas in Drehung versetzen kann, darf sie nicht radial angreifen, sie muss in Richtung der Drehung zeigen.

Unsere Formel gilt, wenn Kraft F und Abstand r senkrecht aufeinander stehen.

(Das ist das Gleiche, wenn eine Kraft nicht in Richtung des Weges zeigt...).

Fasst man r und F als Vektoren auf, so ist auch M ein Vektor. Dessen Richtung zeigt in Richtung der Drehachse. Man kann da smit der Drei-Fingerregle machen: Daumen in Richtung von r, Zeigefinger in Richtung der Kraft, dann zeigt der Mittelfinger die Richtung des Vektors von M an.

M ist dann das sog. Vektorprodukt aus r und F.

                                                                leifiphysik

Das wollen wir hier aber nicht vertiefen!

Schauen wir viel besser noch auf eine zweite Lerninterferenz:

Die Einheit des Drehmomentes M ist die von Kraft* Weg, also Nm.

Nm kennen wir aber als Einheit der Arbeit.

Hier ist es aber keine Arbeit, denn der Weg r (der ja außerdem auch gar nicht abgefahren wird) steht senkrecht zur Kraft F.

Deswegen darf man Drehmomente nicht in Joule angeben, nur in Nm.

Eine sehr schöne Aufgabe zu diesem Thema (leider vektoriell gestellt), findet man bei Leifiphysik:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/arbeit-energie-und-leistung/aufgabe/unterscheidung-von-arbeit-und-drehmoment

Aufgabe Drehmoment/Arbeit

Im zugehörigen Bild wird deutlich: a ist der Hebelarm (unser r) und s der für die Arbeit wichtige, zurückgelegte Weg.

Aufgabe:

Erläutere, warum der Kran nicht kippt. Benutze dabei den Begriff Drehmoment und stelle eine Bedingung auf, die zwei Drehmomente berücksichtigt.

Du hast diese Bedingung als Hebelgesetz hoffentlich in der Mittelstufe kennengelernt.

   WDR, Die Sendung mit der Maus