P 154 Die Ursache aller Strukturen

 28. Wie kann man ein Pendel zum Schwingen bringen?

Die Antwort ist klar: Man muss dem Pendel Schwung geben. Die Zufuhr von Impuls kann aber auf zwei völlig verschiedene Arten gehen: einmalig und ständig

28.1 Einmalige Zufuhr von Schwung

Bastle Dir aus Schürsenkel und Schlüssel ein einfaches Fadenpendel und hänge es am besten auf.

Auf zwei Arten kannst Du dem Pendel Schwung geben:

- Auslenken und loslassen.

- Anschubsen

Beim ersten Fall kommt der Schwung aus der Gravitation der Erde. Im zweiten Fall kommt der Schwung aus Deinen Muskeln.

Wie stark auch immer der Schwung ist, das Pendel schwingt immer in einer ihm eigenen Frequenz.

Diese Frequenz nennt man Eigenfrequenz und die zugehörige Schwingung Eigenschwingung (in technischer Literatur, insbesondere im Englischen spricht man von Mode, der Schwingungsmode.

Versuche:

Ändere die Pendellänge und ändere jeweils durch An- oder Abhängen von Gegenstanden die Masse m des Pendelkörpers.

Gibt dem Pendelkörper Schwung, wie auch immer. Was beobachtest Du?

Die Masse beeinflusst die Eigenfrequenz nicht (das haben wir schon besprochen: Alle Körper fallen gleich schnell). Aber die Eigenfrequenz hängt von der Pendellänge ab: Je länger das Pendel ist, desto niedriger ist die Eigenfrequenz.

Lange Pendel schwingen langsam.

Es gilt die Formel, die wir später auch herleiten:

Aufgabe: 

Welche Länge muss ein Pendel für die Periodendauer 1 sec auf der Erde und auf dem Mond haben?

Lösungshinweise: Du musst die Formel nach l auflösen, d.h. erst einmal quadrieren:

   P² = 4* π² *l/g, dann nach l auflösen: l = g*P²/(4* π²).

Auf der Erde ist g = 10 m/sec² und auf dem Mond 1/6 so groß.

Damit erhältst Du:

Pendellänge  auf der Erde etwa 25,2 cm

Pendellänge  auf dem Mond etwa 4,2 cm

Von einem Sekundenpendel spricht man blöderweise übrigens, wenn die halbe Schwingung 1 sec dauert.

Wie lang ist also ein Sekundenpendel?

1 m auf der Erde, etwa 17 cm auf dem Mond.

Flächen oder Körper besitzen mehrere Eigenschwingungen, mehrere Moden. Welche man anregt, hängt von der Art der Impulszufuhr ab.

Das wollen wir hier nicht vertiefen.

Wir werden aber bald eine andere Möglichkeit kennenlernen, Eigenschwingungen anzuregen.

Hier Bilder der möglichen Eigenschwingungen einer Metallplatte. Überall da, wo sie nicht (!) schwingt, bleibt drauf gestreuter Sand liegen.

Bild: Physik Uni Oldenburg

Auch das heiße Urknallgas ist 380 000 Jahre nach dem Urknall zu verschiedenen Eigenschwingungen gekommen. Deren Überlagerungen haben ein Netzwerk erzeugt, aus dem sich später die Galaxien gebildet haben.

Diese Aufnahme des Urknallgases mit Mikrowellen zeigt das Muster, was aus der Überlagerung aller Eigenschwingungen entsteht. Aus den blauen Flecken haben sich die Galaxien gebildet.

Dass hier verschiedene Eigenschwingungen vorliegen, erkennt man, wenn man eine Fouriertransformation (siehe Post 153) macht, also ausrechnet, welche Frequenzen mit welchen Amplituden schwingen:

Ist es nicht fantastisch:

Die Strukturen unserer Welt sind aus den Eigenschwingungen des Urknallgases entstanden.

Vertiefen und Üben:

(i) Formuliere „je mehr-desto mehr/weniger“ – Beziehungen zwischen Periodendauer und Pendellänge (vergleiche mit den Ergebnissen des durchgeführten Versuches) bzw. Periodendauer und Stärke des Gravitationsfeldes (fahr zum Mond)

(ii) Erkläre anschaulich mit Hilfe der früheren Posts:

- Die Periodendauer ist unabhängig von der Masse des Pendelkörpers.

- Die Periodendauer nimmt zu, wenn das Pendel länger ist.

- Die Periodendauer nimmt zu, wenn die Schwerkraft kleiner wird.

Tipp: Beschäftige Dich mit der Rückstellkraft

P 115: Drehschwung

 21. Drehimpuls und Trägheitsmoment

21.1 Schwung und Trägheit beim Drehen

Wir haben in den letzten Posts ja gesehen, dass man alle Größen und Formeln, die wir bei linearen Bewegungen kennengelernt haben, einfach auf Kreisbewegungen übertragen kann:

Aus der Geschwindigkeit v wird die Winkelgeschwindigkeit  ω , aus der Beschleunigung a wird die Winkelbeschleunigung  α und natürlich wird aus der Strecke s der Drehwinkel  φ .

Und dann kann man einfach die Formeln übertragen:

Aus s(t)  = v*t wird   φ(t) =  ω * t

Aus s = 1/2*a*t² wird  φ = 1/2*α* t²

Aus v = a*t wird  ω = α * t

Auch die Zusammenhänge sind leicht zu beschreiben:

  v =  ω * r und a = α * r

Die Winkelgröße wird einfach mit dem Radius der Kreisbahn multipliziert und man erhält die lineare Bahngröße, gemessen längs der Bahn.

Überprüfe einmal, ob auch die Einheiten passen!

Natürlich haben auch die anderen Größen der Newtonschen Mechanik entsprechende Größen bei Kreisbewegungen:

Der Schwung (Impuls) p längs einer geradlinigen Bahn wird zum Drehschwung (Drehimpuls) L bei einer Kreisbewegung.

Die träge Masse m bei einer linearen Bewegung wird zum Trägheitsmoment Θ bei einer Kreisbewegung.

Und schon können wir die beiden wichtigen Formeln hinschreiben:

Aus der Impulsformel p = m* v wird die Drehimpulsformel L = Θ * ω.

Macht euch in eigenen Worten klar, was die Formelzeichen in den beiden Formeln für eine Bedeutung haben.

Diese Abbildung kann euch helfen:

Schauen wir uns erst noch einmal an, was wir in P 76 (Kapitel 14) über die träge Masse gelernt haben:

Was bedeutet also 1 kg?

Eine Masse von 1 kg ist in der Lage einen Schwung von 1 Hy in eine Geschwindigkeit von 1 m/sec umzusetzen.

Je größer eine Masse ist, desto mehr Schwung muss sie aufnehmen, um eine bestimmte Geschwindigkeit zu erreichen.

Aufgenommene Menge = Konstante * Wirkung

                               p      =  m             *   v

 nennt man die Konstante eine Kapazität.

Denkt an unsere Badewanne:

Wir haben zwei Badewannen, in die beide 30 Liter pro Minute fließen. Bei Wanne A steigt jede Minute der Wasserspiegel um 3 cm, bei Wanne B um 2 mm.

Die Formel wäre: Wassermenge = Konstante * Höhe des Wasserspiegels

Wir sagen: Wanne B hat eine größere Kapazität für Wasser als Wanne A.

Entsprechend ist die  träge Masse  also eine Angabe zur  Kapazität, mit der sie  Schwung aufnehmen kann: Träge Masse ist eine Schwungkapazität.

Je höher die träge Masse, desto mehr Schwung kann sie speichern und desto mehr Schwung braucht man, um sie auf eine bestimmte Geschwindigkeit zu bringen.

Eigentlich ist nur dieser letzte Satz wichtig. Er sollte an sich aber eher eine Trivialität ausdrücken...

Leider wird in unserer Umgangssprache das Wort Kapazität auch für Fassungsvermögen verwendet. Das ist in der Physik falsch: Eine Kapazität ist in der Physik eine Pro-Angabe, ein Fassungsvermögen gibt an, wieviel von etwas wo reinpasst. Ohne Pro und Kontra....

Eine Badewanne hat an sich nur ein Fassungsvermögen. Erst wenn wir Wasser reinlaufen lassen und wir wissen wollen, wie die Zuflussmenge in Wasserstand umgesetzt ist, benötigen wir die Kapazität der Wanne.

Je größer die Kapazität der Wanne ist, desto langsamer steigt der Wasserspiegel an.

Und genau so beschreibt das Trägheitsmoment  Θ, wie der Drehschwung L in Drehung (ω) umgesetzt wird:

Je größer das Trägheitsmoment  Θ ist, desto mehr widersetzt sich der Körper einer Drehung, d.h. desto mehr Drehschwung L brauche ich, um ihn auf eine bestimmte Winkelgeschwindigkeit ω zu bringen.

Beim Drehen kommt es aber auch darauf an, wie die Drehachse relativ zum Körper angeordnet ist und vor allem wie sich die Masse innerhalb des Körpers verteilt.

Ist der Körper in größeren Abständen von der Drehachse besonders massereich, so kann man ihn nur schwer in Drehung versetzen.

Je dichter die Masse an der Drehachse liegt, desto leichter lässt sich ein Körper drehen, sein Trägheitsmoment  Θ ist dann kleiner.

Seilläufer stabilisieren sich in dem sie lange Stangen halten. Dadurch bekommen sie ein größeres Trägheitsmoment und sind nicht so leicht zum Drehen (Kippen) zu bringen.

                                                    Bild: Metallbau Goltings

Das Berechnen von Trägheitsmoment ist nicht einfach, es muss oft integriert werden. Man schlägt Formeln einfach nach, wenn man das Trägheitsmoment zu bestimmten Körpern berechnen will.

Zur Übung: 

Bestimme einmal die Formel für den Drehimpuls einer Kreisbewegung und das zugehörige Trägheitsmoment.

Nimm an, dass sich eine punktförmige Masse m mit der Bahngeschwindigkeit v auf einem Kreis mit dem Radius r bewegt.

P 90: Schwungübertragung neu gedacht

 16.4 Berechnung von Schwungstromstärken

Was eine Stromstärke ist, kennt ihr bestimmt:

Verkehrsstromstärke gibt die Menge der Autos pro Stunde an, die an einer bestimmten Stelle vorbeifahren.

                                               (Simulationsbild aus leifiphysik)

Die elektrische Stromstärke ist ein Maß für die Anzahl der Ladungen pro Sekunde, also ladungsmenge pro Sekunde.

Hierzu gibt es eine sehr schöne Seite auf leifiphysik:

https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/elektrische-grundgroessen/grundwissen/ladung-und-strom-einfuehrung

Stromstärkeeinführung

Die Stromstärke eines Baches gibt an, wieviel Wasser pro Sekunde vorbeifließt, also auch eine Menge pro Sekunde.

                 (Wasserfall in Island)

Wenn Schwung bzw. Impuls übertragen wird, dann kann man ebenfalls eine Impulsstromstärke angeben, also die Menge des übertragenen Impulses pro Sekunde: Δp/Δt

Wir haben ja den Impuls in der Einheit Hy (Huygens) gemessen: 1 Hy = 1 kg*m/sec ist der Impuls eine Masse von 1 kg, die sich mit 1 m/sec bewegt.

Nun löst bitte einmal die folgenden Aufgaben:

Aufgabe 1: Zwei Massen werden beschleunigt.

Wir haben eine Masse m = 10 kg. In beiden Fällen bekommt die Masse einen Impuls von 800 Hy.

Fall 1: Der Impuls wird innerhalb von 2 Sekunden zugeführt.

Fall 2: Der Impuls wird innerhalb von 4 sec zugeführt.

a) Berechne die Geschwindigkeiten, die die Masse in beiden Fällen hat und erkläre das Ergebnis.

b) Berechne die Beschleunigungen, die die Masse in den jeweiligen Fällen erhält (Annahme: gleichmäßig zugeführter Impuls führt zu konstanter Beschleunigung). Zur Erinnerung: a = v/t

c) Berechne die Impulsstromstärke in beiden Fällen.

d) Was fällt Dir auf? Kannst Du eine anderen Weg angeben, mit dem man Impulsstromstärken berechnen kann?

Aufgabe 2: Eine Masse fällt.

Nun wiederholen wir die Aufgabe 1 abgewandelt für eine fallende Masse von 10 kg. Wir rechnen mit der Fallbeschleunigung von g = 10 m/sec²

a) Da wir hier die Beschleunigung kennen, kannst Du nun die Geschwindigkeit nach 3 sec Fallzeit ausrechnen.

b) Welchen Schwung hat also die fallende Masse vom Gravitationsfeld der Erde in diesen 3 sec erhalten?

c) Bestimme die Schwungstromstärke (Annahme sie ist während des Fallens konstant).

d) Fällt Dir was auf? Wie kann man hier die Schwungstromstärke auf anderem Weg bestimmen?

Wie hast Du früher diese Schwungstromstärke genannt?

Aufgabe 3:

Ganz oft stößt man auf neue Erkenntnisse in der Physik, wenn man die Einheiten betrachtet.

Was ist die Einheit von Δp/Δt ganz ausführlich geschrieben?

Such mal einen anderen Namen für diese Einheit.

P87: Boot fahren und Knochen tauschen

 16.2 Moderne Vorstellung von Kräften

Zu dem Inhalt dieses Posts wird euch bestimmt niemand in einer Prüfung fragen...aber ich denke, ihr solltet mal andeutungsweise erfahren, was man heute sich wirklich unter Kräften vorstellt.

16.2.1 Gravitation

Im Kapitel 11 haben wir ja dazu schon viel erfahren, deswegen möchte ich es hier nur kurz wiederholen:

Gravitation entsteht durch eine innere Struktur von Raum und Zeit. Mathematisch korrekt spricht man von Metrik, bei anschaulichen Beispielen nennt man das auch Raumkrümmung:

Gekrümmter Raum sagt den Massen, wie sie sich bewegen sollen.

Massen sagen dem Raum, wie er sich krümmen soll.

                                      Erinnert ihr euch?

Gravitation ist also eine Eigenschaft des Raumes (und der Zeit, also der vierdimensionalen Raum-Zeit) und nichts was im Raum entsteht. Es gibt also keine Gravitationsladungen, von denen die Kräfte ausgehen.

Das finden alle Forschenden schade, denn so müssen sie (zumindest bis jetzt) zwei unterschiedliche Arten von Kräften akzeptieren:

Kräfte als Eigenschaft von Raum und Zeit

Kräfte als Eigenschaft von Objekten innerhalb des Raumes.

Und zu denen kommen wir jetzt:

16.2.2 Elektrische Kräfte

Elektrische Kräfte gehen von elektrischen Ladungen aus. Da wir sowohl anziehende als auch abstoßende elektrische Kräfte kennen, muss es zwei Sorten von Ladungen geben, die wir + und - nennen.

Dabei werden die Kräfte durch ein elektrisches Feld von den Ladungen aus übertragen.

Diese Felder breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus, denn sie bestehen aus den Objekten, die das Licht ausmachen, den Photonen. Je nach Stärke des Feldes sind es aber auch besonders energiereiche Photonen (Röntgenstrahlung)., die wir nicht sehen können, oder auch sehr energiearme Photonen (Radiostrahlung), die wir ebenfalls nicht sehen können.

Diese Photonen transportieren Energie und Impuls und vermitteln somit die Kraftwirkung.

Der Sammelbegriff für kraftvermittelnde Objekte ist: Boson.

Für abstoßende elektrische Kräfte kann man sich das ganz gut veranschaulichen.

Die Darstellung vom CERN gibt alle Grundkräfte an und beschreibt auch ihre relative Stärke. Da wird deutlich, dass die Gravitation unglaublich schwächer ist als jede andere Masse...Deswegen haben Sterne auch so riesige Massen, damit was ordentliches aus ihnen werden kann....

Die Veranschaulichung für die anziehende Wirkung geht ganz gut so iw es Gamov dargestellt hat:

Die beiden Hunde nutzen einen gemeinsamen Knochen und sind somit aneinander gebunden.

Dieses Modell passt eher auf die anziehenden Kernkräfte, aber hilft vielleicht  auch hier.

Die Kraftwirkung ist aber eher nicht anschaulich fassbar, denn es sind sog. Quanteneffekte. Winzig kleine Mengen an Schwung und Energie werden übertragen, können dabei sowohl anziehende als auch abstoßende Wirkung zeigen.

16.2.3 Magnetische Kräfte

Magnetische Kräfte wurden lange vor den elektrischen Kräften entdeckt. Aber James Clerk Maxwell (1831-1874) hat 1864 gezeigt, dass Magnetfelder auf bewegte elektrische Felder zurückgeführt werden können. Dazu lernt ihr etwas in Q2.

Einstein und Lorentz haben 1905 gezeigt, dass es noch viel einfacher geht: Magnetfelder sind ein Effekt der Relativitätstheorie und keine eigenständigen Kräfte. Dazu lernt ihr in der Schule in der Regel nichts...

Aber auf meiner Homepage könnt ihr dazu etwas nachlesen:

https://www.natur-science-schule.info/post/wer-braucht-denn-magnetfelder

Wer braucht denn Magnetfelder?

16.2.4 Zwei weitere Grundkräfte

Wir haben also bisher nur zwei grundlegende Kräfte gefunden: die Gravitationskraft als Eigenschaft des Raumes und die elektrische Kraft als Eigenschaft elektrischer Ladungen im Raum.

Es gibt noch zwei weitere grundlegende Kräfte:

Schwache Kraft 

Diese Kraft ist für die Radioaktivität verantwortlich. Sie kann Elementarteilchen ineinander umwandeln: Quarks in andere Quarks oder auch in Elektronen.

Ihr haben wir es zu verdanken, dass es Elemente gibt, die schwerer als Eisen sind, wie z.B. Gold und Silber...

Auch diese Kraft wird von Objekten vermittelt. Die Bosonen der schwachen Kraft heißen Weakonen. Es gibt drei davon, zwei die zusätzlich auch elektrische Kräfte vermitteln, also geladen sind (+ , -) und eines, das elektrisch neutral wie das Photon ist, aber deutlich schwerer.

Photonen gibt es nur in Bewegung. Deswegen reichen elektrische Kräfte beliebig weit.

Weakonen besitzen eine Masse (knapp 100 Protonenmassen), deswegen reichen diese Kräfte nicht sehr weit. Sie wirken nur innerhalb der Atomkerne.

Auch schwache Kräfte  werden von Ladungen erzeugt. Es sind aber keine elektrischen Ladungen. Die Ladungen, von denen die schwache Kraft ausgeht, nennt man rechts und links.

Niemand weiß, was da real dahintersteht....

Starke Kraft

Diese Kraft verhindert, dass Atomkerne wegen der gleichen elektrischen Ladung der Protonen auseinanderfliegen. Hier gibt es drei verschiedene Ladungen, die man mit Farbangaben unterscheidet: rot, blau, grün.

Die Bosonen der starken Kraft nennt man Gluonen (Leimteilchen). Davon gibt es 8 verschiedene Sorten.

Ganz schön aufwändig, die Natur...nur damit unsere Atomkerne zusammenbleiben...

Übrigens: Fast 98% unserer Masse besteht aus diesen Gluonen. Die Atomkerne sind voller Klebstoff...., genauer fast nichts außer Klebstoff....

Kernkräfte

Das ist keine Grundkraft, sie wird auf recht seltsame Weise erzeugt.

Wer etwas mehr über die Kernkraft wissen will (sie ist keine Grundkraft), findet hier  auf meiner Homepage leicht verständliche Informationen:

Infos über Kernkräfte

https://www.natur-science-schule.info/post/kernkraft

Nun kehren wir wieder zurück ins 17. Jahrhundert und formulieren Newtons Gesetze so, wie man es in der Schule macht, aber wie es Newton ursprünglich nicht gemacht hat (er hat mit dem Impuls gearbeitet).

P 85: Achtung! Mathe

 15.3.5 Mathematische Behandlung eines einfachen elastischen Stoßes

Die Herleitungen spielen in späteren Posts keine Rolle, aber vielleicht für zukünftige Leistungskursler eine gute Gelegenheit ,sich  etwas stärker mit Formelherleitungen und Mathematik zu beschäftigen.

Wem es fröstelt...ihr könnt das gerne überspringen...aber ich fänd es schade...versucht es doch mal...

Ich versuche alle Sinne anzusprechen.

Wir wollen erst einmal die Formel für den folgenden Stoß herleiten:

Eine Masse m (unser Neutron) kommt mit einer Geschwindigkeit v1 zentral an eine ruhende Masse M (unser Sauerstoffatomkern) an.

Danach bewegen sich m und M mit bestimmten Geschwindigkeiten, die wir u1 und u2 nennen, weiter.

Genau für diese Geschwindigkeiten wollen wir Formeln haben.

Da es sehr mühsam ist, das alles mit Textverarbeitung aufzuschreiben, habe ich Papier und Kugelschreiber geholt....

Hier erst noch einmal die Aufgabe:

Und nun zur Lösung:

Wir schreiben erst einmal den Impuls- und den Energieerhaltungssatz hin.

Dann vereinfachen wir, sortieren die Gleichungen um, wenden die dritte binomische Gleichung an und dividieren die beiden so erhaltenen Gleichungen (2) durch (1). Dann kürzt sich alles raus und wir erhalten eine ganz einfache Gleichung, die uns erlaubt, bei einem Stoßvorgang dieser Art einfach nur (bestimmte) Geschwindigkeiten zu addieren. Um erst einmal u1, die Geschwindigkeit der Masse m nach dem Stoß, zu erhalten, müssen wir in Gleichung (1) u2 ersetzen und dann mit einigen Tricks nach u1 auflösen.

Dann nehmen wir Gleichung (3) und erhalten dann die andere gesuchte Geschwindigkeit u2.

Nun kennen wir alle Geschwindigkeiten und können den Energieerhaltungssatz überprüfen:

Das war sozusagen die Kür der Kür...

Wer das wirklich verstehen möchte, sollte sich die Herleitung selbst auf ein Blatt hinschreiben und jede Umformung ausführen.

Zum besseren Verständnis erkläre ich auch die wichtigsten Schritte in dem folgenden 10-minütigen Video:

Das war der Exkurs in die extreme Welt für Mathe-Nerds...so ganz nebenbei...weder diejenigen, denen das zu hoch ist, noch diejenigen, die das so richtig toll finden, müssen jetzt beschämt nach unten schauen...

Ach die Rechenaufgabe habe ich ja fast vergessen:

Wir nehmen m = 1 und M = 16 und benutzen Gleichung (4):

u1 = (1-16)/(1+16)  * 20 000 km/sec  = - 17647 km/sec

Das Neutron prallt fast mit der gleichen Geschwindigkeit, mit der es angekommen ist, am Sauerstoffkern ab.

Gleichung (5) gibt uns an, welche Geschwindigkeit der Sauerstoffkern bekommt:

u2 = 2*1(17 *20 000 km/sec = 2354 km/sec

Er wird nicht all zu schnell. Das bedeutet auch, dass das Neutron nur wenig Energie an den Sauerstoffkern gegeben hat.

Nun wiederholen wir die Rechnung mit m=1 und M=1:

u1 = 0 km/sec

u2 = 20000 km/sec

Das Neutron verliert seine gesamte Energie und gibt es an das Proton ab.

Wenn da  Neutron noch Energie behalten will, bremst man es durch ein Deuteron ab, das ist ein Kern aus einem Proton und einem Neutron. Deswegen wird oft sog. schweres Wasser als Abbremsmittel in Kernkraftwerken genutzt.

In den Zusatzseiten werde ich in den nächsten Tagen etwas über Wolfgang Pauli schreiben, der vor etwa 90 Jahren voller Verzweiflung die Gültigkeit des Impulserhaltungssatzes gerettet hat, in dem er etwas eingeführt hat, was mit nichts reagiert und was man nicht nachweisen kann...

Auch wenn es nur eine Zusatzseite ist, lest es euch ruhig mal durch, ist vielleicht spannender als diese Rechnerei...

P 83: Stoßvorgänge

 15.3 Anwendung der Impulserhaltung bei Stoßvorgängen

Das ist ein weites Feld, ich möchte nur einige unterschiedlich schwierige Aspekte vorstellen.

15.3.1 Klassifizierung von Stößen

In Leifi-Physik gibt es eine sehr schön Übersicht mit guten Animationen. Ich empfehle, die zu bearbeiten und vor allem wichtige Inhalte in eurer Heft zu übertragen.

Klärt dabei die folgenden Fragen:

- Welche Rolle spielt der Impulserhaltungssatz bei der Behandlung von Stoßvorgängen?

- Warum tauchen vier Geschwindigkeiten auf? Was bedeuten die Indizes 1 und 2, was der Strich?

- Charakterisiere:

a) Zwei Stahlkugeln prallen aufeinander

b) Eine Tomate prallt auf einen Pfirsich

c) Zwei Kugeln aus Knete prallen aufeinander

- Beschreibe die verschiedenen Arten von Stoßvorgängen mit eigenen Worten.

https://www.leifiphysik.de/mechanik/impulserhaltung-und-stoesse/grundwissen/stoesse

Klassifizierung von Stößen

15.3.2 Beispiele und Aufgaben

Experiment: 

Schnipse  Geldstücke auf ruhende andere Münzen und variiere Massen und Richtungen. Notiere Deine Beobachtungen und vergleiche sie mit den Ergebnissen der folgenden Aufgaben.

Versuche einmal die folgenden Aufgaben zu lösen:

Aufgabe 1: Koppeln

Ein leerer Güterwagen der Masse 6 Tonnen rollt mit einer Geschwindigkeit von 6 km/h auf einen ruhenden beladenen Wagen mit der Masse 15 Tonnen und koppelt an.

Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich beide Wagen gemeinsam weiter?

(Märklin)

Aufgabe 2: Bremsen

Schnelle Neutronen in einem Kernkraftwerk sollen abgebremst werden.

Nehmen wir an, ein Neutron entsteht bei der Kernspaltung mit einer Geschwindigkeit von 20 000 km/sec.

Es hat eine Masse von 1,67*10^-27 kg.

a) Solche Neutronen stoßen zentral und elastisch auf ein Sauerstoffatom mit ungefähr der Masse von 16 Neutronen. Welche Geschwindigkeit hat das Neutron anschließend, welche das Sauerstoffatom?

b) Was ändert sich, wenn die Neutronen auf Wasserstoffatome (etwa mit der Masse eines Neutrons) stoßen?

(Bild Uni Leipzig)

Aufgabe 3: Rückstoß

Beim Kugelstoßen wird eine Kugel der Masse 7 kg mit der Geschwindigkeit 10 m/sec abgeworfen. Mit welcher Geschwindigkeit müsste sich der Werfer (Masse 80 kg) zurückbewegen?

Was würde passieren, wenn er auf einem Rollbrett stände?

Formel Herleitung:

Aufgabe 1:

Leite eine allgemeine Formel für die Rückstoßgeschwindigkeit her, d.h. für die Geschwindigkeit, mit der sich der abwerfende Körper nach hinten bewegen würde.

Aufgabe 2:

Ein Körper der Masse m stößt elastisch und zentral auf einen ruhenden Körper der Masse M.

a) Leite Formeln her für die  Geschwindigkeiten der Masse m und der Masse M nach dem Stoß.

b) Wie siehst Du an den Formeln, dass die Masse m bei einer Hauswand reflektiert würde?

c) Rechne nach, dass der Energieerhaltungssatz erfüllt ist.

Besprechungen im nächsten  Post

P80 Viele Beispiele und Videos

 Und nun die Lösungen...

Meine Formulierungen sind nur Vorschläge, auch andere können richtig sein.

Versuch 1: Klopapier

Wenn man langsam zieht, bewegt sich die Rolle mit und rollt ab. Beim schnellen Ziehen bleibt die Rolle aufgrund ihrer Trägheit stehen und das Blatt reißt ab und kann weiter verwendet werden.

Versuch 2: Stapel

a) Übertragung des Impulses beim langsamen Ziehen nimmt Turm mit. Beim schnellen Ziehen bleibt Turm wegen der Trägheit stehen.

b) Drückt man langsam gegen den unteren Teil, so drückt man den ganzen Turm weg, er wird instabil.

Wenn man mutig genug ist und schnell gegen den unteren Stein schlägt, bleibt der Schwung im unteren Teil und der Turm rutscht nach unten nach.

Versuch 3: Papier kontra Hammer

Beim Schlagen entsteht sogar Drehimpuls, da das Brett auf der Tischkante liegt. Es wirbelt durch die Luft.

Liegt eine Zeitung über Tisch und Brett, kann der Schwung an die Luft oben drüber weitergeleitet werden. Durch die große Zeitung ist der Widerstand für die Schwungleitung klein. Die Luft  oben drüber hat eine riesige Masse, etwa 3 Tonnen!!!! Das ist eine riesige Schwungkapazität. Das Brett rührt sich nicht, bei seiner kleinen Kapazität für Schwung (0,1 kg) kriegt es kaum welchen ab...

Bite den Versuch nicht in der Nähe von Glas, Porzellantassen oder Fenstern machen!

Überlegung 1 Ruckelndes Auto:

Die Person ist träge. Beim beschleunigten Anfahren bleibt sie zurück, der Sitz samt Auto erwischt sie am Rücken und nimmt sie mit.

Oder:

Der Schwung vom Auto wird nicht sofort in voiller Stärke auf die Person übertragen, da der Übergang zwischen Auto und Person eine Art Widerstand für Schwungtransport ist.

Versuch 4: Der autofahrende Heliumballon

Der Heliumballon verhält sich genau anders...

Das kann man so erklären:

Die Luft ist träger als der Ballon, sie bleibt beim Anfahren zurück, er geht nach vorn. Beim Bremsen ist es umgekehrt.

Ich habe eine ganz andere Erklärung.

Schaut noch mal in die Kapitel 11.5 und 11.6 Da haben wir gelernt, dass man die Wirkung einer Schwerkraft nach unten nicht von einer Beschleunigung der Umgebung nach oben unterscheiden kann (Äquivalenzprinzip).

Die nach vorne gehende Beschleunigung des Autos beim Anfahren kann man auch als nach hinten wirkende Schwerkraft auffassen. Der Heliumballon ist also einer größeren Schwerkraft nach hinten (!) ausgesetzt. Sein Auftrieb wird also größer, aber das ist ein Auftrieb nach vorne....

Überlegung 2: Nix geht

Die Rollen unter dem Brett dienen als Isolatoren für Schwung. Der Motor des Autos pumpt Schwung in die Räder, die geben ihn komplett an das Brett ab. Das Brett rollt und das Auto bleibt letztlich stehen.

Schwung wird durch Reibung weitergegeben. So wie die Räder unter dem Brett den Schwung nicht an den Boden weitergeben können, so gibt es bei Glatteis keine Reibung zwischen Boden und Fahrbahn.

Überlegung 3: Kein Glatteis mehr

Ein Auto fährt aber nur nach vorne, wenn es von der Fahrbahn Schwung in diese Richtung bekommt. Nach unserer dritten Regel muss dann das Auto der Fahrbahn (und damit der ganzen Erde) einen Schwung nach hinten geben. Die Autoräder müssen also eine ausreichende Reibung haben, sie dürfen keine Schwungisolatoren sein!

Zum Glück ist die Schwungkapazität der Erde unermesslich groß und wir können (leider) noch (fast) beliebig viele Autos bauen und anfahren lassen, ohne dass die Erde ihre Drehung ändert.

Und wo bleibt der vom Motor erzeugte Schwung bei Glatteis? In den durchdrehenden Rädern...

Überlegung 4: Man trifft sich

Die Räder sollen hier Schwungisolatoren sein. Der von der Person auf den Wagen ausgeübte Schwung führt dazu, dass der Wagen nach rechts rollt. Er bekommt Rechts-Schwung. Die Person muss deshalb Rechts-Schwung abgeben, d.h. es bleibt in ihr Links-Schwung übrig. Sie bewegt sich nach links auf den Wagen zu.

Haben beide die gleiche Schwungkapazität (Masse) so treffen sie sich in der Mitte. Ansonsten liegt der Treffpunkt dichter am Körper mit der größeren trägen Masse.

Die Unterscheidung zwischen Rechtsschwung und Linksschwung ist manchmal ganz nützlich. Wir wollen das hier aber nicht vertiefen.

Überlegung 5: Komm her

Jetzt pumpt der Mensch (Rechts-)Schwung über die gut leitende Verbindung zur Erde aus der Erde heraus. Der Wagen rollt nach rechts. Die Erde verliert diesen Schwung und bewegt sich nach links.

Überlegung 6: Nichts als Luft

Luft ist ein schlechter Leiter für Schwung...Da kann der Mensch noch soviel wedeln...

Überlegung 7: Von Magnet zu Magnet

Magnetfelder ( aber auch alle anderen Felder) können Schwung gut übertragen.

Überlegung 8: Das Bootsrennen

Die Bootsschraube überträgt Schwung nach hinten (links) auf das Wasser. Das Boot verliert diesen Schwung. Das entspricht ein Schwunggewinn nach vorne (rechts).

So funktioniert auch der Flugzeugantrieb. Da werden natürlich keine Passagiere nach hinten rausgeschmissen sondern Luft nach hinten in Schwung versetzt.

Überlegung 9: Raketenantriebe funktionieren auch im Vakuum

Im Weltall gibt es nichts wie Luft oder Wasser, was der Raketenmotor nehmen kann. Er muss sein eigenes Zeugs mitnehmen...das nennt man Treibstoff...und den Rest müsstet ihr jetzt gut verstehen....

Man kann auch kleine Raumsonden mit Laserstrahlen antreiben. In der Tat hat Licht einen Schwung, den es in Ausbreitungsrichtung mitnimmt und übertragen kann.

P 79: Noch mehr Impulse für die Beschäftigung mit Schwung

 Im nächsten Post gehe ich auf die drei Versuche ein.

Einen weiteren könnt ihr leider nicht alleine machen, aber wenn ihr einen Fahrer habt?

Ihr braucht aber einen Luftballon, der mit Helium gefüllt ist (Helium ist leichter als Luft)

Bevor ihr es euch anseht:

Überlegung 1: Ruckelndes Auto

Warum wird man beim Beschleunigen in die Sitze gedrückt?

Warum ist ein Airbag beim plötzlichen Bremsen ganz nützlich?

Warum sollten bei einer Fahrt in eine enge kurve die Außentüren gut geschlossen sein?

Und nun seht euch das Video...der Beifahrer hier hat keine Ahnung von Physik, oder?!

Versuch 4: Der autofahrende Heliumballon

Und nun möchte ich euch einige niedliche Bildchen zeigen (alle aus KPK, Aulis Verlag).

Auf ihnen sind Vorgänge zu sehen...

Eure Überlegungen sollten folgendes beinhalten:

(1) Was passiert da eigentlich?

(2) Erklärt das mit Hilfe von Impuls/Schwung aber nutzt dabei ruhig die Begriffe:

   - Isolator für Schwungübertragung

   - Leiter für Schwungübertragung

   - Schwungstrom

   - Schwungpumpe

Das alles ist nicht sehr wichtig für den weiteren Kurs. Es hilft euch aber kräftig, etwas besser mit dem doch recht abstrakten Begriff Impuls umzugehen.

Überlegung 2: Nix geht

Überlegung 3: Kein Glatteis mehr!

Überlegung 4: Man trifft sich!

Den Versuch könnt ihr gut zu zweit nachmachen...ihr braucht nur Skateboards und ein Seil.

Aber bei 1,5 m Abstand abbremsen und Maske auflassen!

Überlegung 5: Komm her!

Überlegung 6: Nichts als Luft!

Überlegung 7: Von Magnet zu Magnet

 

Überlegung 8: Das Bootsrennen

Hierzu fällt mir eine Durchsage eines Piloten ein:

"Liebe Passagiere...unser Treibstoff ist alle...Bitte springen sie einzeln und nacheinander hinten aus dem Flugzeug hinaus..."

Immerhin hat er etwas Ahnung von Physik. Wieso?

Überlegung 9: Raketenantriebe funktionieren auch im Vakuum

Im nächsten Post erkläre ich dann alles und zeige noch ein paar Videos.

P 76: Mit Schwung zu neuen Erkenntnissen

 14. Grundgröße Schwung

14.1 Was ist Schwung?

In P 67 haben wir schon recht ausführlich besprochen, was wir unter Schwung bzw. Impuls verstehen wollen:

Impuls ( = Schwung)  ist 

- etwas, das mengenartig vorkommt, also mehr oder weniger vorhanden sein kann.

- etwas Ursprüngliches, das keinen Träger braucht, sondern von Körper zu Körper direkt ohne Umwandlungen übertragen werden kann.

- etwas, das je  je nach Masse eine unterschiedliche Geschwindigkeit bewirkt. Die (träge) Masse ist sozusagen die Proportionalitätskonstante zwischen Geschwindigkeit und Impuls p:

 p = m*v ist eine naheliegende Festlegung für den Impuls.

- etwas , das  irgendwo herkommen muss. Impuels  kann weder aus dem Nichts entstehen noch einfach verschwinden. Es gibt eine wichtige Erfahrung:

In einem System, das abgeschlossen ist, also keine Verbindung zur Außenwelt hat, bleibt die Menge des vorhandenen Impulses immer konstant.

Schwung ist also etwas, was wie Energie fließen kann, übertragen werden und strömen kann. Es gibt dabei eine Strömungsrichtung, die Wirkung des Schwunges muss aber nicht mit der Übertragungsrichtung übereinstimmen. Das werden wir nicht zu sehr vertiefen, sondern nur an einigen ganz konkreten Beispielen besprechen.

Für unsere Zwecke haben wir auch eine Einheit für Schwung(= Impuls)  festgelegt:

Eine Masse von 1 kg, die sich mit 1 m/sec bewegt, hat einen Schwung von 1 Hy (Huygens).

Also: Wenn ein Fußgänger der Masse 75 kg, der sich mit 1 m/sec bewegt, jemanden anrempelt, dann kann ein Schwung von 75 Hy übertragen werden.

14.2 Neuinterpretation der (trägen) Masse 

Lösen wir unsere Definitionsgleichung für Schwung mal nach m auf:

m = p/v

Aufgabe: Welche Masse wird benötigt, um mit einem Schwung von 400 Hy eine Geschwindigkeit von 5 m/sec zu erhalten?

Antwort: m = 400 Hy/5 m/sec = 80 kg.

Was passiert, wenn bei gleichem vorhandenem Schwung dieser auf eine kleinere bzw. größere Masse übertragen wird?

Was bedeutet also 1 kg?

Eine Masse von 1 kg ist in der Lage einen Schwung von 1 Hy in eine Geschwindigkeit von 1 m/sec umzusetzen.

Je größer eine Masse ist, desto mehr Schwung muss sie aufnehmen, um eine bestimmte Geschwindigkeit zu erreichen.

Einen solchen, vergleichbaren,  Satz werdet ihr in der Elektrizitätslehre in Q1 auch lernen:

Je größer die Kapazität C eines Kondensators (das ist ein Ladungsspeicher)  ist, desto mehr Ladungsmengen Q muss er aufnehmen, um eine bestimmte Spannung U zu erreichen. 

Es gilt Q = C*U.

Statt Schwungmenge haben wir da die Ladungsmenge, statt Geschwindigkeit die erzeugte Spannung.

Immer wenn man sagen kann:

Aufgenommene Menge = Konstante * Wirkung

                               p      =  m             *   v

                               Q =      C              *  U

nennt man die Konstante eine Kapazität.

Denkt an unsere Badewanne:

Wir haben zwei Badewannen, in die beide 30 Liter pro Minute fließen. Bei Wanne A steigt jede Minute der Wasserspiegel um 3 cm, bei Wanne B um 2 mm.

Die Formel wäre: Wassermenge = Konstante * Höhe des Wasserspiegels

Wir sagen: Wanne B hat eine höhere Kapazität für Wasser als Wanne A.

Je größer die Kapazität der Wanne ist, desto langsamer steigt der Wasserspiegel an.

Entsprechend ist die  träge Masse  also eine Angabe zur  Kapazität, mit der sie  Schwung aufnehmen kann: Träge Masse ist eine Schwungkapazität.

Je höher die träge Masse, desto mehr Schwung kann sie speichern und desto mehr Schwung braucht man, um sie auf eine bestimmte Geschwindigkeit zu bringen.

Eigentlich ist nur dieser letzte Satz wichtig. Er sollte an sich aber eher eine Trivialität ausdrücken...

Leider wird in unserer Umgangssprache das Wort Kapazität auch für Fassungsvermögen verwendet. Das ist in der Physik falsch: Eine Kapazität ist in der Physik eine Pro-Angabe, ein Fassungsvermögen gibt an, wieviel von etwas wo reinpasst. Ohne Pro und Kontra....

Eine Badewanne hat an sich nur ein Fassungsvermögen. Erst wenn wir Wasser reinlaufen lassen und wir wissen wollen ,wie die Zuflussmenge in Wasserstand umgesetzt ist, benötigen wir die Kapazität der Wanne.

14.3  Schwungregel im Sinne von Newton

Bitte überlegt euch bis zum nächsten Post einmal die Antworten:

- Was passiert mit einem Körper, der sich bewegt, aber seinen Schwung nicht ändert?

- Was passiert mit einem Körper, der Schwung bekommt oder abgibt?

   Ganz konkret: In jeder Sekunde erhält ein Körper der Masse 5 kg genau  30 Hy. Um wieviel wird er jede Sekunde schneller?

- Ein Körper A gibt einem anderen Körper B Schwung ab, z.B. durch einen Stoß. Was kannst Du über die Schwungmengen sagen, die A abgibt und die B aufnimmt?

   Es ist natürlich kein dritter Körper im Spiel.

Kannst Du die drei Antworten auf die Fragen zu einer Regel zusammenfassen?

Auch hier kann ein Vollbad bei der Lösung helfen...

P 70: Dreierlei zum Zweiten

 Ich habe mal Stichworte in die Tabelle eingetragen:

Mir scheinen dabei ein paar Eigenschaften wichtig:

Für Schwung und Energie können wir Mengen angeben, für Kraft nicht. Da jede Substanz auch strömen kann, können somit Schwung und Energie als mengenartige Größen strömen.

Für jeden Strom kann man eine Stromstärke angeben, das ist eine Menge pro Zeit:

Wir kennen das von Verkehrsströmen (Anzahl der Autos pro Stunde), vom elektrischen Strom (Anzahl der Ladungen pro Sekunde, I = Q/t).

Wir werden bald sehen, dass die Schwungstromstärke das ist, was wir Kraft nennen und die Energiestromstärke das, was wir Leistung nennen.

Viele von euch kennen schon den Energieerhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System ist die Menge an Energie immer gleich groß. Ein System ist abgeschlossen, wenn es keine Wechselwirkung mehr mit der Umgebung hat.

Ob unser Kosmos abgeschlossen ist, wissen wir nicht. Somit ist auch nicht sicher, ob der Energieerhaltungssatz für den Kosmos gilt.

Dass unser Kosmos bei seiner Entstehung seine gesamte Energie erhalten hat, das können wir mit der modernen Quantenmechanik, besser der Quantenfeldtheorie, gut verstehen.

Das steht genauer in meinem Unterrichtsblog über Q3 und Q4 ("Was ist Licht?").

Da werdet ihr erfahren, dass im mikroskopisch kleinen Bereichen der Energieerhaltungssatz vorübergehend verletzt werden kann (Heisenbergsche Unbestimmtheitsbeziehung, Vakuumfluktuationen).

Nicht so bekannt ist der Impulserhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System ist die Menge des Schwunges immer gleich groß.

Damit werden wir lernen Stöße zu behandeln.

Die beiden Erhaltungssätze sind Erfahrungssätze. Aber seit der genialen Mathematikerin Emmy Noether (1882-1935) wissen wir, dass sich diese Erhaltungssätze aus Symmetrien von Raum und Zeit herleiten lassen.

Das gibt später bestimmt eine Extraseite, offenbaren sich daraus Grundprinzipien der Konstruktion unserer Welt.

Hier nur ein kurzer Hinweis:

Der Energieerhaltungssatz folgt direkt aus der Homogenität der Zeit, d.h. der Zeitpunkt eines Vorgangs spielt keine Rolle). Der Impulserhaltungssatz folgt aus der Homogenität des Raumes, d.h. es ist egal, wo die Bewegung stattfindet.

Zu Emmy Noether: Obwohl die Universität Göttingen ihre  Habilitation befürwortete, wurde ihr dies 1915 vom Staat versagt, da Frauen nicht Professorinnen sein dürften.

Wie gehen wir nun weiter vor?

Ich werde die Grundgrößen Energie, Impuls (Schwung) und Kraft nun einzeln genauer besprechen und die oben schon erwähnten Zusammenhänge begründen.

Dann sind wir in der Lage, die berühmten Newtonschen Axiome zu formulieren und durch ein einziges zusammenzufassen (den Impulserhaltungssatz).

Dann kommen wir wieder auf unser Badewannenbeispiel zurück...

In weiteren Kapiteln werden wir lernen, Bewegungsprobleme, wie die Wurfhöhe, ganz einfach mit dem Energieerhaltungssatz zu berechnen.

Einige einfache Beispiele zu Zusammenstößen soll uns die Anwendung des Impulserhaltungssatzes veranschaulichen.

P 67 Gib mir mal Schwung

 12.2.4 Man überträgt Schwung

Bleiben wir bei der Schaukel: "Gib mir mal Schwung" sagt ein kleines Kind, wenn es schaukeln will.

                                               Kaserer Kinderschaukeln

- Ein Körper bewegt sich in die Richtung, in die der Schwung wirkt, den man ihm gibt.

- Gegenschwung wird einen Körper abbremsen. Man könnte auch sagen: Wir nehmen ihm Schwung weg.

- Und wirkt der Schwung seitwärts, so kann man einen Körper auf seiner Bahn ablenken.

Durch Reibung können Gegenstände auch Schwung verlieren, er strömt regelrecht in die Umgebung hinein.

Wir wollen hier die vektorielle Betrachtung nicht vertiefen, denn wir müssten zwischen der Schwungrichtung und der Übertragungsrichtung unterscheiden.

Aber diesen anschaulichen Begriff "Schwung" möchte ich etwas genauer erfassen

12.2.5 Was ist denn Schwung?

Wie können wir denn mit dem Begriff "Schwung" umgehen?

Man hat Schwung, man kann Schwung geben, mehr oder weniger. 

Während Kraft nur wirken kann, kann Schwung fließen, durch einen Körper hindurch auf einen anderen.

Das kennen wir zum Beispiel vom Newton Craddle:

                                                                  amazon.de

Der Schwung der von der von links aufprallenden Kugel fließt durch die anderen Kugeln durch und lässt die letzte Kugel wegfliegen.

Schwung ist eine quantisierbare Größe, d.h. es gibt Schwungmengen. Das ist wie bei Materie. Da gibt es auch viel oder weniger, sie ist auch quantisierbar. 

Wir sprechen auch von einer mengenartigen Größe.

Ebenso wie die elektrische Ladung. Da sprechen wir von Ladungsmenge Q. Es gibt sogar eine kleinste Ladungsmenge, das ist die Elementarladung, die Ladung eines Elektrons.

Eine kleinst mögliche Schwungmenge scheint es nicht zu geben, Elementarteilchen könnten eine kleinstmögliche Materiemenge haben.

Ein Maß für die Menge an Materie ist das kg. So gibt es auch ein, eher unübliches, Maß für die Menge an Schwung, das nennt man Huygens, abgekürzt Hy.

Was 1 Hy an Schwung ausmacht, müssen wir gleich festlegen.

Was macht denn einen Körper aus, der besonders viel Schwung hat?

Nun, er ist besonders schnell. Der Schwung eines Körpers wächst also mit seiner Geschwindigkeit.

Andererseits haben Körper, die eine größere Masse besitzen, bei gleicher Geschwindigkeit auch einen größeren Schwung: Eine Fliege hat etwa eine Geschwindigkeit von 10 km/h. Wenn die auf mich prallt, überträgt sie wenig Schwung auf meinen Körper. Das ist ganz anders, wenn ein Auto mich mit 10 km/h anfährt.

Es ist also sinnvoll, das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit mit Schwung in Verbindung zu setzen. Nehmen wir für die Schwungmenge das Symbol p, dann legen wir fest:

  p =  m * v

Damit hat eine Masse von 1 kg, die sich mit einer Geschwindigkeit von 1 m/sec bewegt, einen Schwung von 1 kg*m/sec. Das nennen wir jetzt auch 1 Hy!

Eine rollende Bowlingkugel hat dann einen Schwung von einigen Hy. Ein in der Zone 30 fahrendes Auto hat dann einen Schwung von etwa 8000 Hy.

Übrigens: Das m in der Defintionsgleichung p = m*v wäre eine träge Masse. Denn ein Körper, der Schwung hat, bleibt in Schwung, außer es stellt sich ihm etwas in den Weg.....

In der Physik wird der Begriff Schwung eher nicht verwendet, man nennt dort die Größe p*v den Impuls eines Körpers. Ich finde aber Schwung anschaulicher und manchmal ist das durchaus sinnvoll an Schwung zu denken, wenn man in der Fachsprache von Impuls spricht.

p = m*v ist eine der wichtigsten Grundgrößen der Physik, sowohl der klassischen Physik als auch der modernen Quantenmechanik.

Deswegen ist es sinnvoll sich etwas genauer mit dem Schwung (Impuls) p auseinander zu setzen, besonders für zukünftige LKler...

Aber erst müssen wir weitergehen. Habt ihr noch genügend Energie, um unsere Ausgangsfragen erneut zu beantworten?