P 116: Planeten haben Drehimpuls

 21.2. Kreisende Punktmassen

Für einen einfachen Fall möchte ich die Formeln einmal herleiten:

Eine (punktförmige) Masse m umläuft  um einen Mittelpunkt M auf einer Kreisbahn im Abstand r.

Bisher haben wir die linearen Größen durch Multiplikation der Kreisgröße mit r erhalten, 

z.B.:  v = ω *r.

Hier ist es genau umgekehrt: Drehimpuls = Impuls der Kreisbewegung längs der Bahn * r, in Formeln also:

   L = p * r

Achtung Lerninterferenz:

Bei den einfachen Kreisgrößen (wie dem Winkel φ und der Winkelgeschwindigkeit ω) muss man diese mit r multiplizieren, um die Bahngrößen s und v zu bekommen.

Bahngeschwindigkeit v = Winkelgeschwindigkeit * r

Bei Drehimpuls (und Drehmoment M, kommt später) ist es umgekehrt: Hier muss man die Bahngrößen mit r multiplizieren, um die Kreisgrößen zu bekommen:

Drehimpuls L = Impuls * r

Drehmoment M = Kraft * r

Man kann sich das notfalls an den Einheiten klar machen. Mein Gehirn erzeugt hier ständig ein Lerninterferenz-Minimum...ich bringe das immer durcheinander...diesen Text habe ich dreimal überarbeiten müssen....

Achtung Mathealarm Vektorrechnung (nur für LKs....)!

Der Impuls p ist ein Vektor, d.h. eine gerichtete Größe. Das ist der Radius auch, denn er zeigt vom Mittelpunkt des Kreises zur Masse. Man spricht vom Radiusvektor.

Wir notieren Vektoren fett, unterstrichen  und kursiv, also p und r sind die Vektoren.

Wenn man zwei Vektoren multipliziert, dann denkt man oft an das Skalarprodukt. Dabei erhält man eine nicht gerichtete, skalare Größe.

Wir kennen das von der Arbeit W, sie ist das Skalarprodukt aus dem Kraftvektor mit dem Wegvektor: 

W = F * s und die Arbeit ist natürlich ungerichtet.

Das kann beim Drehimpuls nicht sein, Drehimpuls (Drehschwung) hat immer eine Richtung!

nach Lexikon der Physik

 Der Drehimpulsvektor L steht senkrecht auf der Bahn. Seine Richtung erhält  man, wenn man die Finger der rechten Hand in Richtung der Drehbewegung krümmt, dann zeigt der Daumen  die Richtung des Drehimpulses an.

Man kann das auch mit der Drei-Finger-Regel beschreiben:

nach wikipedia

Der Daumen der rechten Hand zeigt in Richtung des Radiusvektors, der Zeigefinger in Impulsrichtung, dann zeigt der Mittelfinger die Richtung des Drehimpulsvektors an.

Das geht natürlich nicht mit einem Skalarprodukt. Für diesen Fall gibt es ein spezielles Vektorprodukt oder Kreuzprodukt genannt.

Wie man das ausrechnet, wollen wir hier nicht behandeln, eventuell wird es im Algebrakurs in Mathe besprochen. In Physik wird es euch bei der Lorentzkraft in Q2 begegnen.

Richtig geschrieben: L = r  x  p, das x steht für das besondere Kreuzprodukt. Vektoriell geschrieben, muss der Radiusvektor als erstes im Produkt stehen, denn in seine Richtung muss ja der Daumen gehalten werden.

nach Chemie in der Schule

Im übrigen gilt das auch bei unserer Formel v = ω * r.

Auch die Winkelgeschwindigkeit ist eigentlich ein Vektor, er zeigt längs der Drehachse und lässt sich mit der rechten Hand so bestimmen wie der Drehimpulsvektor.

Die vektoriell richtige Formel wäre also mit dem Kreuzprodukt: v =   ω x r

Probiert das mal mit den drei Fingern der rechten Hand aus. Dabei werdet ihr merken, dass hier r nicht als erstes stehen darf: Daumen in Richtung der Drehachse, Zeigefinger vom Mittelpunkt der Kreisbahn zur Masse. Dann zeigt der Mittelfinger die Richtung der Bahngeschwindigkeit an.

Aber betrachtet das eher als Ergänzungen für Nerds...in meinen LKs habe ich das nie gemacht. In so einem Blog aber kann man ruhig mal etwas mehr Infos bereitstellen.

Ende des Mathealarms

Aber wir lassen hier die Vektoren außen vor...nutzen einfach die skalare Gleichung L = p*r.

Nun ersetzen wir p = m*v und erhalten: L = m*v*r

v aber können wir durch die Winkelgeschwindigkeit ausdrücken: v = ω * r

Damit erhalten wir unsere endgültige Formel für den Drehimpuls unserer Masse m auf ihrer Kreisbahn:

  L = m * r² * ω

Ich habe die Größen umsortiert (wo kommt das Quadrat her?).

Dann könnt ihr mit der Formel: L = θ  * ω vergleichen, θ ist ja unser Trägheitsmoment.

Welches Trägheitsmoment besitzt also die auf einem Kreis mit dem Radius r laufende Masse m?

Antwort:   θ = m* r²

Ihr seht also, dass die Trägheit quadratisch mit dem Abstand vom Drehzentrum ansteigt.

P 69: Dreierlei

 12.3 Schwung, Kraft und Energie

Bevor wir uns detailliert mit den drei Größen beschäftigen (und ihre Zusammenhänge entdecken), sollte ihr euch selbst einen Überblick verschaffen (manches haben wir schon erwähnt, manches musst Du jetzt überlegen, wir besprechen es aber noch).

Füllt die Tabelle aus.

Dies verhindert auch Lerninterferenzen, da ihr rückblickend Gemeinsames und Trennendes benennen und hinterfragen müsst.

Blättert mal zurück, macht euch eigene Gedanken und füllt die Tabelle in eurer Mitschrift aus.

P10: Noch zwei Lerntipps...

 Lerntipps:

 

Ich habe euch eine kleine Animation präsentiert. Natürlich hätte ich euch auch das fertige Bild zeigen können.

Besser aber ist es, die Entstehung eines solchen Bildes als Film zu erleben.

Unser Gehirn speichert gerne Filme ab...viel lieber als statisch präsentierte Formeln.

 Ihr müsst aber jetzt nicht zu jedem Diagramm einen Film drehen...

Viel zu aufwändig, und einen Oscar bekommt man eh nicht...

Aber: Wenn ihr soche Diagramme mal selbst zeichnet, dann produziert ihr einen filmischen Ablauf im Gehirn. Die Videokamera Auge ist mit der Speicherkarte Großhirn direkt verbunden und der Hypocampus steuert das Gefühlskino dabei zu.

Viele kopieren sich Bilder aus dem Internet und fügen sie per Mausklick irgendwo ein... Dabei passiert im Gehirn gar nichts...

Erst wenn  ihr selbst mit Papier und Stift diese Bilder zeichnet, setzen die Lern- und Vernetzungsvorgänge im Gehirn ein.

Das sind dann gut investierte Arbeitsminuten.

 

Und:

Habt ihr die Gefahr einer Lern-Interferenz im letzten Post entdeckt? 

Wir haben die Geschwindigkeit als Steigung in einem WZD eingeführt...ihr kennt Geradensteigungen m in x-y-Koordinaten.

y = m * x  hat die gleiche Bedeutung wie s = v * t 

Steigungsdreiecke liefern Geschwindigkeit v und Geradensteigungen m.

Nicht jede Geradensteigung ist eine Geschwindigkeit (aber durchaus eine Pro-Angabe), aber jede Geschwindigkeit ist eine Geradensteigung.

Wenn ihr dies eurem Hippo im Kopf nicht klar macht, sieht er nur: v = m??? Unsinn! 

Hippo an Großhirn: Löschen!

Also: Hippo trainieren...

 

 

P3: Der berühmte Faktor 3,6

 1.3 Umrechnungen

Ein Teil der Aufgabe war ja die Umrechnung von km/h in m/sec.

Geschwindigkeiten sollte man in der Physik in m/sec angeben. Es gibt nämlich ein Einheitensystem. Wenn man das für jede Größe nutzt, dann passen die Größen zueinander:

m (Meter) für die Strecke, 

kg für die Masse, 

sec für die Zeit, 

N (Newton) für die Kraft, 

A (Ampere) für die Stromstärke, 

V (Volt) für die Spannung, 

C (Coulomb) für die elektrische Ladung,

 J (Joule) oder Nm (Newtonmeter) oder Ws (Wattsekunde) für Energie oder Arbeit, 

J/sec, Nm/sec oder W (Watt) für die Leistung.

Im Alltag nutzt man manchmal andere Einheiten, insbesondere wird die Geschwindigkeit in km/h angegeben (in Amerika in mph, miles per hour). Deshalb ist es sinnvoll, die Umrechnung zu lernen.

Schaut euch mal das folgende Bild an. Könnt ihr damit die Regel erkennen?

Fasst die Umrechnungsregel km/h in m/sec und m/sec in km/h  in Worte, schreibt sie euch auf.

Macht euch aber auch klar, wie man sie begründen kann.

Notiert euch ebenfalls die Erklärung!

In eurem Heft müsste jetzt in etwa stehen:

Umrechnung von km/h in m/sec: durch  3,6 teilen

Umrechnung von m/sec in km/h : mit 3,6 multiplizieren

Begründung:

Die Einheiten bilden einen Bruch: km/h. Den muss man nur umschreiben: k steht für 1000 und 1 Stunde hat 60*60 Sekunden. Der Rest ist kürzen...das formulier selbst weiter!

Lernhinweis: Achtung! Es gibt Lerninterferenzen!

Was ist eine Interferenz? Das deutsche Wort heißt Überlagerung. Wir kennen das bei Wellen: Treffen zwei Wellenberge aufeinander, verstärken sie sich...trifft ein Wellenberg auf ein Wellental, so löschen sie sich aus.

So etwas passiert auch in unserem Gehirn beim Verstehen und Lernen. Treffen zwei ähnliche Informationen im Gehirn (genauer: im Hypocampus, siehe Extraseite) an, die aber dennoch recht unterschiedliche Bedeutung haben, so reagiert unser Genirn mit der Auslöschung beider Informationen. Das vermeidet Stress (für das Gehirn) und erschwert uns das Lernen.

Vergessen ist anscheinend besser als Verwechseln....

Ich denke, ein Beispiel macht euch das klar:

Ihr alle hattet schon Sinus und Cosinus. Beides sind Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.

Aber welche? Bei dem einen spielt die Gegenkathete eine Rolle, bei dem anderen die Ankathete.

Den Unterschied kann sich ja keiner merken! Am besten, man vergisst beides...

Und hier ist es ähnlich: Die Umrechnung der Geschwindigkeitseinheiten hat was mit der Zahl 3,6 zu tun...

Aber wann wird multipliziert, wann dividiert?

Man verhindert solche Lerninterferenzen, in dem man  sich immer wieder alle Zusammenhänge klar macht, gegeneinander abgrenzt und versucht "Eselsbrücken" zu bauen.

Wie war das nochmal?

50 km/h bedeutet wieviel m/sec?

Übrigens: Ich schreibe die Zeit in der Einheit in der Regel als sec für Sekunde. Dann tritt später keine Verwechslung mit dem Symbol s für Segstrecke ein.

 Ich denke, dass ich am Mittwoch den nächsten Post veröffentlichen kann.