21.2. Kreisende Punktmassen
Für einen einfachen Fall möchte ich die Formeln einmal herleiten:
Bisher haben wir die linearen Größen durch Multiplikation der Kreisgröße mit r erhalten,
z.B.: v = ω *r.
Hier ist es genau umgekehrt: Drehimpuls = Impuls der Kreisbewegung längs der Bahn * r, in Formeln also:
L = p * r
Achtung Lerninterferenz:
Bei den einfachen Kreisgrößen (wie dem Winkel φ und der Winkelgeschwindigkeit ω) muss man diese mit r multiplizieren, um die Bahngrößen s und v zu bekommen.
Bahngeschwindigkeit v = Winkelgeschwindigkeit * r
Bei Drehimpuls (und Drehmoment M, kommt später) ist es umgekehrt: Hier muss man die Bahngrößen mit r multiplizieren, um die Kreisgrößen zu bekommen:
Drehimpuls L = Impuls * r
Drehmoment M = Kraft * r
Man kann sich das notfalls an den Einheiten klar machen. Mein Gehirn erzeugt hier ständig ein Lerninterferenz-Minimum...ich bringe das immer durcheinander...diesen Text habe ich dreimal überarbeiten müssen....
Der Impuls p ist ein Vektor, d.h. eine gerichtete Größe. Das ist der Radius auch, denn er zeigt vom Mittelpunkt des Kreises zur Masse. Man spricht vom Radiusvektor.
Wir notieren Vektoren fett, unterstrichen und kursiv, also p und r sind die Vektoren.
Wenn man zwei Vektoren multipliziert, dann denkt man oft an das Skalarprodukt. Dabei erhält man eine nicht gerichtete, skalare Größe.
Wir kennen das von der Arbeit W, sie ist das Skalarprodukt aus dem Kraftvektor mit dem Wegvektor:
W = F * s und die Arbeit ist natürlich ungerichtet.
Das kann beim Drehimpuls nicht sein, Drehimpuls (Drehschwung) hat immer eine Richtung!
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| nach Lexikon der Physik |
Man kann das auch mit der Drei-Finger-Regel beschreiben:
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| nach wikipedia |
Der Daumen der rechten Hand zeigt in Richtung des Radiusvektors, der Zeigefinger in Impulsrichtung, dann zeigt der Mittelfinger die Richtung des Drehimpulsvektors an.
Das geht natürlich nicht mit einem Skalarprodukt. Für diesen Fall gibt es ein spezielles Vektorprodukt oder Kreuzprodukt genannt.
Wie man das ausrechnet, wollen wir hier nicht behandeln, eventuell wird es im Algebrakurs in Mathe besprochen. In Physik wird es euch bei der Lorentzkraft in Q2 begegnen.
Richtig geschrieben: L = r x p, das x steht für das besondere Kreuzprodukt. Vektoriell geschrieben, muss der Radiusvektor als erstes im Produkt stehen, denn in seine Richtung muss ja der Daumen gehalten werden.
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| nach Chemie in der Schule |
Im übrigen gilt das auch bei unserer Formel v = ω * r.
Auch die Winkelgeschwindigkeit ist eigentlich ein Vektor, er zeigt längs der Drehachse und lässt sich mit der rechten Hand so bestimmen wie der Drehimpulsvektor.
Die vektoriell richtige Formel wäre also mit dem Kreuzprodukt: v = ω x r
Probiert das mal mit den drei Fingern der rechten Hand aus. Dabei werdet ihr merken, dass hier r nicht als erstes stehen darf: Daumen in Richtung der Drehachse, Zeigefinger vom Mittelpunkt der Kreisbahn zur Masse. Dann zeigt der Mittelfinger die Richtung der Bahngeschwindigkeit an.
Aber betrachtet das eher als Ergänzungen für Nerds...in meinen LKs habe ich das nie gemacht. In so einem Blog aber kann man ruhig mal etwas mehr Infos bereitstellen.
Ende des Mathealarms
Aber wir lassen hier die Vektoren außen vor...nutzen einfach die skalare Gleichung L = p*r.
Nun ersetzen wir p = m*v und erhalten: L = m*v*r
v aber können wir durch die Winkelgeschwindigkeit ausdrücken: v = ω * r
Damit erhalten wir unsere endgültige Formel für den Drehimpuls unserer Masse m auf ihrer Kreisbahn:
L = m * r² * ω
Ich habe die Größen umsortiert (wo kommt das Quadrat her?).
Dann könnt ihr mit der Formel: L = θ * ω vergleichen, θ ist ja unser Trägheitsmoment.
Welches Trägheitsmoment besitzt also die auf einem Kreis mit dem Radius r laufende Masse m?
Antwort: θ = m* r²
Ihr seht also, dass die Trägheit quadratisch mit dem Abstand vom Drehzentrum ansteigt.
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