P 124: Kepler I und II

 22.2 Zentralkraft und Drehimpulserhaltung

Wenn wir annehmen, dass die Sonne fest steht und wegen ihrer viel größeren Masse vernachlässigbar wenig von den Planeten angezogen wird (was nicht ganz stimmt), der Raum um die Sonne nicht gekrümmt ist (was auch nicht stimmt) und die Planeten sich gegenseitig nicht anziehen (was ebenfalls nicht der Fall ist), dann kann man die Anziehungskraft der Sonne als Zentralkraft bezeichnen: Sie zeigt immer auf den Mittelpunkt der Sonne.

Eine solche Kraft kann auf einen Planeten  kein Drehmoment ausüben, d.h. er behält sein Drehimpuls.

Im Post 121 haben wir ΔL = M * Δt kennen gelernt: Wenn das Drehmoment M =0 ist, kann sich der Drehimpuls nicht ändern, d.h. ΔL = 0.

Der Drehimpuls eines Planeten ist aber L = m*v*r (Post 116).

Nun sind die Planetenbahnen Ellipsen, d.h. der Abstand r zur Sonne ändert sich. Wird r kleiner, so muss v entsprechend zunehmen, damit L gleich bleibt.

Das genau beschreibt das 2.Keplersche Gesetz: 

Es ist also der Drehimpulserhaltungssatz.

Mathematischer Exkurs:

Wir wollen die Sprechweise von Kepler begründen: Der Fahrstrahl des Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

                                                            wikipedia common

Wir nehmen eine winzig kleine Zeit Δt. Der Planet legt auf seiner Bahn die Strecke Δs = v * Δt zurück.

Damit haben wir eine Seite des Dreiecks, das näherungsweise rechtwinklig ist.

Dann ist die Fläche des Dreiecks ΔA = 1/2 * Basis * Höhe = 1/2 *r * Δr = 1/2 * r * v * Δt

Da L = m*r*v ist, können wir auch schreiben:

ΔA = 1/2 * L/m * Δt

Damit ergibt sich: ΔA/Δt = 1/2*L/m

ΔA/Δt ist eine Flächenänderung pro Zeit, das kann man als Flächengeschwindigkeit beschreiben.

Wenn also der Drehimpuls L konstant ist, dann muss die Flächengeschwindigkeit der Planetenbahn immer gleich sein, d.h. in gleichen Zeiten muss der Fahrstrahl gleiche Flächen überstreichen.

Faszinierend, wie Kepler die Drehimpulserhaltung gefunden hat, ohne den Begriff Drehimpuls zu kennen....

Ende mathematischer Exkurs

Kommen wir noch zum 1.Keplerschen Gesetz:

Da sich die Anziehungskraft der Sonne zeitlich nicht ändert (wir nennen das eine konservative Kraft), muss der Energieerhaltungssatz gelten.

Damit kann man zeigen, dass je nach Gesamtenergie E nur die folgenden Bahnformen vorkommen können:

E = 0:  Parabelbahn

E > 0:  Hyperbelbahn

E < 0: Kreisbahn oder Ellipsenbahn.

Und das ist letztlich Keplers erstes Gesetz.

                                                                   nach wikipedia common

Wenn man annimmt, dass der Planet auch die Sonne  anzieht, dann hat man ein sogenanntes Zwei-Körper-Problem vor sich liegen. Das kann man auch gut berechnen.

Sobald aber drei Massen oder mehr vorkommen, sind die Bahnen nicht berechenbar, sie können nur näherungsweise im Computer simuliert werden.

P 108: Gravitationskonstante: Ist sie wirklich konstant?

 19.5 Die Gravitationskonstante

Letztlich hat Newton ja "nur" herausgefunden, dass die Schwerkraft proportional zu M*m/r² ist.

Die Proportionalitätskonstante G, die Gravitationskonstante, konnte er nicht angeben, da er seiner eigenen (guten!) Massenschätzung der Erde nicht getraut hat.

Über  100 Jahre später, 1798 war die Messtechnik so verbessert, dass Cavendish eine Gravitationswaage bauen konnte, mit der er die Schwerkraft zwischen Massen direkt messen konnte.

Er wollte eigentlich nur die mittlere Dichte der Erde bestimmen, die Gravitationskonstante war ein By-Produkt.

Die Grundidee: Man hänge zwei Massen (Bleikugeln mit etwa 0,1 kg) an einer Balkenwaage auf, die über einen Torsionsfaden gehalten wird.

Bringt man nun  zwei größere Massen so an, dass sie die kleinen Massen anziehen und den Draht verdrillen, so kann man aus der Drehung das Drehmoment und damit die Gravitationskraft berechnen.

Die geringen Drehbewegungen macht man über einen Spiegel sichtbar, der an dem Faden befestigt ist.

Ein von ihm reflektierter Lichtstrahl vergrößert die Bewegung, man sieht den Lichtfleck auf einer weit entfernten Wand richtig wandern.

Die Auswertung ist nicht einfach, insbesondere wenn man G aus der Periodendauer eine Schwingung bestimmt.

Schüler von mir haben aber folgendes Experiment aufgebaut:

An einem dünnen Stahldraht, der durch sehr langes Hängen mit einer großen Masse entdrillt wurde, haben sie den Versuch nachgebaut. Als Masse haben sie zwei große Tonnen mit Wasser genommen und kleine Kugeln an eine selbstgebaute Balkenvorrichtung gehängt.

Sie konnten wirklich, verstärkt durch einen Lichtzeiger, die Drehbewegung sichtbar machen.

Die Bilder aus wikipedia zeigen schön die Idee und den originalen Versuchsaufbau:

Ein sehr schönes Video hierzu:

Auch auf leifiphysik wird das sehr gut erklärt:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/gravitationsgesetz-und-feld/versuche/gravitationsdrehwaage

Messung der Gravitationskonstante

Lange Zeit war es auf diese Art nur möglich, Gravitation bei großen Massen und größeren Abständen zu bestimmen.

Aber wie verhält sich Gravitation im Abstandsbereich unter einem mm?

Ein ehemaliger Schüler von mir (Jonas Schmöle) hat dazu die Machbarkeitsstudie eines Experimentes entwickelt, das inzwischen auch durchgeführt wurde. Er erhielt 2018 den Hans-  Thirring - Preis der Universität Wien.

Die Durchführung hat dann Prof. Aspelmeyer in Wien gemacht: Er hat mit Massen von 91 mg und Abständen von wenigen mm gearbeitet und damit die Gravitationskonstante bestimmt.

Die Bewegungen fanden im Naometer-Bereich statt, die Kräfte lagen bei einem Billionstel Newton.

Sein Wert lag etwa 9% unter dem bisher angenommenen Wert. Ob das Zufall ist oder ob die Gravitation für kleine Massen und Abstände kleiner wird, das will er mit Messungen im atomaren Bereich herausfinden.

Die Bilder zeigen den Aufbau seiner Apparatur als Skizze und im Original (Universität Wien, nature)

Und zum Schluss noch mal der Literaturwert (für große Massen und Abstände):

G = 6,67 * 10^(-11)  N/kg² * m²

Im nächsten Post erfahren wir, dass das Gravitationsgesetz nicht jedes Verhalten von Massen deuten kann und dass man zu seiner Rettung eine Dunkle Materie erfinden muss....

Übrigens: Es lohnt sich noch mal in das Kapitel 11 zu schauen: "Was ist Masse?"

P 107: Wie weit ist der Mond entfernt?

 19.4.3 Bestimmung der Entfernung  Erde-Mond

Ich möchte zwei grundlegende Methoden kurz vorstellen.

Beginnen wir mit der einfachsten Methode, einer Laufzeitmessung:

- Fliege zum Mond und stelle dort einen großen Spiegel auf.

- Nimm einen schnell gepulsten (warum?) Laserstrahl und lenke ihn über ein Fernrohr auf den Spiegel, der auf dem Mond ist.

- Miss die Zeit zwischen Absenden eines Laserpulses und Registrieren des reflektierten Pulses.

- Multipliziere die Hälfte  (warum?) dieser  Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit und du hast die Entfernung zwischen Fernrohr und Spiegel.

- Aus der so erhaltenen Entfernung kannst Du über den Winkeldurchmesser der Mondscheibe leicht den Durchmesser des Mondes bestimmen und damit ist Dir der Abstand der Mittelpunkte von Erde und Mond bekannt. 

Das wird heute so gemacht. Schon die ersten Astronauten von Apollo11 hatten deshalb 1969 einen großen Spiegel dabei....Man spricht von lunar laser ranging...die Dauer der Laserpulse liegt bei 200 Picosekunden, die Laufzeit des Pulses bis zur Registrierung liegt bei etwa 2,6 Sekunden.

Damit kann man die Mondentfernung auf etwa einen Zentimeter  genau vermessen.

Der mittlere Wert liegt bei 384400 km. Da die Mondbahn eine Ellipse ist, kommt der Mond uns bis zu 356 400 km nahe. Sein größer Abstand liegt bei 406800 km.

Für unsere Mondrechnung arbeiten wir mit dem Mittelwert, da wir ja eine Kreisbahn annehmen.

Die zweite Methode beruht auf der sog. Parallaxe:

Man peilt den Mond aus unterschiedlichen Orten der Erde aus an und bestimmt die Winkelverschiebung gegen den Hintergrund der weit entfernten Sterne.

Ihr könnt die Idee leicht selbst ausprobieren:

Streckt euren Arm aus und peilt einen Finger mal mit dem rechten, mal mit dem linken Auge an. Ihr seht, wie der Finger sich vor dem entfernten Hintergrund verschiebt. Die Verschiebung wird um so größer, je näher ihr den Finger an das Auge holt.

Jede Parallaxenmessung benötigt eine bekannte Basislänge. Bei euch wäre das der Abstand der Augen.

Für die Mondentfernung muss man eine Strecke auf der Erde wählen, dazu muss der Erdradius bekannt sein und die Erde auch vermessen sein.

Die Trigonometrie dazu ist nicht einfach.

Das wird für euch keine Rolle im weiteren Unterricht spielen, deswegen gehen wir nicht näher darauf ein.

Aber in leifiphysik habe ich eine sehr gut vorgerechnete Methode gefunden:

https://www.leifiphysik.de/astronomie/sternbeobachtung/ausblick/mondentfernung-durch-triangulation

Zur Mondentfernung

Das Bild dazu solltet ihr euch auf alle Fälle mal ansehen, dann wird die Methode im Prinzip klar:

Damit haben wir jetzt alle Daten zusammen, die man zur Ausführung der Newtonschen Mondrechnung braucht.

Um aber die Gravitationskraft selbst Ausrechnen zu können, benötigt man die Gravitationskonstante. Wie diese gemessen wir, erkläre ich im nächsten Post.

P106: Wie groß ist die Erde?

 19.4.2 Bestimmung des Erdradius

Wir benötigen den Erdradius für die Bestimmung der Mondentfernung.

Die klassischen Verfahren beruhen auf einer einfachen Beobachtung:

Wenn wir auf der Erdoberfläche längs eines Längengrades immer weiter  nach Norden gehen, sinkt die Sonne am Himmel.

Wenn wir also bei verschiedenen geographischen Breiten, den Unterschied der Mittagshöhen der Sonne messen, so ist dieser gleich dem Breitenunterschied.

Wenn also am Äquator die Sonne im Zenit steht, dann muss sie am Nordpol im Horizont stehen (90° Unterschied).

Die Breitengrade sind auf der Erdoberfläche gedachte parallel Kreislinien, die jeweils 111 km zwischen zwei ganzen Breitengraden Abstand haben.

Durch die Beobachtung der Sonnenhöhe oder die Höhe des Polarsternes bei einer Breitenänderung längs eines Längengrades kann man schnell herausfinden, welche Strecke man auf der Erdoberfläche für eine Änderung von 1° in Breite zurücklegen muss: Es sind 111,3 km.

Nun kann man die Verhältnisgleichung aufstellen:

1°/360° = 111,3 km / (2πR), wobei R der Radius der Erdkugel ist.

Dabei kommt man auf R =6371 km (wenn man genauere Werte benutzt).

Zwei historische Methoden möchte ich ansprechen:

Al-Biruni hat auf einem Berg bekannter Höhe den Winkel zum Horizont am Fuß des Berges gemessen und daraus den Erdradius recht gut bestimmt.

Berühmt geworden ist die Idee von Eratosthenes, 220 Jahre vuZ:

Er hat durch Zufall beobachtet, dass am 21.3. (Frühlingsanfang) sich die Sonne im Brunnenwasser des Brunnens zu Syene spiegelt, sie also genau über ihm stehen muss.

Er wusste von früheren Reisen, dass zu der Zeit ein Obelisk in Alexandria einen Schatten wirft.

Aus der bekannten Höhe des Obelisken konnte er aus der Schattenlänge ausrechnen, dass die Sonne in Alexandria am 21.3. um 7,2° neben dem Zenit steht.

Da Alexandria und Syene auch etwa auf dem gleichen Längengrad liegen (um das zu überprüfen braucht man eine Uhr...), musste der Breitenunterschied beider Städte 7,2° betragen.

Die beiden Städte selbst sind 7000 Stadien (damaliges Längenmaß) voneinander entfernt. 1 Stadion sind etwa 157,5 m.

Berechne mit diesen Angaben den Erdradius (Antwort: 6267 km) und zeige, dass dieser Wert nur 1,6% vom richtigen Wert entfernt liegt.

                  Abbildung Lutz Clausnitzer

Damit hat die Vermessung der Erde begonnen.

Mit einer vermessenen Erde kann man nun die Mondentfernung bestimmen.

P 105: Wie lange ist ein Monat?

 19.4 Wie Newton die notwendigen Daten bekommt

19.4.1 Die Umlaufszeit des Mondes

Zur Berechnung der Bahngeschwindigkeit benötigen wir die Umlaufszeit des Mondes um die Erde.

Wir haben einen Monat etwa danach festgelegt, wie lange es von einem Neumondmond zum nächsten dauert. Das sind rund 29,5 Tage. Man nennt das die synodische Umlaufszeit.

Die wahre Umlaufszeit muss aber auf die Sterne bezogen werden, sie heißt deshalb siderische Periode Psid.

Nach 27,3 Tagen steht der Mond von uns aus betrachtet, wieder genau in Richtung eines bestimmten Sternes.

In dieser Zeit hat sich aber die Erde weiter um die Sonne bewegt. Deshalb muss der Mond noch etwas weiter um die Erde laufen, um wieder in die Neumondstellung zu kommen. Das sind die 2,2 Tage, die bis zur synodischen Periode Psyn fehlen.

                                                   Bild: Universität Wien                     

Mathematik dazu:

360°/Psid = 13,2°/Tag  legt der Mond täglich auf seiner Bahn zurück (in Grad angegeben).

360°/365Tage = 0,99 °/Tag  legt die Erde täglich auf ihrer Bahn um die Sonne zurück, bzw. die Sonne am Himmel.

Die Differenz beider Winkel/Tag muss genau den Winkel ergeben, den der Mond pro Tag relativ zur Sonne am Himmel zurücklegt, das sind 360°/Psyn, also 12,2°/Tag.

Damit erhält man die Formel:

360°/Psyn = 360°/Psid - 360°/365Tage

Wir teilen beide Seiten durch 360° und erhalten:

1/Psyn = 1/Psid - 1/365Tage

Diese Formel kannte Newton und er konnte aus der Zeit zwischen zwei Neumonden (Psyn) die richtige Umlaufszeit des Mondes Psid ausrechnen.

Überprüft das mal! Hier müsst natürlich die synodische Periode in tagen angeben und erhaltet dann die Tage der siderischen Periode.

Physik dazu:

360°/P nennen wir eine Winkelgeschwindigkeit ω, ein gedrehter Winkel pro Zeiteinheit (hier Tag).

Die scheinbare Winkelgeschwindigkeit des Mondes relativ zur Erde (360°/Psyn) ist gleich der Differenz der Winkelgeschwindigkeiten des Mondes und der Erde auf ihren jeweiligen Bahnen.

Ganz einfach formuliert: Die Geschwindigkeit meines Autos relativ zu einem LKW ist die Differenz meiner Geschwindigkeit relativ zur Straße zur LKW-Geschwindigkeit relativ zur Straße. Daran ändert sich auch nichts, wenn wir alle im Kreis fahren.

Auch so kann man die Formel verstehen.

P104 Er hätte noch besser sein können...

Bitte erst die Aufgaben in P103 lesen und zumindest überdenken! 

Über die Lösungen der Aufgaben kommen wir zum Gravitationsgesetz:

a(R) ist die Fallbeschleunigung eines Körpers im Abstand R vom Erdzentrum, also an der Oberfläche. Den Wert kennen wir, den haben wir schon gemessen: g = 9,81 m/sec²

Wir könnten jetzt übrigens die Geschwindigkeit ausrechnen, mit der ein Körper unmittelbar an der Oberfläche um die Erde kreisen müsste, ohne herunter zu fallen: v² = g*R. Wir würden, wenn wir g und den Erdradius einsetzen v = 7,9 km/sec erhalten, das sind 28460 km/h.

Um die Fallbeschleunigung des Mondes, also seine Zentralbeschleunigung, zu bestimmen, müssen wir erst einmal seine Bahngeschwindigkeit kennen:

v = 2*π*r / P, dabei ist P = 27,3 Tage = 2358720 sec und r = 384000 km.

Wir erhalten v = 1,02 km/sec.

Damit erhalten wir nun die angegebene Zentralbeschleunigung am Ort der Mondbahn: 

a(r) = 0,0027 m/sec².

An der Erdoberfläche ist a(R)=g = 9,81m/sec²

Das Verhältnis a(R)/a(r) ist 33633, das ist ungefähr 60²!

Newton fiel auf, dass der Mond etwa 60 Erdradien vom Mittelpunkt der Erde entfernt ist:

r/R = 60

Damit ist r²/R² = 3600 = a(R)/a(r).

Das können wir umstellen: a(r) = a(R) * R²/r² = g* R² * 1/r²

Die Zentralbeschleunigung nimmt also mit dem Quadrat der Entfernung ab: a(r)~1/r².

Newton hat sinnvollerweise vermutet, dass die Zentralbeschleunigung natürlich proportional zur Masse des anziehenden Körpers ist, hier also zur Masse M der Erde.

Also hat er die folgende Proportionalität aufgestellt:

a(r) ~ M/r².

Durch Einfügen einer Proportionalitätskonstante kann man daraus eine Gleichung machen. Wir nennen die Konstante G, denn es ist die Gravitationskonstante:

a(r) = G*M/r².

Ihr seht übrigens, dass die Masse des fallenden Körpers keine Rolle spielt: Alle Körper fallen gleich schnell. An der Erdoberfläche können wir einen Schlüssel fallen lassen und weit draußen,  bei 384400 km, einen ganzen Mond...oder umgekehrt...

Nun müssen wir noch mit der Masse m des Mondes multiplizieren und erhalten die anziehende Kraft, die diese Zentralbeschleunigung hervorruft ( für die Kraft spielt die Masse des fallenden Körpers eine Rolle, das ist ja an der Erdoberfläche die Gewichtskraft):

F = m*a(r) = G * M * m / r²

Das ist Newtons berühmtes Gravitationsgesetz.

Rechnen konnte er damit nicht, denn er kannte die Gravitationskonstante nicht. Noch heute haben wir keine Theorie, die uns eine Berechnung gestattet.

Hätte Newton die Masse der Erde gekannt, dann hätte er G auch ausrechnen können. Er hätte als Abstand den Erdradius R genommen und als Beschleunigung die Fallbeschleunigung g.

Hätte...ja, er hat sogar!

Aus der Dichte der Gesteine und der Größe der Erde hat er sehr gut die Erdmasse abgeschätzt, sehr dicht am heutigen Wert. Aber er hat dieser Schätzung nie vertraut und damit die große Chance vertan, die Kräfte selbst auszurechnen.

Wie man 100 Jahre später die Gravitationskonstante gemessen hat, erfahren wir bald.

G ist eine winzig kleine Zahl, denn die Gravitation ist die schwächste aller Kräfte:

G = 6,6 * 10^-11 N*m²/kg² 

Das wir trotzdem unser eigenes Gewicht spüren, liegt nicht nur an unserem dicken Bauch, sondern an der gewaltigen Masse der Erde: Es braucht schon einen ganzen Planeten, damit wir etwas wiegen...

Wir kennen G auch nur für große Massen und große Abstände. Erst vor einem Jahr ist G im Bereich von mm-Abständen gemessen worden. Und da wir nicht wollen, dass das Gravitationsgesetz bei kosmischen Abständen seine Gültigkeit verliert, haben wir die Dunkle Materie erfunden.

Auch darüber bald mehr...

Wie geht es weiter?

Wir haben jetzt das Gravitationsgesetz gefunden, so ganz nebenbei wichtige Informationen über Kreisbewegungen erfahren.

Noch aber haben wir nicht besprochen, wie man die notwendigen Hilfsgrössen Erdradius, Mondumlaufszeit und Mondentfernung  bestimmt. Die kannte ja Newton schon, sonst hätte er nicht das Verhältnis der Zentralbeschleunigungen bilden können.

Dazu solltet ihr ja recherchieren...

Wir behandeln das in den nächsten Posts.

Abschließend geht es dann an die Messung der Gravitationskonstanten. Und zum Schluss erfahren wir etwas über die Dunkle Materie.

P103: Der große Wurf

 Wir haben im letzten Post gelernt, wie man durch eine geschickte Zerlegung der Kreisbahn des Mondes eine Formel für die Zentralbeschleunigung a(r)  herleiten kann. Mit dieser Beschleunigung, wir nehmen an, dass sie vom Abstand r abhängt, fällt der Mond ständig auf die Erde zu. Da er aber eine zusätzliche gleichförmige Tangentialbewegung ausführt, fällt er auf einer Kreisbahn and er Erde vorbei.

Hier nochmal die Formeln:

Zentralbeschleunigung a(r) = v²/r

Zentralkraft F(r) = m*a = m*v²/r

F(r) ist die Kraft, mit der die Erde den Mond mit der Masse m anzieht.

In den nächsten Posts werden wir lernen, wie Newton die notwendigen Daten erhalten hat. Ihr solltet dazu ja mal eine Recherche beginnen.

Ich denke, es ist aber einfacher für euch, wenn wir jetzt diese Daten einfach nachschlagen und Newtons weiteren Weg aufzeigen.

Danach werden wir dann lernen, wie man die notwendigen Daten des Mondes erhalten kann.

19.3 Newton findet das Gravitationsgesetz

Ich möchte Dich Schritt für Schritt anleiten, einmal Newtons Weg selbst zu finden:

Aufgabe 1:

Erläutere die Formel: a(R) = g, wobei R der Erdradius ist.

Aufgabe 2:

Um die Fallbeschleunigung a(r), also die Zentralbeschleunigung (denn der Mond fällt ja auf das Zentrum seiner Bahn zu) berechnen zu können, benötigen wir die Bahngeschwindigkeit v und den Mondabstand r.

Mondabstand r= 384400 km

Umlaufszeit: P = 27,3 Tage

Da wir ja eine Kreisbahn annehmen, kannst Du jetzt die Bahngeschwindigkeit ausrechnen.

Berechne damit die Bahngeschwindigkeit v.

Übrigens: Wundere Dich nicht über die Umlaufszeit des Mondes von 27 Tagen. Das ist weniger als die Zeit zwischen zwei Vollmonden von 29,5 Tagen. Diesen Unterschied kannte Newton, wir werden ihn in einem Extrapost besprechen.

Aufgabe 3:

Nun kannst Du die Fallbeschleunigung des Mondes ausrechnen.

Es sollte herauskommen: a(r) = 0,0027 m/sec².

Aufgabe 4:

Vergleiche diesen Wert mit g = 9.81 m/sec², der Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche.

Warum darfst Du diesen Vergleich machen? Mir fällt doch höchstens mein Schlüssel aus der Hand, aber nicht der Mond...?

Vielleicht hilft Dir der Radius der Erde weiter: R = 6371 km.

                                                       Kronberggynasium Aschaffenburg

Aufgabe 5:

Fällt Dir was auf?

Kannst Du eine Aussage darüber treffen, wie die Gravitationskraft der Erde mit wachsendem Abstand r vom Erdzentrum sich verändert?

Wenn ja, dann bist Du kurz davor, das Gravitationsgesetz hinzuschreiben. Du brauchst nur noch etwas Mut...

Über all das sprechen wir im nächsten Post...aber versuchs doch mal selbst.

P102: Nun fällt uns auch noch der Mond auf den Kopf...

 Klären wir erst einmal einige der Fragen:

Eine wirklich geniale Leistung von Newton war, dass er annahm, auch der Mond wird von der Erde angezogen und muss deshalb auf die Erde zufallen.

Vor Newton gab es eine deutliche Trennung zwischen Erde und Himmel: Auf der Erde war der Mensch zuständig, und auch Naturwissenschaftler durften etwas über das sagen, was auf der Erde passiert.

Für den Himmel aber war ein Gott zuständig. Der konnte machen was er (oder sie?) wollte.

Und nun behauptet Newton doch tatsächlich was anderes: Auch im Himmel gelten die Gesetze der Erde, die die der Mensch dort findet. Der Himmel ist nichts besonderes mehr, die himmlische Welt unterliegt irdischen Regeln.

Also, auch der Mond fällt runter.

Warum trifft er nicht? Ganz einfach, weil er ständig vorbeifällt....

Der Mond hat bei seiner Entstehung eine Geschwindigkeit v bekommen, die ihn so von der Erde wegführt, dass er durch die Fallbewegung immer wieder auf seine Bahn zurückfällt.

We groß diese Mond-Fallbeschleunigung a ist, das müssen wir ausrechnen. Auch kennen wir keine Regel für die Bestimmung der "Ausgleichsgeschwindigkeit" v. Die müssen wir am Mond messen.

Und wenn wir dann damit herausfinden, wie die Fallbewegung des Mondes schwächer würde, wenn er weiter weg wäre, dann haben wir das Gravitationsgesetz gefunden.

Das ist  noch ein langer Weg...

19.2 Stufenweise zur Zentralbeschleunigung

Ich skizziere einmal Newtons Idee:

Wir sehen die Kreisbahn des Mondes mit dem Radus r  (ja, wir wissen er hat eine Ellipsenbahn, aber diese Vereinfache soll uns helfen, die Idee zu verstehen!).

Wir zerlegen die Kreisbewegung (das dürfen wir ja nach dem Unabhängigkeitsprinzip):

In einem sehr kurzen Zeitraum führt er eine gleichförmige tangentiale Bewegung aus (rot) und eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung (grün).

Da die Tangente rechtwinklig auf dem Radius steht, dürfen wir den Satz des Pythagoras anwenden

 (a² + b² = c²) und lassen nun alles weg, was so klein ist das es nicht stört (für Nerds: Wir führen einen Grenzübergang durch) und schon sind wir beim gewünschten Ergebnis.

Macht das erst einmal selbst...bevor ihr weiterlest.

Was sagt uns diese Formel aus?

Wir werden a bald Zentralbeschleunigung kennen und F = m*a = m*v²/r die Zentralkraft.

Solche Kräfte spielen in der Q-Phase bei Bewegungen in elektrischen und magnetischen Feldern eine große Rolle.

So, jetzt seit ihr dran...

Wir wollen a berechnen. Heute ist das kein Problem...man googelt die nötigen Werte nach.

Macht das erst einmal.

Aber Newton hatte kein Google der musste die Werte für v und r anders herausbekommen. Vielleicht findet ihr dazu ja bei Google auch Angaben oder Hinweise.

P101: Der Apfel fällt nicht weit vom Stamm

 Teil 4: Alles dreht sich

Ein wichtiger Teil der Mechanik sind Drehbewegungen oder Eigendrehungen von Gegenständen. Die Begriffe hat man sogar in die Atomphysik übernommen und spricht vom Spin der Elektronen, obwohl sich da überhaupt nichts dreht...

Aber der Spin der Elektronen sorgt dafür, dass eure Zettel mit kleinen Magneten am Kühlschrank haften. Er ist die Ursache der Magnetfelder von Permanentmagneten.

Endlich mal eine alltagsrelevante Anwendung...

19. Das Gravitationsgesetz

In diesem Kapitel wollen wir einen Weg kennenlernen, mit dem Newton sein Gravitationsgesetz gefunden haben könnte.

Dass er das wirklich so gemacht hat, wird bezweifelt....die Geschichte vom inspirierenden Apfelfall ist wohl nur eine Anekdote. Aber sie wird uns inspirieren.

Übrigens hat Newton diese Anekdote am 15.4.1726, ein Jahr vor seinem
Tod 1727, seinem Biographen William Stukely selbst erzählt. 

                                             Bild: WDR

Dass eine Gravitationskraft eine Kreisbahn hervorrufen kann (und deshalb steht dieses Kapitel am Anfang von Teil 4: Alles dreht sich), hat Newton eher militärisch gefunden: Was passiert, wenn man eine Kanone immer stärker macht, so dass die Kugel mit immer größerer Geschwindigkeit fortfliegt?

Vielleicht ist  auch das nur eine Anekdote. Es scheint aber sicher zu sein, dass Newton sein Gravitationsgesetz aus den schon vor ihm bekannten Keplerschen Gesetzen der Planetenbewegung herleiten konnte.

Wir gehen einen etwas anderen Weg und werden dann umgekehrt  zeigen, wie wir die Keplerschen Gesetze aus dem Gravitationsgesetz gewinnen können.

Auf unserem Weg werden wir aber auch, so wie Newton damals, die notwendigen Monddaten benötigen.

Wir werden lernen, wie man Abstand, Umlaufszeit und Bahngeschwindigkeit des Mondes erhält.

Zusammen mit Informationen zur Bestimmung der Gravitationskonstanten und einem Ausblick auf moderne Erkenntnisse (Gravitation bei kleinen Abständen, Dunkle Materie) werden wir uns mit einer ganz wichtigen Anwendung beschäftigen: Newtons Gesetz ist eine der ganz wenigen Möglichkeiten Massen von Sternen und Schwarzen Löchern zu bestimmen.

Dieses Kapitel zeigt die Anstrengungen von Menschen über 2500 Jahre hinweg...an dessen Ende die Massenbestimmung des Schwarzen Loches in unserer Galaxis steht.

An Newtons Mondrechnung (so nennt man dieses Vorgehen) erfahren wir 2500 Jahre Wissenschaftsgeschichte.

Viele der Themen hier stehen nicht unmittelbar im Zusammenhang mit Abiturprüfungen.

Obwohl, es gab mal eine Aufgabe, die an die Newtonsche Mondrechnung angelehnt war.

Aber alles, was wir hier lernen, wird in ähnlicher Form bei Bewegungen von Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern und in der Atomphysik benötigt.

19.1 Die Geschichte vom fallenden Apfel

Es ist Abend im Sommer 1665. Der damals 22-jährige  Newton entspannt sich, mit dem Rücken an den Stamm eines Apfelbaumes gelehnt. Da fällt ihm ein Apfel auf den Kopf....Autsch... ganz schön wirkungsvoll diese g = 9,81 m/sec².

Und der Apfel fällt immer runter, nie zur Seite oder gar nach oben. Er muss also von der Erde angezogen werden.

Alle Massen fallen gleich schnell...das wusste Newton schon vom Galilei...Und der Mond, der so schön auf diese Szene leuchtet? Wird er nicht auch von der Erde angezogen?

Müsste er nicht auch mit g = 9,81 m/sec² auf die Erde fallen?

Zwei Fragen tauchen erst einmal auf: Offensichtlich fällt der Mond so nicht auf die Erde...was macht er aber dann?

Und wenn die  Schwerkraft der Erde auch den den Mond anzieht, ist sie  dann genau so groß wie hier auf ihrer  Oberfläche?

Ganz offensichtloch tauchen insgesamt die  folgende Fragen auf:

- Fällt auch der Mond auf die Erde?

- Wenn ja, warum trifft er nie?

- Wenn ja, mit  welcher Beschleunigung fällt der Mond?

- Wie ändert sich die Fallbeschleunigung mit dem Abstand?

Fallen euch noch weitere Fragen ein?

Versucht einmal eigene Antworten zu geben, natürlich noch ohne Formeln. Aber vielleicht habt ihr schon zumindest qualitativ Vorstellungen.

Hinweis zu einer Postserie als Ergänzung zum Unterricht

 Eigentlich wollte ich ja nur eine Extraseite schreiben, auf der ich zeige, welche Bedeutung die Newtonsche Mechanik für die Konzepte der modernen Physik hat.

Nach der Recherche stelle ich fest, das gibt keine Extraseite, das gibt einen Extra-Blog...

Ich lade euch ein, auf meiner Homepage en neuen Blog Von Newton zu... zu besuchen.

- Von Newton zur Quantenmechanik

- Von Newton zur Allgemeinen Relativitätstheorie

- Von Newton zur Quantenfeldtheorie

- Von Newton zur Speziellen Relativitätstheorie

- Von Newton zur Kosmologie

Später wird es dazu auch Videos geben im neuen FutureSpace Videokanal bei YouTube.

Also schaut mal über  den Rand des Schulunterrichts, der erste Post ist online ...

https://www.natur-science-schule.info/von-newton-zu

Von Newton zur modernen Physik

P 92: Definition der Kraft

 16.5 Newtons berühmte Formel F = m*a

Wir haben gesehen, dass die Impulsstromstärke Δp/Δt sich als Produkt der (trägen) Masse und der erwirkten Beschleunigung a schreiben lässt:

Δp/Δt = m*a

In einer Aufgabe haben wir sogar gesehen, dass Δp/Δt bei einem Fallversuch sogar der Gewichtskraft entspricht, die man aus der Mittelstufe kennt.

Deswegen liegt es nahe:

Definition:

Unter einer Kraft verstehen wir die Stärke des übertragenen Impulsstromes Δp/Δt.

Machen wir uns das plausibel:

Wann ist der Impulsstrom besonders groß? Wenn wir viel Impuls in kurzer Zeit übertragen (großer Zähler, kleiner Nenner)!

Praktisch ausgedrückt: Schell und heftig gegenboxen...das nennen wir im Alltag: Eine starke Kraft ausüben.

Die Kraft wirkt also nur während wir den Impuls übertragen, also während der Impulsstrom zwischen dem einwirkenden und dem bekommenden Körper fließt.

Der Impulsstrom überträgt natürlich einen Schwung in eine bestimmte Richtung. Und er geht auch von einem Körper aus und tritt am Angriffspunkt der Kraft in den anderen Körper ein.

Also gilt: 

F = Δp/Δt

Außerhalb des Schulunterrichtes gibt es auch die Größe F*Δt  = Δp. Die nennt man auch einen Kraftstoß, da die Kraft F nur in der Zeit Δt wirkt.

                                                    credit: leifiphysik

Nun haben wir für das zweite Newtonsche Axiom sogar eine Formel:

    F = m*a

Dazu gleich einige  Übungsaufgaben:

1) Ein Auto fährt mit einer Beschleunigung von 6 m/sec² an. Mit welcher Kraft wird der Fahrer der Masse 75 kg in den Sitz gedrückt?

2) Welche Geschwindigkeit erhält ein Fußball der Masse 0,5 kg, wenn er mit einer Kraft von 500 N getreten wird? Der Kraftstoß soll 0,02 sec dauern.

3) Kann man eine Rakete der Masse 500 kg aus einem 100 m langen Kanonenrohr abschießen?

Die notwendige Startgeschwindigkeit beträgt 11,2 km/sec.

4) Mit welcher Kraft zieht die Erde eine 2 kg Kugel an?

     Mit welcher Kraft zeigt die Kugel die Erde an?

     Welche Beschleunigung bekommt die Kugel durch die Erde?

     Welche Beschleunigung bekommt die Erde durch die Kugel (Erdmasse 6*10^24 kg).

    Sag was zum Ergebnis....

P 91: Der Kreis schließt sich

 In diesem Post möchte ich die Lösungen der Aufgaben aus dem letzten Post vorstellen:

Aufgabe 1:

a) In beiden Fällen erhält man die gleiche Endgeschwindigkeit, nämlich v = p/m = 80 m/sec. Es spielt also logischerweise keine Rolle, in welcher Zeit der Impuls zugefügt wird.

b) Die Beschleunigungen unterscheiden sich natürlich.  Wenn ich 80 m/sec erreichen will, ist es schon ein Unterschied, wenn ich das in 2 sec oder 4 sec machen soll...also sind die Beschleunigungen a = v/t:

   40 m/sec² für den ersten  Fall und 20 m/sec² für den zweiten Fall.

c) Für die Impulsstromstärke ist die Zeit logischerweise  auch wichtig:

Führt man 800 Hy in 2 sec zu, so hat man eine Impulsstromstärke von 400 Hy/sec

Lässt man sich 4 Sekunden Zeit, so sind es 200 Hy/sec.

d) Wenn man sich die Zahlen ansieht, stellt man fest, dass man nur die Beschleunigung mit der Masse multiplizieren muss und erhält die Impulsstromstärke:

 Δp/Δt = m * a

Mathematischer Einschub:

Bald könnt ihr differenzieren. Dann lernt ihr, dass für sehr kleine Zeiträume   Δt   der Bruch Δp/Δt gegen die Steigung der Funktion p(t) strebt. Da p aus einem Produkt besteht, muss man beim Differenzieren die Produktregel anwenden.

Ich schreibe für die erste Ableitungsfunktion dp/dt statt p`:

dp/dt = d(m*v)/dt = m*dv/dt + v *dm/dt

Nur in d er Relativitätstheorie kann die Masse sich mit dem Impuls verändern, ansonsten ist dm/dt = 0 und wir erhalten:

dp/dt = m*dv/dt = m*a,

denn die Steigung der Funktion v(t) ist die Beschleunigung.

Um das mathematisch korrekt zu beschreiben, hat Newton auch die Differenzialrechnung eingeführt.

Wir sehen, dass unser Weg auch eine relativistisch korrekte Form für die gesuchte Formel ergibt.

Das werden wir aber nicht verfolgen.

Aufgabe 2:

Ein Körper fällt mit g = 10 m/sec² 3 Sekunden lang und erhält v(t) = g*t = 30 m/sec.

Da er 10 kg Masse hat, muss er also den Impuls p = m*v = 300 Hy vom Gravitationsfeld er Erde bekommen haben.

Das ergibt eine Impulsstromstärke Δp/Δt = 300/3 = 100 Hy/sec

 Den Wert erhält man auch, wenn man die Masse des Körpers mit der Fallbeschleunigung g multipliziert.

Also auch hier ist: Δp/Δt = m*g.

m*g aber haben wir kennengelernt als die Gewichtskraft der Masse m im Gravitationsfeld mit der Fallbeschleunigung g: F = m*g

1 kg entspricht etwa 100 N.

Es macht also Sinn, die Impulsstromstärke als Kraft zu bezeichnen, so wie es Newton und Max Planck auch gemacht haben und so wie es in der Relativitätstheorie zur richtigen Kraftgleichung führt.

Das machen wir konkret im nächsten Post.

Aufgabe 3:

Auch die Einheitenrechnung passt.
 [Δp/Δt] = kg*m/sec / sec = kg*m/sec² = [m*a]

Achtung: m steht hier für Meter, außer bei m*a, da ist m die Masse....!

Mit [ ... ] bezeichnet man die Einheit des in der eckigen Klammer stehenden Terms.

Wir sind kurz davor: 

F = m*a ist die berühmte Gleichung von Newton.

P 89: Kraft statt Schwung

 Ich denke, bis auf das dritte Axiom, ist euch die Umformulierung leicht gefallen.

Hier nun meine Formulierungen, zusammen mit drei schönen Animationen, die ich auf der Webseite des Physik Institutes der Humboldt Universität Berlin gefunden habe:

1.Newonsches Axiom (Trägheitsgesetz):

Ein Körper, auf den keine Kraft wirkt, ändert seine Bewegungsform nicht.

(Literaturformulierung: Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen  Bewegung, so lange keine Kraft auf ihn wirkt.)

2.Newtonsches Axiom (Beschleunigungsaxiom):

Ein Körper, auf den eine resultierende Kraft wirkt, wird beschleunigt.

(Literaturformulierung: Wirkt auf einen Körper eine Kraft, so wird er in Richtung der Kraft beschleunigt).

In der Regel wird jetzt sogar der Zusammenhang angegeben: F = m*a.

Ganz oft wird dieser Zusammenhang in der Schule durch komplizierte und schwer nachvollziehbare Versuchsaufbauten überprüft, oder gar herausgefunden.

Wir gehen einen anderen Weg. Wir fassen diese Formel als Teil der Definition von kraft auf und stellen den Zusammenhang so wie urspünglich Newton und später Max Planck über den Impuls her.

Das kommt im nächsten Post.

3. Newtonsches Axiom (Wechselwirkungsgesetz):

Bei zwei miteinander in Wechselwirkung stehenden Körpern treten Kräfte immer nur paarweise auf. Die Kraft, die Körper A auf B ausübt, wird von einer gleich großen entgegengesetzt gerichteten Kraft von B auf A begleitet.

Dieses Bild aus leifiphysik zeigt das Wechselwirkungsprinzip als Erklärung eines eher ungewöhnlichen Bootsantriebes, der im übrigen nicht allzu lange funktionieren wird....

Im nächsten Post werden wir nun einen Zusammenhang zum Impuls herstellen und so zu Newtons berühmter Formel F = m*a kommen.

P77: Von Newtons Oma ihr Porzellan...

 

Gehen wir erst einmal auf die am Ende des letzten Posts gestellten Fragen ein:

- Was passiert mit einem Körper, der sich bewegt, aber seinen Schwung nicht ändert?

Antwort: Nichts...er bewegt sich so weiter wie bisher...das nennen wir auch Trägheit!

- Was passiert mit einem Körper, der Schwung bekommt oder abgibt?

Antwort: Er muss schneller oder langsamer werden.

   Ganz konkret: In jeder Sekunde erhält ein Körper der Masse 5 kg genau  30 Hy. Um wieviel wird er jede Sekunde schneller?

Antwort: v = p/m = 30 Hy/ 5 kg = 6 m/sec

- Ein Körper A gibt einem anderen Körper B Schwung ab, z.B. durch einen Stoß. Was kannst Du über die Schwungmengen sagen, die A abgibt und die B aufnimmt?

Antwort: Wenn nichts verloren gehen kann, dann kommt das, was A abgibt bei B an.

   Es ist natürlich kein dritter Körper im Spiel.

Kannst Du die drei Antworten auf die Fragen zu einer Regel zusammenfassen?

Alle drei Fälle lassen sich aus dem Impulserhaltungssatz ableiten:

In abgeschlossenen Systemen bleibt die Menge des Impulses erhalten. Nur durch äußere Einflüsse kann Impuls verändert werden.

Im Einzelnen:

Wenn der Impuls in einem abgeschlossenen System erhalten bleibt, dann

- ändert sich der Schwung nicht, wenn man nichts macht

- muss man Schwung zuführen bzw. abführen, wenn man den Schwung ändern will.

- muss der Schwung, den man zuführt, irgendwo herkommen.

Nehmen wir mal an, ein Teich sei ein komplett abgeschlossenes System, ohne Verdunstung. Dann gilt für die Wassermenge im Teich:

- fließt nichts zu oder fließt nichts ab, bleibt die Wassermenge.

- wenn mehr Wasser im Teich sein soll, muss man Wasser reinkippen

- das Wasser was aus einem Eimer in den Teich reingekippt wird, ist genauso viel, wie das was im Teich ankommt (im Normalfall).

Formulieren wir nun unsere drei Axiome.

Was ist ein  Axiom?

Unter einem Axiom verstehen wir in der Physik Aussagen, die wir ohne Beweis oder Herleitung sofort als wahr anerkennen. Aus ihnen können dann andere Aussagen gefolgert werden.

Trägheitsaxiom:

Ein Körper, der seinen Schwung behält und nicht ändert, ändert seine Bewegungsform nicht.

Alle Körper sind träge!

Beschleunigungsaxiom:

Ein Körper, dessen Schwung sich ändert, wird beschleunigt.

Nicht vergessen: Beschleunigung beinhaltet auch Abbremsen und Richtungsänderungen.

Wechselwirkungsaxiom:

Zwei untereinander in Wechselwirkung stehende Körper tauschen Schwung aus. Dann gibt der eine Körper soviel Schwung ab, wie der andere bekommt.

Wir werden im nächsten Kapitel den Begriff Kraft näher kennenlernen und ihn wie Newton über den Impuls definieren.

Dann können wir die drei Fälle als Newtonsche Axiome so formulieren, wie sie in jedem Physikbuch stehen (und oft kaum verstanden werden).

Aber vorher wollen wir noch ein wenig mehr mit dem Impuls = Schwung arbeiten.

Aufgabe:

Holt Omas teures Porzellangeschirr aus dem Schrank, stellt es auf eine Tischdecke und zieht dann die Tischdecke ruckartig vom Tisch.

Was passiert? Und was hat das mit Schwung zu tun?

Eigentlich müsste doch der Schwung auch über die Tischdecke auf das Porzellan überfließen, so dass es mitgerissen wird und kaputt geht.

Wenn eure Oma hinterher noch mit euch redet, dann habt ihr den Versuch richtig durchgeführt.

Das Porzellan ist nicht in Schwung versetzt worden.

Wieso?

Damit ihr das auch richtig macht, schaut euch mal an, wie das Michel und Sven machen...

P 70: Dreierlei zum Zweiten

 Ich habe mal Stichworte in die Tabelle eingetragen:

Mir scheinen dabei ein paar Eigenschaften wichtig:

Für Schwung und Energie können wir Mengen angeben, für Kraft nicht. Da jede Substanz auch strömen kann, können somit Schwung und Energie als mengenartige Größen strömen.

Für jeden Strom kann man eine Stromstärke angeben, das ist eine Menge pro Zeit:

Wir kennen das von Verkehrsströmen (Anzahl der Autos pro Stunde), vom elektrischen Strom (Anzahl der Ladungen pro Sekunde, I = Q/t).

Wir werden bald sehen, dass die Schwungstromstärke das ist, was wir Kraft nennen und die Energiestromstärke das, was wir Leistung nennen.

Viele von euch kennen schon den Energieerhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System ist die Menge an Energie immer gleich groß. Ein System ist abgeschlossen, wenn es keine Wechselwirkung mehr mit der Umgebung hat.

Ob unser Kosmos abgeschlossen ist, wissen wir nicht. Somit ist auch nicht sicher, ob der Energieerhaltungssatz für den Kosmos gilt.

Dass unser Kosmos bei seiner Entstehung seine gesamte Energie erhalten hat, das können wir mit der modernen Quantenmechanik, besser der Quantenfeldtheorie, gut verstehen.

Das steht genauer in meinem Unterrichtsblog über Q3 und Q4 ("Was ist Licht?").

Da werdet ihr erfahren, dass im mikroskopisch kleinen Bereichen der Energieerhaltungssatz vorübergehend verletzt werden kann (Heisenbergsche Unbestimmtheitsbeziehung, Vakuumfluktuationen).

Nicht so bekannt ist der Impulserhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System ist die Menge des Schwunges immer gleich groß.

Damit werden wir lernen Stöße zu behandeln.

Die beiden Erhaltungssätze sind Erfahrungssätze. Aber seit der genialen Mathematikerin Emmy Noether (1882-1935) wissen wir, dass sich diese Erhaltungssätze aus Symmetrien von Raum und Zeit herleiten lassen.

Das gibt später bestimmt eine Extraseite, offenbaren sich daraus Grundprinzipien der Konstruktion unserer Welt.

Hier nur ein kurzer Hinweis:

Der Energieerhaltungssatz folgt direkt aus der Homogenität der Zeit, d.h. der Zeitpunkt eines Vorgangs spielt keine Rolle). Der Impulserhaltungssatz folgt aus der Homogenität des Raumes, d.h. es ist egal, wo die Bewegung stattfindet.

Zu Emmy Noether: Obwohl die Universität Göttingen ihre  Habilitation befürwortete, wurde ihr dies 1915 vom Staat versagt, da Frauen nicht Professorinnen sein dürften.

Wie gehen wir nun weiter vor?

Ich werde die Grundgrößen Energie, Impuls (Schwung) und Kraft nun einzeln genauer besprechen und die oben schon erwähnten Zusammenhänge begründen.

Dann sind wir in der Lage, die berühmten Newtonschen Axiome zu formulieren und durch ein einziges zusammenzufassen (den Impulserhaltungssatz).

Dann kommen wir wieder auf unser Badewannenbeispiel zurück...

In weiteren Kapiteln werden wir lernen, Bewegungsprobleme, wie die Wurfhöhe, ganz einfach mit dem Energieerhaltungssatz zu berechnen.

Einige einfache Beispiele zu Zusammenstößen soll uns die Anwendung des Impulserhaltungssatzes veranschaulichen.

P 65: Gut gefragt ist halb gewonnen

 12.2. Wie macht man Körper schneller oder langsamer?

12.2.1 Ausgangsfragen

Bei der Kinematik in den ersten Kapiteln haben wir uns mit  der Beschreibung von Bewegungen beschäftigt, jetzt bei der Dynamik wollen wir die Ursache für Bewegungen erforschen.

Stellt euch eine Kugel oder ein Auto oder ein Schiff vor.

Ihr sollt die folgenden Fragen mit den Begriffen Kraft, Schwung und Energie versuchen zu beantworten.

Was wir unter Kraft, Schwung und Energie verstehen wollen, das klären wir noch. Aber ihr alle habt grundlegende Vorstellungen davon in eurem Alltag.

Übung:

Verbindet diese Begriffe Kraft, Schwung, Energie mal mit den folgenden Verben:

ausüben, übertragen, hinzufügen, wegnehmen, geben, 

Nicht jedes Verb passt wirklich zu jedem Begriff.

Frage 1: Wie macht man einen Körper schneller oder bremst ihn ab?

Frage 2: Wie ändert man die Richtung eines sich bewegenden Körpers?

Wir erinnern uns: Die Beschleunigung a ist eine Geschwindigkeitsänderung pro Zeit. Sie kann positiv oder negativ sein.

Beschleunigung ist aber auch ein Vektor, d.h. der Beschleunigungsvektor ändert sich auch, wenn nur die Richtung der Bewegung sich ändert, die Schnelligkeit aber bleibt.

Die beiden Fragen kann man also so zusammenfassen:

Frage 3: Wie ändert man den Beschleunigungsvektor einer Bewegung?

Übrigens: Falls ihr kleine Geschwister habt...was sagen die, wenn sie auf einer Schaukel sitzen und höher und schneller werden wollen zu euch?

Und so intuitiv sollte ihr jetzt die Fragen beantworten...

Ich hoffe, ihr habt ausreichend Energie dafür, und durch schwungvolles Arbeiten und einem geistigen Kraftakt bekommt ihr das hin.

Übrigens: So werden die Begriffe Energie, Kraft und Schwung in der Physik eher nicht verwendet...

P 64: Nun kommt der Newton dazu

 Teil 3: Newtonsche Mechanik

Wir wenden uns jetzt wieder den Bewegungen zu. Aber jetzt wollen wir Bewegungen nicht nur beschreiben, sondern auch herausfinden, warum sich Gegenstände gerade so bewegen wie wir es beobachten.

12. Wie erklärt man Bewegungen

12.1 Die drei Klassiker

In der Entwicklung der Physik gibt es dazu drei große und wichtige Ansätze:

12.1.1 Newtonsche Mechanik:

Zuerst hat Issac Newton (1643-1727) die Ursache für Bewegungsänderungen beschrieben. Er hat dabei vor allem mit dem Begriff der Kraft gearbeitet.

1687 hat er drei große Regeln als Formeln aufgestellt. Wir werden sie kennenlernen.

Damit er das konnte musste er noch schnell die Differenzialrechnung erfinden....

12.1.2 Lagrange-Formalismus:

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) ist 1788 einen andere Weg genügen  Er beschreibt Bewegungen durch eine einzige Funktion, die Lagrange-Funktion und verwendet sie um die Bahn mit der kleinsten Wirkung zu bekommen. Das ist dann die Bewegung, die wir auch beobachten.

Das hört sich jetzt unnötig kompliziert an, aber liefert zum ersten Mal ein allgemeines Naturprinzip, das Prinzip der kleinsten Wirkung.

Ich sag das immer so: Die Natur ist faul und bequem und macht alles so, dass möglichst wenig passiert. Halt menschlich.

Der Lagrangeformalismus dient in der modernen Physik dazu die Relativitätstheorie zu beschreiben, aber auch die elektrischen und magnetischen Felder sowie moderne Quantenfeldtheorien. Das "einzige" was man machen muss, die richtige Lagrangefunktion finden/raten/ausprobieren.

12.1.3 Hamilton-Mechanik

 William Rowan Hamilton (1805-1865) hat 1843 eine ganz andere Idee. Er beschreibt Bewegungen im sogenannten Phasenraum aus drei Orts und drei Geschwindigkeitskoordinaten über die sog. Hamiltonfunktion, die sehr oft der Gesamtenergie des Systems entspricht.

Dieser Ansatz hat 100 Jahre später die Quantenmechanik bereichert. Die Hamiltonfunktion wird da zum Hamiltonoperator, mit dem man alle möglichen Energien und die zeitliche Entwicklung des Atoms berechnen kann.

12.1.4 Unser Weg

Wir begnügen uns mit Newtons Ansatz, machen es aber so, wie es Newton ursprünglich gedacht hat und weichen damit etwas von den Schullehrbüchern ab.

Ich gehe so seit Jahrzehnten vor und habe damit beste Erfahrungen gemacht.

Es wird nicht im Widerspruch zu dem stehen, was ihr im Unterricht lernt oder gelernt hat, euch aber helfen, Zusammenhänge besser zu erkennen.

Zum Schluss werden wir statt drei Formeln eine einzige Regel benutzen, die ihr in abgewandelter Form schon seit euren Kindertagen kennt:

Wenn das Wasser in der Badewanne immer gleich hoch stehen soll, darf  nur soviel hineinfließen wie auch abfließt. Ansonsten steigt oder sinkt der Wasserspiegel...

                                                                 Die Badewanne wird überlaufen....

Das ist unsere Grundregel der Newtonschen Mechanik..., nur formulieren wir sie nicht mit Wasser, sondern ....  das sollt ihr selbst herausfinden.

Starten wir.