In diesem Post möchte ich die Lösungen der Aufgaben aus dem letzten Post vorstellen:
Aufgabe 1:
a) In beiden Fällen erhält man die gleiche Endgeschwindigkeit, nämlich v = p/m = 80 m/sec. Es spielt also logischerweise keine Rolle, in welcher Zeit der Impuls zugefügt wird.
b) Die Beschleunigungen unterscheiden sich natürlich. Wenn ich 80 m/sec erreichen will, ist es schon ein Unterschied, wenn ich das in 2 sec oder 4 sec machen soll...also sind die Beschleunigungen a = v/t:
40 m/sec² für den ersten Fall und 20 m/sec² für den zweiten Fall.
c) Für die Impulsstromstärke ist die Zeit logischerweise auch wichtig:
Führt man 800 Hy in 2 sec zu, so hat man eine Impulsstromstärke von 400 Hy/sec
Lässt man sich 4 Sekunden Zeit, so sind es 200 Hy/sec.
d) Wenn man sich die Zahlen ansieht, stellt man fest, dass man nur die Beschleunigung mit der Masse multiplizieren muss und erhält die Impulsstromstärke:
Δp/Δt = m * a
Mathematischer Einschub:
Bald könnt ihr differenzieren. Dann lernt ihr, dass für sehr kleine Zeiträume Δt der Bruch Δp/Δt gegen die Steigung der Funktion p(t) strebt. Da p aus einem Produkt besteht, muss man beim Differenzieren die Produktregel anwenden.
Ich schreibe für die erste Ableitungsfunktion dp/dt statt p`:
dp/dt = d(m*v)/dt = m*dv/dt + v *dm/dt
Nur in d er Relativitätstheorie kann die Masse sich mit dem Impuls verändern, ansonsten ist dm/dt = 0 und wir erhalten:
dp/dt = m*dv/dt = m*a,
denn die Steigung der Funktion v(t) ist die Beschleunigung.
Um das mathematisch korrekt zu beschreiben, hat Newton auch die Differenzialrechnung eingeführt.
Wir sehen, dass unser Weg auch eine relativistisch korrekte Form für die gesuchte Formel ergibt.
Das werden wir aber nicht verfolgen.
Aufgabe 2:
Ein Körper fällt mit g = 10 m/sec² 3 Sekunden lang und erhält v(t) = g*t = 30 m/sec.
Da er 10 kg Masse hat, muss er also den Impuls p = m*v = 300 Hy vom Gravitationsfeld er Erde bekommen haben.
Das ergibt eine Impulsstromstärke Δp/Δt = 300/3 = 100 Hy/sec
Den Wert erhält man auch, wenn man die Masse des Körpers mit der Fallbeschleunigung g multipliziert.
Also auch hier ist: Δp/Δt = m*g.
m*g aber haben wir kennengelernt als die Gewichtskraft der Masse m im Gravitationsfeld mit der Fallbeschleunigung g: F = m*g
1 kg entspricht etwa 100 N.
Es macht also Sinn, die Impulsstromstärke als Kraft zu bezeichnen, so wie es Newton und Max Planck auch gemacht haben und so wie es in der Relativitätstheorie zur richtigen Kraftgleichung führt.
Das machen wir konkret im nächsten Post.
Aufgabe 3:
Auch die Einheitenrechnung passt.
[Δp/Δt] = kg*m/sec / sec = kg*m/sec² = [m*a]
Achtung: m steht hier für Meter, außer bei m*a, da ist m die Masse....!
Mit [ ... ] bezeichnet man die Einheit des in der eckigen Klammer stehenden Terms.
Wir sind kurz davor:
F = m*a ist die berühmte Gleichung von Newton.
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