P 154 Die Ursache aller Strukturen

 28. Wie kann man ein Pendel zum Schwingen bringen?

Die Antwort ist klar: Man muss dem Pendel Schwung geben. Die Zufuhr von Impuls kann aber auf zwei völlig verschiedene Arten gehen: einmalig und ständig

28.1 Einmalige Zufuhr von Schwung

Bastle Dir aus Schürsenkel und Schlüssel ein einfaches Fadenpendel und hänge es am besten auf.

Auf zwei Arten kannst Du dem Pendel Schwung geben:

- Auslenken und loslassen.

- Anschubsen

Beim ersten Fall kommt der Schwung aus der Gravitation der Erde. Im zweiten Fall kommt der Schwung aus Deinen Muskeln.

Wie stark auch immer der Schwung ist, das Pendel schwingt immer in einer ihm eigenen Frequenz.

Diese Frequenz nennt man Eigenfrequenz und die zugehörige Schwingung Eigenschwingung (in technischer Literatur, insbesondere im Englischen spricht man von Mode, der Schwingungsmode.

Versuche:

Ändere die Pendellänge und ändere jeweils durch An- oder Abhängen von Gegenstanden die Masse m des Pendelkörpers.

Gibt dem Pendelkörper Schwung, wie auch immer. Was beobachtest Du?

Die Masse beeinflusst die Eigenfrequenz nicht (das haben wir schon besprochen: Alle Körper fallen gleich schnell). Aber die Eigenfrequenz hängt von der Pendellänge ab: Je länger das Pendel ist, desto niedriger ist die Eigenfrequenz.

Lange Pendel schwingen langsam.

Es gilt die Formel, die wir später auch herleiten:

Aufgabe: 

Welche Länge muss ein Pendel für die Periodendauer 1 sec auf der Erde und auf dem Mond haben?

Lösungshinweise: Du musst die Formel nach l auflösen, d.h. erst einmal quadrieren:

   P² = 4* π² *l/g, dann nach l auflösen: l = g*P²/(4* π²).

Auf der Erde ist g = 10 m/sec² und auf dem Mond 1/6 so groß.

Damit erhältst Du:

Pendellänge  auf der Erde etwa 25,2 cm

Pendellänge  auf dem Mond etwa 4,2 cm

Von einem Sekundenpendel spricht man blöderweise übrigens, wenn die halbe Schwingung 1 sec dauert.

Wie lang ist also ein Sekundenpendel?

1 m auf der Erde, etwa 17 cm auf dem Mond.

Flächen oder Körper besitzen mehrere Eigenschwingungen, mehrere Moden. Welche man anregt, hängt von der Art der Impulszufuhr ab.

Das wollen wir hier nicht vertiefen.

Wir werden aber bald eine andere Möglichkeit kennenlernen, Eigenschwingungen anzuregen.

Hier Bilder der möglichen Eigenschwingungen einer Metallplatte. Überall da, wo sie nicht (!) schwingt, bleibt drauf gestreuter Sand liegen.

Bild: Physik Uni Oldenburg

Auch das heiße Urknallgas ist 380 000 Jahre nach dem Urknall zu verschiedenen Eigenschwingungen gekommen. Deren Überlagerungen haben ein Netzwerk erzeugt, aus dem sich später die Galaxien gebildet haben.

Diese Aufnahme des Urknallgases mit Mikrowellen zeigt das Muster, was aus der Überlagerung aller Eigenschwingungen entsteht. Aus den blauen Flecken haben sich die Galaxien gebildet.

Dass hier verschiedene Eigenschwingungen vorliegen, erkennt man, wenn man eine Fouriertransformation (siehe Post 153) macht, also ausrechnet, welche Frequenzen mit welchen Amplituden schwingen:

Ist es nicht fantastisch:

Die Strukturen unserer Welt sind aus den Eigenschwingungen des Urknallgases entstanden.

Vertiefen und Üben:

(i) Formuliere „je mehr-desto mehr/weniger“ – Beziehungen zwischen Periodendauer und Pendellänge (vergleiche mit den Ergebnissen des durchgeführten Versuches) bzw. Periodendauer und Stärke des Gravitationsfeldes (fahr zum Mond)

(ii) Erkläre anschaulich mit Hilfe der früheren Posts:

- Die Periodendauer ist unabhängig von der Masse des Pendelkörpers.

- Die Periodendauer nimmt zu, wenn das Pendel länger ist.

- Die Periodendauer nimmt zu, wenn die Schwerkraft kleiner wird.

Tipp: Beschäftige Dich mit der Rückstellkraft

P 150: Am liebsten harmonisch!

 27. Wie kann man eine Schwingung beschreiben?

27.1 Harmonische Schwingungen

Wenn man eine Kreisbewegung von der Seite ansieht, erkennt man nur ein Hin- und her...eine Schwingung.

Fachlicher ausgedrückt: Die Projektion einer Kreisbewegung ist eine Schwingung.

In diesem Video ist das wunderbar für eine Federschwingung zu sehen (das Justieren und Abstimmen muss Stunden gedauert haben...):

Aber umgekehrt gilt das nicht: Es gibt Schwingungen, die man nicht als Projektion einer Kreisbewegung darstellen kann (z.B. die Dreiecksschwingung).

Das Weg-Zeit-Diagramm der Projektion einer (gleichförmigen) Kreisbewegung ist eine Sinuskurve. Und solche Schwingungen, also die Sinus-Schwingungen, nennt man auch harmonisch.

 Bild aus leifiphysik

Hier ist r der Kreisradius und y(t) die Auslenkung. Die gelben Pfeile markieren die Projektionsrichtung.

Harmonische Schwingungen sind besonders wichtig, aber auch einfach zu beschreiben: Bei ihnen ist die rücktreibende Kraft immer proportional zur Auslenkung.

Blick einmal zurück: Wann sind Pendelschwingungen harmonisch?

--- Nur bei kleinen Auslenkungen, wenn der Unterschied zwischen dem Bogen und der seitlichen Auslenkung vernachlässigbar ist, also x in etwa so lange ist wie s. Nur der Auslenkungsbogen s und der Auslenkungswinkel φ sind zueinander proportional: s/(2π l) = φ/(2π), hierbei ist der Winkel  φ im Bogenmaß angegeben (2π entspricht dann 360°).

Durch Kürzen erhält man: s = φ * l

l ist also als Pendellänge die Proportionalitätskonstante, wenn man φ im Bogenmaß angibt.

Übrigens: Ganz entsprechende Formeln hatten wir bei der Einführung der Kreisbewegung: s = φ*r).

Federschwingungen sind, so lange die Feder nicht überdehnt wird, immer harmonisch. Und hier kennen wir auch die Federkraft als rücktreibende Kraft: F = D * s  (D: Federkonstante, Hookesches Gesetz).

Also: Das Hookesche Gesetz sorgt für eine harmonische Federschwingung.

In Mathematik hattet ihr eigentlich alles zu diesem Thema. Denn über Kreise habt ihr die Sinusfunktionen für den Winkelbereich bis 360° eingeführt. Nur hat sich da nichts bewegt...und es gab auch keine Verbindung zur physikalischen Welt.

Deshalb wiederholen wir das im nächsten Post nochmal.

P 141: Viel Spaß beim Spielen!

 24.6 Simulationen

Das Projekt PhET der Universität von Colorado Boulder wurde 2002 vom Nobelpreisträger Carl Wieman (Nobelpreis 2001 für die Erzeugung eines Bose-Einstein-Kondensats) gegründet und stellt kostenlos die tollsten Simulationen zur Verfügung.

Wir wollen uns zwei Abteilungen ansehen:

Bei allen Simulationen könnt ihr euch ein Lineal und eine Stoppuhr einbauen und sogar quantitativ messen.

Pendelschwingungen

In der ersten Simulation könnt ihr Pendel verschiedener Massen und Längen bei unterschiedlicher Reibung und Gravitation zum Schwingen bringen. In der zweiten Simulation könnt ihr euch die Energien anzeigen lassen und bei der dritten Simulation die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen.

Federschwingungen

In der ersten Simulation könnt ihr Federn mit verschiedener Härte und Massen in unterschiedlicher Gravitation schwingen lassen.

Logischerweise ändert sich die Schwingung, wenn man das Gravitationsfeld ändert (Untersucht einmal, auf was die Schwerkraft einen Einfluss hat. Lasst euch dazu die Gleichgewichtslage (Ruhelage) anzeigen). Aber messt einmal die Schwingungsdauern, die bleiben gleich.

In der zweiten Simulation kann man sich Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und alle Kräfte anzeigen lassen.

In der dritten Simulationen geht es dann um die Energien.

Nehmt euch viel Zeit, ihr könnt hier viel Lernen!

P 140: Federn gehen immer...

 24.5 Das Federpendel

Ein Fadenpendel baut eine rücktreibende Kraft über die Gewichtskraft auf.

Welche Rolle spielt die Gewichtskraft bei einem Federpendel?

Überraschend: Eigentlich keine.

Wenn wir nur eine Feder haben, dann hat diese eine bestimmte Länge L oft auch s(0) bezeichnet, die durch die Bauart vorgegeben ist.

Hängt man nun eine Masse m an, so dehnt sich die Feder so lange aus, bis die Federkraft genau die Gewichtskraft ausgleicht.

Das ist dann die Ruhelage des Federpendels.

Die Federkraft habt ihr bestimmt in der Mittelstufe kennengelernt. Für sie gilt das Hookesche Gesetz:

F = D * s, dabei ist s die Auslenkung und D=F/s die sog. Federkonstante ist. Diese wird in N/m angegeben. 

D = 5 N/m bedeutet, dass man pro Meter Auslenkung eine Kraft von 5 N braucht. Je größer die Federkonstante ist, desto schwerer lässt sich eine Feder auslenken:

Die Federkraft ist also proportional zur Ausdehnung und D ist die Proportionalitätskonstante. Natürlich gilt dieses Gesetz nicht mehr, wenn man die Feder überdehnt und sie nicht mehr in die ursprüngliche Form zurückkehrt.

Hänge ich nun eine Masse m an eine Feder mit der Federkonstante D an, so wird sie um s(0) ausgelenkt: 

F = D*s(0) = m*g, also s(0) = m/D*g. Die neue Länge der Feder in der Ruhelage ist dann L + s(0).

Um diese Ruhelage schwingt sie nun, die Auslenkung während dieser Schwingung bezieht sich auf diese Ruhelänge der Feder als Nullpunkt.

In der Abbildung ist die 0 als Index geschrieben.

Wenn wir das Pendel weiter auslenken, wird die Federkraft größer. Diese zusätzliche Federkraft ist dann die rücktreibende Kraft. Die Auslenkung  muss man wie gesagt von der neuen Ruhelage aus bestimmen.

   (nach: Bildungsserver Baden-Würtemberg)

Wenn man dann los lässt, schwingt die Feder zurück, angetrieben durch die Federkraft. In der Ruhelage bewirkt die Trägheit eine Weiterbewegung mit Zusammenstauchen der Feder, bis die Bewegungsenergie wieder in der Feder gespeichert ist.

Dann drückt die rücktreibende Kraft die Masse m wieder nach unten.

Bei dem ganzen Schwingungsvorgang spielt die Gewichtskraft keine Rolle. Die Gewichtskraft legt nur den Ruhepunkt fest.

Deswegen schwingt eine Feder überall gleich, sogar unter Schwerelosigkeit. Da ist eben die "Ruhelänge" der Feder gleich der Federlänge selbst. Aber schwingen wird sie trotzdem...

Wir haben ja gelernt, dass Astronauten in der ISS sich z.B. mit einem schwingenden "Federstuhl" "wiegen" können.

Energieumwandlungen:

Beim Auslenken der Feder wird Energie in der Feder gespeichert (ich muss ja Kraft zum Auslenken aufwenden, also arbeiten). Die Federenergie berechnet man mit Ef = 1/2*D*s², wenn s die Auslenkung aus der Ruhelage ist.

Während der Schwingung wird diese Federenergie in Bewegungsenergie und wieder zurück umgewandelt.

Wie kann man die Formel für die Federenergie begründen?

Die Energie berechnet sich über die verrichtete Arbeit W = F*s.

Hierbei ist s die maximale Auslenkung, die man erreichen will. Dann gilt für die Kraft F = D*s.

Eingesetzt ergibt dies W = F*s*s = F*s².

Aber die Kraft wächst ja während des Ausdehnens gleichmäßig von 0 auf D*s an. Deshalb muss man zur Berechnung der Gesamtarbeit die mittlere Kraft (D*s + 0)/2 nehmen, also 1/2*D*s.

Wenn man das jetzt in W*F*s einsetzt, erhält man die richtige Formel für die Federenergie.

P 135: Erklärung durch Kräfte

 24.2 Erklärung durch eine rücktreibende Kraft und die Trägheit

Wenn wir ein Pendel auslenken und loslassen (oder es im Ruhepunkt anstoßen), muss eine Kraft wirken.

Wo kommt die Kraft her?

Dann erreicht das Pendel seine Ruhelage. Da wirkt keine Kraft mehr.

Warum schwingt es weiter?

Und dann kommt das Pendel zurück...

Wieso kehrt sich die Kraft um?

Diese Fragen wollen wir jetzt klären, und zwar zuerst am Fadenpendel.

Wie bisher vernachlässigen wir die Masse der Aufhängung und gehen von einer nahezu punktförmigen Masse m am Ende des Fadens aus.

Auf diese Masse m wirkt die Gewichtskraft F = m*g. Sie wird in der Ruhelage durch eine Kraft, die der Faden ausübt,  kompensiert. Ansonsten reißt der Faden und die Masse fällt runter.

Nun lenken wir das Pendel um den Winkel φ aus. Die Gewichtskraft bleibt unverändert, zeigt aber nicht mehr in Richtung des Fadens.

Der Faden muss nur noch einen Teil der Gewichtskraft kompensieren.

Bei einer Auslenkung von 90° merkt man, dass der Faden schlaff durchhängen kann, weil die Gewichtskraft senkrecht zum Faden steht.

Nehmen wir mal eine Auslenkung von etwa φ = 40°. Zerlegt einmal die Gewichtskraft F in eine Komponente Fs in Richtung des Seils (Seilkraft) und eine Komponente Fr senkrecht dazu.

Was bewirken diese beiden Komponenten?

Die Seilkraft strafft den Faden und muss vom Faden kompensiert werden.

Die Kraft Fr treibt die Pendelmasse an. Sie sorgt für eine Bewegung in Richtung der Ruhelage, sie treibt das Pendel zurück.

Wir nennen sie rücktreibende Kraft.

Bei einer Auslenkung von 90° ist die gesamte Gewichtskraft auch die rücktreibende Kraft. In der Ruhelage (Auslenkung 0°) gibt es keine rücktreibende Kraft mehr. Das gesamte Gewicht zieht am Seil.

Die rücktreibende Kraft nimmt also während der Schwingung ab und ist beim Durchlaufen der Ruhelage gleich 0.

Aber die Trägheit des Pendels bewirkt, dass es weiterschwingt.

Sobald es aber über die Ruhelage hinweg kommt, entsteht wieder eine vorerst kleine rücktreibende Kraft, die die Bewegung abbremst (sie zeigt jetzt entgegen der Bewegungsrichtung).

Ist der ursprüngliche Auslenkungswinkel auf der anderen Seite erreicht, so ist die Momentangeschwindigkeit 0 und die rücktreibende Kraft bewirkt wieder eine Beschleunigung zur Ruhelage zurück.

Das alles wiederholt sich bei jeder halben Schwingung.

Um das genau zu verstehen, zeichnet bitte einmal diesen Vorgang für eine Pendelmasse von 1 kg. Die Gewichtskraft beträgt dann 10 N. Nehmt Auslenkungswinkel von 40°, 30°, 20°, 10° und 0° sowie entsprechend auf der anderen Seite.

Konstruiert jeweils die rücktreibende Kraft.

Mit einem Lineal könnt ihr die Größe der Kräfte bestimmen.

Tragt sie in einem Diagramm gegen die Winkel von -40° bis + 40°auf. Setzt auch für die Richtung der rücktreibenden Kraft ein sinnvolles Vorzeichen (ich würde für die Winkel rechts von der Ruhelage auch + wählen).

Kennt ihr diese Kurvenform?

Könnt ihr sogar die rücktreibenden Kräfte berechnen?