P 125: Lösung der Aufgaben

 Wenn der Planet im Aphel steht, dann sieht man dass Aphelabstand und Perihelabstand die große Achse der Ellipse bilden, also 2*a.

Die Werte für die Exzentrizität e ergeben sich so: Entscheidend ist der Zähler des Bruches für e, d.h. der Abstand des Brennpunktes vom Mittelpunkt.

Dieser Zähler ist beim Kreis 0, da der Brennpunkt im Mittelpunkt liegt. Also ist e=0.

Dieser Abstand ist aber immer kleiner als die große Halbachse, also muss e<1 sein.

Im Perihel muss der Planet schneller sein, da der kürzere Fahrstrahl sonst nicht die gleiche Fläche überstreicht.

Die rot markierten Flächen sollen gleich sein. Das ist ja das 2.Keplersche Gesetz.

Dass das Winterhalbjahr auf der Nordhalbkugel eine gute Woche kürzer ist hat zwei Gründe:

- Da das Perihel Anfang Januar erreicht wird, bewegt sich die Erde im Winterhalbjahr schneller auf der Bahn.

- Da Herbst- und Frühlingsanfang in der Skizze auf Höhe der Sonne sind, legt die Erde im Winterhalbjahr auch eine kürzere Bahnstrecke zurück.

Beides zusammen ergibt trotz der geringen Abweichung vom Kreis eine Verkürzung um gut eine Woche.

P 124: Kepler I und II

 22.2 Zentralkraft und Drehimpulserhaltung

Wenn wir annehmen, dass die Sonne fest steht und wegen ihrer viel größeren Masse vernachlässigbar wenig von den Planeten angezogen wird (was nicht ganz stimmt), der Raum um die Sonne nicht gekrümmt ist (was auch nicht stimmt) und die Planeten sich gegenseitig nicht anziehen (was ebenfalls nicht der Fall ist), dann kann man die Anziehungskraft der Sonne als Zentralkraft bezeichnen: Sie zeigt immer auf den Mittelpunkt der Sonne.

Eine solche Kraft kann auf einen Planeten  kein Drehmoment ausüben, d.h. er behält sein Drehimpuls.

Im Post 121 haben wir ΔL = M * Δt kennen gelernt: Wenn das Drehmoment M =0 ist, kann sich der Drehimpuls nicht ändern, d.h. ΔL = 0.

Der Drehimpuls eines Planeten ist aber L = m*v*r (Post 116).

Nun sind die Planetenbahnen Ellipsen, d.h. der Abstand r zur Sonne ändert sich. Wird r kleiner, so muss v entsprechend zunehmen, damit L gleich bleibt.

Das genau beschreibt das 2.Keplersche Gesetz: 

Es ist also der Drehimpulserhaltungssatz.

Mathematischer Exkurs:

Wir wollen die Sprechweise von Kepler begründen: Der Fahrstrahl des Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

                                                            wikipedia common

Wir nehmen eine winzig kleine Zeit Δt. Der Planet legt auf seiner Bahn die Strecke Δs = v * Δt zurück.

Damit haben wir eine Seite des Dreiecks, das näherungsweise rechtwinklig ist.

Dann ist die Fläche des Dreiecks ΔA = 1/2 * Basis * Höhe = 1/2 *r * Δr = 1/2 * r * v * Δt

Da L = m*r*v ist, können wir auch schreiben:

ΔA = 1/2 * L/m * Δt

Damit ergibt sich: ΔA/Δt = 1/2*L/m

ΔA/Δt ist eine Flächenänderung pro Zeit, das kann man als Flächengeschwindigkeit beschreiben.

Wenn also der Drehimpuls L konstant ist, dann muss die Flächengeschwindigkeit der Planetenbahn immer gleich sein, d.h. in gleichen Zeiten muss der Fahrstrahl gleiche Flächen überstreichen.

Faszinierend, wie Kepler die Drehimpulserhaltung gefunden hat, ohne den Begriff Drehimpuls zu kennen....

Ende mathematischer Exkurs

Kommen wir noch zum 1.Keplerschen Gesetz:

Da sich die Anziehungskraft der Sonne zeitlich nicht ändert (wir nennen das eine konservative Kraft), muss der Energieerhaltungssatz gelten.

Damit kann man zeigen, dass je nach Gesamtenergie E nur die folgenden Bahnformen vorkommen können:

E = 0:  Parabelbahn

E > 0:  Hyperbelbahn

E < 0: Kreisbahn oder Ellipsenbahn.

Und das ist letztlich Keplers erstes Gesetz.

                                                                   nach wikipedia common

Wenn man annimmt, dass der Planet auch die Sonne  anzieht, dann hat man ein sogenanntes Zwei-Körper-Problem vor sich liegen. Das kann man auch gut berechnen.

Sobald aber drei Massen oder mehr vorkommen, sind die Bahnen nicht berechenbar, sie können nur näherungsweise im Computer simuliert werden.

P 123: Kepler revolutioniert die Himmelsmechanik

 22. Dunkle Materie und Keplers Gesetze der Planetenbewegung

22.1 Was hat Kepler gemacht?

Nikolaus Kopernikus (1473 - 1543) hat im Jahr seines Todes ein Werk veröffentlicht, dass unser heliozentrisches Weltbild begründet: Die Erde als sich drehender Planet umläuft wie die anderen Planeten die Sonne auf einer Kreisbahn und steht damit nicht mehr im Mittelpunkt der Welt.

Tycho Brahe

Johannes Kepler (1571-1630) entdeckte dann 1606 und 1618 die drei grundlegenden Gesetze der Planetenbewegung. Er wertete die sehr genauen Beobachtungen von Tycho Brahe (1546-1601) zur Marsbewegung am Himmel aus.

Vermutlich hat Newton sein Gravitationsgesetz aus Keplers Gesetzen gewonnen. Wir werden später den umgekehrten Weg zeigen.

Wir wollen Keplers Gesetze einmal darstellen:

1.Keplersches Gesetz:

Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einen Brennpunkt die Sonne steht.

Eine Ellipse kennen wir aus den vergeblichen Versuchen einen Kreis zu zeichnen, sie sieht wie ein zusammengedrückter Kreis aus.

Wir müssen hier nur ein paar Begriffe kennen:

Wenn die Sonne in einem Brennpunkt steht (für alle Planetenbahnen ist es der auf der gleichen Seite), dann gibt es einen Punkt mit dem geringsten Sonnenabstand, den nennt man Perihel, und einen mit dem größten Sonnenabstand, den nennt man Aphel.

Die Strecke vom Mittelpunkt der Ellipse zu Perihel oder Aphel nennt man große Halbachse a. Sie wird oft auch als mittlere Planetenentfernung bezeichnet.

Bearbeitetes Bild aus leifiphysik

Beispiel Erde:

Mittlere Entfernung: 150 Mill km

Perihelabstand: 147 Millionen km

Aphelabstand: 152 Millionen km

Die Abweichung von einer Kreisbahn würde man mit freiem Auge bei der Erdbahn gar nicht erkennen.

Die Brennpunkt werden über die Bahnform definiert: Von jedem Punkt der Ellipse aus ist die Summe der beiden Abstände zu den beiden Brennpunkten immer gleich und zwar gleich 2a, wenn a die Länge der großen Halbachse ist.

Aufgabe: Wenn der Planet im Perihel oder Aphel steht, lässt sich leicht zeigen, dass die Summe der Brennpunktsabstände gleich 2a ist.

Der Begriff der Exzentrizität ist noch wichtig: Damit bezeichnet man das Verhältnis e aus dem Abstand eines Brennpunktes zum Mittelpunkt geteilt durch die große Halbachse.

Zeige: Ein Kreis hat die Exzentrizität e =0, die Exzentrizität einer Ellipse liegt zwischen 0 und 1.

Hinweis: e = 1 ist eine Parabel und e > 1 eine Hyperbel.

Himmelskörper auf Parabelbahnen gehören noch (für unendliche lange Zeit) zum Sonnensystem, Himmelskörper auf Hyperbelbahnen fliegen nur einmal vorbei und sind dann wieder weg....

2.Keplersches Gesetz:

Die Verbindungslinie Planet-Sonne (Kepler nennt das den Fahrstrahl des Planeten) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Aufgabe: Fahre mit dem Finger eine solche Bewegung ab. Was bedeutet dass, wenn der Planet das Perihel und was, wenn er das Aphel überstreicht?

Frage: Was kann man nach dem 2.Keplerschen Gesetz über die rot markierten Flächen sagen?

Aufgabe: Anfang Januar steht die Erde im Perihel ihrer Bahn, Anfang Juli im Aphel (noch einmal: die Jahreszeiten haben nichts mit dem Abstand Erde-Sonne zu tun, sondern mit der Neigung der Erdachse).

Das Sommerhalbjahr geht vom Frühlingsanfang am 20.3. bis zum Herbstanfang am 23.9.

Das Winterhalbjahr (der Nordhalbkugel) geht vom 23.9. zum 20.3.

Erkläre, wieso das Sommerhalbjahr etwa eine Woche länger ist. Es gibt zwei Effekte, die dazu beitragen.

3. Keplersches Gesetz:

Hier hat Kepler die Umlaufszeiten der Planeten P und ihre großen Halbachsen a in Beziehung gesetzt:

Das Verhältnis der Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten unserer Sonne ist gleich dem Verhältnis der Kuben ihrer großen Halbachsen:

P1²/P2² = a1³/a2³

Wir werden die physikalischen Hintergründe dieser drei Gesetze in den nächsten Posts kennenlernen und dabei erkennen, was sie mit der Dunklen Materie zu tun haben.