22.2 Zentralkraft und Drehimpulserhaltung
Wenn wir annehmen, dass die Sonne fest steht und wegen ihrer viel größeren Masse vernachlässigbar wenig von den Planeten angezogen wird (was nicht ganz stimmt), der Raum um die Sonne nicht gekrümmt ist (was auch nicht stimmt) und die Planeten sich gegenseitig nicht anziehen (was ebenfalls nicht der Fall ist), dann kann man die Anziehungskraft der Sonne als Zentralkraft bezeichnen: Sie zeigt immer auf den Mittelpunkt der Sonne.
Eine solche Kraft kann auf einen Planeten kein Drehmoment ausüben, d.h. er behält sein Drehimpuls.
Im Post 121 haben wir ΔL = M * Δt kennen gelernt: Wenn das Drehmoment M =0 ist, kann sich der Drehimpuls nicht ändern, d.h. ΔL = 0.
Der Drehimpuls eines Planeten ist aber L = m*v*r (Post 116).
Nun sind die Planetenbahnen Ellipsen, d.h. der Abstand r zur Sonne ändert sich. Wird r kleiner, so muss v entsprechend zunehmen, damit L gleich bleibt.
Das genau beschreibt das 2.Keplersche Gesetz:
Es ist also der Drehimpulserhaltungssatz.
Mathematischer Exkurs:
Wir wollen die Sprechweise von Kepler begründen: Der Fahrstrahl des Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
wikipedia common
Wir nehmen eine winzig kleine Zeit Δt. Der Planet legt auf seiner Bahn die Strecke Δs = v * Δt zurück.
Damit haben wir eine Seite des Dreiecks, das näherungsweise rechtwinklig ist.
Dann ist die Fläche des Dreiecks ΔA = 1/2 * Basis * Höhe = 1/2 *r * Δr = 1/2 * r * v * Δt
Da L = m*r*v ist, können wir auch schreiben:
ΔA = 1/2 * L/m * Δt
Damit ergibt sich: ΔA/Δt = 1/2*L/m
ΔA/Δt ist eine Flächenänderung pro Zeit, das kann man als Flächengeschwindigkeit beschreiben.
Wenn also der Drehimpuls L konstant ist, dann muss die Flächengeschwindigkeit der Planetenbahn immer gleich sein, d.h. in gleichen Zeiten muss der Fahrstrahl gleiche Flächen überstreichen.
Faszinierend, wie Kepler die Drehimpulserhaltung gefunden hat, ohne den Begriff Drehimpuls zu kennen....
Ende mathematischer Exkurs
Kommen wir noch zum 1.Keplerschen Gesetz:
Da sich die Anziehungskraft der Sonne zeitlich nicht ändert (wir nennen das eine konservative Kraft), muss der Energieerhaltungssatz gelten.
Damit kann man zeigen, dass je nach Gesamtenergie E nur die folgenden Bahnformen vorkommen können:
E = 0: Parabelbahn
E > 0: Hyperbelbahn
E < 0: Kreisbahn oder Ellipsenbahn.
Und das ist letztlich Keplers erstes Gesetz.
Wenn man annimmt, dass der Planet auch die Sonne anzieht, dann hat man ein sogenanntes Zwei-Körper-Problem vor sich liegen. Das kann man auch gut berechnen.
Sobald aber drei Massen oder mehr vorkommen, sind die Bahnen nicht berechenbar, sie können nur näherungsweise im Computer simuliert werden.
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