P 138: Die Energie pendelt auch!

 Wenn das Pendel ausgelenkt wird, erhöhe ich die Lageenergie (potenzielle Energie Epot) m*g*h relativ zur Ruhelage. Ich verrichte dabei Hubarbeit.

Beim Loslassen wandelt sich diese potenzielle Energie in kinetische Energie Ekin= 1/2*m*v² um. Zu jedem Zeitpunkt t aber ist die Summe aus der momentanen kinetischen Energie und der momentanen potenziellen Energie immer gleich groß, nämlich so groß, wie ich als Hubarbeit beim Auslenken des Pendels zugeführt habe. Das ist die konstante Gesamtenergie Eges.

Das ist der Energieerhaltungssatz:

Ekin (t) + Epot(t) = Eges

In der Ruheposition gibt es nur kinetische Energie, diese ist dann natürlich gleich der Gesamtenergie. Das bedeutet auch, dass die Geschwindigkeit des Pendels am größten ist.

Durch den Schwung kann nun wieder Hubarbeit verrichtet werden, die kinetische Energie wird in potenzielle Energie umgewandelt.

In den Umkehrpunkten ist die Momentangeschwindigkeit v(t) = 0, damit auch die kinetische Energie. Die Gesamtenergie des Pendels besteht dann nur aus potenzieller Energie.

Und dann geht es wieder von vorne los....

nach: ingenieurkurse.de

Der Motor für die ständigen Energieumwandlungen sind Gewichtskraft und Trägheit. In der Schwerelosigkeit würde also nichts passieren, das Pendel würde in der ausgelenkten Position einfach stehen bleiben.

Durch Reibung an der Aufhängung oder an der Luft nimmt die zur Schwingung verfügbare Energie ab, da ein Teil der Energie als Wärmeenergie aus dem System geführt wird. Das nennt man Dämpfung der Schwingung.

Damit nimmt die Auslenkung und auch die maximale Geschwindigkeit ständig ab.

Der Energieerhaltungssatz gilt aber trotzdem, man muss nur die Reibungsenergie Ereib hinzunehmen:

Ekin + Epot + Ereib = Eges ist konstant.

Wenn die gesamte am Anfang zugeführte Hubarbeit als Wärmeenergie abgeführt wurde, dann bleibt das Pendel stehen. Die Gesamtenergie gibt es dann als Wärmeenergie in der Umgebung des Pendels.

Die Formulierung: Das Pendel verliert beim Schwingen Energie und bleibt deshalb stehen, ist so falsch. Man kann höchstens von an die Umgebung angegebenen Energie sprechen. Energie kann nie verloren gehen.

Aufgabe:

Baue Dir  ein Fadenpendel, an das Du verschiedene, nicht allzu ausgedehnte, Körper mit unterschiedlicher Massen hängst.

Binde das Pendel fest, lenke es immer gleich aus (nicht allzu weit) und bestimme mit einer Stoppuhr (Smartphone!) die Periodendauer.

Am besten stoppst Du 10 Schwingungen und teilst die gemessene Zeit durch 10.

Hinweis: Beginn beim Loslassen mit der 0 als Zahl zum Zählen...

Was fällt Dir auf?

Was passiert, wenn Du die Pendellänge änderst?

P 137: Die energetische Seite einer Schwingung

 24.3 Erklärung durch die Energieumwandlung

Betrachten wir noch einmal eine Schwingung eines Fadenpendels:

Versuche einmal, Dir zu den folgenden Fragen Gedanken zu machen:

Welche Energieformen treten auf? Wir wollen nur zwei Energieformen betrachten.

Sind die Energien immer gleich groß oder verändern sie sich während der Schwingung?

Wenn sie sich verändern, widerspricht das nicht dem Erhaltungssatz der Energie?

Wie lautet hier der Energieerhaltungssatz? Verwende dabei den Begriff der Gesamtenergie Eges.

Gibt es Pendelpositionen, bei denen nur eine Energieform vorliegt?

Nun lenke das Pendel aus und beschreibe den Ablauf der Schwingung durch das Auftreten und "Umwandeln" verschiedener Energieformen ineinander.

Welche Rolle spielt die Reibungsenergie Ereib? Gilt der Energieerhaltungssatz unter der Einwirkung von Reibung (an der Aufhängung, in der Luft), also bei einer gedämpften Schwingung, immer noch?

Die Antworten gibt es im nächsten Post.

Die Beschreibung einer Schwingung durch den Energieerhaltungssatz und die auftretenden Energieformen ist sehr wichtig. In der Q-Phase kann man im Leistungskurs daraus sehr schnell eine sog. Differenzialgleichung aufstellen, deren Lösung die mathematische Beschreibung einer Schwingung liefert.

Das wird oft im Abitur verlangt.

Gegen Ende des Schuljahres müsstet ihr soviel von Differenzialrechnung verstehen, dass ich das schon mal auf einer Extraseite erklären kann.

Jetzt lassen wir das aber erst einmal...

P 124: Kepler I und II

 22.2 Zentralkraft und Drehimpulserhaltung

Wenn wir annehmen, dass die Sonne fest steht und wegen ihrer viel größeren Masse vernachlässigbar wenig von den Planeten angezogen wird (was nicht ganz stimmt), der Raum um die Sonne nicht gekrümmt ist (was auch nicht stimmt) und die Planeten sich gegenseitig nicht anziehen (was ebenfalls nicht der Fall ist), dann kann man die Anziehungskraft der Sonne als Zentralkraft bezeichnen: Sie zeigt immer auf den Mittelpunkt der Sonne.

Eine solche Kraft kann auf einen Planeten  kein Drehmoment ausüben, d.h. er behält sein Drehimpuls.

Im Post 121 haben wir ΔL = M * Δt kennen gelernt: Wenn das Drehmoment M =0 ist, kann sich der Drehimpuls nicht ändern, d.h. ΔL = 0.

Der Drehimpuls eines Planeten ist aber L = m*v*r (Post 116).

Nun sind die Planetenbahnen Ellipsen, d.h. der Abstand r zur Sonne ändert sich. Wird r kleiner, so muss v entsprechend zunehmen, damit L gleich bleibt.

Das genau beschreibt das 2.Keplersche Gesetz: 

Es ist also der Drehimpulserhaltungssatz.

Mathematischer Exkurs:

Wir wollen die Sprechweise von Kepler begründen: Der Fahrstrahl des Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

                                                            wikipedia common

Wir nehmen eine winzig kleine Zeit Δt. Der Planet legt auf seiner Bahn die Strecke Δs = v * Δt zurück.

Damit haben wir eine Seite des Dreiecks, das näherungsweise rechtwinklig ist.

Dann ist die Fläche des Dreiecks ΔA = 1/2 * Basis * Höhe = 1/2 *r * Δr = 1/2 * r * v * Δt

Da L = m*r*v ist, können wir auch schreiben:

ΔA = 1/2 * L/m * Δt

Damit ergibt sich: ΔA/Δt = 1/2*L/m

ΔA/Δt ist eine Flächenänderung pro Zeit, das kann man als Flächengeschwindigkeit beschreiben.

Wenn also der Drehimpuls L konstant ist, dann muss die Flächengeschwindigkeit der Planetenbahn immer gleich sein, d.h. in gleichen Zeiten muss der Fahrstrahl gleiche Flächen überstreichen.

Faszinierend, wie Kepler die Drehimpulserhaltung gefunden hat, ohne den Begriff Drehimpuls zu kennen....

Ende mathematischer Exkurs

Kommen wir noch zum 1.Keplerschen Gesetz:

Da sich die Anziehungskraft der Sonne zeitlich nicht ändert (wir nennen das eine konservative Kraft), muss der Energieerhaltungssatz gelten.

Damit kann man zeigen, dass je nach Gesamtenergie E nur die folgenden Bahnformen vorkommen können:

E = 0:  Parabelbahn

E > 0:  Hyperbelbahn

E < 0: Kreisbahn oder Ellipsenbahn.

Und das ist letztlich Keplers erstes Gesetz.

                                                                   nach wikipedia common

Wenn man annimmt, dass der Planet auch die Sonne  anzieht, dann hat man ein sogenanntes Zwei-Körper-Problem vor sich liegen. Das kann man auch gut berechnen.

Sobald aber drei Massen oder mehr vorkommen, sind die Bahnen nicht berechenbar, sie können nur näherungsweise im Computer simuliert werden.

P 86: Last not Least...die Kraft

 16. Grundgröße Kraft

Wir kommen nun zur dritten Grundgröße nach Impuls und Energie, zum Begriff der Kraft.

Bitte wiederholt alles, was wir in P 66 vom 11.1. über Kraft, insbesondere als Mittelstufenwiederholung gesagt haben.

Zu P 66

Wie auch bei den anderen Grundgrößen können wir nicht wirklich sagen, was Kraft ist im Sinne des Seins in dieser Welt. Wir müssen uns damit begnügen, Eigenschaft festzulegen und dadurch zu charakterisieren, wann wir wie diesen Begriff verwenden können.

16.1 Eigenschaften einer Kraft

In der Mittelstufe haben wir gelernt:

- Kräfte werden durch ihre Wirkungen charakterisiert. Eine Kraft kann etwas beschleunigen (d.h. auch abbremsen und ablenken) und verformen.

- Kräfte werden durch drei Angaben charakterisiert: Größe, Richtung und Angriffspunkt. Deshalb kann man Kräfte gut durch Pfeile beschreiben.

- Kräfte werden in Newton N gemessen. Eine Masse von 102 g entspricht einer Gewichtskraft von 1 N.

Wer sich noch einmal mit diesen Eigenschaften beschäftigen möchte, dem sei eine Seite  in LEIFIpyhsik sehr empfohlen:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-kraftarten/grundwissen/beschreibung-von-kraeften

Beschreibung von Kräften

Hier findet man auch die folgende Abbildung:

Nun ergänzen wir das:

- Kräfte sind Vektoren, d.h. gerichtete physikalische Größen.

- Kräfte können nur über einen Vermittler einwirken. Das werden wir gleich in einem Extrakapitel besprechen. In der Regel werden sog. Kraftvermittlerobjekte dabei ausgetauscht.

- Kräfte brauchen immer einen Verursacher und einen Empfänger: Vom Verursacher gehen Kraftvermittlerobjekte aus, beim Empfänger kommen sie an.

                                  (nach Aulis Verlag, KPK)

- Kräfte können sich gegenseitig aufheben. Wir sprechen dann vom Kräftegleichgewicht. Ein Körper könnte dann genau so viele Kraftvermittlerobjekte erhalten, wie er abgibt.

                                             (Aulis Verlag, KPK)

- Kräfte sind nur während ihrer Wirkung vorhanden, sie können nicht vom Objekt behalten werden.

   Die typische Aussage: "Ich habe Kraft" ergibt somit physikalisch keinen Sinn. Nur mengenartige Größen kann man besitzen, nur bei ihnen kann man von viel oder wenig reden. Unsere Kraftvermittlerobjekte existieren also nur während der Vermittlung, sie sammeln sich nicht in Objekten an. Kräfte haben, im Gegensatz zu Impuls und Energie, keine mengenartigen Eigenschaften.

Es ist somit falsch zu sagen: "Der Körper übt viel Kraft aus". Besser wäre es von Stärke zu reden: "Die Kraft, die der Körper ausübt, ist stark".

Somit gibt es auch keinen Krafterhaltungssatz!

Das unterscheidet den Begriff Kraft besonders deutlich von Energie und Impuls, da wir ja einen Energieerhaltungssatz und einen Impulserhaltungssatz kennen.

In welcher Beziehung Kräfte zu Energie und Impuls stehen, werden wir bald klären. Vorher möchte ich aber zeigen, wie die moderne Physik Kräfte beschreibt.

Weg von Newton, auf ins 21. Jahrhundert, auf zum nächsten Post...

P 85: Achtung! Mathe

 15.3.5 Mathematische Behandlung eines einfachen elastischen Stoßes

Die Herleitungen spielen in späteren Posts keine Rolle, aber vielleicht für zukünftige Leistungskursler eine gute Gelegenheit ,sich  etwas stärker mit Formelherleitungen und Mathematik zu beschäftigen.

Wem es fröstelt...ihr könnt das gerne überspringen...aber ich fänd es schade...versucht es doch mal...

Ich versuche alle Sinne anzusprechen.

Wir wollen erst einmal die Formel für den folgenden Stoß herleiten:

Eine Masse m (unser Neutron) kommt mit einer Geschwindigkeit v1 zentral an eine ruhende Masse M (unser Sauerstoffatomkern) an.

Danach bewegen sich m und M mit bestimmten Geschwindigkeiten, die wir u1 und u2 nennen, weiter.

Genau für diese Geschwindigkeiten wollen wir Formeln haben.

Da es sehr mühsam ist, das alles mit Textverarbeitung aufzuschreiben, habe ich Papier und Kugelschreiber geholt....

Hier erst noch einmal die Aufgabe:

Und nun zur Lösung:

Wir schreiben erst einmal den Impuls- und den Energieerhaltungssatz hin.

Dann vereinfachen wir, sortieren die Gleichungen um, wenden die dritte binomische Gleichung an und dividieren die beiden so erhaltenen Gleichungen (2) durch (1). Dann kürzt sich alles raus und wir erhalten eine ganz einfache Gleichung, die uns erlaubt, bei einem Stoßvorgang dieser Art einfach nur (bestimmte) Geschwindigkeiten zu addieren. Um erst einmal u1, die Geschwindigkeit der Masse m nach dem Stoß, zu erhalten, müssen wir in Gleichung (1) u2 ersetzen und dann mit einigen Tricks nach u1 auflösen.

Dann nehmen wir Gleichung (3) und erhalten dann die andere gesuchte Geschwindigkeit u2.

Nun kennen wir alle Geschwindigkeiten und können den Energieerhaltungssatz überprüfen:

Das war sozusagen die Kür der Kür...

Wer das wirklich verstehen möchte, sollte sich die Herleitung selbst auf ein Blatt hinschreiben und jede Umformung ausführen.

Zum besseren Verständnis erkläre ich auch die wichtigsten Schritte in dem folgenden 10-minütigen Video:

Das war der Exkurs in die extreme Welt für Mathe-Nerds...so ganz nebenbei...weder diejenigen, denen das zu hoch ist, noch diejenigen, die das so richtig toll finden, müssen jetzt beschämt nach unten schauen...

Ach die Rechenaufgabe habe ich ja fast vergessen:

Wir nehmen m = 1 und M = 16 und benutzen Gleichung (4):

u1 = (1-16)/(1+16)  * 20 000 km/sec  = - 17647 km/sec

Das Neutron prallt fast mit der gleichen Geschwindigkeit, mit der es angekommen ist, am Sauerstoffkern ab.

Gleichung (5) gibt uns an, welche Geschwindigkeit der Sauerstoffkern bekommt:

u2 = 2*1(17 *20 000 km/sec = 2354 km/sec

Er wird nicht all zu schnell. Das bedeutet auch, dass das Neutron nur wenig Energie an den Sauerstoffkern gegeben hat.

Nun wiederholen wir die Rechnung mit m=1 und M=1:

u1 = 0 km/sec

u2 = 20000 km/sec

Das Neutron verliert seine gesamte Energie und gibt es an das Proton ab.

Wenn da  Neutron noch Energie behalten will, bremst man es durch ein Deuteron ab, das ist ein Kern aus einem Proton und einem Neutron. Deswegen wird oft sog. schweres Wasser als Abbremsmittel in Kernkraftwerken genutzt.

In den Zusatzseiten werde ich in den nächsten Tagen etwas über Wolfgang Pauli schreiben, der vor etwa 90 Jahren voller Verzweiflung die Gültigkeit des Impulserhaltungssatzes gerettet hat, in dem er etwas eingeführt hat, was mit nichts reagiert und was man nicht nachweisen kann...

Auch wenn es nur eine Zusatzseite ist, lest es euch ruhig mal durch, ist vielleicht spannender als diese Rechnerei...