P 162: Gitarren

 29.5 Stimmen und Spielen von Gitarren

Wir wollen diesen Bereich nur kurz anschneiden:

Eine Gitarre besitzt 6 Saiten, die fest eingespannt sind. Jede Saite hat eine Eigenschwingung einer bestimmten Frequenz. Diese Frequenz ist neben dem Material besonders durch die Dicke der Saite bestimmt: dicke Saiten schwingen mit niedrigerer Frequenz als die dünnen Saiten.

Gleichzeitig kann man aber die Eigenfrequenz auch durch Spannen der Saite verändern. Das passiert beim Stimmen.

Dazu sind die Saiten über sog. Wirbel spannbar befestigt.

Bild aus dem von H.Schneider zusammengestellten Material für den FutureSpace.

Wenn man auf einer Saite verschiedene Töne spielen möchte, dann muss man die Länge der Saite ändern. Das macht man durch Abgreifen und Festdrücken der Saite auf den Stegen, die als Bünde bezeichnet werden.

Diese Zusammenhänge könnt ihr besser verstehen, wenn ihr Eigenschwingungen als stehende Wellen behandelt und dann auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen in den Saiten berücksichtigen könnt.

Damit alle Saiten zusammen harmonisch klingen, müssen sie aufeinander abgestimmt werden.

Dazu wird der jeweils gleiche Ton auf zwei Saiten erzeugt. Stimmt die Frequenz genau überein (die Gitarre ist gestimmt), dann hört man einen einzigen Ton. Sobald die beiden Frequenzen auch nur leicht voneinander abweichen, verändert sich die Lautstärke des Tones regelmäßig, schwebend, fast sirenenartig.. Das nennt man eine Schwebung.

Beim Stimmen wird so lange die Spannung einer Saite durch Drehen der Wirbel verändert, bis  man keine Schwebung mehr hört, also wirklich nur ein konstanter Ton zu hören ist.

Ein sehr schönes Video zu Schwebungen hat Ulrich Schütz ins Netz gestellt:

Hier sind es nicht zwei Gitarrensaiten, sondern zwei Stimmgabeln, die durch ein Metallstück abgestimmt werden.

Nun bleibt noch ein letztes kurzes Kapitel zu chaotischen Schwingungen auf unserer Frageliste.

P 160: Gedackt oder nicht gedackt...das ist die Frage!

 29.3 Schwingungen in Orgelpfeifen

Orgeln haben zwar Tastaturen wie ein Klavier, sind aber Blasinstrumente. Ein Blasebalg erzeugt einen Luft-Überdruck im Innenraum. Beim Herunterdrücken der Taste wird ein Ventil geöffnet, dass den Luftstrom zu einer Pfeife lenkt, die dann erklingt.

Jede Pfeife erzeugt den Ton ihrer Grundschwingung und den Klang durch die Oberschwingungen.

Der eintretende Luftstrom wird an einer Schneide (Labium) geteilt und erzeugt Wirbel, die Eigenschwingungen der Pfeife anregen (dazu kommt mehr im nächsten Post).

Der Lufteintritt gilt als offenes Ende.

Ist die Orgelpfeife am oberen Ende auch offen, so schwingen in der Grundschwingung am Eintritt und am oberen Ende zwei Bäuche. In der Mitte befindet sich ein Knoten.

Durch sog. Stimmrollen kann die Länge der Luftsäule leicht verändert werden und so die Orgelpfeife gestimmt werden.

Bei einer gedackten Pfeife ist das obere Ende verschlossen. Somit muss dort ein Knoten sein und dann gibt es nur einen Schwingungsbauch am unteren Ende.

 

Experimentierorgel im FutureSpace

Die nächsten Bilder sind von H.Schneider aus dem Begleitmaterial unserer Reihe Physik und Musik im FutureSpace:

Darstellung des Luftstromes

Grundschwingung in offener und gedackter Pfeife

 

Vergleich Klaviersaite, offene und gedackte Pfeife: Welche Tonhöhe der Grundschwingungen sind gleich?

Grund-und Oberschwingungen bei offenen und gedackten Pfeifen

Auch offene Pfeifen können gestimmt werden.

Wie auch bei der Klaviersaite ist bei offenen Pfeifen die Zeit zum Synchronisieren t = L/c , wobei L die Pfeifenlänge und c die Schallgeschwindigkeit ist.

Wie bei der Klaviersaite gilt:

Damit sich die Grundschwindung einstellt, muss das Signal einmal zwischen den Knoten hin und her laufen. Die Periodendauer der Grundschwingung ist also P = 2*L/c.

Bei einer gedackten Pfeife "passt" nur eine Viertelschwingung hinein (als Grundschwingung), also ist die Periodendauer dort 4*L/c, also doppelt so groß. Die gedackte Pfeife hat also bei gleicher Länge  einen Ton bei halber Frequenz, also eine Oktave tiefer.

Unsere Experimentierorgel hat nur 2 Oktaven. Die linke ist für die gedackten Holzpfeifen hinten und die rechte Oktave für die offenen Metallpfeifen.

Lauschen wir mal:

Bleibt noch die letzte Frage zu klären...wie sorgen wir dafür, dass die Pfeife den richtigen Ton erzeugt?

P159 Fotos der besonderen Art

 29.2 Momentbilder von Klaviersaiten

Um die weiteren Fragen klären zu können, müssen wir noch eine weitere Darstellungsmöglichkeit von Schwingungen kennenlernen:

Normalerweise stellen wir Schwingungen durch Weg-Zeit-Diagramme des Oszillators dar und können den zeitlichen Ablauf der Schwingung erkennen. Das ist wie eine Filmaufnahme

Bei Eigenschwingungen gibt es beliebig viele nebeneinander liegende Oszillatoren, die alle miteinander abgestimmt schwingen. Da ist es sinnvoller, mit Fotografien die momentane Auslenkung aller Oszillatoren festzuhalten. Auch da erkennt man Sinus-Kurven, es ist aber die Auslenkung verschiedener Oszillatoren  gegen ihren  Ort aufgetragen. Eben ein Bild, ein Momentbild.

Oft zeichnet man gestrichelt noch einige weitere Momentbilder in das gleiche Bild ein.

(Für später: Das ist eine typische Darstellung für eine Welle und wir erklären hier gerade Momentbilder einer stehenden Welle).

Die Stellen, an denen die Oszillatoren mit hoher Amplitude schwingen, nennt man Bauch der Eigenschwingung. Es gibt Stellen, an denen die Oszillatoren stillstehen. Das sind Knoten.

Knoten und Bauch bleiben immer fest an den Orten stehen.

Nun nehmen wir als Beispiel einmal ein Seil, dass fest an beiden Enden eingespannt ist.

Das wäre z.B. eine Klaviersaite oder eine Gitarrensaite.

Das Seil hat eine Eigenschwingung mit einer Eigenfrequenz. Das kann nur so funktionieren, dass an den Enden (man nennt sie feste Enden) der dort sitzende Oszillator immer in Ruhe ist, sich also ein Knoten befindet.

Dann "passt" nur noch ein Bauch dazwischen.

Damit dieser Bauch entsteht, müssen alle Oszillatoren synchron, wenn auch mit unterschiedlichen Amplituden, schwingen. Dass geht nur bei einer bestimmten Frequenz, sonst passt die Synchronisierung nicht. In diesem Bauch schwingen alle Teile der Saite gleichphasig.

Diese Frequenz hängt von der Geschwindigkeit c ab, mit der ein Signal sich längs des Seils ausbreiten kann (bei der Orgelpfeife ist es die Schallgeschwindigkeit) und von der Länge L des Seiles (der Pfeife):

Aus der bekannten Formel s = v*t erhalten wir L = c * t, dabei ist t = L/c die Zeit, die das Synchronisierungssignal (später sagt ihr: die Welle) braucht, um das Seil entlangzulaufen.

Damit sich die Grundschwindung einstellt, muss das Signal einmal zwischen den Knoten hin und her laufen. Die Periodendauer der Grundschwingung ist also P = 2*L/c.

Nun nehmen wir den Fall der ersten Oberschwingung. Synchrones Schwingen geht auch, wenn sich bei zwei festen Enden in der Mitte ebenfalls ein Knoten befindet. Da jetzt der Knotenabstand halbiert ist, benötigt das Synchronisierungssignal zwischen zwei Knoten nur noch die halbe Zeit: Die Periodendauer hat sich halbiert, die Frequenz der ersten Oberschwingung verdoppelt. Der Oberton ist eine Oktave höher.

Es gibt zwei Bäuche, in denen die Saitenteile gegenphasig zueinander schwingen. Das gilt auch bei höheren Oberschwingungen.

Aus dem Begleitmaterial der Lerninseln vom FutureSpace (H.Schneider)

In einer unserer Lerninseln haben wir auch einen Versuch dazu aufgebaut:

Eine Saite schwingt immer in der Grundschwingung und ihren Oberschwingungen. Welche Oberschwingungen wie stark vorkommen, wird durch die Eigenart der Saite festgelegt. So entstehen die unterschiedlichen Klängen von Klavier, Gitarre, Geige...

Und die tiefsten Grundschwingungen der Klaviertasten "ganz links" kann das Klavier gar nicht physikalisch erzeugen. Aber unser Gehirn berechnet die Grundfrequenzen aus den Oberschwingungen und lässt uns den richtigen Grundton "hören". Wir hören Töne, die es nicht gibt...

Siehe auch: 27.4.4 in Post P153:

Atome des Klangs

Im nächsten Post schauen wir nun konkret auf Orgelpfeifen, die haben auf keinen Fall zwei feste Enden, trivial (und zu sehr vereinfacht, aber dennoch hilfreich) gesagt: die Luft muss ja rein und der Ton raus kommen....

P 154 Die Ursache aller Strukturen

 28. Wie kann man ein Pendel zum Schwingen bringen?

Die Antwort ist klar: Man muss dem Pendel Schwung geben. Die Zufuhr von Impuls kann aber auf zwei völlig verschiedene Arten gehen: einmalig und ständig

28.1 Einmalige Zufuhr von Schwung

Bastle Dir aus Schürsenkel und Schlüssel ein einfaches Fadenpendel und hänge es am besten auf.

Auf zwei Arten kannst Du dem Pendel Schwung geben:

- Auslenken und loslassen.

- Anschubsen

Beim ersten Fall kommt der Schwung aus der Gravitation der Erde. Im zweiten Fall kommt der Schwung aus Deinen Muskeln.

Wie stark auch immer der Schwung ist, das Pendel schwingt immer in einer ihm eigenen Frequenz.

Diese Frequenz nennt man Eigenfrequenz und die zugehörige Schwingung Eigenschwingung (in technischer Literatur, insbesondere im Englischen spricht man von Mode, der Schwingungsmode.

Versuche:

Ändere die Pendellänge und ändere jeweils durch An- oder Abhängen von Gegenstanden die Masse m des Pendelkörpers.

Gibt dem Pendelkörper Schwung, wie auch immer. Was beobachtest Du?

Die Masse beeinflusst die Eigenfrequenz nicht (das haben wir schon besprochen: Alle Körper fallen gleich schnell). Aber die Eigenfrequenz hängt von der Pendellänge ab: Je länger das Pendel ist, desto niedriger ist die Eigenfrequenz.

Lange Pendel schwingen langsam.

Es gilt die Formel, die wir später auch herleiten:

Aufgabe: 

Welche Länge muss ein Pendel für die Periodendauer 1 sec auf der Erde und auf dem Mond haben?

Lösungshinweise: Du musst die Formel nach l auflösen, d.h. erst einmal quadrieren:

   P² = 4* π² *l/g, dann nach l auflösen: l = g*P²/(4* π²).

Auf der Erde ist g = 10 m/sec² und auf dem Mond 1/6 so groß.

Damit erhältst Du:

Pendellänge  auf der Erde etwa 25,2 cm

Pendellänge  auf dem Mond etwa 4,2 cm

Von einem Sekundenpendel spricht man blöderweise übrigens, wenn die halbe Schwingung 1 sec dauert.

Wie lang ist also ein Sekundenpendel?

1 m auf der Erde, etwa 17 cm auf dem Mond.

Flächen oder Körper besitzen mehrere Eigenschwingungen, mehrere Moden. Welche man anregt, hängt von der Art der Impulszufuhr ab.

Das wollen wir hier nicht vertiefen.

Wir werden aber bald eine andere Möglichkeit kennenlernen, Eigenschwingungen anzuregen.

Hier Bilder der möglichen Eigenschwingungen einer Metallplatte. Überall da, wo sie nicht (!) schwingt, bleibt drauf gestreuter Sand liegen.

Bild: Physik Uni Oldenburg

Auch das heiße Urknallgas ist 380 000 Jahre nach dem Urknall zu verschiedenen Eigenschwingungen gekommen. Deren Überlagerungen haben ein Netzwerk erzeugt, aus dem sich später die Galaxien gebildet haben.

Diese Aufnahme des Urknallgases mit Mikrowellen zeigt das Muster, was aus der Überlagerung aller Eigenschwingungen entsteht. Aus den blauen Flecken haben sich die Galaxien gebildet.

Dass hier verschiedene Eigenschwingungen vorliegen, erkennt man, wenn man eine Fouriertransformation (siehe Post 153) macht, also ausrechnet, welche Frequenzen mit welchen Amplituden schwingen:

Ist es nicht fantastisch:

Die Strukturen unserer Welt sind aus den Eigenschwingungen des Urknallgases entstanden.

Vertiefen und Üben:

(i) Formuliere „je mehr-desto mehr/weniger“ – Beziehungen zwischen Periodendauer und Pendellänge (vergleiche mit den Ergebnissen des durchgeführten Versuches) bzw. Periodendauer und Stärke des Gravitationsfeldes (fahr zum Mond)

(ii) Erkläre anschaulich mit Hilfe der früheren Posts:

- Die Periodendauer ist unabhängig von der Masse des Pendelkörpers.

- Die Periodendauer nimmt zu, wenn das Pendel länger ist.

- Die Periodendauer nimmt zu, wenn die Schwerkraft kleiner wird.

Tipp: Beschäftige Dich mit der Rückstellkraft

P 153: Atome des Klangs

 27.4 Alles ist harmonisch zusammengesetzt

Beliebige periodische und nicht periodische Vorgänge lassen sich durch Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen mit bestimmten Frequenzen und Amplituden erzeugen. Nach dem Erfinder Fourier spricht man von Fourier-Analyse oder Fourier-Transformation FT, wenn die Frequenzen und Amplituden derjenigen Sinus- oder Cosínus-Funktionen berechnet werden, die man zur Darstellung des Signals benötigt.

Bevor wir uns mit der  Fourieranalyse kurz beschäftigen, hier erst  weitere Beispiele für harmonische und nicht harmonische Schwingungen:

27.4.1 Harmonisch/nichtharmonisch

Die Schaukel kann sowohl harmonisch als auch nicht-harmonisch schwingen, bei kleinen Auslenkungen ist die Kraft linear zur Auslenkung (die Sinuskurve verläuft praktisch gerade im Bereich um 0°), d.h. die Schwingung ist harmonisch.

Bei großen Auslenkungen ist das Pendel / die Schaukel nicht harmonisch.

Ein Federpendel wird mit einer (linearen) Metallfeder harmonisch sein, mit einem (nicht linearen) Gummiband nicht.

Beim Auto werden oft nicht lineare Schraubenfedern in den Federbeinen eingesetzt.

Kugeln in einer parabelförmigen Schüssel werden harmonisch schwingen, in anderen beliebigen Formen nicht.

• Harmonische Schwingungen:

Feder-Schwere-Pendel, Fadenpendel (nur bei kleinen Auslenkungswinkeln); Flüssigkeitssäule in einem U-Rohr (typische LK-Abituraufgabe, werden wir noch vorstellen); Spannung bei üblichem Wechselstrom (Thema Q2); Schwingung von Spannung und Stromstärke im elektromagnetischen Schwingkreis (Thema Q2)

• Nicht-Harmonische Schwingungen:

Hoch- und Runterhüpfen eines Balls/Flummis etc.; Fadenpendel bei großem Auslenkungswinkel

Aber: Jede nichtharmonische Schwingungen lässt sich aus harmonischen Schwingungen zusammensetzen!

27.4.2 Zusammensetzen von Schwingungen

Das Beispiel zeigt, wie man mit Sinuskurven eine Kippschwingung zusammensetzen kann. Die Frequenz wird jeweils verdoppelt, die Amplitude sinnvoll verkleinert. Dann werden alle Auslenkungen aufaddiert.

Die Bilder habe ich mit dem Geogebra-Programm von K. Lindner gemacht, der Link zum Selbstausprobieren steht drunter...

Zusammensetzen zu einer Kippschwingung

27.4.3 Zerlegen in Einzelschwingungen

Wenn ein kompliziertes Signal gegeben ist, kann man mit Hilfe nicht einfacher Rechnungen diejenigen harmonischen Schwingungen bestimmen, durch deren Überlagerung das gegebene Signal entstanden ist.

Beispiele sind in der  Abb. zu sehen:

Die jeweils untere Kurve ist die Fouriertransformierte der darüber stehenden Schwingung. Die Fouriertransformierte gibt an, mit welchem Anteil A (Wert) eine bestimmte Frequenz (x-Wert) vorkommt, man nennt die Darstellung auch das Spektrum des Signals (Anteile nach Frequenz geordnet).

Bei einer reinen Schwingung taucht nur eine Frequenz auf (oberes Bild), bei einer Schwebung natürlich zwei nahe beieinander liegende Schwingungen.

So kann man auch Klangbilder analysieren:

Bei einer Klarinette kommt auch immer die 3-, 5-, 7-, fache Frequenz des Tones vor.

Bei einer Oboe dagegen die 2-, 4-, 6 fache Frequenz und die Schwingung bei der doppelten Frequenz ist stärker als die Schwingung bei der eigentlichen Frequenz des Tones.

27.4.4 Unser Ohr kann Fouriertransformation

Der ankommende Klang wird durch die Härchen im Innenohr in einzelne Frequenzen zerlegt, deren Stärke getrennt wahrgenommen wird. Daraus setzt das Gehirn dann den Klang erneut zusammen.

(Informiere Dich mal in einem Biobuch darüber, wie unser Ohr funktioniert).

Der Klang entsteht also in unserem Gehirn. Das wussten schon Komponisten vor vielen Jahrhunderten. Sie setzen durch das Orchester Schwingunen zusammen, die zu einem neuen Klangbild in dne Zuhörer/innen führten, ohne dass dieser Klang im Raum physikalisch messbar gewesen wäre.

Das gilt noch heute für Klaviertöne:

Im oberen Bild sehen wir das sog. Frequenzspektrum der 75 Hz Schwingung. Besonders stark ist die Schwingung beim sechsfachen Wert (450 Hz), die eigentliche Schwingung bei 75 Hz ist ganz schwach. Dies liegt am Resonanzverhalten des Klaviers. Es ist bei diesen tiefen Frequenzen nicht in Resonanz und die Saitenschwingung wird nicht verstärkt.

Trotzdem hören wir nicht den Ton bei 450 Hz sondern den bei 75 Hz. Unser Gehirn berechnet aus dem Klangbild das Frequenzspektrum und ordnet den Ton richtig zu.

Wird eine Saite bei 50 Hz angeschlagen, so strahlt das Klavier diesen Ton überhaupt nicht ab (unteres Bild). Über die Fourieranalyse erkennt unser Gehirn aber, dass die Saite diesen Ton erzeugen muss und konstruiert die Wahrnehmung!

Wir hören beim Klavierspiel Töne, die es gar nicht gibt!

Entsprechendes gilt auch für Pauken und Kirchenglocken.

·         

P 152: Erst mal die Lösungen...

 Damit ihr nicht blättern müsst, hier nochmal die Aufgaben:

1) Wie groß ist die Auslenkung eines Federpendels nach 17 sec, das zum Zeitpunkt 0 in der Ruhelage startet und mit einer Frequenz von 0,3 Hz bei einer Amplitude von 6 cm schwingt?

Nicht vergessen, den Taschenrechner auf Bogenmaß umzustellen!

Zur Frequenz 0,3 Hz gehört eine Periodendauer von 1/0,3 = 3,33 sec.

Das bedeutet: Nach 17 Sekunden sind 5,1 Perioden abgelaufen und es wird diese Auslenkung erneut angenommen.

2) In einem Kreisbild werden zwei Schwingungen dargestellt, deren Zeiger einen Winkel von 180° einschließen.

Zeichne die beiden WZD in einen Graphen (Amplituden sollen gleich sein, Frequenz beliebig)

Solche Schwingungen nennt man gegenphasig.

Das Bild dazu findet man im schulphysikwiki

3) Wie würden die WZD zweier gleichphasiger Schwingungen aussehen, deren Amplituden sich um einen Faktor 2 unterscheiden.

Kannst Du das Kreisbild dazu zeichnen, mit den Zeigern?

4) Nun sollen die beiden Zeiger einen Winkel von 90° einschließen.

Zeichne das Kreisbild und überlege Dir die WZD.

Um die Kurven zu erzeugen, stell Dir vor, dass sich beide Zeiger gegen den Uhrzeigersinn gemeinsam drehen.

Der Kreis ist nur als Hilfe eingezeichnet, er hat keine Bedeutung mehr.

Letztlich ist eine um 90° phasenverschobene Sinus-Kurve eine Cosinus-Kurve.

Ihr kennt die Formeln:

 sin φ = cos (90° - φ) bzw.  cos φ = sin (90° - φ)

   sin 30° = cos 60° = 0,5

Das wird später wichtig bei erzwungenen Schwingungen und der Resonanz. Eine Cos-Schwingung kann optimal Energie auf eine Sin-Schwingung übertragen: Die cos-Kurve "zieht" die sin-Kurve in ihre Richtung...

P 150: Am liebsten harmonisch!

 27. Wie kann man eine Schwingung beschreiben?

27.1 Harmonische Schwingungen

Wenn man eine Kreisbewegung von der Seite ansieht, erkennt man nur ein Hin- und her...eine Schwingung.

Fachlicher ausgedrückt: Die Projektion einer Kreisbewegung ist eine Schwingung.

In diesem Video ist das wunderbar für eine Federschwingung zu sehen (das Justieren und Abstimmen muss Stunden gedauert haben...):

Aber umgekehrt gilt das nicht: Es gibt Schwingungen, die man nicht als Projektion einer Kreisbewegung darstellen kann (z.B. die Dreiecksschwingung).

Das Weg-Zeit-Diagramm der Projektion einer (gleichförmigen) Kreisbewegung ist eine Sinuskurve. Und solche Schwingungen, also die Sinus-Schwingungen, nennt man auch harmonisch.

 Bild aus leifiphysik

Hier ist r der Kreisradius und y(t) die Auslenkung. Die gelben Pfeile markieren die Projektionsrichtung.

Harmonische Schwingungen sind besonders wichtig, aber auch einfach zu beschreiben: Bei ihnen ist die rücktreibende Kraft immer proportional zur Auslenkung.

Blick einmal zurück: Wann sind Pendelschwingungen harmonisch?

--- Nur bei kleinen Auslenkungen, wenn der Unterschied zwischen dem Bogen und der seitlichen Auslenkung vernachlässigbar ist, also x in etwa so lange ist wie s. Nur der Auslenkungsbogen s und der Auslenkungswinkel φ sind zueinander proportional: s/(2π l) = φ/(2π), hierbei ist der Winkel  φ im Bogenmaß angegeben (2π entspricht dann 360°).

Durch Kürzen erhält man: s = φ * l

l ist also als Pendellänge die Proportionalitätskonstante, wenn man φ im Bogenmaß angibt.

Übrigens: Ganz entsprechende Formeln hatten wir bei der Einführung der Kreisbewegung: s = φ*r).

Federschwingungen sind, so lange die Feder nicht überdehnt wird, immer harmonisch. Und hier kennen wir auch die Federkraft als rücktreibende Kraft: F = D * s  (D: Federkonstante, Hookesches Gesetz).

Also: Das Hookesche Gesetz sorgt für eine harmonische Federschwingung.

In Mathematik hattet ihr eigentlich alles zu diesem Thema. Denn über Kreise habt ihr die Sinusfunktionen für den Winkelbereich bis 360° eingeführt. Nur hat sich da nichts bewegt...und es gab auch keine Verbindung zur physikalischen Welt.

Deshalb wiederholen wir das im nächsten Post nochmal.

P 148: Die Globalisierung beginnt

26.3 Die erste Globalisierung

Rückkopplungsprozesse stabilisieren nicht nur Schwingungen, sondern können auch Strukturen erzeugen:  Sie  sind wesentlich bei der Entwicklung von sog. dynamischen Systemen. Durch sie bilden sich Strukturen und Muster. Durch die Rückkopplung der Aktivität der Gehirnneuronen auf das Gehirn selbst (nach ca. 3 „Takten“ ist ein Signal eines Neurons wieder beim gleichen Neuron angekommen, 99,9% der Eingangssignale von Gehirnneuronen stammen von anderen Gehirnneuronen, nur die restlichen 0,1% sind Sinneseindrücke) entsteht die Selbstwahrnehmung des Gehirnes, die wir Bewusstsein nennen.

Die Entdämpfung von Pendelschwingungen durch Rückkopplung hat auch zur ersten Globalisierung geführt:

Um auf dem Seeweg andere Länder/Kontinente (wieder) zu finden, muss man navigieren können. Die geographische Breite lässt sich mit für die damalige Zeit ausreichender Genauigkeit über die Höhe des Polarsternes über dem  Horizont bestimmen. Die geographische Länge erhält man nur über den Zeitvergleich zwischen dem täglichen Höchststand der Sonne beim Schiff und auf einer Landstation mit bekannter Breite. Da es damals noch kein Funk gab, musste man eine Uhr an Bord haben, die die entsprechende Sonnenzeit der Landstation anzeigte.

Frage: Welchen Längenunterschied gibt es, wenn auf dem Schiff zur Zeit des Sonnenhöchststandes die Pendeluhr für die Hafenzeit 11.00 Uhr anzeigt?

Denke daran: 360° Längenunterschied (einmal um die Erde herum) entsprechen 24 Stunden.

Vor 1759 lief Navigieren etwa so ab:

- Segel so lange nach Norden oder Süden, bis Du die gewünschte geographische Breite erreicht hast. Ist das Wetter mehrere Tage schlecht, musst Du eventuell zurücksegeln.

- Dann überleg Dir, ob Du nach rechts oder links abbiegen willst. Hast Du keine Informationen, dann wirf eine Münze.

- Nun segel auf gleicher Breite weiter, bis Du ankommst oder auch nicht....

Die Entdämpfung der Pendeluhrschwingungen ermöglichte also endlich eine Längenmessung und damit den globalen Schiffsverkehr: die Kolonialisierung der Welt (nicht immer zum Vorteil für die betroffenen Völker!)begann. Erfinder war Christiaan Huygens (1656), dessen Namen wir heute für die Impulseinheit kg*m/sec verwenden.

Aber eine Pendeluhr ist noch zu anfällig für Störungen. 1714 hat England ein Preisgeld zur Lösung des Navigationsproblems durch Erfinden einer stabil laufenden Uhr, einer Schiffsuhr, ausgesetzt.

Sein ganzes Leben lang widmete sich der Uhrmacher John Harrison (1693-1776) der Lösung dieser Aufgabe.

Bis 1727 konstruierte er Standuhren, die nur eine Abweichung von 1 Sekunde/Monat hatten.

Dann baute er Schiffsuhren. Die erste, H1, war 1735 fertig und erfolgreich auf einer Seereise nach Lissabon getestet. Aber die Strecke war für die Auszahlung des Preisgeldes zu kurz.

Das beste Modell, die H4, zeigte 1761 auf der 81-tägigen Seereise nach Jamaika nur eine Abweichung von 5 Sekunden.

Durch Intrigen erkannte aber das Preiskomitee diesen Erfolg nicht an. Erst durch Eingreifen des Königs erhielt Harrison 1773, drei Jahre vor seinem Tod, das gesamte  Preisgeld.

Bilder: wikipedia common

Ab 1920 wurde mit Zeitzeichensendern navigiert und heute nutzt man die Navigationssatelliten, wie beim Autofahren.

Weitere Informationen:

Das GPS des Mittelalters

Und hier ein Vortrag von mir zum Thema:

P 146: Gib mir mal Schwung....

 26. Wie kann man eine Schwingung aufrecht erhalten?

26.1 Rückkopplung

Wenn ein schwingendes System (Oszillator) Energie an die Umgebung abgibt (z.B. durch Reibung), so ist die Schwingung gedämpft, die Amplitude nimmt ab.

Um die Schwingung aufrecht zu erhalten, muss man die abgegebene Energie wieder im richtigen Moment zuführen.

Frage:

Was bedeutet hier: „richtiger Moment“? Erläutere dies an einem auf einer Schaukel sitzendem Kind, das von einer Person immer wieder angestoßen wird, also immer wieder Energie bekommt...

Wenn der Oszillator über eine Steuervorrichtung diese Energiezufuhr aus einem Energiereservoir selbst steuert, spricht man von einer Entdämpfung der Schwingung  durch Rückkopplung.

Das Schema einer Selbststeuerung durch Rückkopplung zeigt die folgende Abbildung: 

Erläutere die Abbildung. Schreib einen kleinen Text, der zu den Elementen der Abbildungen die entsprechenden Objekte beim Schaukeln eines Kindes in Beziehung setzt.

Falls Du keine schaukelnden kleinen Geschwister hast, kannst Du auch spannende Rückkopplungen selbst erzeugen:

-          Versuch zur Videorückkopplung:

Halte eine an einem TV-Gerät angeschlossene Videokamera oder Handy  schräg auf den Bildschirm und stelle durch Zoom den Bildausschnitt so ein, dass der Bildschirm auf sich selbst abgebildet wird. Drehe jetzt die Kamera und betrachte die durch Rückkopplung entstehenden stabilen, periodischen oder chaotischen Muster.

Es gibt nur wenige Beispiele bei YouTube:

 

- Versuch zur Akustik – Rückkopplung:

Halte ein über einen Verstärker angeschlossenes Mikrofon in die Nähe des Lautsprechers. Identifizier die Bauteile in der obigen Abbildung.

Wie hängt die Rückkopplungsfrequenz vom Abstand Lautsprecher-Mikro ab?

Was macht die Rückkopplung? Was ist das Energiereservoir?

Im nächsten Post werden wir sehen, wie die Erfindung der Rückkopplung die Welt verändert hat und zur ersten Globalisierung geführt hat.

P 145: Hier geht es zur Lösung...

 Lösungen:

Einigermaßen gut erkennt man, dass die Amplituden nicht linear abfallen sondern der Graph immer flacher verläuft.

Nach 4 Sekunden hat sich die Anfangsamplitude von 4 cm auf 2 cm halbiert. Auch von 3 cm auf 1,5 cm dauert es genau 4 sec, und natürlich von 2 auf 1 cm ebenfalls 4 sec.

Das ist typisch für einen exponentiellen Abfall.

Diese 4 Sekunden nennen wir die Halbwertszeit τ. Immer nach der Halbwertszeit halbieren sich die Werte.

Damit kann man die Amplitude gut beschreiben:

 Maximale Auslenkung zur Zeit t = Startwert * (1/2)^(t/τ) = 4 cm* 0,5^(t/4sec).

Rechnet mal die gemessenen Amplituden nach. So einigermaßen stimmt es.

Die Periodendauer ändert sich nicht. Man erkennt das sofort daran, dass die Abstände der Nulldurchgänge immer gleich bleiben.

Mit diesen Informationen kann man auch ausrechnen, wann die Amplitude unter 0,1cm = 1 mm gesunken ist (links immer 4 sec dazuzählen, rechts immer halbieren)

Zeit                     Amplitude

0 sec                     4 cm

4 sec                     2 cm

8 sec                     1 cm

12 sec                   0,5 cm

16 sec                   0,25 cm

20 sec                   0,125 cm

24 sec                    0,063 cm

Zwischen 20 und 24 sec dauert es...wir können aber hier nicht interpolieren, da der Zusammenhang nicht linear ist...

Zur genauen Berechnung muss also eine Formel her.

Hier ist sie:

0,1 cm = 4 cm*0,5^(t/4)

Da die gesuchte Größe t im Exponenten steht, müssen wir auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus log anwenden:

log 0,1  = log[4*0,5^(t/4)]

Ihr habt die Rechenregeln für Logarithmen kennengelernt:

log(a*b) = log a + log b

log(x^y) = y*log x

Damit erhält man:

log 0,1 = log 4 + t/4* log 0,5

Diese Gleichung kann man nun nach t umstellen:

t = (log 0,1 - log 4)*4/log0,5

Tippt man das in einen Taschenrechner ein, so ergibt sich t = 21,3 sec.

Das passt gut zu unserer Abschätzung oben.

Ihr müsst die Rechnung oben nicht nur nachvollziehen, sondern sie selbst (ausführlicher) in euerem Heft aufschreiben.

P 144: Wer den Sinus nicht mag....

 mag vielleicht  die Exponentialfunktion?

25.3 WZD der gedämpften Schwingung

Wenn ein Fadenpendel hin- und her schwingt, wird ständig potenzielle Energie der Pendelmasse in kinetische Energie umgewandelt und umgekehrt. Bei einem Federpendel spielt die potenzielle Energie keine Rolle: hier findet die Umwandlung zwischen der in der Feder gespeicherten Energie (die man auch als eine besondere potenzielle Energie ansehen kann) und der kinetischen Energie statt.

Bei diesen Umwandlungsprozessen wird natürlich auch Energie entwertet. Das macht sich in einer stetigen Abnahme der Amplituden bemerkbar. Wir sprechen von einer gedämpften Schwingung.

Bei der Schwingung des Stoßdämpfers eines Autos will man eine starke Dämpfung, bei der Schwingung des Pendels einer Uhr soll die Dämpfung möglichst schwach sein.

Woran erkenne ich, ob eine Dämpfung besonders stark ist?

Je schneller die Amplitude abnimmt, desto stärker ist die Dämpfung.

Versuch: Nimm ein Fadenpendel (Gewicht an einem Faden) und lass es in Luft pendeln und dann so, dass sich der Pendelkörper im Wasser (Waschbecken, Badewanne, Swimming-Pool, Ostsee) bewegt. Da siehst Du, was Dämpfung ausmacht.

Das wollen wir einmal genau vermessen:

Die Abbildung zeigt das WZD einer gedämpften Schwingung.

Bestimme alle Amplituden und trage sie gegen die Zeit auf.

Beachte: Die erste Amplitude liegt bei t=0 vor. Ich würde also jeweils auch nach einer halben Periodendauer messen. Amplituden sind immer positiv.

Letztlich kannst Du auch die Amplituden oberhalb der t-Achse direkt verbinden.

Zeige:

a) Die Periodendauer bleibt konstant, verändert sich nicht durch die Amplitudenabnahme.

b) Gibt es eine feste Zeit, nach der sich jeweils die Amplitude halbiert hat?

c) Wann wird die Amplitude (nicht Auslenkung!) unter 1 mm gesunken sein?

d) In der Mittelstufe hast Du sicher die Funktion f(x) = (1/2)^x kennengelernt.

     Wiederhole das und versuche die Abnahme der Amplitude durch eine solche Funktion zu beschreiben.

     Wer schon die e-Funktion kennt: f(x) = exp(-x) = e^(-x), kann auch damit arbeiten.

P 143: Von allen geliebt...der Sinus

 25.2 Die Sinusschwingung

Für kleine Auslenkungen erkennt man wirklich eine Sinus- oder Cosinus-Kurve als WZD  (je nach Startpunkt).

Wir werden das später näher begründen, aber bei solchen sinusförmigen Schwingungen ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung (hier der Auslenkungswinkel  φ, der von der Zeit t abhängt:  φ(t)).

Wir erkennen an der Skizze auch woran das liegt:

Das eingezeichnete Dreieck ist rechtwinklig mit x als Gegenkathete zu  φ und die Pendellänge l als Hypotenuse. 

Dann gilt: sin  φ  = x/l

Für sehr kleine Winkel (und nur dafür schwingt das Fadenpendel sinusförmig) ist x so groß wie der Bogen s(t), also der zurückgelegte Weg.

Dafür können wir also schreiben:

sin  φ = s(t)/l oder s(t) = l * sin  φ.

Das passt auch gut zu unserem optischen Eindruck der Schwingung:

In Zukunft wird der Sinus öfters vorkommen.

Wer möchte kann hier einige Infos über den Sinus nachabreiten:

Sinus

Aber nicht jede Schwingung läuft sinusförmig ab. Wir haben ja schon Rechteckschwingungen, Dreiecksschwingungen und Sägezahnschwingungen kennengelernt.

P 142: Mit Sand spielen...

 Aber vorher solltet ihr noch eine Übungsaufgabe lösen:

25. Wie schwingt ein Pendel?

25.1 Aufzeichnung von s(t) eines Fadenpendels

Wir wollen den Ort s des Pendelkörpers zur Zeit t wissen, also das Weg-Zeit-Gesetz WZG bzw. das Weg-Zeit-Diagramm WZD.

Da gibt es eine Reihe von trickreichen Experimenten.

Am einfachsten geht es mit einem Sandpendel:

Man bastelt aus Papier einen kleinen Trichter, der unten ein Loch hat.

Den hängt man als Pendelkörper auf, füllt ihn mit Sand und lässt das Pendel schwingen.

Das könnt ihr durchaus zu Hause selbst machen, Vogelsand ist sehr gut.

Damit man zeitaufgelöst den Ort registrieren kann, muss man nur ein (dunkles, damit man den Sand sieht) Blatt Papier unten drunter senkrecht zur Schwingungsrichtung wegziehen.

Warum senkrecht zur Schwingungsrichtung?

Die s- Achse steht im WZD auch senkrecht auf der Zeit-Achse...

Da gibt es schöne Versuche des Instituts für Physik der Universität Freiburg:

Und hier kann man sich auch ein kleines Video dazu anschauen:

Video

Die Kurve, die wir hier als WZD sehen, dürfte euch bekannt vorkommen...

Mehr im nächsten Post.

P 137: Die energetische Seite einer Schwingung

 24.3 Erklärung durch die Energieumwandlung

Betrachten wir noch einmal eine Schwingung eines Fadenpendels:

Versuche einmal, Dir zu den folgenden Fragen Gedanken zu machen:

Welche Energieformen treten auf? Wir wollen nur zwei Energieformen betrachten.

Sind die Energien immer gleich groß oder verändern sie sich während der Schwingung?

Wenn sie sich verändern, widerspricht das nicht dem Erhaltungssatz der Energie?

Wie lautet hier der Energieerhaltungssatz? Verwende dabei den Begriff der Gesamtenergie Eges.

Gibt es Pendelpositionen, bei denen nur eine Energieform vorliegt?

Nun lenke das Pendel aus und beschreibe den Ablauf der Schwingung durch das Auftreten und "Umwandeln" verschiedener Energieformen ineinander.

Welche Rolle spielt die Reibungsenergie Ereib? Gilt der Energieerhaltungssatz unter der Einwirkung von Reibung (an der Aufhängung, in der Luft), also bei einer gedämpften Schwingung, immer noch?

Die Antworten gibt es im nächsten Post.

Die Beschreibung einer Schwingung durch den Energieerhaltungssatz und die auftretenden Energieformen ist sehr wichtig. In der Q-Phase kann man im Leistungskurs daraus sehr schnell eine sog. Differenzialgleichung aufstellen, deren Lösung die mathematische Beschreibung einer Schwingung liefert.

Das wird oft im Abitur verlangt.

Gegen Ende des Schuljahres müsstet ihr soviel von Differenzialrechnung verstehen, dass ich das schon mal auf einer Extraseite erklären kann.

Jetzt lassen wir das aber erst einmal...

P 136: Der geliebte Sinus

 Ihr solltet wirklich einmal einige rücktreibende Kräfte durch Konstruktion bestimmen.

Mit der angegebenen Masse erhaltet ihr (unabhängig von der Pendellänge) zu den Auslenkungswinkel die folgenden Werte:

Die kann man in einem Graphen darstellen. Bei kleinen Winkeln sieht es so aus, als gäbe es einen linearen Zusammenhang, also als wäre die rücktreibende Kraft proportional zum Auslenkungswinkel.

Erst bei größeren Auslenkungswinkeln sieht man, dass die rücktreibende Kraft  immer langsamer anwächst:

Es sieht  wie bei einer Sinuskurve aus.

Das wird auch schnell klar:

Gewichtskraft, Seilkraft und rücktreibende Kraft bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der Gewichtskraft als Hypotenuse und der rücktreibenden Kraft als Gegenkathete zum Auslenkungswinkel φ:

sin φ = Gegenkathete/Hypotenuse = F/Fr und damit gilt für die rücktreibende Kraft:

Fr = F * sin φ

Die folgende Abbildung hilft euch bei der Erinnerung an die trigonometrischen Funktionen:

Im nächsten Post erklären wir den Schwingungsablauf über Energieumwandlungen.

P131: Alles schwingt!

 Teil V: Alles schwingt!

In vielen Schulen ist es nicht üblich, die Schwingungslehre in der E-Phase zu behandeln. Ich halte das für falsch!

Einmal sollte man etwas Neues, Interessantes kennenlernen und auch merken, wie Physik in unserem Alltag eine große Rolle spielt: Das Thema Physik und Musik wird uns besonders beschäftigen.

Und zum anderen ist die Q2 so vollgestopft mit Inhalten, dass es wünschenswert ist, vorher schon auf Schwingungen einzugehen.

Schwingungen spielen in der Natur eine ganz große Rolle: Wir werden sehen, dass man viele Erscheinungen durch die Überlagerungen von Schwingungen verstehen kann, ja die großräumige Struktur des Kosmos ist das Ergebnis von Schwingungen bei der Entstehung unserer Welt.

Dieser Unterrichtsteil kann ebenso gut in der Q2 gemacht werden, wir gehen hier aber nicht auf elektromagnetische Schwingungen ein.

Koppelt man Pendel aneinander, so entstehen Wellenerscheinungen.

Dies werden wir in unserem Kurs nicht mehr behandeln, vielleicht als kurzen Ausblick.

23. Was ist eine Schwingung?

23.1: Definition

Oft schaut man bei solchen Fragen in wikipedia nach:

Als Schwingungen oder Oszillationen (lateinisch oscillare ‚schaukeln‘) werden wiederholte zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen eines Systems bezeichnet. Unter Schwankung ist dabei die Abweichung von einem Mittelwert zu verstehen. Schwingungen können in allen rückgekoppelten Systemen auftreten. Beispiele für Schwingungen sind in der Mechanik, in der Elektrotechnik, der Biologie, in der Wirtschaft und in vielen anderen Bereichen anzutreffen.

Aufgabe: Übersetzt einmal diese Erklärung in eure eigene Sprache. Am besten vergleicht ihr die Geradeausfahrt eines Autos mit der Bewegung eines Pendels.

Besonders solltet ihr die unterstrichenen Textteile "übersetzen".

Bis ihr den kursiv geschriebenen Satz übersetzen könnt, vergeht noch eine Weile. An der Stelle muss man auch lernen, einfach über etwas "hinweg zu lesen"....

Vielleicht helfen euch auch die beiden Weg-Zeit-Diagramme:

Dann versucht einmal in eurer Umgebung, in Physik, Biologie...Beispiele für Schwingungen zu finden.

Kann man auch die Bewegungen der Planeten als Schwingungen ansehen?