P23 Wir spielen alle mal den Galileo

 3.4.2 Die Lösung

Schritt 1: Zusammenstellen der Daten

Wir haben folgende Informationen:

Geschwindigkeit beim Losrollen: v(0 sec) = 0 km/h

Geschwindigkeit biem Abheben: v(35 sec) = 260 km/h

Zeit vom Losrollen bis zum Abheben: 35 sec.

Schritt 2: Berechnung der mittleren Beschleunigung

Damit wir überhaupt weiterdenken können, müssen wir nun annehmen, dass das Flugzeug gleichmäßig beschleunigt. Das ist näherungsweise sicher richtig, aber in der Praxis wird der Pilot die Triebwerke erst langsam hochfahren, während er zu Rollen beginnt.

Aber unter der Annahme einer konstanten durchgehend gleichen Beschleunigung a gilt das WZG der gleichmäßig beschleunigten Bewegung: v(t) = a*t.

Damit können wir die Beschleunigung ausrechnen: v(35 sec) = a * 35 sec.

Macht das mal...Ihr müsst dazu natürlich die Geschwindigkeit in m/sec umrechnen.

Das Ergebnis: a = 2,06 m/sec².

Ist das realistisch?

Das ist etwa 20% der Fallbeschleunigung von 10 m/sec² auf der Erde. Man wird also mit "20% seines Gewichtes in den Sitz gedrückt". Das erscheint realistisch, denn man merkt ja den Start durchaus.

Zwischenziel erreicht.

Schritt 3: Gedanken zur Durchschnittsgeschwindigkeit

Was haben wir nun davon?

Erst einmal nichts...denn wir kennen ja, wie Galilei, das WZG nicht, d.h. wir wissen nicht wie der zurückgelegte Weg s von der Zeit t abhängt.

Aber jetzt kommt Galileis Trick:

Wir wissen, zu welcher Zeit t das Flugzeug abhebt. Wir wissen nicht wo. Nennen wir diese Strecke mal s(t), dann können wir aus der bekannten Zeit  t = 35 sec und unserer gesuchten Strecke s(t) eine Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit vd bestimmen: 

vd = s(t)/t.

Und diese Durchschnittsgeschwindigkeit können wir auch aus unseren bekannten Geschwindigkeiten ausrechnen:

Da das Flugzeug mit v = 0 losfährt und mit v(t) abhebt, muss es die Durchschnittsgeschwindigkeit 

vd = v(t) * 1/2 haben.

Schritt 4: Lösung mit unseren Durchschnittswerten

Nun sind wir am Ziel:

Anschaulicher letzter Schritt:

Wir bestimmen die Durchschnittsgeschwindigkeit vd = 260 km/h / 2 = 130 km/h.

Mit unserer Startzeit von t= 35 sec können wir daraus direkt die Länge der Startbahn ausrechnen: 

s(t) = 130 km/h * 35 sec.

Wir erhalten 1264 m.

Formaler letzter Schritt:

Wir haben zwei Formeln für die Durchschnittsgeschwindigkeit erhalten:

vd = s(t)/t  und vd = 1/2*v(t).

Setzen wir die rechte Seiten gleich, so erhalten wir s(t)/t = 1/2 * v(t) bzw.

      s(t) = 1/2*v(t) * t

Für v(t) haben wir aber auch eine Formel: v(t) = a*t.

Wenn wir das einsetzen erhalten wir s(t) = 1/2 * a * t * t, also s(t) = 1/2 * a * t².

Damit können wir aus der Rollzeit t die Strecke s(t) bis zum Abheben ausrechnen.

Von Rundungsfehlern abgesehen erhalten wir genau die Hälfte unseres falschen Wertes, wenn wir mit der Endgeschwinhdigkeit über den gesamten Startvorgang rechnen.

Ich hoffe, euch ist klar, warum das der Fall ist?

Was heißt das?

Konstrukteure vonm Startbahnen brauchen keine Ahnung von Mechanik zu haben, sie können falsch rechnen, erhalten aber einen umsetzbaren Wert, denn der falsche Wert ist der verdoppelte richtige Wert...falls sie nicht auf die Idee kommen, den aus Sicherheitsgründen auch nochmal zu verdoppeln.

Dann wird höchstens Beton verplempert...

Ich habe die gemachten Überlegungen noch einmal mit zwei Graphen und einem Bild in Verbindung gebracht.

 

Bitte schreibt einen Bildtext zu den beiden Graphen, aus dem hervorgeht, was an den Graphen in Hinblick auf unsere Aufgabenlösung erkannt werden soll.

Zusammen mit dem Lösungsweg übertragt das in eurer Heft und wir können dann in einem kurzen nächsten Post das Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung hinschreiben und anwenden.

 

P22: Bitte kommen Sie zum Gate 22

 3.4 Berechnung einer Startbahnlänge

3.4.1 Die Aufgabe

Ein Airbus A 380 hat eine Masse von 560 000 kg. Deshalb braucht er zum Abheben eine Geschwindigkeit von 260 km/h.

Beim Start einer A 380 habe ich mal die Zeit zwischen Losrollen an der Startbahn  und Abheben gestoppt. Ich bin auf 35 Sekunden gekommen.

Überlegt euch ein Verfahren, wie man mit den Angaben die Mindestlänge der Startbahn berechnen kann.

Hilfe: Was hat jemand gemacht, wenn 2527 m herauskommen? 

Warum ist dieser Wert zu groß?

Warum kann man so nicht vorgehen?

Ihr müsst auch sinnvolle Annahmen machen. Welche?

Der richtige Wert ist 1264 m. Wie kommt man da drauf?

Legt los...

Falls euch der errechnete Wert zu niedrig erscheint, ich war auch überrascht, wie schnell dieses Flugzeug abhebt. Eine Startbahn ist aber mindestens doppelt so lang wie unser errechneter Wert, da man ja auch einen Startabbruch und das Ausrollen in Betracht ziehen muss.

Bild wikipedia

 

   Im Cockpit

Anmerkung: In Hessen beginnen am Freitag die Herbstferien. Ich werde trotzdem, wenn auch etwas seltener, während der Ferien  weiterposten. Das erleichtert mir später die Arbeit und gibt aber auch Nutzern  aus anderen Bundesländern die Möglichkeit dabei zu bleiben.

P21: Wenn sich v gleichmäßig ändert

3.3 Das GZG der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz GZG, also die Formel, die angibt,wie sich v mi8t der Zeit ändert, ergibt sich direkt aus der Definition der Beschleunigung a:

Wir nehmen an, dass a konstant ist, d.h. sich nicht während der Bewegung ändert. Deshalb sprechen wir ja von der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Das Wort "gleichmäßig" drückt die konstante Beschleunigung aus.

Wie haben wir die Beschleunigung a in P19   definiert? 

 Starten wir die Bewgeung bei der Zeit 0 sec mit der Geschwindigkeit 0 m/sec, dann vereinfacht sich die Formel, vor allem wenn wir dann nur v und t schreiben:

Und damit sind wir beim GZG der gleichmäßig beschleunigten Bewegung:

   v(t) = a * t, mit a = const.  (damit ist gemeint: a ändert sich nicht während der Bewegung)

Den Graphen können wir sofort skizzieren, es ist eine Ursprungsgerade.

 

Was heißt das?

Bei einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung ist die Geschwindigkeit v(t) proportional zu t, vorausgesetzt man startet zum Zeitpunkt 0 mit der Geschwindigkeit 0.

Anderenfalls gilt: v(t) = a*t + v0, wobei v0 die Startgeschwindigkeit ist.

In dem Fall ist v nicht mehr porportional zu t, sondern wächst nur linear mit t an.

Das hatten wir gerade alles...

Lerntipps:

Aber hier könnt ihr wieder euer Gehirn unterstützen:

Zeigt eurem Gehirn die sehr ähnlich klingenden Notizen zu s = v*t, v = const. und v = a*t, a = const

Euer Gehirn hat sie ja mit eurer Hand selbst geschrieben, wird sie sofort wieder erkennen.

Dann erzählt laut, warum das sich entspricht, was aber der Unterschied ist (das eine ist eine Strecke s, mit einer Geschwindigkeit v, die sich nicht ändert und das andere eine Geschwindigkeit v, die sich ändert, mit einer Beschleunigung, die sich nicht ändert).

Wenn ihr das alles auseinanderdividiert und dann wieder zusammen gebracht habt, dnan ist es vernetzt und ohne Lerninterferenz abgespeichert!

Überprüft es:

Aufgabe:

Ein ICE fährt mit 200 km/h konstant 3 Stunden lang. Wie weit kommt er?

Ein Stein fällt mit 10 m/sec² konstant noch unten. Welche Geschwindigkeit hat er nach 3 Sekunden?

Sinnvolle Übung:

Ich empfehle euch die kleine Animation in Leifiphysik mal anzusehen. Da wird nochmal sehr konkret die Bedeutung einer momentanen und einer mittleren Beschleunigung deutlich:

Mittlere Beschleunigung

 https://www.leifiphysik.de/mechanik/beschleunigte-bewegung/grundwissen/mittlere-beschleunigung

 Anmerkung:

Wir haben das GZG allein aus unserer Definition begründet, nicht durch Experimente und Messungen. Ich halte das für naheliegender, zumal Geschwindigkeitsmessungen nicht leicht sind, wie wir wissen.

Auch das WZG der gleichmäßig beschleunigten Bewgeung werden wir uns theoretisch überlegen. Das soll angeblich auch Galilei so gemacht haben. Wir werden seine Argumente benutzen.

Was der vor über 400 Jahren konnte, das können wir auch!

Natürlich messen wir dann auch nach... 

Aber vorher starten wir erst einmal vom viel genutzten Flughafen Kassel-Calden in den Süden. P22 wird gleich aufgerufen.

 

P 20: Beschleunigungspfeile...

 Das folgende Kapitel ist vor allem für zukünftige Leistungskursler wichtig:

3.2 Beschleunigung vektoriell

Wir haben ja schon gelernt, dass sich bei einer Kreisbahn die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert und dass das auch eine Beschleunigung darstellt.

Das möchte ich hier für zukünftige LKler durch Vektorrechnung in einem besonders einfachen Fall bestätigen:

Wir ändern eine nach rechts zeigende Bewegung so, dass sie senkrecht nach oben verläuft. Die Schnelligkeit soll sich nicht ändern, nur der Geschwindigkeitsvektor.

Woran erkennst Du das an den Vektoren?

Das kannst Du der Abbildung entnehmen, die Du auch in Dein Heft stückweise übertragen solltest.

 

Nun können wir sehr leicht den Differenzvektor (grün) der beiden Geschwindigkeiten konstruieren.

Der Beschleunigungsvektor zeigt in Richtung dieses Differenzvektors. Teilen wir den durch die Zeitspanne, so erhalten wir den Beschleunigungsvektor.

(Vektoren werden durch eine Zahl geteilt, in dem man jede Komponente durch die Zahl teilt).

Mit Hilfe des Satzes vom Pythagoras kann man dann die Länge des Beschleunigungsvektors bilden, so wie wir es schon gemacht haben.

 

Wir sehen, da kommt nicht 0 heraus, obwohl sich die Schnelligkeit nicht geändert hat. 

Damit wollen wir es belassen und zur Mechanik ohne Vektoren zurückkehren....

P 19: Schneller oder langsamer werden

 3. Die beschleunigte Bewegung

Gleich vorweg: In der Physik spricht man  von Beschleunigung sowohl beim Schnellerwerden als auch beim Abbremsen. Das unterscheidet uns von der Umgangssprache. Aber ganz oft benutzen auch Physiker/innen die Umgangssprache....

3.1 Was ist eine Beschleunigung?

Schaut einmal, wie wir eine Geschwindigkeit eingeführt haben (Posts P5 und P2 oder mit Hilfe der Labels). Da haben wir Ortsänderungen, also Strecken auf Zeiten bezogen und eine Pro-Angabe erhalten.

Hier machen wir es genau so:

Wir beziehen Geschwindigkeitsänderungen auf Zeiten und erhalten die Beschleunigung als Pro-Angabe: 

Eine Beschleunigung ist eine Geschwindigkeitsänderung pro Zeit!

Wir kürzen die Beschleunigung mit "a" ab (von acceleration, das ist blöd, denn für Abbremsen gibt es im Englischen  deceleration, aber auch die englisch sprechenden Physiker/innen beziehen Abbremsen mit in den Beschleunigungsbegriff ein...). 

Vergleicht einmal, wie wir die Geschwindigkeit eingeführt haben:

In Formeln sieht das bei der Beschleunigunga  ganz ähnlich  aus:

Auch hier erhalten wir so nur eine mittlere Beschleunigung in dem Zeitintervall Δt.

Auch jetzt müssen wir zwischen mittlerer und momentaner Beschleunigung unterscheiden.

Da wir a Anfang immer und später fast ausschließlich   nur Bewegungen mit konstanter Beschleunigung untersuchen, ist diese  Unterscheidung erst einmal nicht notwendig.

In der Regel meinen wir also fast immer eine konstante Beschleunigung und sprechen auch von der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Nehmen wir mal ein konkretes Beispiel:

Ein Auto fährt mit 5 m/sec und beschleunigt (wie auch immer) auf 7 m/sec innerhalb von 15 sec.

Dann ist die (mittlere) Beschleunigung a:

  a = (7 - 5) m/sec / 15 sec  = 0,13 m/sec / sec

Etwas besser geschrieben:

 

 Schauen wir uns mal die Einheiten an:

Ihr alle kennt die Regel:

Ein Bruch wird durch eine Zahl geteilt, in dem man den Nenner mit dieser Zahl multipliziert (oder den Zähler durch die Zahl teilt).

Könnt ihr damit erklären, wie es zur üblichen Schreibweise a = 0,13 m/sec² kommt?

Es gibt keine Quadratsekunden, aber es gibt doppelte Pro-Angaben!

Wieso ist die Beschleunigung eine doppelte Pro-Angabe?

Aufgabe: 

1) Ein Auto beschleunigt in 30 sec von 30 km/h auf 50 km/h. Wie groß ist die Beschleunigung in m/sec²?

2) Die Fallbeschleunigung auf der Erde beträgt 9,81 m/sec², die auf einem Neutronenstern 2 Billionen m/sec².

Was bedeutet das jeweils anschaulich für einen fallenden Körper?

Wie schnell wäre ein fallender Körper nach 3 Sekunden auf der Erde und auf dem Neutronenstern?

Hinweis: 

Neutronensterne sind Überreste massereicher Sterne. Sie haben einen Durchmesser von etwa 20 km und die Masse der Sonne! 

Erklärt das einiges?

Neutronensterne entstehen beim Kollaps eines Sternes, wenn die Elektronen in die Protonen gepresst werden und Neutronen bilden. In der Regel drehen sie sich sehr schnell.Kleine, cm-große Berge und Hügel verzerren dabei Raum und Zeit so, dass Neutronensterne auch Gravitationswellen abstrahlen.

Größere Berge können sich nicht halten, sie werden durch die enorme Schwerkraft ganz schnell platt gemacht...

                     Aufbau eines Neutronensternes (Physik.Institut, Uni Heidelberg)

 Anekdote zum Schluss:

Die bezieht sich auf die englische Bezeichnung acceleration (für schneller werden) und deceleration (für abbremsen).

Vor 1994 war man ganz fest davon überzeugt, dass sich unser Kosmos wegen der inneren Anziehung der Galaxien untereinander  abgebremst ausdehnen muss.

Ich war damals auf einer Tagung zur Kosmologie in Aachen, als ein amerikanischer Physiker in Englisch über die Expansion des Kosmos redete. Er sprach immer von acceleration...wir verstanden das nicht und dachten an ein sprachliches Problem und fragten nach.

Seine Antwort: 

"Nein, ich meine "schneller werden". Unsere Forschungen haben ergeben:Die Ausdehnung des Kosmos ist mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit beschleunigt in dem Sinn, dass er immer schneller immer größer wird.."

Unser Weltbild stand auf dem Kopf: Ein beschleunigt expandierendes Universum ist etwas Einmaliges, hat ein Anfang und ein Ende....wenige Jahre später gab es für diese Entdeckung den Nobelpreis.

Ich war immerhin bei einer der ersten öffentlichen Ankündigungen der Entdeckung der beschleunigten Expansion des Kosmos dabei...

Was ist daraus geworden?

Es stimmt, aber wir wissen immer noch nicht warum. Deswegen haben wir Dunkle Energie als Antrieb erfunden. Wir wissen aber auch nicht, was das ist...

Übrigens, merkt ihr, wie ich/man hier den Begriff "beschleunigt" benutze? Nur im Sinne von "schneller werden". 

Das kann ganz schön verwirrend sein.

Sagt das eurem Hippocampus, damit er nicht dicht macht...vor allem, wenn wir später Bremsbewegungen von Autos behandeln...