P 127: Aus Newton wird Kepler (und umgekehrt)

 Zuerst etwas zu den Aufgaben:

Kepler hat die Entfernung Erde-Mars nicht in km angeben können. Dazu hätte er die Entfernung Erde-Sonne (1AE) kennen müssen oder die Marsentfernung direkt messen müssen. Beides war erst messtechnisch Jahrzehnte später möglich.

Die Entfernungen der Planeten in AE sind: Merkur 0,39 AE, Venus 0,62 AE, Erde 1 AE, Mars 1,5 AE, Jupiter 5,2 AE Saturn 9,6 AE.

Damit lässt sich leicht ein maßstäbliches Modell zeichnen. Wer da Pluto mit drauf haben will (er ist aber kein Planet) muss bis 40 AE erweitern....

22.3.3 Herleitung des dritten Keplerschen Gesetzes aus dem Gravitationsgesetz

Wir besprechen nur den sehr einfachen Fall, bei dem ein Planet mit der vernachlässigbaren kleinen Masse m auf einer Kreisbahn um die Sonne mit der Masse M umläuft.

In P 102 vom 16.3. haben wir die Zentralbeschleunigung kennengelernt.

Zentralbeschleunigung

Achtung: Wir werden jetzt a ausschließlich für eine Beschleunigung verwenden. Da wir Kreisbahnen behandeln, ist der Radius r die große Halbachse. Dafür werden wir kein a mehr nehmen.

Zentralbeschleunigung: a = v²/r

Das ergibt die Zentralkraft F = m*a = m*v²/r.

Diese Zentralkraft, die den Planet auf der Bahn hält (damit er nicht wegen seiner Trägheit tangential wegfliegt) wird durch die Gravitationskraft F = G * M*m/r² erzeugt (G ist die Gravitationskonstante, die wir ja auch schon kennengelernt haben).

Beide Kräfte müssen gleich groß sein:

m*v²/r  = G * m * M/r²

Auf beiden Seiten der Gleichung können wir durch m dividieren, d.h. m, die Planetenmasse, fällt raus.

Was heißt das?

Bei Kreisbahnen ist es egal, ob eine winzige Raumfahrermaus oder ein riesiger Jupiter um die Sonne laufen...

wdr-Maus

Nun lösen wir nach v auf (beide Seite mit r multiplizieren und wurzeln...):

v² = G * M / r       (Gl.#)

 v = √ ( G * M / r)

Diese wichtige Formel führt uns gleich zur Entdeckung der Dunklen Materie.

Ganz ähnliche Herleitungen werdet ihr in Q2 bei elektrischen und magnetischen Feldern durchführen. Da kommen auch Kreisbahnen von Ladungen vor... Es gibt sogar ein drittes Keplersches Gesetz für Elektronenbahnen in Atomen....

Erst einmal soll es weitergehen zu Kepler III:

v = Weg/Zeit = Bahnumfang/Umlaufsperiode = 2 * π * r / P

Damit: v² = 4π²r²/P²

Das setzen wir in Gl.# ein:

4π²r²/P² = G*M/r

Damit erhält man (probiere die Umformungen selbst aus):

  P² *G*M/r = 4π²r²

und somit:

P² = 4π²/(G*M) * r³

Das bedeutet: P² ~ r³

Das ist die Aussage des 3. Keplerschen Gesetzes: Die Quadrate der Umlaufszeiten sind proportional zu den dritten Potenzen der großen Halbachsen, d.h. der Bahnradien.

Und wir kennen jetzt auch die Proportionalitätskonstante: Es ist die Masse der Sonne, als wesentlicher Bestandteil!

Aufgabe: Berechne die Sonnenmasse.

P104 Er hätte noch besser sein können...

Bitte erst die Aufgaben in P103 lesen und zumindest überdenken! 

Über die Lösungen der Aufgaben kommen wir zum Gravitationsgesetz:

a(R) ist die Fallbeschleunigung eines Körpers im Abstand R vom Erdzentrum, also an der Oberfläche. Den Wert kennen wir, den haben wir schon gemessen: g = 9,81 m/sec²

Wir könnten jetzt übrigens die Geschwindigkeit ausrechnen, mit der ein Körper unmittelbar an der Oberfläche um die Erde kreisen müsste, ohne herunter zu fallen: v² = g*R. Wir würden, wenn wir g und den Erdradius einsetzen v = 7,9 km/sec erhalten, das sind 28460 km/h.

Um die Fallbeschleunigung des Mondes, also seine Zentralbeschleunigung, zu bestimmen, müssen wir erst einmal seine Bahngeschwindigkeit kennen:

v = 2*π*r / P, dabei ist P = 27,3 Tage = 2358720 sec und r = 384000 km.

Wir erhalten v = 1,02 km/sec.

Damit erhalten wir nun die angegebene Zentralbeschleunigung am Ort der Mondbahn: 

a(r) = 0,0027 m/sec².

An der Erdoberfläche ist a(R)=g = 9,81m/sec²

Das Verhältnis a(R)/a(r) ist 33633, das ist ungefähr 60²!

Newton fiel auf, dass der Mond etwa 60 Erdradien vom Mittelpunkt der Erde entfernt ist:

r/R = 60

Damit ist r²/R² = 3600 = a(R)/a(r).

Das können wir umstellen: a(r) = a(R) * R²/r² = g* R² * 1/r²

Die Zentralbeschleunigung nimmt also mit dem Quadrat der Entfernung ab: a(r)~1/r².

Newton hat sinnvollerweise vermutet, dass die Zentralbeschleunigung natürlich proportional zur Masse des anziehenden Körpers ist, hier also zur Masse M der Erde.

Also hat er die folgende Proportionalität aufgestellt:

a(r) ~ M/r².

Durch Einfügen einer Proportionalitätskonstante kann man daraus eine Gleichung machen. Wir nennen die Konstante G, denn es ist die Gravitationskonstante:

a(r) = G*M/r².

Ihr seht übrigens, dass die Masse des fallenden Körpers keine Rolle spielt: Alle Körper fallen gleich schnell. An der Erdoberfläche können wir einen Schlüssel fallen lassen und weit draußen,  bei 384400 km, einen ganzen Mond...oder umgekehrt...

Nun müssen wir noch mit der Masse m des Mondes multiplizieren und erhalten die anziehende Kraft, die diese Zentralbeschleunigung hervorruft ( für die Kraft spielt die Masse des fallenden Körpers eine Rolle, das ist ja an der Erdoberfläche die Gewichtskraft):

F = m*a(r) = G * M * m / r²

Das ist Newtons berühmtes Gravitationsgesetz.

Rechnen konnte er damit nicht, denn er kannte die Gravitationskonstante nicht. Noch heute haben wir keine Theorie, die uns eine Berechnung gestattet.

Hätte Newton die Masse der Erde gekannt, dann hätte er G auch ausrechnen können. Er hätte als Abstand den Erdradius R genommen und als Beschleunigung die Fallbeschleunigung g.

Hätte...ja, er hat sogar!

Aus der Dichte der Gesteine und der Größe der Erde hat er sehr gut die Erdmasse abgeschätzt, sehr dicht am heutigen Wert. Aber er hat dieser Schätzung nie vertraut und damit die große Chance vertan, die Kräfte selbst auszurechnen.

Wie man 100 Jahre später die Gravitationskonstante gemessen hat, erfahren wir bald.

G ist eine winzig kleine Zahl, denn die Gravitation ist die schwächste aller Kräfte:

G = 6,6 * 10^-11 N*m²/kg² 

Das wir trotzdem unser eigenes Gewicht spüren, liegt nicht nur an unserem dicken Bauch, sondern an der gewaltigen Masse der Erde: Es braucht schon einen ganzen Planeten, damit wir etwas wiegen...

Wir kennen G auch nur für große Massen und große Abstände. Erst vor einem Jahr ist G im Bereich von mm-Abständen gemessen worden. Und da wir nicht wollen, dass das Gravitationsgesetz bei kosmischen Abständen seine Gültigkeit verliert, haben wir die Dunkle Materie erfunden.

Auch darüber bald mehr...

Wie geht es weiter?

Wir haben jetzt das Gravitationsgesetz gefunden, so ganz nebenbei wichtige Informationen über Kreisbewegungen erfahren.

Noch aber haben wir nicht besprochen, wie man die notwendigen Hilfsgrössen Erdradius, Mondumlaufszeit und Mondentfernung  bestimmt. Die kannte ja Newton schon, sonst hätte er nicht das Verhältnis der Zentralbeschleunigungen bilden können.

Dazu solltet ihr ja recherchieren...

Wir behandeln das in den nächsten Posts.

Abschließend geht es dann an die Messung der Gravitationskonstanten. Und zum Schluss erfahren wir etwas über die Dunkle Materie.

P103: Der große Wurf

 Wir haben im letzten Post gelernt, wie man durch eine geschickte Zerlegung der Kreisbahn des Mondes eine Formel für die Zentralbeschleunigung a(r)  herleiten kann. Mit dieser Beschleunigung, wir nehmen an, dass sie vom Abstand r abhängt, fällt der Mond ständig auf die Erde zu. Da er aber eine zusätzliche gleichförmige Tangentialbewegung ausführt, fällt er auf einer Kreisbahn and er Erde vorbei.

Hier nochmal die Formeln:

Zentralbeschleunigung a(r) = v²/r

Zentralkraft F(r) = m*a = m*v²/r

F(r) ist die Kraft, mit der die Erde den Mond mit der Masse m anzieht.

In den nächsten Posts werden wir lernen, wie Newton die notwendigen Daten erhalten hat. Ihr solltet dazu ja mal eine Recherche beginnen.

Ich denke, es ist aber einfacher für euch, wenn wir jetzt diese Daten einfach nachschlagen und Newtons weiteren Weg aufzeigen.

Danach werden wir dann lernen, wie man die notwendigen Daten des Mondes erhalten kann.

19.3 Newton findet das Gravitationsgesetz

Ich möchte Dich Schritt für Schritt anleiten, einmal Newtons Weg selbst zu finden:

Aufgabe 1:

Erläutere die Formel: a(R) = g, wobei R der Erdradius ist.

Aufgabe 2:

Um die Fallbeschleunigung a(r), also die Zentralbeschleunigung (denn der Mond fällt ja auf das Zentrum seiner Bahn zu) berechnen zu können, benötigen wir die Bahngeschwindigkeit v und den Mondabstand r.

Mondabstand r= 384400 km

Umlaufszeit: P = 27,3 Tage

Da wir ja eine Kreisbahn annehmen, kannst Du jetzt die Bahngeschwindigkeit ausrechnen.

Berechne damit die Bahngeschwindigkeit v.

Übrigens: Wundere Dich nicht über die Umlaufszeit des Mondes von 27 Tagen. Das ist weniger als die Zeit zwischen zwei Vollmonden von 29,5 Tagen. Diesen Unterschied kannte Newton, wir werden ihn in einem Extrapost besprechen.

Aufgabe 3:

Nun kannst Du die Fallbeschleunigung des Mondes ausrechnen.

Es sollte herauskommen: a(r) = 0,0027 m/sec².

Aufgabe 4:

Vergleiche diesen Wert mit g = 9.81 m/sec², der Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche.

Warum darfst Du diesen Vergleich machen? Mir fällt doch höchstens mein Schlüssel aus der Hand, aber nicht der Mond...?

Vielleicht hilft Dir der Radius der Erde weiter: R = 6371 km.

                                                       Kronberggynasium Aschaffenburg

Aufgabe 5:

Fällt Dir was auf?

Kannst Du eine Aussage darüber treffen, wie die Gravitationskraft der Erde mit wachsendem Abstand r vom Erdzentrum sich verändert?

Wenn ja, dann bist Du kurz davor, das Gravitationsgesetz hinzuschreiben. Du brauchst nur noch etwas Mut...

Über all das sprechen wir im nächsten Post...aber versuchs doch mal selbst.

P102: Nun fällt uns auch noch der Mond auf den Kopf...

 Klären wir erst einmal einige der Fragen:

Eine wirklich geniale Leistung von Newton war, dass er annahm, auch der Mond wird von der Erde angezogen und muss deshalb auf die Erde zufallen.

Vor Newton gab es eine deutliche Trennung zwischen Erde und Himmel: Auf der Erde war der Mensch zuständig, und auch Naturwissenschaftler durften etwas über das sagen, was auf der Erde passiert.

Für den Himmel aber war ein Gott zuständig. Der konnte machen was er (oder sie?) wollte.

Und nun behauptet Newton doch tatsächlich was anderes: Auch im Himmel gelten die Gesetze der Erde, die die der Mensch dort findet. Der Himmel ist nichts besonderes mehr, die himmlische Welt unterliegt irdischen Regeln.

Also, auch der Mond fällt runter.

Warum trifft er nicht? Ganz einfach, weil er ständig vorbeifällt....

Der Mond hat bei seiner Entstehung eine Geschwindigkeit v bekommen, die ihn so von der Erde wegführt, dass er durch die Fallbewegung immer wieder auf seine Bahn zurückfällt.

We groß diese Mond-Fallbeschleunigung a ist, das müssen wir ausrechnen. Auch kennen wir keine Regel für die Bestimmung der "Ausgleichsgeschwindigkeit" v. Die müssen wir am Mond messen.

Und wenn wir dann damit herausfinden, wie die Fallbewegung des Mondes schwächer würde, wenn er weiter weg wäre, dann haben wir das Gravitationsgesetz gefunden.

Das ist  noch ein langer Weg...

19.2 Stufenweise zur Zentralbeschleunigung

Ich skizziere einmal Newtons Idee:

Wir sehen die Kreisbahn des Mondes mit dem Radus r  (ja, wir wissen er hat eine Ellipsenbahn, aber diese Vereinfache soll uns helfen, die Idee zu verstehen!).

Wir zerlegen die Kreisbewegung (das dürfen wir ja nach dem Unabhängigkeitsprinzip):

In einem sehr kurzen Zeitraum führt er eine gleichförmige tangentiale Bewegung aus (rot) und eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung (grün).

Da die Tangente rechtwinklig auf dem Radius steht, dürfen wir den Satz des Pythagoras anwenden

 (a² + b² = c²) und lassen nun alles weg, was so klein ist das es nicht stört (für Nerds: Wir führen einen Grenzübergang durch) und schon sind wir beim gewünschten Ergebnis.

Macht das erst einmal selbst...bevor ihr weiterlest.

Was sagt uns diese Formel aus?

Wir werden a bald Zentralbeschleunigung kennen und F = m*a = m*v²/r die Zentralkraft.

Solche Kräfte spielen in der Q-Phase bei Bewegungen in elektrischen und magnetischen Feldern eine große Rolle.

So, jetzt seit ihr dran...

Wir wollen a berechnen. Heute ist das kein Problem...man googelt die nötigen Werte nach.

Macht das erst einmal.

Aber Newton hatte kein Google der musste die Werte für v und r anders herausbekommen. Vielleicht findet ihr dazu ja bei Google auch Angaben oder Hinweise.