P103: Der große Wurf

 Wir haben im letzten Post gelernt, wie man durch eine geschickte Zerlegung der Kreisbahn des Mondes eine Formel für die Zentralbeschleunigung a(r)  herleiten kann. Mit dieser Beschleunigung, wir nehmen an, dass sie vom Abstand r abhängt, fällt der Mond ständig auf die Erde zu. Da er aber eine zusätzliche gleichförmige Tangentialbewegung ausführt, fällt er auf einer Kreisbahn and er Erde vorbei.

Hier nochmal die Formeln:

Zentralbeschleunigung a(r) = v²/r

Zentralkraft F(r) = m*a = m*v²/r

F(r) ist die Kraft, mit der die Erde den Mond mit der Masse m anzieht.

In den nächsten Posts werden wir lernen, wie Newton die notwendigen Daten erhalten hat. Ihr solltet dazu ja mal eine Recherche beginnen.

Ich denke, es ist aber einfacher für euch, wenn wir jetzt diese Daten einfach nachschlagen und Newtons weiteren Weg aufzeigen.

Danach werden wir dann lernen, wie man die notwendigen Daten des Mondes erhalten kann.

19.3 Newton findet das Gravitationsgesetz

Ich möchte Dich Schritt für Schritt anleiten, einmal Newtons Weg selbst zu finden:

Aufgabe 1:

Erläutere die Formel: a(R) = g, wobei R der Erdradius ist.

Aufgabe 2:

Um die Fallbeschleunigung a(r), also die Zentralbeschleunigung (denn der Mond fällt ja auf das Zentrum seiner Bahn zu) berechnen zu können, benötigen wir die Bahngeschwindigkeit v und den Mondabstand r.

Mondabstand r= 384400 km

Umlaufszeit: P = 27,3 Tage

Da wir ja eine Kreisbahn annehmen, kannst Du jetzt die Bahngeschwindigkeit ausrechnen.

Berechne damit die Bahngeschwindigkeit v.

Übrigens: Wundere Dich nicht über die Umlaufszeit des Mondes von 27 Tagen. Das ist weniger als die Zeit zwischen zwei Vollmonden von 29,5 Tagen. Diesen Unterschied kannte Newton, wir werden ihn in einem Extrapost besprechen.

Aufgabe 3:

Nun kannst Du die Fallbeschleunigung des Mondes ausrechnen.

Es sollte herauskommen: a(r) = 0,0027 m/sec².

Aufgabe 4:

Vergleiche diesen Wert mit g = 9.81 m/sec², der Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche.

Warum darfst Du diesen Vergleich machen? Mir fällt doch höchstens mein Schlüssel aus der Hand, aber nicht der Mond...?

Vielleicht hilft Dir der Radius der Erde weiter: R = 6371 km.

                                                       Kronberggynasium Aschaffenburg

Aufgabe 5:

Fällt Dir was auf?

Kannst Du eine Aussage darüber treffen, wie die Gravitationskraft der Erde mit wachsendem Abstand r vom Erdzentrum sich verändert?

Wenn ja, dann bist Du kurz davor, das Gravitationsgesetz hinzuschreiben. Du brauchst nur noch etwas Mut...

Über all das sprechen wir im nächsten Post...aber versuchs doch mal selbst.

P102: Nun fällt uns auch noch der Mond auf den Kopf...

 Klären wir erst einmal einige der Fragen:

Eine wirklich geniale Leistung von Newton war, dass er annahm, auch der Mond wird von der Erde angezogen und muss deshalb auf die Erde zufallen.

Vor Newton gab es eine deutliche Trennung zwischen Erde und Himmel: Auf der Erde war der Mensch zuständig, und auch Naturwissenschaftler durften etwas über das sagen, was auf der Erde passiert.

Für den Himmel aber war ein Gott zuständig. Der konnte machen was er (oder sie?) wollte.

Und nun behauptet Newton doch tatsächlich was anderes: Auch im Himmel gelten die Gesetze der Erde, die die der Mensch dort findet. Der Himmel ist nichts besonderes mehr, die himmlische Welt unterliegt irdischen Regeln.

Also, auch der Mond fällt runter.

Warum trifft er nicht? Ganz einfach, weil er ständig vorbeifällt....

Der Mond hat bei seiner Entstehung eine Geschwindigkeit v bekommen, die ihn so von der Erde wegführt, dass er durch die Fallbewegung immer wieder auf seine Bahn zurückfällt.

We groß diese Mond-Fallbeschleunigung a ist, das müssen wir ausrechnen. Auch kennen wir keine Regel für die Bestimmung der "Ausgleichsgeschwindigkeit" v. Die müssen wir am Mond messen.

Und wenn wir dann damit herausfinden, wie die Fallbewegung des Mondes schwächer würde, wenn er weiter weg wäre, dann haben wir das Gravitationsgesetz gefunden.

Das ist  noch ein langer Weg...

19.2 Stufenweise zur Zentralbeschleunigung

Ich skizziere einmal Newtons Idee:

Wir sehen die Kreisbahn des Mondes mit dem Radus r  (ja, wir wissen er hat eine Ellipsenbahn, aber diese Vereinfache soll uns helfen, die Idee zu verstehen!).

Wir zerlegen die Kreisbewegung (das dürfen wir ja nach dem Unabhängigkeitsprinzip):

In einem sehr kurzen Zeitraum führt er eine gleichförmige tangentiale Bewegung aus (rot) und eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung (grün).

Da die Tangente rechtwinklig auf dem Radius steht, dürfen wir den Satz des Pythagoras anwenden

 (a² + b² = c²) und lassen nun alles weg, was so klein ist das es nicht stört (für Nerds: Wir führen einen Grenzübergang durch) und schon sind wir beim gewünschten Ergebnis.

Macht das erst einmal selbst...bevor ihr weiterlest.

Was sagt uns diese Formel aus?

Wir werden a bald Zentralbeschleunigung kennen und F = m*a = m*v²/r die Zentralkraft.

Solche Kräfte spielen in der Q-Phase bei Bewegungen in elektrischen und magnetischen Feldern eine große Rolle.

So, jetzt seit ihr dran...

Wir wollen a berechnen. Heute ist das kein Problem...man googelt die nötigen Werte nach.

Macht das erst einmal.

Aber Newton hatte kein Google der musste die Werte für v und r anders herausbekommen. Vielleicht findet ihr dazu ja bei Google auch Angaben oder Hinweise.

P101: Der Apfel fällt nicht weit vom Stamm

 Teil 4: Alles dreht sich

Ein wichtiger Teil der Mechanik sind Drehbewegungen oder Eigendrehungen von Gegenständen. Die Begriffe hat man sogar in die Atomphysik übernommen und spricht vom Spin der Elektronen, obwohl sich da überhaupt nichts dreht...

Aber der Spin der Elektronen sorgt dafür, dass eure Zettel mit kleinen Magneten am Kühlschrank haften. Er ist die Ursache der Magnetfelder von Permanentmagneten.

Endlich mal eine alltagsrelevante Anwendung...

19. Das Gravitationsgesetz

In diesem Kapitel wollen wir einen Weg kennenlernen, mit dem Newton sein Gravitationsgesetz gefunden haben könnte.

Dass er das wirklich so gemacht hat, wird bezweifelt....die Geschichte vom inspirierenden Apfelfall ist wohl nur eine Anekdote. Aber sie wird uns inspirieren.

Übrigens hat Newton diese Anekdote am 15.4.1726, ein Jahr vor seinem
Tod 1727, seinem Biographen William Stukely selbst erzählt. 

                                             Bild: WDR

Dass eine Gravitationskraft eine Kreisbahn hervorrufen kann (und deshalb steht dieses Kapitel am Anfang von Teil 4: Alles dreht sich), hat Newton eher militärisch gefunden: Was passiert, wenn man eine Kanone immer stärker macht, so dass die Kugel mit immer größerer Geschwindigkeit fortfliegt?

Vielleicht ist  auch das nur eine Anekdote. Es scheint aber sicher zu sein, dass Newton sein Gravitationsgesetz aus den schon vor ihm bekannten Keplerschen Gesetzen der Planetenbewegung herleiten konnte.

Wir gehen einen etwas anderen Weg und werden dann umgekehrt  zeigen, wie wir die Keplerschen Gesetze aus dem Gravitationsgesetz gewinnen können.

Auf unserem Weg werden wir aber auch, so wie Newton damals, die notwendigen Monddaten benötigen.

Wir werden lernen, wie man Abstand, Umlaufszeit und Bahngeschwindigkeit des Mondes erhält.

Zusammen mit Informationen zur Bestimmung der Gravitationskonstanten und einem Ausblick auf moderne Erkenntnisse (Gravitation bei kleinen Abständen, Dunkle Materie) werden wir uns mit einer ganz wichtigen Anwendung beschäftigen: Newtons Gesetz ist eine der ganz wenigen Möglichkeiten Massen von Sternen und Schwarzen Löchern zu bestimmen.

Dieses Kapitel zeigt die Anstrengungen von Menschen über 2500 Jahre hinweg...an dessen Ende die Massenbestimmung des Schwarzen Loches in unserer Galaxis steht.

An Newtons Mondrechnung (so nennt man dieses Vorgehen) erfahren wir 2500 Jahre Wissenschaftsgeschichte.

Viele der Themen hier stehen nicht unmittelbar im Zusammenhang mit Abiturprüfungen.

Obwohl, es gab mal eine Aufgabe, die an die Newtonsche Mondrechnung angelehnt war.

Aber alles, was wir hier lernen, wird in ähnlicher Form bei Bewegungen von Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern und in der Atomphysik benötigt.

19.1 Die Geschichte vom fallenden Apfel

Es ist Abend im Sommer 1665. Der damals 22-jährige  Newton entspannt sich, mit dem Rücken an den Stamm eines Apfelbaumes gelehnt. Da fällt ihm ein Apfel auf den Kopf....Autsch... ganz schön wirkungsvoll diese g = 9,81 m/sec².

Und der Apfel fällt immer runter, nie zur Seite oder gar nach oben. Er muss also von der Erde angezogen werden.

Alle Massen fallen gleich schnell...das wusste Newton schon vom Galilei...Und der Mond, der so schön auf diese Szene leuchtet? Wird er nicht auch von der Erde angezogen?

Müsste er nicht auch mit g = 9,81 m/sec² auf die Erde fallen?

Zwei Fragen tauchen erst einmal auf: Offensichtlich fällt der Mond so nicht auf die Erde...was macht er aber dann?

Und wenn die  Schwerkraft der Erde auch den den Mond anzieht, ist sie  dann genau so groß wie hier auf ihrer  Oberfläche?

Ganz offensichtloch tauchen insgesamt die  folgende Fragen auf:

- Fällt auch der Mond auf die Erde?

- Wenn ja, warum trifft er nie?

- Wenn ja, mit  welcher Beschleunigung fällt der Mond?

- Wie ändert sich die Fallbeschleunigung mit dem Abstand?

Fallen euch noch weitere Fragen ein?

Versucht einmal eigene Antworten zu geben, natürlich noch ohne Formeln. Aber vielleicht habt ihr schon zumindest qualitativ Vorstellungen.