P 141: Viel Spaß beim Spielen!

 24.6 Simulationen

Das Projekt PhET der Universität von Colorado Boulder wurde 2002 vom Nobelpreisträger Carl Wieman (Nobelpreis 2001 für die Erzeugung eines Bose-Einstein-Kondensats) gegründet und stellt kostenlos die tollsten Simulationen zur Verfügung.

Wir wollen uns zwei Abteilungen ansehen:

Bei allen Simulationen könnt ihr euch ein Lineal und eine Stoppuhr einbauen und sogar quantitativ messen.

Pendelschwingungen

In der ersten Simulation könnt ihr Pendel verschiedener Massen und Längen bei unterschiedlicher Reibung und Gravitation zum Schwingen bringen. In der zweiten Simulation könnt ihr euch die Energien anzeigen lassen und bei der dritten Simulation die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen.

Federschwingungen

In der ersten Simulation könnt ihr Federn mit verschiedener Härte und Massen in unterschiedlicher Gravitation schwingen lassen.

Logischerweise ändert sich die Schwingung, wenn man das Gravitationsfeld ändert (Untersucht einmal, auf was die Schwerkraft einen Einfluss hat. Lasst euch dazu die Gleichgewichtslage (Ruhelage) anzeigen). Aber messt einmal die Schwingungsdauern, die bleiben gleich.

In der zweiten Simulation kann man sich Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und alle Kräfte anzeigen lassen.

In der dritten Simulationen geht es dann um die Energien.

Nehmt euch viel Zeit, ihr könnt hier viel Lernen!

P 86: Last not Least...die Kraft

 16. Grundgröße Kraft

Wir kommen nun zur dritten Grundgröße nach Impuls und Energie, zum Begriff der Kraft.

Bitte wiederholt alles, was wir in P 66 vom 11.1. über Kraft, insbesondere als Mittelstufenwiederholung gesagt haben.

Zu P 66

Wie auch bei den anderen Grundgrößen können wir nicht wirklich sagen, was Kraft ist im Sinne des Seins in dieser Welt. Wir müssen uns damit begnügen, Eigenschaft festzulegen und dadurch zu charakterisieren, wann wir wie diesen Begriff verwenden können.

16.1 Eigenschaften einer Kraft

In der Mittelstufe haben wir gelernt:

- Kräfte werden durch ihre Wirkungen charakterisiert. Eine Kraft kann etwas beschleunigen (d.h. auch abbremsen und ablenken) und verformen.

- Kräfte werden durch drei Angaben charakterisiert: Größe, Richtung und Angriffspunkt. Deshalb kann man Kräfte gut durch Pfeile beschreiben.

- Kräfte werden in Newton N gemessen. Eine Masse von 102 g entspricht einer Gewichtskraft von 1 N.

Wer sich noch einmal mit diesen Eigenschaften beschäftigen möchte, dem sei eine Seite  in LEIFIpyhsik sehr empfohlen:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-kraftarten/grundwissen/beschreibung-von-kraeften

Beschreibung von Kräften

Hier findet man auch die folgende Abbildung:

Nun ergänzen wir das:

- Kräfte sind Vektoren, d.h. gerichtete physikalische Größen.

- Kräfte können nur über einen Vermittler einwirken. Das werden wir gleich in einem Extrakapitel besprechen. In der Regel werden sog. Kraftvermittlerobjekte dabei ausgetauscht.

- Kräfte brauchen immer einen Verursacher und einen Empfänger: Vom Verursacher gehen Kraftvermittlerobjekte aus, beim Empfänger kommen sie an.

                                  (nach Aulis Verlag, KPK)

- Kräfte können sich gegenseitig aufheben. Wir sprechen dann vom Kräftegleichgewicht. Ein Körper könnte dann genau so viele Kraftvermittlerobjekte erhalten, wie er abgibt.

                                             (Aulis Verlag, KPK)

- Kräfte sind nur während ihrer Wirkung vorhanden, sie können nicht vom Objekt behalten werden.

   Die typische Aussage: "Ich habe Kraft" ergibt somit physikalisch keinen Sinn. Nur mengenartige Größen kann man besitzen, nur bei ihnen kann man von viel oder wenig reden. Unsere Kraftvermittlerobjekte existieren also nur während der Vermittlung, sie sammeln sich nicht in Objekten an. Kräfte haben, im Gegensatz zu Impuls und Energie, keine mengenartigen Eigenschaften.

Es ist somit falsch zu sagen: "Der Körper übt viel Kraft aus". Besser wäre es von Stärke zu reden: "Die Kraft, die der Körper ausübt, ist stark".

Somit gibt es auch keinen Krafterhaltungssatz!

Das unterscheidet den Begriff Kraft besonders deutlich von Energie und Impuls, da wir ja einen Energieerhaltungssatz und einen Impulserhaltungssatz kennen.

In welcher Beziehung Kräfte zu Energie und Impuls stehen, werden wir bald klären. Vorher möchte ich aber zeigen, wie die moderne Physik Kräfte beschreibt.

Weg von Newton, auf ins 21. Jahrhundert, auf zum nächsten Post...

P 49: Wir werden formal!

 Die letzten Kapitel sind vor allem für zukünftige LKler interessant und sehr wichtig.

Das zu verstehen, kann auch ein guter Test darüber sein, ob man den zukünftigen Anforderungen eines Physik LKs genügen kann.

Legen wir los!

8.4 Formale Herleitung der Formeln zum schrägen Wurf

Eigentlich haben wir alles schon in 8.2 und 8.3  gemacht, zuerst durch Überlegung an einem Zahlenbeispiel und dann etwas allgemeiner.

Hier möchte ich alle wichtigen Formeln noch einmal ganz formal herleiten.

Wir behandeln einen schrägen Wurf vom Boden aus, ohne jegliche Reibungseffekte.

Wir gehen aus von:

Beim schrägen Wurf müssen wir die Abwurfgeschwindigkeit in die Komponenten in x- und y- Richtung zerlegen.

Damit können wir sowohl für die x- als auch die y- Richtung das WZG und das GWG aufstellen.

Wir erhalten also vier Formeln (2a, 2b sowie 3a und 3b).

Mit diesen Formeln können wir alles berechnen, was wir für den schrägen Wurf herausfinden wollen!

Anmerkung: Wir müssen die Anfangsgeschwindigkeit und den Anfangsort wissen (hier: x =0 und y =0) und bestimmen Geschwindigkeit und Ort zu jeder Zeit der Flugphase.

In Q 3 werdet ihr im Rahmen der Quantenmechanik lernen, dass genau das für Objekte aus dem Mikrokosmos (Elektronen, Protonen) nicht geht. Ort und Geschwindigkeit können nie gemeinsam genau angegeben werden. Ind er Quantenmechanik, d.h. der Mikrowelt, gibt es keine Flugbahnen.

In meinem Unterrichtsblog zur Q3 könnt ihr dann alles dazu lernen:

Lichtmodelle und Quantenmechanik

Zurück zur E-Phase:

Um die Formeln zu verstehen, möchte ich euch an Folgendes erinnern:

Am Ende der Steigzeit ist die Geschwindigkeit in y-Richtung 0.

Damit können wir die Steigzeit ausrechnen.

Mit der Gleichung  2b können wir immer die y-Werte, also die Höhen, zu bestimmten Zeiten ausrechnen. Nehmen wir die Steigzeit für t, so erhalten wir die Wurfhöhe H für y.

Hier gibt es einen mathematischen Trick: Wir haben einen Term und ziehen die Hälfte dieses Terms ab und erhalten den halben Term: 1 Apfel - 1/2 Apfel = 1/2 Apfel...

Lasst es euch schmecken!

Die Flugdauer ist doppelt so lange wie die Steigzeit.

Setzen wir also die doppelte Steigzeit für t in Gl.2a ein, so erhalten wir die Wurfweite W für x.

Auch hier gibt es einen mathematischen Trick, denn wir uns nicht merken müssen (im Abitur wird die Formel dann angegeben): Multipliziert man den Sinus mit dem Cosinus des gleichen  Winkels, so ist das gleich der Hälfte des Sinus des doppelten Winkels.

Für einen Winkel von 45° kann man das leicht überprüfen:

sin 45° * cos 45° = 0,7071* 0,7071 = 1/2 sin 90° = 0,5

Notiert euch diese Herleitungen mit den Anmerkungen in euer Heft.

Erklärt laut redend die Herleitungen!

Ich hab das auch gemacht...

Im nächsten Post lernen wir dann,  (vor allem für die LKler), wie man die Gleichung der Flugbahn aufstellen kann.

Dann werde ich euch Links zum Üben geben und einige Übungsaufgaben und wir kommen endlich zum interessanten Teil der Mechanik, wenn wir Herrn Einstein bitten mitzumachen...

P 47: Geschickt zerlegt (aktualisiert)

 8.2 Lösung durch Zerlegen der Startgeschwindigkeit

Nochmal die gestellte Aufgabe: Ein Körper wird mit 100 m/sec unter einem Winkel von 60° gegen die Horizontale vom Boden aus schräg nach oben geschossen.

In dieser Aufgabe steckt ein senkrechter Wurf, allerdings nicht mit 100 m/sec als Startgeschwindigkeit, sondern mit 100 m/sec * sin 60° = 86,6 m/sec.

Nun kann man mit unseren bekannten Formeln für den senkrechten Wurf die Steigzeit ausrechnen:

 86,6 m/sec  /  10 m/sec² = 8,66 sec.

Auch die Wurfhöhe ergibt sich mit unserer bekannten Formel zu 1/2 * (86,6 m/sec)² /g = 375 m

Da der Körper schräg fliegt, hat er, obwohl er vom Boden abgeschossen wurde, auch eine Wurfweite.

Dazu müssen wir nur die Flugdauer (das ist das doppelte der Steigzeit, also 17,3 sec) mit der Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung multiplizieren:

100 m/sec * cos 60° * 17,3 sec = 866 m

Im folgenden Bild sehen wir die Zerlegung der Anfangsgeschwindigkeit  mit der Zusammenstellung der verwendeten Formeln.

Ich habe mit farbigen Einkreisungen Zusammenhänge deutlich gemacht.

Eine Formel ist neu: Das Produkt aus dem sinus und dem sinus eines Winkels ist gleich dem sinus des doppelten Winkels.

Die nehmen wir einfach hin.

Damit können wir im nächsten Post besser die Zusammenhänge diskutieren.

Seht euch nochmal den Rechenweg oben mit den Zahlen an (und schriebt ihn euch auf). Nichts anderes habe ich hier mit allgemeinen Formeln gemacht.

(Anmerkung: Die Formel lautet: 

sin Winkel * cos Winkel = 1/2 * sin (doppelter Winkel)

Ich habe in einer früheren Version des Posts den Faktor 1/2 vergessen. Nun stimmt es.)

P 46: Nun werfen wir wieder...

 8. Der schräge Wurf

8.1 Problemstellung

Von einem schrägen Wurf sprechen wir, wenn der Abwurfwinkel relativ zum Boden zwischen 0° und 90° liegt. Bei 0° geht er in den waagerechten Wurf über und bei 90° in den senkrechten Wurf.

Nehmen wir wie bei unserem Eingangsbeispiel für den senkrechten Wurf wieder eine Abwurfgeschwindigkeit von 100 m/sec (das ist ja dann eher ein Schießen als Werfen...).

Wir hatten eine Wurfhöhe von 500 m und eine Steigzeit von 10 sec.

Nun "werfen" wir unter einem Winkel von 60° schräg nach oben, wieder direkt vom Boden aus.

Fragen:

Kommt der Körper weiterhin auf 500 m Höhe? Braucht er auch wieder 10 sec für das Aufsteigen?

Er muss ja nicht so hoch fliegen, aber er fliegt auch langsamer nach oben...

Und vergleicht mal mit einem waagerechten Wurf der Abwurfgeschwindigkeit von 100 m/sec:

Auch beim schrägen Wurf gibt es eine Wurfweite. Vergleicht die mal mit der vom waagerechten Wurf.

Versucht nun einmal die Steigzeit und die Wurfhöhe für unseren schrägen Wurf (100 m/sec, 60°) auszurechnen, vielleicht auch die Wurfweite.

Ich gebe euch dazu folgende Tipps:

Ihr könnt die "schräge Bewegung" zerlegen in eine senkrechte Bewegung (in y-Richtung nach oben) und in eine waagerechte Bewegung (in x-Richtung nach rechts).

Dazu müsst ihr nur die Geschwindigkeit von 100 m/sec auf die beiden Richtungen x und y aufteilen.

Natürlich lösen wir in ein paar Tagen die Aufgabe gemeinsam und stellen dann das Formelsystem wieder allgemein zusammen.

Der schräge Wurf wird in späteren Jahrgangsstufen wichtig, wenn Elektronen schräg durch elektrische Felder "geworfen" werden, und das kommt dann auch im Abi dran...Es ist also sinnvoll, das hier schon einmal zu lernen...

Ich denke, auch das von mir ergänzte Bild aus physikunterricht online, kann  euch inspirieren, eine eigene Lösung zu suchen. Achtet darauf: Es ist kein WZD sondern die Darstellung einer Flugbahn!

P 38: Waagerechter Wurf vektoriell

 5.4 Berechnung der Auftreffgeschwindigkeit

Ich erkläre die Herleitung der Formel in einem kurzen Video. Ihr solltet den Inhalt in euer Heft übertragen und vor allem auch die angesprochenen Umformungen selbst durchführen.

Leider habe ich im letzten Satz das Wort "Wurzel aus" vergessen, ich hoffe ihr merkt es.

Worum geht es?

Ein waagerecht abgeworfener Körper trifft schräg auf dem Boden auf, denn er hat zwei Geschwindigkeitskomponenten:

In x- Richtung immer noch die Abwurfgeschwindigkeit (wir vernachlässigen ja die Luftreibung) und in y-Richtung die Fallgeschwindigkeit am Ende der Fallzeit.

Beide Geschwindigkeiten müssen wir vektoriell addieren.

Wie das geht, erkläre ich im Video!

Zuerst ein Bild der Herleitung:

Und nun das Video:

Man kann natürlich auch den Auftreffwinkel berechnen:

Nun haben wir genug waagerecht geworfen, suchen wir uns andere Wurfrichtungen aus...

P 20: Beschleunigungspfeile...

 Das folgende Kapitel ist vor allem für zukünftige Leistungskursler wichtig:

3.2 Beschleunigung vektoriell

Wir haben ja schon gelernt, dass sich bei einer Kreisbahn die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert und dass das auch eine Beschleunigung darstellt.

Das möchte ich hier für zukünftige LKler durch Vektorrechnung in einem besonders einfachen Fall bestätigen:

Wir ändern eine nach rechts zeigende Bewegung so, dass sie senkrecht nach oben verläuft. Die Schnelligkeit soll sich nicht ändern, nur der Geschwindigkeitsvektor.

Woran erkennst Du das an den Vektoren?

Das kannst Du der Abbildung entnehmen, die Du auch in Dein Heft stückweise übertragen solltest.

 

Nun können wir sehr leicht den Differenzvektor (grün) der beiden Geschwindigkeiten konstruieren.

Der Beschleunigungsvektor zeigt in Richtung dieses Differenzvektors. Teilen wir den durch die Zeitspanne, so erhalten wir den Beschleunigungsvektor.

(Vektoren werden durch eine Zahl geteilt, in dem man jede Komponente durch die Zahl teilt).

Mit Hilfe des Satzes vom Pythagoras kann man dann die Länge des Beschleunigungsvektors bilden, so wie wir es schon gemacht haben.

 

Wir sehen, da kommt nicht 0 heraus, obwohl sich die Schnelligkeit nicht geändert hat. 

Damit wollen wir es belassen und zur Mechanik ohne Vektoren zurückkehren....

P 16: Schnelligkeit - Geschwindigkeit

 1.9 Schnelligkeit - Geschwindigkeit

Wir wenden uns bald den beschleunigten Bewegungen zu. Da geht es um Änderungen von Geschwindigkeiten.

Da ist leider der deutsche Sprachgebrauch nicht einheitlich exakt.

Unter Geschwindigkeit sollte man den Geschwindigkeitsvektor v verstehen, also die Größe, in die auch die Richtung eingeht.

Wenn man nur den Betrag des Vektors meint, also darüber reden möchte, wie schnell ein Körper, unabhängig von seiner Richtung, ist, so sollte man von der Schnelligkeit v sprechen.

Das ist nicht immer üblich...und ich weiß auch nicht, ob ich das in diesem Blog durchhalte...

Aber es hilft, wenn man beim Lesen des Wortes Geschwindigkeit überlegt, ob der Vektor oder die Schnelligkeit gemeint ist.

Wir hatten mal das Beispiel der gleichförmigen Bewegung einer Sekundenzeigerspitze. Diese erfolgt mit konstanter Schelligkeit. Die Geschwindigkeit ändert sich aber ständig (weil ja der Vektor immer in andere Richtungen zeigt).

Obwohl also die Schelligkeit bleibt, gilt diese Kreisbewegung  als beschleunigte Bewegung.

Übrigens, im englischsprachigen Raum ist man oft konsequenter: Speed steht für Schnelligkeit und mit velocity meint man den Vektor.

Noch eine ergänzende Bemerkung zur Addition:

Addiert man Schnelligkeiten, so werden einfach Zahlen addiert: 30 km/h + 20 km/h = 50 km/h.

Addiert man Geschwindigkeit(svektoren), so werden die einzelnen Komponenten adddiert und zum neuen Geschwindigkeitsvektor zusammengesetzt: 

Diese einfachen Regeln gelten aber nur, wenn alle Schelligkeiten unter 10% der Lichtgeschwindigkeit liegen.

Aufgabe:

 

Zeichnet beide Vektoren in ein Koordinatensystem. 

a) Berechne die Summe und trage auch den Summenvektor ein.

b) Vektoren kann man auch durch "Kräfteparallelogramme" graphisch addieren. Überprüf das an diesem Beispiel. Dazu musst Du Pfeile verschieben.

Wenn Du alles richtig gemacht hast, stimmen Rechnung und Konstruktion überein.

c) Fasse die Vektoren als Geschwindigkeitsvektoren in m/sec auf. Wie groß sind die drei Schnelligkeiten?

Da passt was nicht...Wieso?

Gerne im Forum diskutieren....

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Discord Forum 

Und wir wenden uns den Beschleunigungen zu...

P 14: Lösungshinweise

 Aufgabe 1:

Die Skizze ist nicht maßstäblich!

 Da die Windgeschwindigkeit nach SO geht, also unter 45° gegen O oder S, kann man leicht die Südkomponente und die Ostkomponente ausrechnen: 50 km/h * cos bzw.sin 45° = 50 km/h * 0,7 = 35 km/h

Damit beträgt die Nordkomponente der Flugzeuggeschwindigkeit 150 - 35 = 115 km/h, die neue Ostkomponente ist 35 km/h.

Über den Satz des Pythagoras erhält man das Quadrat der Geschwindigkeit v² = 115² + 35².

Die Wurzel ergibt 120,2 km/h.

Das kann man auch konstruieren:

Windgeschwindigkeit in S- und O-Komponente zerlegen, S-Komponente von der N-Geschwindigkeit des Flugzeuges abziehen und Resultierende mit O-Komponente des Windes bilden (gelbe Hilfslinien in Skizze). 

Um die Abweichung vom Nordkurs durch den Wind auszurechnen, muss man entweder maßstäblich genau zeichnen und den Winkel ausmessen, oder mit dem cos-Satz arbeiten: Man erhält 17°.

50² = 150² + 120² - 2* 150*120*cos α

(PS: Ich neige zu Rechenfehlern...wenn jemand etwas anderes heraus hat, muss es deshalb nicht gleich falsch sein....bitte im Forum zur Diskussion stellen...).

Aufgabe 2:

Die Skizze macht deutlich, dass man erst einmal die Entfernung von Lichtjahren in km umrechnen muss.

 

Aus dem EB-Winkel pro Jahr erhält man die TG in km/Jahr mit Hilfe der Tangensfunktion (TG als Gegenkathete ist gesucht):

Man kommt mit tan(0,00063°) auf 3470 Millionen km/Jahr  (das ist mehr als 20 Mal die Entfernung Erde-Sonne).

Da 1 Jahr ungefähr 31,6 Millionen Sekunden sind, erhält man dafür 109,8 km/sec.

Nun kann man über die RG von 5 km/sec mit Hilfe des Satzes vom P. die Raumgeschwindigkeit ausrechnen. Man erhält 109,9 km/sec.

Arkturus fliegt zwar etwas in unsere Richtung, aber er wird voll an uns vorbeirasen...

 Die Aufgabe habe ich gestellt, weil der astronomische Hintergrund nicht gerade uninteressant ist. Aber vor allem, damit man mal übt mit "unhandlichen" Zahlen zu arbeiten...

Aufgabe 3:

Ich hab keine Ahnung von Sport, merke aber gerade, dass mein Schwimmer wohl recht flott ist...wenn euch das stört...ersetzt Schwimmer durch Boot...

Skizze:

Resultierende Geschwindigkeit erhält man durch Wurzel ziehen aus v² = 2² + 3². Es ergibt sich 3,6 m/sec

Da der Fluss 30 m breit ist, benötigt der Schwimmer 15 sec für die Durchquerung.

In dieser Zeit nimmt ihn der Fluss 45 m weit mit.

Er wird also 45 m weiter flußabwärts vom Startpunkt das andere Ufer erreichen.

Vielleicht sind einige jetzt verwundert...beeinflusst denn die Strömung überhaupt nicht die Überquerungszeit?

Da steckt ein wichtiges Prinzip dahinter, das wir im nächsten Post kennenlernen sollten.

 

Hinweis: 

Ich habe mich bemüht, keine abzuschreibende Lösungen anzugeben, sondern Hinweise. Bitte schreibt euch einen eigenen Lösungsweg in euer Heft.

Im Unterricht beantworte ich nur Fragen, bespreche Lösungswege, schreibe aber nur ganz wenig an die Tafel. So sind alle gezwungen, ihre Lösungen zu überarbeiten.

Dafür können dann noch einmal später Fragen gestellt werden.

Nicht das Abschreiben einer Lösung hilft, sondern das selbst darstellen, auch wenn die Lösungsidee nicht von einem selbst kommt. Aber man kann sie sich zu eigen machen!

P 13: Eine kosmische Kollision:Die Andromedagalaxie knallt in unsere Milchstraße rein

Wie bestimmt man die Komponenten eines Vektors:

Man projiziert den Vektor auf die Koordinatenachsen. In den üblichen rechtwinkligen Koordinatensystemen der Schule (kartesische Koordinaten) erhält man dann rechtwinklige Dreiecke mit dem Vektor als Hypotenuse und der x-Komponente als Ankathete des eingezeichneten Winkels. Die y-Komponente ist die Gegenkathete.

Damit ist klar, dass der Sinus und der Cosinus die Verhältnisse der Komponenten zur Länge des Vektors beschreiben:

Das habe ich in die letzte Abbildung eingetragen. Solltet ihr auch in euren Zeichnungen ergänzen.

Hier haben wir gesehen, wie man einen Geschwindigkeitsvektor in seine Komponenten zerlegt, wenn man den Winkel kennt.

Umgekehrt kann man leicht über den Satz des Pythagoras auch aus den Komponeten die Geschwindigkeit ausrechnen:

v² = a² + b²

Auch das kommt häufig vor (z.B. beim shchefen Wurf).

Extrafutter:

Ich kann es mir nicht verkneifen...(das hat hier nichts mit Schulstoff zu tun!).

In rechtwinkligen Koordinatensystem ist die Projektion eines Vektors auf die Achsen eindeutig. Wie sieht es aus, wenn die Achsen nicht senkrecht zueinander stehen?

Das ist in der Relativitätstheorie der Fall. Dann erhält man zwei Möglichkeiten, die zweite ist die sog. kovariante Darstellung des Vektors.

Probiert es mal aus...

1.7.3 Komponenten von Geschwindigkeitsvektoren

Wir werden die Bedeutung gleich an einigen Aufgabenbeispielen kennenlernen.

Die x-Komponten der Geschwindigkeit vx  (x soll ein Index sein, also etwas tiefer stehen), gibt an, wie schnell der Gegenstand, nur gemessen längs dieser Richtung, ist.

Das gilt entsprechend auch für die y-Komponente.

Ein einfaches Beispiel:

Ein Flugzeug fliegt mit 800 km/h (relativ zum Boden) Richtung NO. 

a) Wie groß ist seine Geschwindigkeit Richtung Norden?

b) Wie weit Richtung Osten ist das Flugzeug nach 2 Stunden gekommen?

Hier schauen wir uns mal gemeinsam die Lösung an:

a) NO bedeutet 45° von der Ostrichtung aus nach Norden. Wir wählen die Ostrichtung als x- Achse und die Nordrichtung als y-Achse. Mach eine Skizze!

Dann ist unser Winkel, der die Flugrichtung beschreibt,  45°.

Für die Nordrichtung benötigen wir den Sinus dieses Winkels (~ 0,71).

Also gilt für die Geschwindigkeitskomponente nach Norden: 800 km/h * 0,71 = 565,7 km/h

b) Um die Flugstrecke nach Osten auszurechnen, benötigen wir die Geschwindigkeitskomponente nach Osten. Dazu müssen wir den Cosinus nehmen. Bei 45°  erhalten wir für cos und sin den gleichen Wert.

Also ist das Flugzeug nach 2 Stunden 1131,4 km weiter im Osten, obwohl es 1600 km weit geflogen ist..

Rechne mal nach, schreib die Formeln hin und zeichne eine Skizze.

1.7.4 Aufgaben und Beispiele

Aufgabe 1) 

Ein kleines Flugzeug fliegt mit 150 km/h nach Norden. Dann kommt ein Sturm auf, der genau nach Südosten bläst, und zwar mit 50 km/h.

a) Zeichne die Geschwindigkeitsvektoren in ein geeignetes Koordinatensystem (maßstäblich korrekt) und konstruiere, wie beim Kräfteparallelogramm, die resultierende Geschwindigkeit, ihre Stärke und ihre Richtung.

b) Berechne die resultierende Geschwindigkeit aus den Angaben.

c) Vergleiche Rechnung und Zeichnung (es sollten 120 km/h herauskommen)

d) Unter welchem Winkel kommt das Flugzeug vom vorherigen Nordkurs ab?

e) Wie stark reduziert sich die Geschwindigkeitskomponente Richtung Norden?

Denkt dran, ihr könnt eure Lösungen im Forum vergleichen und diskutieren.

Ein Tipp: 

Kennt man alle x- Komponenten, so kann man diese einfach zur resultierenden x-Komponente aufaddieren. So erhält man auch die resultierende y-Komponente.

 

Aufgabe 2) 

Bei Sternen am Himmel unterscheidet man zwischen Eigenbewegung EB, Tangentialgeschwindigkeit TG  und Radialgeschwindigkeit  RG. Durch die EB verschiebt sich der Stern in Jahrzehnten am Himmel. Das gibt man als Winkel pro Jahr an. Kennt man die Entfernung des Sternes, kann man daraus  die Geschwindigkeit der EB, also die TG,  ausrechnen.

Das Bild zeigt den Anblick des Sternbidles Großer Wagen vor 50 000 Jahren, heute sowie in 50 000 bzw.100 000 Jahren (dlf). Die Verschiebungen der Sterne kommen durch unterschiedliche EB.

 

 

 

 

 

Die Radialbewegung zeigt in Richtung unserer Blicke, also auf uns zu oder von uns fort. Sie kann man durch eine Änderung der Wellenlänge des Lichtes (Dopplereffekt) recht einfach herausfinden.

Die Abbildung  (wikipedia) erklärt das gut.

 

 Hier ist allerdings eine Galaxie als Objekt genommen. Die EB von Galaxien sind extrem klein, erst das HubbleSpaceTeleskop war in der Lage vor wenigen Jahren die EB der Andromedagalaxie zu messen. Jetzt wissen wir, dass in 5 Milliarden Jahren unsere Galaxis und die Andromedagalaxie sich wirklich durchdringen werden!

Aber keine Angst...vorher wird die Sonne zum Roten Riesen und verglüht unsere Erde... 

Vielleicht können eure Ururururururur...enkel vom Mars aus zusehen...

Galaxien-Crash Computersimulation, dlf

Nun die Aufgabe:

Der Stern Arkturus zeigt eine EB von 2,28"/Jahr (Bogensekunden pro Jahr, 60" = 1`(Bogenminute, 60`= 1°), das sind also 0,00063°/Jahr.

a) Arkturus ist 36,66 Lichtjahre entfernt (1 Lichtjahr = 9,463 Billionen km). Berechne seine EB-Geschwindigkeit in km/sec, also sein TG.

b) Die RG von Arkturus beträgt - 5 km/sec, d.h. er kommt auf uns zu. Berechne seine Raumgeschwindigkeit.

c) Kann er die Sonne treffen?

Aufgabe 3)

Ein Schwimmer schafft eine Geschwindigkeit von 2 m/sec. Der Fluß, den er überqueren will, strömt mit 3 m/sec nach rechts. Er ist 30 m breit und fließt geradeaus.

Mit welcher Geschwindigkeit schwimmt er? Wo am gegenüberliegenden Ufer kommt er an?

Mache eine Skizze der Situation.

P12: Geschwindigkeiten haben Richtungen!

 1.7 Vektoren

1.7.1 Etwas Mathematik

Ich stelle euch den Vektorbegriff erst einmal an einem bekannten Beispiel vor. Wegen der besonderen Schreibweise, die der Blog-Editor nicht kann, muss ich das in Word schreiben und als Bilderfolge hier kopieren...

Überlege Dir weitere Größen, die Vektoren sind und weitere Größen, die Skalare sind.

 

Mehr zu Vektoren, aber nur für Spezialisten, Nerds oder Neugierige 

 

 Schauen wir uns das nochmal an, was wir jetzt verstehen müssen:

Da wir die Koordinatenachsen mit x und y bezeichnen, nehme ich jetzt a und b als Koordinaten:

a ist die x-Koordinatenangabe und b die y-Koordinatenangabe von Punkt oder Vektor.

Bitte die Skizze selbst ins Heft zeichnen und erläutern!

Kräfte und Geschwindigkeiten haben eine Richtung, deshalb sind sie Vektoren.

Bezeichnen wir einen Vektor mit mit v, so bezeichnen wir die Länge des Vektorpfeiles nur mit dem Buchstaben v. Wir sprechen manchmal statt von der Pfeillänge auch vom Betrag des Vektors.

Bei den Kräften war das einfach die Stärke der Kraft, unabhängig von der Richtung.

1.7.2 Vektorkomponenten

Ihr habt früher bestimmt Komponenten der Kraft konstruiert, vielleicht sogar berechnet.

Im Bild ganz oben im Post seht ihr das am Kräfteparallelogramm.

Das geht natürlich mit jedem Vektor:

a ist die x-Komponente unseres Vektors v und b die y-Komponente des Vektors v.

Wie kann man die Komponenten eines Vektors berechnen?

Schaut euch mal das folgende Bild an und sucht eine Antwort!

Auch hier: Selbst abzeichnen und erläutern.

Erklärt einmal, wie man wann aus einem Vektor dessen Komponenten bestimmen kann.

Da tauchen so Begriffe auf wie rechtwinkliges Dreieck, Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse....

 😭

 Und dann: Welche Bedeutung haben die Komponenten des Geschwinidigkeitsvektors?

Könnt ihr euch ein praktisches Beispiel und eine sinnvolle Rechenaufgabe dazu überlegen?

Wir reden im nächsten Post darüber...