P 156: Resonanzkatastrophen

 28.3 Resonanzkatastrophen

Das eindrucksvolle Video von der Tacomabrücke ist weltweit bekannt. Was ist da passiert?

Am 1.4. 1940 wurde die Brücke eingeweiht und am 7.11.1940 ging sie bei Windstärke 8 kaputt.

Ich würde es als eine resonanzartige Katastrophe beschreiben. Windwirbel haben die Brücke verstärkt zu Drehschwingungen angeregt. Durch diese, am Anfang wirklich eher als Resonanzeffekt verstärkt, konnte die Brücke einen immer größeren Windwiderstand hervorrufen (sie stellte sich quer zum Wind) und damit vollkommen unabhängig von einer Anregungsfrequenz Energie abziehen und schließlich sich selbst zerstören.

Schon kurz nach der Eröffnung war das Schwingungsproblem bekannt und oft gab es viele Schaulustige.

Die Brücke wurde aber frühzeitig gesperrt. Das Auto gehört einem Messtechniker, der aber die Brücke verlassen hat. Lediglich von dem Hund fehlt jede Spur...

Nach dem Einsturz begann man bei der Brückenkonstruktion auch dynamische Effekte zu berücksichtigen und Tests mit Modellen im Windkanal durchzuführen.

Was passiert bei einer richtigen Resonanzkatastrophe?

Da Anregungsfrequenz und Eigenfrequenz übereinstimmen (Resonanz), wird immer wieder Energie zugeführt. Wenn dies Zufuhr größer ist als die Abfuhr durch Dämpfung, dann wächst die Schwingungsamplitude unermesslich an.

Bei hohen Gebäuden in Erdbebengebieten baut man Schwinger ein, deren Eigenfrequenz gleich den typischen Erdbebenfrequenzen sind. Dadurch nehmen sie besonders viel Energie auf, dämpfen die Schwingung des Gebäudes und das bleibt stehen.

Das Bild (wikimedia) zeigt das Dämpfungspendel im Taipei 101:

Bei Hängebrücken ist es verboten, im Gleichschritt über die Brücke zu gehen. Die Menschengruppe könnte mit der Schrittfrequenz die Eigenfrequenz der Brücke treffen und diese zum Einsturz bringen.

Am 12.4.1831 ist dies bei der Broughton Suspension Bridge passiert, die 40 Soldaten zum Absturz brachten. Am 16.4.1850 fanden 226 Soldaten so bei der einstürzenden Hängebrücke von Angers den Tod.

Angeblich sollen Opernsängerinnen durch Resonanz mit ihrer Stimme Gläser zum Zerbrechen bringen.

Schaut zum Schluss dieses Themas mal in das folgende Video rein:

P 148: Die Globalisierung beginnt

26.3 Die erste Globalisierung

Rückkopplungsprozesse stabilisieren nicht nur Schwingungen, sondern können auch Strukturen erzeugen:  Sie  sind wesentlich bei der Entwicklung von sog. dynamischen Systemen. Durch sie bilden sich Strukturen und Muster. Durch die Rückkopplung der Aktivität der Gehirnneuronen auf das Gehirn selbst (nach ca. 3 „Takten“ ist ein Signal eines Neurons wieder beim gleichen Neuron angekommen, 99,9% der Eingangssignale von Gehirnneuronen stammen von anderen Gehirnneuronen, nur die restlichen 0,1% sind Sinneseindrücke) entsteht die Selbstwahrnehmung des Gehirnes, die wir Bewusstsein nennen.

Die Entdämpfung von Pendelschwingungen durch Rückkopplung hat auch zur ersten Globalisierung geführt:

Um auf dem Seeweg andere Länder/Kontinente (wieder) zu finden, muss man navigieren können. Die geographische Breite lässt sich mit für die damalige Zeit ausreichender Genauigkeit über die Höhe des Polarsternes über dem  Horizont bestimmen. Die geographische Länge erhält man nur über den Zeitvergleich zwischen dem täglichen Höchststand der Sonne beim Schiff und auf einer Landstation mit bekannter Breite. Da es damals noch kein Funk gab, musste man eine Uhr an Bord haben, die die entsprechende Sonnenzeit der Landstation anzeigte.

Frage: Welchen Längenunterschied gibt es, wenn auf dem Schiff zur Zeit des Sonnenhöchststandes die Pendeluhr für die Hafenzeit 11.00 Uhr anzeigt?

Denke daran: 360° Längenunterschied (einmal um die Erde herum) entsprechen 24 Stunden.

Vor 1759 lief Navigieren etwa so ab:

- Segel so lange nach Norden oder Süden, bis Du die gewünschte geographische Breite erreicht hast. Ist das Wetter mehrere Tage schlecht, musst Du eventuell zurücksegeln.

- Dann überleg Dir, ob Du nach rechts oder links abbiegen willst. Hast Du keine Informationen, dann wirf eine Münze.

- Nun segel auf gleicher Breite weiter, bis Du ankommst oder auch nicht....

Die Entdämpfung der Pendeluhrschwingungen ermöglichte also endlich eine Längenmessung und damit den globalen Schiffsverkehr: die Kolonialisierung der Welt (nicht immer zum Vorteil für die betroffenen Völker!)begann. Erfinder war Christiaan Huygens (1656), dessen Namen wir heute für die Impulseinheit kg*m/sec verwenden.

Aber eine Pendeluhr ist noch zu anfällig für Störungen. 1714 hat England ein Preisgeld zur Lösung des Navigationsproblems durch Erfinden einer stabil laufenden Uhr, einer Schiffsuhr, ausgesetzt.

Sein ganzes Leben lang widmete sich der Uhrmacher John Harrison (1693-1776) der Lösung dieser Aufgabe.

Bis 1727 konstruierte er Standuhren, die nur eine Abweichung von 1 Sekunde/Monat hatten.

Dann baute er Schiffsuhren. Die erste, H1, war 1735 fertig und erfolgreich auf einer Seereise nach Lissabon getestet. Aber die Strecke war für die Auszahlung des Preisgeldes zu kurz.

Das beste Modell, die H4, zeigte 1761 auf der 81-tägigen Seereise nach Jamaika nur eine Abweichung von 5 Sekunden.

Durch Intrigen erkannte aber das Preiskomitee diesen Erfolg nicht an. Erst durch Eingreifen des Königs erhielt Harrison 1773, drei Jahre vor seinem Tod, das gesamte  Preisgeld.

Bilder: wikipedia common

Ab 1920 wurde mit Zeitzeichensendern navigiert und heute nutzt man die Navigationssatelliten, wie beim Autofahren.

Weitere Informationen:

Das GPS des Mittelalters

Und hier ein Vortrag von mir zum Thema:

P 147: Eine Erfindung verändert die Welt

 26.2 Die Pendeluhr

Im Zeitalter von Smart Watches muss man wahrscheinlich eine Pendeluhr im Museum ansehen...

Aber es gab eine Zeit, da war sie eine High Tech - Einrichtung.

Schon früh wurden Uhren erfunden, aber sie blieben schnell stehen, da durch den Energieverlust Schwingungen zu stark gedämpft waren.

Als erstes hat der niederländische Physiker und Mathematiker Christiaan Huygens 1656 ein Verfahren zur Entdämpfung einer Pendeluhr entwickelt.

In einem Gewicht wurde ausreichend Energie für einen langen Betrieb gespeichert (heute übernehmen das Batterien und Solarzellen...). Das Gewicht dreht beim Absinken über eine Welle ein Steigrad das durch die besonders geformten Klauen eines Ankers immer wieder angestoßen wird.

Die Pendeluhr steuert mit Hilfe von Steigrad und Anker selbst die Energiezufuhr aus dem absinkenden Gewicht mit der die Schwingungsenergie konstant gehalten wird.

Wenn das Gewicht unten angekommen ist, muss es wieder hochgezogen werden, sonst würde die Uhr stehen bleiben: Die Uhr wird aufgezogen.

Aber schaut euch das in dieser Animation aus wikipedia common selbst an:

Erklärt laut redend, wie der Mechanismus funktioniert.

Sehr lehrreich ist auch die Darstellung aus leifiphysik:

Man lernte sehr schnell, die Ganggenauigkeit der Pendeluhren durch technische Tricks zu verbessern. Sogar Luftdruck- und Temperaturschwankungen konnten berücksichtigt werden.

Auf Schiffen liefen sie wegen des Seegangs nicht so gut, dennoch waren sie der Anstoß für eine weltweite Entwicklung, die die Menschheit zum ersten Mal total umgekrempelt hat..

P 146: Gib mir mal Schwung....

 26. Wie kann man eine Schwingung aufrecht erhalten?

26.1 Rückkopplung

Wenn ein schwingendes System (Oszillator) Energie an die Umgebung abgibt (z.B. durch Reibung), so ist die Schwingung gedämpft, die Amplitude nimmt ab.

Um die Schwingung aufrecht zu erhalten, muss man die abgegebene Energie wieder im richtigen Moment zuführen.

Frage:

Was bedeutet hier: „richtiger Moment“? Erläutere dies an einem auf einer Schaukel sitzendem Kind, das von einer Person immer wieder angestoßen wird, also immer wieder Energie bekommt...

Wenn der Oszillator über eine Steuervorrichtung diese Energiezufuhr aus einem Energiereservoir selbst steuert, spricht man von einer Entdämpfung der Schwingung  durch Rückkopplung.

Das Schema einer Selbststeuerung durch Rückkopplung zeigt die folgende Abbildung: 

Erläutere die Abbildung. Schreib einen kleinen Text, der zu den Elementen der Abbildungen die entsprechenden Objekte beim Schaukeln eines Kindes in Beziehung setzt.

Falls Du keine schaukelnden kleinen Geschwister hast, kannst Du auch spannende Rückkopplungen selbst erzeugen:

-          Versuch zur Videorückkopplung:

Halte eine an einem TV-Gerät angeschlossene Videokamera oder Handy  schräg auf den Bildschirm und stelle durch Zoom den Bildausschnitt so ein, dass der Bildschirm auf sich selbst abgebildet wird. Drehe jetzt die Kamera und betrachte die durch Rückkopplung entstehenden stabilen, periodischen oder chaotischen Muster.

Es gibt nur wenige Beispiele bei YouTube:

 

- Versuch zur Akustik – Rückkopplung:

Halte ein über einen Verstärker angeschlossenes Mikrofon in die Nähe des Lautsprechers. Identifizier die Bauteile in der obigen Abbildung.

Wie hängt die Rückkopplungsfrequenz vom Abstand Lautsprecher-Mikro ab?

Was macht die Rückkopplung? Was ist das Energiereservoir?

Im nächsten Post werden wir sehen, wie die Erfindung der Rückkopplung die Welt verändert hat und zur ersten Globalisierung geführt hat.

P 145: Hier geht es zur Lösung...

 Lösungen:

Einigermaßen gut erkennt man, dass die Amplituden nicht linear abfallen sondern der Graph immer flacher verläuft.

Nach 4 Sekunden hat sich die Anfangsamplitude von 4 cm auf 2 cm halbiert. Auch von 3 cm auf 1,5 cm dauert es genau 4 sec, und natürlich von 2 auf 1 cm ebenfalls 4 sec.

Das ist typisch für einen exponentiellen Abfall.

Diese 4 Sekunden nennen wir die Halbwertszeit τ. Immer nach der Halbwertszeit halbieren sich die Werte.

Damit kann man die Amplitude gut beschreiben:

 Maximale Auslenkung zur Zeit t = Startwert * (1/2)^(t/τ) = 4 cm* 0,5^(t/4sec).

Rechnet mal die gemessenen Amplituden nach. So einigermaßen stimmt es.

Die Periodendauer ändert sich nicht. Man erkennt das sofort daran, dass die Abstände der Nulldurchgänge immer gleich bleiben.

Mit diesen Informationen kann man auch ausrechnen, wann die Amplitude unter 0,1cm = 1 mm gesunken ist (links immer 4 sec dazuzählen, rechts immer halbieren)

Zeit                     Amplitude

0 sec                     4 cm

4 sec                     2 cm

8 sec                     1 cm

12 sec                   0,5 cm

16 sec                   0,25 cm

20 sec                   0,125 cm

24 sec                    0,063 cm

Zwischen 20 und 24 sec dauert es...wir können aber hier nicht interpolieren, da der Zusammenhang nicht linear ist...

Zur genauen Berechnung muss also eine Formel her.

Hier ist sie:

0,1 cm = 4 cm*0,5^(t/4)

Da die gesuchte Größe t im Exponenten steht, müssen wir auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus log anwenden:

log 0,1  = log[4*0,5^(t/4)]

Ihr habt die Rechenregeln für Logarithmen kennengelernt:

log(a*b) = log a + log b

log(x^y) = y*log x

Damit erhält man:

log 0,1 = log 4 + t/4* log 0,5

Diese Gleichung kann man nun nach t umstellen:

t = (log 0,1 - log 4)*4/log0,5

Tippt man das in einen Taschenrechner ein, so ergibt sich t = 21,3 sec.

Das passt gut zu unserer Abschätzung oben.

Ihr müsst die Rechnung oben nicht nur nachvollziehen, sondern sie selbst (ausführlicher) in euerem Heft aufschreiben.

P 144: Wer den Sinus nicht mag....

 mag vielleicht  die Exponentialfunktion?

25.3 WZD der gedämpften Schwingung

Wenn ein Fadenpendel hin- und her schwingt, wird ständig potenzielle Energie der Pendelmasse in kinetische Energie umgewandelt und umgekehrt. Bei einem Federpendel spielt die potenzielle Energie keine Rolle: hier findet die Umwandlung zwischen der in der Feder gespeicherten Energie (die man auch als eine besondere potenzielle Energie ansehen kann) und der kinetischen Energie statt.

Bei diesen Umwandlungsprozessen wird natürlich auch Energie entwertet. Das macht sich in einer stetigen Abnahme der Amplituden bemerkbar. Wir sprechen von einer gedämpften Schwingung.

Bei der Schwingung des Stoßdämpfers eines Autos will man eine starke Dämpfung, bei der Schwingung des Pendels einer Uhr soll die Dämpfung möglichst schwach sein.

Woran erkenne ich, ob eine Dämpfung besonders stark ist?

Je schneller die Amplitude abnimmt, desto stärker ist die Dämpfung.

Versuch: Nimm ein Fadenpendel (Gewicht an einem Faden) und lass es in Luft pendeln und dann so, dass sich der Pendelkörper im Wasser (Waschbecken, Badewanne, Swimming-Pool, Ostsee) bewegt. Da siehst Du, was Dämpfung ausmacht.

Das wollen wir einmal genau vermessen:

Die Abbildung zeigt das WZD einer gedämpften Schwingung.

Bestimme alle Amplituden und trage sie gegen die Zeit auf.

Beachte: Die erste Amplitude liegt bei t=0 vor. Ich würde also jeweils auch nach einer halben Periodendauer messen. Amplituden sind immer positiv.

Letztlich kannst Du auch die Amplituden oberhalb der t-Achse direkt verbinden.

Zeige:

a) Die Periodendauer bleibt konstant, verändert sich nicht durch die Amplitudenabnahme.

b) Gibt es eine feste Zeit, nach der sich jeweils die Amplitude halbiert hat?

c) Wann wird die Amplitude (nicht Auslenkung!) unter 1 mm gesunken sein?

d) In der Mittelstufe hast Du sicher die Funktion f(x) = (1/2)^x kennengelernt.

     Wiederhole das und versuche die Abnahme der Amplitude durch eine solche Funktion zu beschreiben.

     Wer schon die e-Funktion kennt: f(x) = exp(-x) = e^(-x), kann auch damit arbeiten.

P 138: Die Energie pendelt auch!

 Wenn das Pendel ausgelenkt wird, erhöhe ich die Lageenergie (potenzielle Energie Epot) m*g*h relativ zur Ruhelage. Ich verrichte dabei Hubarbeit.

Beim Loslassen wandelt sich diese potenzielle Energie in kinetische Energie Ekin= 1/2*m*v² um. Zu jedem Zeitpunkt t aber ist die Summe aus der momentanen kinetischen Energie und der momentanen potenziellen Energie immer gleich groß, nämlich so groß, wie ich als Hubarbeit beim Auslenken des Pendels zugeführt habe. Das ist die konstante Gesamtenergie Eges.

Das ist der Energieerhaltungssatz:

Ekin (t) + Epot(t) = Eges

In der Ruheposition gibt es nur kinetische Energie, diese ist dann natürlich gleich der Gesamtenergie. Das bedeutet auch, dass die Geschwindigkeit des Pendels am größten ist.

Durch den Schwung kann nun wieder Hubarbeit verrichtet werden, die kinetische Energie wird in potenzielle Energie umgewandelt.

In den Umkehrpunkten ist die Momentangeschwindigkeit v(t) = 0, damit auch die kinetische Energie. Die Gesamtenergie des Pendels besteht dann nur aus potenzieller Energie.

Und dann geht es wieder von vorne los....

nach: ingenieurkurse.de

Der Motor für die ständigen Energieumwandlungen sind Gewichtskraft und Trägheit. In der Schwerelosigkeit würde also nichts passieren, das Pendel würde in der ausgelenkten Position einfach stehen bleiben.

Durch Reibung an der Aufhängung oder an der Luft nimmt die zur Schwingung verfügbare Energie ab, da ein Teil der Energie als Wärmeenergie aus dem System geführt wird. Das nennt man Dämpfung der Schwingung.

Damit nimmt die Auslenkung und auch die maximale Geschwindigkeit ständig ab.

Der Energieerhaltungssatz gilt aber trotzdem, man muss nur die Reibungsenergie Ereib hinzunehmen:

Ekin + Epot + Ereib = Eges ist konstant.

Wenn die gesamte am Anfang zugeführte Hubarbeit als Wärmeenergie abgeführt wurde, dann bleibt das Pendel stehen. Die Gesamtenergie gibt es dann als Wärmeenergie in der Umgebung des Pendels.

Die Formulierung: Das Pendel verliert beim Schwingen Energie und bleibt deshalb stehen, ist so falsch. Man kann höchstens von an die Umgebung angegebenen Energie sprechen. Energie kann nie verloren gehen.

Aufgabe:

Baue Dir  ein Fadenpendel, an das Du verschiedene, nicht allzu ausgedehnte, Körper mit unterschiedlicher Massen hängst.

Binde das Pendel fest, lenke es immer gleich aus (nicht allzu weit) und bestimme mit einer Stoppuhr (Smartphone!) die Periodendauer.

Am besten stoppst Du 10 Schwingungen und teilst die gemessene Zeit durch 10.

Hinweis: Beginn beim Loslassen mit der 0 als Zahl zum Zählen...

Was fällt Dir auf?

Was passiert, wenn Du die Pendellänge änderst?

P 132 Immer wieder von vorne

 Übersetzen wir erst einmal:

Wiederholte zeitliche Schwankung: Im Laufe der Zeit treten Veränderungen ein, die sich aber immer wieder wiederholen.

Zustandsgröße eines Systems: Bei einem Pendel wird der Zustand durch die Größe der Auslenkung beschrieben. Bei einem fahrenden Auto wird der Zustand durch den Abstand vom Startpunkt beschrieben.

Abweichungen von einem Mittelwert: Bei einem Pendel kann man die Veränderungen auf die Ruhelage beziehen, also wenn es einfach nur vor sich her hängt....

Jetzt sollte es klar sein, was eine Schwingung von einer linearen Bewegung unterscheidet:

Bei einer Schwingung wiederholt sich der Bewegungsablauf. Das kann bei einer Autofahrt nur passieren, wenn man hin- und herfährt.

Im Bild des letzten Posts wird klar, dass bei einer Schwingung die hier y genannte Auslenkung sich immer wiederholt, während bei der linearen Bewegung der Abstand y(t) immer neue Werte erhält.

Schwingungen sind also periodische Vorgänge.

Beispiele: 

Die Drehung der Erde ist periodisch, sie wiederholt sich nach 23h56m, einem sog. Sterntag.

Musikinstrumente erzeugen Schwingungen, die sich als Schallwelle durch die Luft übertragen und unser Trommelfell zum Schwingen bringen. Beim Ton "a" schwingt es 440 mal in der Sekunde.

Mit schwingenden Fadenpendeln oder Federpendeln hat man früher Uhren gebaut.

Die Atome in einem Molekül können gegeneinander Schwingen. Dabei entsteht Wärmestrahlung.

Es gibt sogar oszillierende chemische Reaktionen, die sich durch einen wiederkehrenden Farbwechsel bemerkbar machen.

23.2 Wichtige Begriffe

Ruhepunkt: Der Punkt eines Pendels, in dem es sich befindet, wenn es nicht zum Schwingen angeregt wird. Die Auslenkung ist hier 0.

Auslenkung: Der Abstand der Pendelmasse vom Ruhepunkt. Wir häufig mit s oder y bezeichnet, bzw. s(t) und y(t), weil es ja Größen sind, die von der Zeit abhängen.

In der Regel misst man die Auslenkung längs der Bewegungslinie der Pendelmasse. Man kann aber auch den Auslenkungswinkel φ angeben oder (manchmal) den seitlichen Abstand x.

Amplitude: Maximal mögliche Auslenkung, oft mit A bezeichnet.

Beim Fadenpendel spielt noch die Pendellänge l eine Rolle.

Zuerst einmal unterscheidet man Schwingungen nach der Form ihres Weg-Zeit-Gesetzes.

Schwingungen, deren Weg-Zeit-Gesetz eine Sinus-Kurve darstellen, nennt man auch harmonisch.

Dann gibt es Dreiecksschwingungen, Rechtecksschwingungen (für Taktgeber) und Sägezahnschwingungen (für Oszilloskope).

Wenn die Amplitude einer Schwingung immer gleich bleibt, dann nennt man die Schwingung ungedämpft.

Die Periodendauer kann man zwischen beliebigen Bereichen messen: startet man am Ruhepunkt, so ist bei t =T eine Periode abgelaufen. Die Schwingung wiederholt sich (rotes Kurvenstück).Aber auch die Zeit zwischen zwei benachbarten maximalen Auslenkungen ist eine Periodendauer (blaue Kurvenstücke)

Im Normalfall aber verlieren Schwingungen Energie, deshalb nimmt die Amplitude ab. Ein solcher Energieverlust heißt auch Dämpfung, die Schwingung nennt man dann gedämpft.

Die Stoßdämpfer bei einem Auto sind Vorrichtungen, die Schwingungen der Karosserie möglichst stark dämpfen, d.h. zum Erliegen bringen.

In Uhren dagegen sollte die Dämpfung möglichst klein sein, damit die Schwingungen zur Zeitmessung immer weiter gehen.

Frequenz f: Die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde nennt man Frequenz f. Sie wird in Hertz Hz gemessen: 1 Hz = 1 Schwingung pro Sekunde.

Wir hören Schwingungen von etwa 30 Hz bis 15 000 Hz, wenn wir jung sind, und 10 000 Hz, wenn wir alt sind.

Bei einer Frequenz von 20 Hz gibt es 20 Schwingungen in jeder Sekunde. Also dauert eine Schwingung 1/20 sec.

Der Kehrwert der Frequenz f ist also immer die Schwingungsdauer T = 1/f.

Schwingungsdauer T: Die Dauer einer Schwingung, nach T wiederholt sich der Schwingungsablauf.

(alle Abbildungen aus wikipedia common)