Lösungen:
Einigermaßen gut erkennt man, dass die Amplituden nicht linear abfallen sondern der Graph immer flacher verläuft.
Nach 4 Sekunden hat sich die Anfangsamplitude von 4 cm auf 2 cm halbiert. Auch von 3 cm auf 1,5 cm dauert es genau 4 sec, und natürlich von 2 auf 1 cm ebenfalls 4 sec.
Das ist typisch für einen exponentiellen Abfall.
Diese 4 Sekunden nennen wir die Halbwertszeit τ. Immer nach der Halbwertszeit halbieren sich die Werte.
Damit kann man die Amplitude gut beschreiben:
Maximale Auslenkung zur Zeit t = Startwert * (1/2)^(t/τ) = 4 cm* 0,5^(t/4sec).
Rechnet mal die gemessenen Amplituden nach. So einigermaßen stimmt es.
Die Periodendauer ändert sich nicht. Man erkennt das sofort daran, dass die Abstände der Nulldurchgänge immer gleich bleiben.
Mit diesen Informationen kann man auch ausrechnen, wann die Amplitude unter 0,1cm = 1 mm gesunken ist (links immer 4 sec dazuzählen, rechts immer halbieren)
Zeit Amplitude
0 sec 4 cm
4 sec 2 cm
8 sec 1 cm
12 sec 0,5 cm
16 sec 0,25 cm
20 sec 0,125 cm
24 sec 0,063 cm
Zwischen 20 und 24 sec dauert es...wir können aber hier nicht interpolieren, da der Zusammenhang nicht linear ist...
Zur genauen Berechnung muss also eine Formel her.
Hier ist sie:
0,1 cm = 4 cm*0,5^(t/4)
Da die gesuchte Größe t im Exponenten steht, müssen wir auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus log anwenden:
log 0,1 = log[4*0,5^(t/4)]
Ihr habt die Rechenregeln für Logarithmen kennengelernt:
log(a*b) = log a + log b
log(x^y) = y*log x
Damit erhält man:
log 0,1 = log 4 + t/4* log 0,5
Diese Gleichung kann man nun nach t umstellen:
t = (log 0,1 - log 4)*4/log0,5
Tippt man das in einen Taschenrechner ein, so ergibt sich t = 21,3 sec.
Das passt gut zu unserer Abschätzung oben.
Ihr müsst die Rechnung oben nicht nur nachvollziehen, sondern sie selbst (ausführlicher) in euerem Heft aufschreiben.
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