P5: v(t), die Geschwindigkeit im Moment

 1.4 Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit, Teil 2

Auswertung des Videos:

Die Vermessung der Fenster ist mir nicht gelungen, aber für die drei Wagons (beim Dritten war das Ende nicht drauf, habe ich geschätzt), kamen die folgenden Ergebnisse für die Durchschnittsgeschwindigkeiten:

1. Wagon: 4 m/sec = 14,4 km/h

2. Wagon:  3,7 m/sec = 13,3 m/sec

3. Wagon: ca. 3,3 m/sec = 12 km/h

Der Zug wird also langsamer. Das ist sinnvoll, denn unmittelbar links vom Bildrand beginnt der Bahnhof Riffelsberg. Da muss der Zug zum Stehen kommen.

Die Geschwindigkeiten sind realistisch, denn bei voller Fahrt kommt der Zug  etwa auf 20 km/h.

Dann habe ich die ersten beiden Wagons vermessen und komme auf 3,8 m/sec = 13,7 km/h.

Überlegt euch mal, warum dieser Wert etwas kleiner ist als der Mittelwert der beiden Geschwindigkeiten.

 Was Einstein zu diesem Messverfahren sagen würde, steht auf einer Zusatzseite.

Etwas formaler...

Mit unserem Verfahren können wir eine "echte" Momentangeschwindigkeit nicht messen, denn der Wert drückt ja aus, wie schnell der Zug in einem bestimmten Moment ist.

Wir können aber immer dichter an diesen unbekannten Wert herankommen, wenn wir die Messstrecke immer mehr verkleinern, also immer kleinere Zeitdifferenzen zwischen den Messungen haben.

In der Mathematik spricht man von einem Grenzwert:

Die Momentangeschwindigkeit ist der Grenzwert von Durchschnittsgeschwindigkeiten für immer kleinere Messintervalle.

Natürlich muss man die Messintervalle immer so legen, das sie auch mit z.B. dem linken Rand auf einen Zeitpunkt zulaufen.

Könnt ihr versuchen, euch das mal mit einer Skizze zu veranschaulichen?

Ich habe das mal gemacht: Beschreibt, das, was ihr hier seht, mal mit eigenen Worten und tragt das in euer Heft ein.

Ihr merkt, das ist alles etwas komplizierter. In dem Bruch werden ja Zähler und Nenner immer kleiner und v(t) würde man für 0/0 erhalten...

Newton hat, um damit umgehen zu können, extra eine neue Mathematik erfunden, die Differenzialrechnung.

Ihr lernt sie bald in der E-Phase kennen.

Dann werdet ihr sagen: v(t) ist die erste Ableitung der Funktion s(t): v(t) = ds(t)/dt.

Aber das müsst ihr noch nicht verstehen.

Wenn wir im nächsten Post die Weg-Zeit-Diagramme eingeführt haben, dann fällt uns der Umgang mit Momentan- und Durchschnittswerten bald leichter.

Radarfallen

Echte Radarfallen, auch die mittels Laser, ermitteln wirklich eine  Momentangeschwindigkeit, nämlich die Geschwindigkeit des Autos im Moment der Reflexion des ausgesandten Radar- oder Lasersignals.

 

 

 

 

Manchmal sieht man zwei Kontaktstreifen auf der Straße. Damit erhält man eine Durchschnitts-geschwindigkeit (Bild: Spiegel). 

Was macht die Polizei, damit diese Durchschnittsgeschwindigkeit möglichst gut an der Momentangeschwindigkeit liegt?

 

 

 

 

 

Und was zeigt der Tacho beim Auto an? Eine echte Momentangeschwindigkeit oder doch einen Durchschnittswert?

 

P4: Mit der Zahnradbahn unterwegs

 1.4 Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit, Teil 1

Gestern stand ich mit dem Handy am Riffelsberg bei Zermatt in der Schweiz und habe die Gornergratbahn gefilmt. Dabei habe ich mich so gestellt, dass zwei Masten vor und hinter den Schienen sich bedecken, dadurch konnte ich sicher sein, senkrecht zu den Schienen zu filmen.

 

Eine längere Diskussion mit dem Kartenverkäufer sowie eine Recherche im Internet hat ergeben:

Ein Zugteil (Wagon) ist 14 m lang, die halbhohen Fenster sind 1,40 m breit.

Versucht einmal mit Hilfe des Filmes verschiedene Durchschnittsgeschwindigkeiten zu messen.

Es fahren ja mehrere Wagen an dem Masten vorbei, auch mehrere Fenster.

Ihr könnt mit der Stoppuhr arbeiten, aber auch ein Videoprogramm benutzen, das die Zeit anzeigt oder sogar Einzelbilder abspielen lässt.

Damit könnt ihr den Zeitmaßstab eichen: Messt einfach die Zeit für 200 Einzelbilder. 

Nun überlegt euch folgendes:

Fährt der Zug mit konstanter Geschwijndigkeit?

Warum unterscheiden sich die Geschwindigkeiten, je nachdem ob man einen ganzen Wagen oder nur ein einzelnes Fenster nimmt.

Alle die von Dir gemessenen Geschwindigkeiten sind Durchschnittsgeschwindigkeiten.

 Was musst Du machen, um möglichst genau eine Geschwindigkeit im Moment der Messung zu erfassen?

Die wollen wir dann Momentangeschwindigkeit nennen.

Im nächsten Post werden wir dann den Unterschied zwischen Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit etwas genauer mathematisch fassen.

Wenn wir dann Weg-Zeit-Diagramme eingeführt haben, kommt noch ein weiterer Schritt dazu.

Wer möchte, kann sich unter den  Zusatzseiten mal informieren, was Einstein zu unserem Messverfahren anmerken würde und schon einen ersten Einblick in die Denkweie der Relativitätstheorie bekommen (das wird noch heute gepostet).  

P3: Der berühmte Faktor 3,6

 1.3 Umrechnungen

Ein Teil der Aufgabe war ja die Umrechnung von km/h in m/sec.

Geschwindigkeiten sollte man in der Physik in m/sec angeben. Es gibt nämlich ein Einheitensystem. Wenn man das für jede Größe nutzt, dann passen die Größen zueinander:

m (Meter) für die Strecke, 

kg für die Masse, 

sec für die Zeit, 

N (Newton) für die Kraft, 

A (Ampere) für die Stromstärke, 

V (Volt) für die Spannung, 

C (Coulomb) für die elektrische Ladung,

 J (Joule) oder Nm (Newtonmeter) oder Ws (Wattsekunde) für Energie oder Arbeit, 

J/sec, Nm/sec oder W (Watt) für die Leistung.

Im Alltag nutzt man manchmal andere Einheiten, insbesondere wird die Geschwindigkeit in km/h angegeben (in Amerika in mph, miles per hour). Deshalb ist es sinnvoll, die Umrechnung zu lernen.

Schaut euch mal das folgende Bild an. Könnt ihr damit die Regel erkennen?

Fasst die Umrechnungsregel km/h in m/sec und m/sec in km/h  in Worte, schreibt sie euch auf.

Macht euch aber auch klar, wie man sie begründen kann.

Notiert euch ebenfalls die Erklärung!

In eurem Heft müsste jetzt in etwa stehen:

Umrechnung von km/h in m/sec: durch  3,6 teilen

Umrechnung von m/sec in km/h : mit 3,6 multiplizieren

Begründung:

Die Einheiten bilden einen Bruch: km/h. Den muss man nur umschreiben: k steht für 1000 und 1 Stunde hat 60*60 Sekunden. Der Rest ist kürzen...das formulier selbst weiter!

Lernhinweis: Achtung! Es gibt Lerninterferenzen!

Was ist eine Interferenz? Das deutsche Wort heißt Überlagerung. Wir kennen das bei Wellen: Treffen zwei Wellenberge aufeinander, verstärken sie sich...trifft ein Wellenberg auf ein Wellental, so löschen sie sich aus.

So etwas passiert auch in unserem Gehirn beim Verstehen und Lernen. Treffen zwei ähnliche Informationen im Gehirn (genauer: im Hypocampus, siehe Extraseite) an, die aber dennoch recht unterschiedliche Bedeutung haben, so reagiert unser Genirn mit der Auslöschung beider Informationen. Das vermeidet Stress (für das Gehirn) und erschwert uns das Lernen.

Vergessen ist anscheinend besser als Verwechseln....

Ich denke, ein Beispiel macht euch das klar:

Ihr alle hattet schon Sinus und Cosinus. Beides sind Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.

Aber welche? Bei dem einen spielt die Gegenkathete eine Rolle, bei dem anderen die Ankathete.

Den Unterschied kann sich ja keiner merken! Am besten, man vergisst beides...

Und hier ist es ähnlich: Die Umrechnung der Geschwindigkeitseinheiten hat was mit der Zahl 3,6 zu tun...

Aber wann wird multipliziert, wann dividiert?

Man verhindert solche Lerninterferenzen, in dem man  sich immer wieder alle Zusammenhänge klar macht, gegeneinander abgrenzt und versucht "Eselsbrücken" zu bauen.

Wie war das nochmal?

50 km/h bedeutet wieviel m/sec?

Übrigens: Ich schreibe die Zeit in der Einheit in der Regel als sec für Sekunde. Dann tritt später keine Verwechslung mit dem Symbol s für Segstrecke ein.

 Ich denke, dass ich am Mittwoch den nächsten Post veröffentlichen kann.