Wie bestimmt man die Komponenten eines Vektors:
Man projiziert den Vektor auf die Koordinatenachsen. In den üblichen rechtwinkligen Koordinatensystemen der Schule (kartesische Koordinaten) erhält man dann rechtwinklige Dreiecke mit dem Vektor als Hypotenuse und der x-Komponente als Ankathete des eingezeichneten Winkels. Die y-Komponente ist die Gegenkathete.
Damit ist klar, dass der Sinus und der Cosinus die Verhältnisse der Komponenten zur Länge des Vektors beschreiben:
Das habe ich in die letzte Abbildung eingetragen. Solltet ihr auch in euren Zeichnungen ergänzen.
Hier haben wir gesehen, wie man einen Geschwindigkeitsvektor in seine Komponenten zerlegt, wenn man den Winkel kennt.
Umgekehrt kann man leicht über den Satz des Pythagoras auch aus den Komponeten die Geschwindigkeit ausrechnen:
v² = a² + b²
Auch das kommt häufig vor (z.B. beim shchefen Wurf).
Extrafutter:
Ich kann es mir nicht verkneifen...(das hat hier nichts mit Schulstoff zu tun!).
In rechtwinkligen Koordinatensystem ist die Projektion eines Vektors auf die Achsen eindeutig. Wie sieht es aus, wenn die Achsen nicht senkrecht zueinander stehen?
Das ist in der Relativitätstheorie der Fall. Dann erhält man zwei Möglichkeiten, die zweite ist die sog. kovariante Darstellung des Vektors.
Probiert es mal aus...
1.7.3 Komponenten von Geschwindigkeitsvektoren
Wir werden die Bedeutung gleich an einigen Aufgabenbeispielen kennenlernen.
Die x-Komponten der Geschwindigkeit vx (x soll ein Index sein, also etwas tiefer stehen), gibt an, wie schnell der Gegenstand, nur gemessen längs dieser Richtung, ist.
Das gilt entsprechend auch für die y-Komponente.
Ein einfaches Beispiel:
Ein Flugzeug fliegt mit 800 km/h (relativ zum Boden) Richtung NO.
a) Wie groß ist seine Geschwindigkeit Richtung Norden?
b) Wie weit Richtung Osten ist das Flugzeug nach 2 Stunden gekommen?
Hier schauen wir uns mal gemeinsam die Lösung an:
a) NO bedeutet 45° von der Ostrichtung aus nach Norden. Wir wählen die Ostrichtung als x- Achse und die Nordrichtung als y-Achse. Mach eine Skizze!
Dann ist unser Winkel, der die Flugrichtung beschreibt, 45°.
Für die Nordrichtung benötigen wir den Sinus dieses Winkels (~ 0,71).
Also gilt für die Geschwindigkeitskomponente nach Norden: 800 km/h * 0,71 = 565,7 km/h
b) Um die Flugstrecke nach Osten auszurechnen, benötigen wir die Geschwindigkeitskomponente nach Osten. Dazu müssen wir den Cosinus nehmen. Bei 45° erhalten wir für cos und sin den gleichen Wert.
Also ist das Flugzeug nach 2 Stunden 1131,4 km weiter im Osten, obwohl es 1600 km weit geflogen ist..
Rechne mal nach, schreib die Formeln hin und zeichne eine Skizze.
1.7.4 Aufgaben und Beispiele
Aufgabe 1)
Ein kleines Flugzeug fliegt mit 150 km/h nach Norden. Dann kommt ein Sturm auf, der genau nach Südosten bläst, und zwar mit 50 km/h.
a) Zeichne die Geschwindigkeitsvektoren in ein geeignetes Koordinatensystem (maßstäblich korrekt) und konstruiere, wie beim Kräfteparallelogramm, die resultierende Geschwindigkeit, ihre Stärke und ihre Richtung.
b) Berechne die resultierende Geschwindigkeit aus den Angaben.
c) Vergleiche Rechnung und Zeichnung (es sollten 120 km/h herauskommen)
d) Unter welchem Winkel kommt das Flugzeug vom vorherigen Nordkurs ab?
e) Wie stark reduziert sich die Geschwindigkeitskomponente Richtung Norden?
Denkt dran, ihr könnt eure Lösungen im Forum vergleichen und diskutieren.
Ein Tipp:
Kennt man alle x- Komponenten, so kann man diese einfach zur resultierenden x-Komponente aufaddieren. So erhält man auch die resultierende y-Komponente.
Aufgabe 2)
Bei Sternen am Himmel unterscheidet man zwischen Eigenbewegung EB, Tangentialgeschwindigkeit TG und Radialgeschwindigkeit RG. Durch die EB verschiebt sich der Stern in Jahrzehnten am Himmel. Das gibt man als Winkel pro Jahr an. Kennt man die Entfernung des Sternes, kann man daraus die Geschwindigkeit der EB, also die TG, ausrechnen.
Die Radialbewegung zeigt in Richtung unserer Blicke, also auf uns zu oder von uns fort. Sie kann man durch eine Änderung der Wellenlänge des Lichtes (Dopplereffekt) recht einfach herausfinden.
Die Abbildung (wikipedia) erklärt das gut.
Hier ist allerdings eine Galaxie als Objekt genommen. Die EB von Galaxien sind extrem klein, erst das HubbleSpaceTeleskop war in der Lage vor wenigen Jahren die EB der Andromedagalaxie zu messen. Jetzt wissen wir, dass in 5 Milliarden Jahren unsere Galaxis und die Andromedagalaxie sich wirklich durchdringen werden!
Aber keine Angst...vorher wird die Sonne zum Roten Riesen und verglüht unsere Erde...
Vielleicht können eure Ururururururur...enkel vom Mars aus zusehen...
Nun die Aufgabe:
Der Stern Arkturus zeigt eine EB von 2,28"/Jahr (Bogensekunden pro Jahr, 60" = 1`(Bogenminute, 60`= 1°), das sind also 0,00063°/Jahr.
a) Arkturus ist 36,66 Lichtjahre entfernt (1 Lichtjahr = 9,463 Billionen km). Berechne seine EB-Geschwindigkeit in km/sec, also sein TG.
b) Die RG von Arkturus beträgt - 5 km/sec, d.h. er kommt auf uns zu. Berechne seine Raumgeschwindigkeit.
c) Kann er die Sonne treffen?
Aufgabe 3)
Ein Schwimmer schafft eine Geschwindigkeit von 2 m/sec. Der Fluß, den er überqueren will, strömt mit 3 m/sec nach rechts. Er ist 30 m breit und fließt geradeaus.
Mit welcher Geschwindigkeit schwimmt er? Wo am gegenüberliegenden Ufer kommt er an?
Mache eine Skizze der Situation.
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