Bitte erst die Aufgaben in P103 lesen und zumindest überdenken!
Über die Lösungen der Aufgaben kommen wir zum Gravitationsgesetz:
a(R) ist die Fallbeschleunigung eines Körpers im Abstand R vom Erdzentrum, also an der Oberfläche. Den Wert kennen wir, den haben wir schon gemessen: g = 9,81 m/sec²
Wir könnten jetzt übrigens die Geschwindigkeit ausrechnen, mit der ein Körper unmittelbar an der Oberfläche um die Erde kreisen müsste, ohne herunter zu fallen: v² = g*R. Wir würden, wenn wir g und den Erdradius einsetzen v = 7,9 km/sec erhalten, das sind 28460 km/h.
Um die Fallbeschleunigung des Mondes, also seine Zentralbeschleunigung, zu bestimmen, müssen wir erst einmal seine Bahngeschwindigkeit kennen:
v = 2*π*r / P, dabei ist P = 27,3 Tage = 2358720 sec und r = 384000 km.
Wir erhalten v = 1,02 km/sec.
Damit erhalten wir nun die angegebene Zentralbeschleunigung am Ort der Mondbahn:
a(r) = 0,0027 m/sec².
An der Erdoberfläche ist a(R)=g = 9,81m/sec²
Das Verhältnis a(R)/a(r) ist 33633, das ist ungefähr 60²!
Newton fiel auf, dass der Mond etwa 60 Erdradien vom Mittelpunkt der Erde entfernt ist:
r/R = 60
Damit ist r²/R² = 3600 = a(R)/a(r).
Das können wir umstellen: a(r) = a(R) * R²/r² = g* R² * 1/r²
Die Zentralbeschleunigung nimmt also mit dem Quadrat der Entfernung ab: a(r)~1/r².
Newton hat sinnvollerweise vermutet, dass die Zentralbeschleunigung natürlich proportional zur Masse des anziehenden Körpers ist, hier also zur Masse M der Erde.
Also hat er die folgende Proportionalität aufgestellt:
a(r) ~ M/r².
Durch Einfügen einer Proportionalitätskonstante kann man daraus eine Gleichung machen. Wir nennen die Konstante G, denn es ist die Gravitationskonstante:
a(r) = G*M/r².
Ihr seht übrigens, dass die Masse des fallenden Körpers keine Rolle spielt: Alle Körper fallen gleich schnell. An der Erdoberfläche können wir einen Schlüssel fallen lassen und weit draußen, bei 384400 km, einen ganzen Mond...oder umgekehrt...
Nun müssen wir noch mit der Masse m des Mondes multiplizieren und erhalten die anziehende Kraft, die diese Zentralbeschleunigung hervorruft ( für die Kraft spielt die Masse des fallenden Körpers eine Rolle, das ist ja an der Erdoberfläche die Gewichtskraft):
F = m*a(r) = G * M * m / r²
Das ist Newtons berühmtes Gravitationsgesetz.
Rechnen konnte er damit nicht, denn er kannte die Gravitationskonstante nicht. Noch heute haben wir keine Theorie, die uns eine Berechnung gestattet.
Hätte Newton die Masse der Erde gekannt, dann hätte er G auch ausrechnen können. Er hätte als Abstand den Erdradius R genommen und als Beschleunigung die Fallbeschleunigung g.
Hätte...ja, er hat sogar!
Aus der Dichte der Gesteine und der Größe der Erde hat er sehr gut die Erdmasse abgeschätzt, sehr dicht am heutigen Wert. Aber er hat dieser Schätzung nie vertraut und damit die große Chance vertan, die Kräfte selbst auszurechnen.
Wie man 100 Jahre später die Gravitationskonstante gemessen hat, erfahren wir bald.
G ist eine winzig kleine Zahl, denn die Gravitation ist die schwächste aller Kräfte:
G = 6,6 * 10^-11 N*m²/kg²
Das wir trotzdem unser eigenes Gewicht spüren, liegt nicht nur an unserem dicken Bauch, sondern an der gewaltigen Masse der Erde: Es braucht schon einen ganzen Planeten, damit wir etwas wiegen...
Wir kennen G auch nur für große Massen und große Abstände. Erst vor einem Jahr ist G im Bereich von mm-Abständen gemessen worden. Und da wir nicht wollen, dass das Gravitationsgesetz bei kosmischen Abständen seine Gültigkeit verliert, haben wir die Dunkle Materie erfunden.
Auch darüber bald mehr...
Wie geht es weiter?
Wir haben jetzt das Gravitationsgesetz gefunden, so ganz nebenbei wichtige Informationen über Kreisbewegungen erfahren.
Noch aber haben wir nicht besprochen, wie man die notwendigen Hilfsgrössen Erdradius, Mondumlaufszeit und Mondentfernung bestimmt. Die kannte ja Newton schon, sonst hätte er nicht das Verhältnis der Zentralbeschleunigungen bilden können.
Dazu solltet ihr ja recherchieren...
Wir behandeln das in den nächsten Posts.
Abschließend geht es dann an die Messung der Gravitationskonstanten. Und zum Schluss erfahren wir etwas über die Dunkle Materie.
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