22.3 Gravitationsgesetz und das dritte Keplersche Gesetz
Kepler hat lange gebraucht, um die "Zahlenspielerei" seines dritten Gesetzes zu finden: P² ~ a³:
Die Quadrate der Umlaufszeiten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse.
22.3.1 Kepler spielt mit Zahlen
Von der Erde wusste er die Umlaufszeit: 1 Jahr.
Von den anderen großen Planeten konnte er sie bestimmen, aber das ist gar nicht so einfach:
Wir haben jetzt soviel gelernt, dass wir sogar seine Idee nachvollziehen können:
In Post 105 vom 22.3. haben wir das, etwas einfacher dargestellt, schon einmal für den Mond durchdacht:
Der Mars bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω(M) um die Sonne, die Erde mit der Winkelgeschwindigkeit ω(E).
Der Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Umlaufsperiode ist uns bekannt:
ω = 2*π* f = 2*π/P, da P = 1/f als Umlaufsdauer der Kehrwert der Umlaufsfrequenz ist.
Da wir den Mars von der bewegten Erde aus beobachten, erkennen wir nur die Differenz der Winkelgeschwindigkeiten als Bewegung am Himmel.
Auftrag: Mache Dir das an zwei Autos klar. Wir beobachten ein Auto aus einem fahrenden Auto heraus....
Wir nennen diese Differenz die scheinbare oder synodische Bewegung:
ω(syn) = ω(E) - ω(M)
Auch die synodische (scheinbare) Winkelgeschwindigkeit lässt sich als Kehrwert einer synodischen, scheinbaren Periodendauer darstellen.
Damit erhalten wir:
1/P(syn) = 1/P(E) - 1/P(M)
Frage: Was ist mit den vielen Pi`s passiert????
Kepler hat ja die Marsbahn gut beobachtet, er konnte die synodische Periodendauer des Mars bestimmen. Das ist z.B. die Zeit zwischen zwei Stellungen, in denen der Mars der Sonne gegenübersteht (Oppositionsstellungen, Mars ist die ganze Nacht zu sehen). Das sind 2,14 Jahre.
Die Umlaufszeit P(E) der Erde um die Sonne kannte Kepler auch: P(E) = 1 Jahr.
Was Kepler suchte, war die Umlaufszeit P(M) des Mars:
1/2,14 = 1/1 - 1/P(M)
Aufgabe: Rechne damit die Umlaufszeit des Mars aus.
Man erhält 1,88 Jahre.
Hinweis:
Das alles ist kein Abiturwissen. Ich denke unter 10% alle Physikkurse in Deutschland behandeln dieses Thema. Ich finde das aber blöd...denn es gibt Einblick in die Entwicklung unseres Weltbildes und zeigt uns, wie präzise Kepler schon damals die Zusammenhänge erdacht hatte.
Also: Alle 1,88 Jahre umrundet der Mars die Sonne und alle 2,14 Jahre sehen wir auf der Erde ihn relativ zur Sonne in der gleichen Position. Nur diese letzte Zahl konnte Kepler beobachten. Die gesuchte Zahl musste er durch diese Überlegungen errechnen.
Auf diese Art hat er auch die (wahren) Umlaufszeiten der anderen Planeten bestimmt.
Das nützte ihm aber nichts, denn er hatte nur präzise Beobachtungen der Marsbewegung, aus denen er die Marsbahn relativ zur Erdbahn konstruieren konnte.
Nahm er die Entfernung der Erde dabei als Einheit (1 AE = 1 Astronomische Einheit = 150 Millionen km), konnte er auch die Entfernung des Mars zur Sonne in AE, aber nicht in km, bestimmen.
Er erhielt aus seinen Konstruktionen der Marsbahn 1,5 AE.
Frage: Was hätte Kepler bekannt sein müssen, um die Entfernung des Mars auch in Kilometern anzugeben?
Achtung Falle: Hier ist a die große Halbachse der Ellipse. Früher war a für uns eine Beschleunigung. Man muss aus dem Zusammenhang erkennen, welche Bedeutung a hat.
Welche Zentralbeschleunigung a besitzt ein Planet, dessen Bahn die große Halbachse a hat?
Ist nicht ganz ernst gemeint, heraus käme die Formel : a = v²/a (hatten wir als a = v²/r)...und wer jetzt in de letzten Formel die beiden a´s zusammenfasst, hat verloren...a² = v², kompletter Unsinn...
Die spinnen die Physiker...oder die Germanisten hätten mehr Buchstaben im Alphabet erfinden sollen...
Nun machen wir mit Kepler weiter: 1,88² = 1,5³ ...wer hätte das gedacht...
Damit hatte er seine Formel gefunden... P² ~ a³
23.3.2 Ein maßstäbliches Modell des Planetensystems
Aufgabe: Berechne die Entfernung a(M) des Mars zur Sonne in AE:
Lösung: a(M)³ / (1 AE)³ = (1,88 Jahre)² / (1 Jahr)²
Man erhält 1,52 AE.
Aufgabe:
Zeichne ein maßstäbliches Modell des Planetensystems mit den Planeten, die Kepler gekannt hatte:.
Umlaufszeiten der Planeten:
Merkur: 88 Tage
Venus: 0,625 Jahre
Erde: 1 Jahr
Mars: 1,88 Jahre
Jupiter: 11,9 Jahre
Saturn: 29,6 Jahre
wird fortgesetzt...
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