27.2 Sinus und Cosinus am Einheitskreis
Das man über Kreise den Sinus und den Cosinus bekommt, sollte euch eigentlich aus dem Matheunterricht bekannt sein:
Ihr kennt den Einheitskreis, ein Kreis im Koordinatensystem mit dem Radius 1.
Jeder Punkt auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten P
(cos φ; sin φ), wenn φ der Winkel zwischen positiver
x-Achse und der Verbindung von Ursprung und P ist. Diese Verbindungsstrecke nennen
wir Zeiger und die Darstellung einer Schwingung durch eine Kreisbewegung nennen
wir Zeigerdarstellung. Vielleicht solltest Du die Matheaufzeichnungen der
Klasse 10 noch einmal dazu ansehen.
Das kann man sich auch an einem rechtwinkligen Dreieck klarmachen: Die Hypotenuse ist der Radius der Länge 1, die Gegenkathete des Winkels φ ist der Sinus und die Ankathete des Winkels der Cosinus.
Solche Dreiecke lassen sich in allen vier Quadranten konstruieren.
Wenn jetzt der Punkt P auf dem Kreis entlang wandert, ändert sich natürlich der Winkel φ:
Für 0°< φ < 90° (1. Quadrant) kannst Du den Sinus auf de r positiven y-Achse ablesen, den Cosinus auf der positiven x-Achse.
Kommen wir in den 2. Quadranten (90°<φ<180°), so nimmt der Sinus wieder ab und der Cosinus wird negativ (negative x-Achse).
3. Quadrant (180°<φ<270°): Der Sinus (auf der negativen y-Achse wird negativ, der Cosinus bleibt negativ, nähert sich wieder der 0.
4.Quadrant (270°<φ<360°): Nun nähert sich der Sinus auf der negativen y-Achse wieder der 0 und der Cosinus wächst auf der positiven x-Achse bis zum Wert 1 bei 360° = 0°.
Dann beginnt alles wieder von vorne....
Man kann dabei also auch mehrfach herumdrehen.
Beispiel: sin(600°) = sin(600°-360°) = sin(240°) = - 0,8660
Und nun probiert dies mal mit dem schönen GeoGebra-Programm aus. Wir brauchen vorläufig nur die Elongation (Auslenkung) y.
27.3 Begründung der Schwingungsgleichung
In der Darstellung aus physikunterricht-online.de ist das noch einmal gut zusammengefasst. Ich habe unsere Begriffe eingetragen:
Die y-Koordinate y ist der zurückgelegte Weg s der Pendelmasse.Dreht sich der Zeiger gleichmäßig mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit, so gilt: φ =ω*t und man erhält die Schwingungsgleichung:
s(t) = A * sin(ω*t).
Beginnt die Zeigerbewegung zu t = 0 bei dem Startwinkel φ0 , so gilt:
s(t) = A * sin(ω*t + φ0)
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