P12: Geschwindigkeiten haben Richtungen!

 1.7 Vektoren

1.7.1 Etwas Mathematik

Ich stelle euch den Vektorbegriff erst einmal an einem bekannten Beispiel vor. Wegen der besonderen Schreibweise, die der Blog-Editor nicht kann, muss ich das in Word schreiben und als Bilderfolge hier kopieren...

Überlege Dir weitere Größen, die Vektoren sind und weitere Größen, die Skalare sind.

 

Mehr zu Vektoren, aber nur für Spezialisten, Nerds oder Neugierige 

 

 Schauen wir uns das nochmal an, was wir jetzt verstehen müssen:

Da wir die Koordinatenachsen mit x und y bezeichnen, nehme ich jetzt a und b als Koordinaten:

a ist die x-Koordinatenangabe und b die y-Koordinatenangabe von Punkt oder Vektor.

Bitte die Skizze selbst ins Heft zeichnen und erläutern!

Kräfte und Geschwindigkeiten haben eine Richtung, deshalb sind sie Vektoren.

Bezeichnen wir einen Vektor mit mit v, so bezeichnen wir die Länge des Vektorpfeiles nur mit dem Buchstaben v. Wir sprechen manchmal statt von der Pfeillänge auch vom Betrag des Vektors.

Bei den Kräften war das einfach die Stärke der Kraft, unabhängig von der Richtung.

1.7.2 Vektorkomponenten

Ihr habt früher bestimmt Komponenten der Kraft konstruiert, vielleicht sogar berechnet.

Im Bild ganz oben im Post seht ihr das am Kräfteparallelogramm.

Das geht natürlich mit jedem Vektor:

a ist die x-Komponente unseres Vektors v und b die y-Komponente des Vektors v.

Wie kann man die Komponenten eines Vektors berechnen?

Schaut euch mal das folgende Bild an und sucht eine Antwort!

Auch hier: Selbst abzeichnen und erläutern.

Erklärt einmal, wie man wann aus einem Vektor dessen Komponenten bestimmen kann.

Da tauchen so Begriffe auf wie rechtwinkliges Dreieck, Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse....

 😭

 Und dann: Welche Bedeutung haben die Komponenten des Geschwinidigkeitsvektors?

Könnt ihr euch ein praktisches Beispiel und eine sinnvolle Rechenaufgabe dazu überlegen?

Wir reden im nächsten Post darüber... 

P11: Wenn s proportional zu t ist

 1.6 Die gleichförmige Bewegung

1.6.1: Das Weg-Zeit-Gesetz

Nach allen Vorbereitungen ist der Schritt zur gleichförmigen Bewegung nun sehr klein...

Gleichförmig heißt: Mit gleichbleibender Geschwindigkeit

Symbolhaft schreibt man oft: v(t) = v = const. und meint damit, dass sich die Momentangeschwindigkeit im Laufe der Zeit nicht ändert.

Die Geschwindigkeit gibt an, um wieviel Meter man pro Sekunde weiter kommt...und wenn sie konstant ist, dann muss s gleichmäßig mit t anwachsen.

Achtung: Ich habe gleichmäßig anwachsen gesagt, nicht proportional!

Ist euch der Unterschied aus der Mittelstufenmathematik bekannt?

In P1 habe ich dazu ja schon eine Anregung zu eigenen Untersuchungen gegeben:

 Untersuche Bewegungen mit (möglichst) konstanter Momentangeschwindigkeit. Wie hängt der zurückgelegte Weg s von der benötigten Zeit t ab? Die Antwort kannst Du Dir sicher überlegen, noch schöner wäre es, wenn Du eine Messreihe machst, mit der Du Deine Überlegung überprüfen kannst.

 Das ist gar nicht so leicht durchzuführen...man müsste ja eigentlich schon eine konstante Geschwindighkeit haben, um die Messungen von s und t auszuführen...

Einige Jugendliche haben mich da mal komplett überrascht...

Sie haben die Spitze des Sekundenzeigers einer analogen Wanduhr verfolgt. Den Kreisbogen, auf dem die Spitze des Zeigers sich bewegt, haben sie bestimmt  (kann man entweder aus der Zeigerlänge berechnen oder mit einem Seilstück messen), und wo der Zeiger alle 5 Sekunden sein muss , war irgendwie sofort klar...

Künstliche Versuchsumgebung (aber hilfreich!):

In Leifiphysik gibt es auch eine Experimentiermöglichkeit:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/gleichfoermige-bewegung/grundwissen/charakterisierung-der-gleichfoermigen-bewegung

Hier der direkte Link:

v = const

Startet man zum Zeitpunkt t = 0 sec am Ort s = 0 m, so erhält man als WZD eine Ursprungsgerade mit der Gleichung s(t)  = v * t,  v = const.

Dies ist das Weg-Zeit-Gesetz WZG der gleichförmigen Bewegung.

Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz GZG ist einfach v(t) = const. 

1.6.2 Erste Begegnung mit der Quantenwelt:

Um die Bewegung eines Körpers in unserer Umgebung genau zu bestimmen, müssen wir seinen Ort s(t) und seine Geschwindigkeit v(t) kennen.

Wir benötigen also das WZG und das GZG!

Damit werden wir bald richtige Flugbahnen berechnen.

Und solche Flugbahnen von Gegenständen gibt es wirklich, denn sonst hätten unsere Vorfahren kaum Nahrungsquellen mit Pfeil und Bogen erledigen können...

In Q3 werdet ihr dagegen lernen, dass im Mikrokosmos genau das nicht geht. Da gibt es keine Flugbahnen von Objekten, denn man kann nicht gleichzeitig einen Ort und eine Geschwindigkeit angeben.

Entweder hat ein Elektron einen Ort, dann existiert keine Information über die Bewegung...oder wir kennen alle Bewegungsinformationen, dann besitzt das Elektron keinen Ort.

Besonders irre: Es ist nicht so, dass wir nur den Ort nicht kennen...der existiert wirklich nicht nicht als Eigenschaft unserer Welt.

Das wurde von Werner Heisenberg 1936 auf Helgoland entdeckt. Wir nennen es die Unbestimmtheitsbeziehung.

Physik in Q3 wird richtig spannend. Man lernt da etwas über die Realität der Welt.

Auch dazu gibt es einen Unterrichtsblog:

 https://physikkursq3lichtundquanten.blogspot.com/

Quantenmechanik (Q3)

 Um es noch mal klar zu sagen:

In de rklassischen (newtonschen) Mechanik sind WZG und GZD die bestimmenden Regeln. In der Quntenmechanik  können sie nicht eingesetzt werden.

Da sollte erst einmal als Hinweis auf die verrückte Quantenwelt reichen.

1.6.3 Achtung! Aufgepasst!

Der Graph einer gleichförmigen Bewegung im WZD ist eine Gerade.

Aber: Nicht jede Gerade gehört zu einer Proporionalität...nur Geraden, die durch den Urspung gehen.

Ganz konkret:

Fall 1: s(t) = 5 m/sec * t:

Dieser Graph geht durch den Ursprung, s und t sind zueinander proportional.

Das bedeutet: Verdoppelt oder verdreifacht sich die Zeit, so tut das auch der zurückgelegte Weg.

                        Der Quotient aus Weg und Zeit ist immer gleich!

                         Wie nennen wir den Quotienten s/t nochmal??? 

                         Könnt ihr das mit dem Quotientenkriterium für proportionale Zuordnungen verbinden,  das ihr in der Klasse 7 in Mathe kennengelernt habt?

 

Fall 2: s(t) = 5 m/sec * t + 500 m

Diese Gleichung gehört nicht zu einer  Proporionalität. Für t = 1 sec erhält man s= 505 m, für t = 2 sec dagegen 510 m.

510 m sind bekannterweise nicht doppelt so lang wie 505 m....

 Da muss man gut aufpassen...

Im  zweiten Fall kann man nur sagen: Es liegt ein linearer Zusammenhang zwischen s und t vor, aber keine Proportionalität.

Wir neigen dazu, alle linearen Zusammenhänge mit proporional zu bezeichnen. Das geht aber nur für diejenigen, die mit (0,0) anfangen...

Ihr müsst also genau aufpassen, wenn ihr einen linearen Zusammenhang als proportional bezeichnet.

Jeder proportionale Zusammenhang ist linear, aber nicht jeder lineare Zusammenhang ist proportional (nur diejenigen, für die.....)

 Das hat schon manchen Abiturienten Punkte im Abi gekostet.

 

Ich werde bald eine Zusatzseite zu Proportionalitäten und Antiproportionalitäten schreiben. 

Da könnt ihr das nochmal zusammenhängend durcharbeiten.

Im nächsten Post müssen wir auf die Richtung von Bewegungen eingehen. Da bekommen wir dann einen kurzen ersten Kontakt zur Allgemeinen Relativitätstheorie von Einstein.

P10: Noch zwei Lerntipps...

 Lerntipps:

 

Ich habe euch eine kleine Animation präsentiert. Natürlich hätte ich euch auch das fertige Bild zeigen können.

Besser aber ist es, die Entstehung eines solchen Bildes als Film zu erleben.

Unser Gehirn speichert gerne Filme ab...viel lieber als statisch präsentierte Formeln.

 Ihr müsst aber jetzt nicht zu jedem Diagramm einen Film drehen...

Viel zu aufwändig, und einen Oscar bekommt man eh nicht...

Aber: Wenn ihr soche Diagramme mal selbst zeichnet, dann produziert ihr einen filmischen Ablauf im Gehirn. Die Videokamera Auge ist mit der Speicherkarte Großhirn direkt verbunden und der Hypocampus steuert das Gefühlskino dabei zu.

Viele kopieren sich Bilder aus dem Internet und fügen sie per Mausklick irgendwo ein... Dabei passiert im Gehirn gar nichts...

Erst wenn  ihr selbst mit Papier und Stift diese Bilder zeichnet, setzen die Lern- und Vernetzungsvorgänge im Gehirn ein.

Das sind dann gut investierte Arbeitsminuten.

 

Und:

Habt ihr die Gefahr einer Lern-Interferenz im letzten Post entdeckt? 

Wir haben die Geschwindigkeit als Steigung in einem WZD eingeführt...ihr kennt Geradensteigungen m in x-y-Koordinaten.

y = m * x  hat die gleiche Bedeutung wie s = v * t 

Steigungsdreiecke liefern Geschwindigkeit v und Geradensteigungen m.

Nicht jede Geradensteigung ist eine Geschwindigkeit (aber durchaus eine Pro-Angabe), aber jede Geschwindigkeit ist eine Geradensteigung.

Wenn ihr dies eurem Hippo im Kopf nicht klar macht, sieht er nur: v = m??? Unsinn! 

Hippo an Großhirn: Löschen!

Also: Hippo trainieren...

 

 

P9: Das kennt man doch...

 Nachdem wir nun die Lösungen verdaut haben, setzen wir das Kapitel

1.5 Weg-Zeit-Diagramme

fort.

Übrigens: Es ist oft auch üblich, die waagerechte Achse zuerst zu nennen  (so wie x-y-Koordiate), dann würde man vom t-s-Diagramm, vom Zeit-Weg-Diagramm sprechen.

Ich benutze die ältere Version WZD.

Wenn ihr noch unsicher seid, dann geht einmal zu Leifi-Physik:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/gleichfoermige-bewegung/grundwissen/geschwindigkeit-bei-gleichfoermiger-bewegung

Herstellung von WZD

 Hier könnt ihr in einer Animation verfolgen, wie WZD von drei unterschiedlich schnellen Körpern erzeugt werden und auch wie die Geschwindigkeiten berechnet werden. 

Ich denke, es ist auch klar, dass man am Verlauf der Kurve im WZD die Geschwindigkeit abschätzen kann:

Je steiler die Kurve im WZD verläuft, desto größer ist die Geschwindsigkeit.

Begründung:

Wenn die Kurve steil verläuft, dann legt man in kurzer Zeit eine große Strecke zurück. Und das bedeutet: hohe Geschwindigkeit.

Wie kannst Du das an den folgenden beiden WZD erkennen?

 Mit dieser Idee kann man nun genau angeben, wie man eine Geschwindigkeit aus einem Graphen des WZD bestimmt.

Zur Erinnerung: Wir brauchen zwei Messpunkte, an denen wir sowohl Zeiten als auch Orte (Wege) ablesen können.

Schau Dir mal die folgende kleine Animation an und erkläre, wie man Geschwindigkeiten in einem WZD bestimmt:

Übertrage das letzte Bild in Deine Aufzeichnungen!

Kannst Du nun erklären, wie wir unsere Beschreibung: "Geschwindigkeit ist der Wegunterschied pro Zeit" nun mathematisch als die grün eingerahmte Formel erhalten haben?

Später schreiben wir in Kurzform: v(t) = ds/dt = d s(t) / dt

Bitte merke Dir die Formeln gut und notiere sie Dir.

Und vielleicht schaust Du jetzt nochmal in den oben angegebenen Link zu Leifi-Physik...genau das haben sie dort gemacht:

Herstellung von WZD

Eigentlich haben wir überhaupt nichts Neues gelernt.

Das Dreieck, welches wir an die Gerade gezeichnet haben, habt ihr in Mathematik als Steigungsdreieck bezeichnet.

Und die Geschwindigkeit unserer Bewegung ist schlichtweg die Steigung der Geraden im WZD.

Geschwindigkeiten sind die Steigungen im WZD!

Das gilt auch, wenn keine Geraden vorliegen. Wie man dann die Steigungen bestimmt, lernt ihr bald in Mathe (Differenzialrechnung), vielleicht gibt es auch hier einen Post dazu.

Immerhin gibt es diesen Blog jetzt seit drei Wochen, das sind 6 bis 9 Unterrichtsstunden, mehr sollten wir diese Woche also nicht mehr machen.

Aber zwei Lerntipps gibt es noch, kann man immer gebrauchen...

Als nächstes werden wir uns sehr genau mit Bewegungen beschäftigen, die eine konstante Geschwindigkeit haben.

Und dann gibt es einen Zusatz für zukünftige Leistungskurse: Wir beschreiben Geschwindigkeiten mit Pfeilen und führen den Begriff der Schnelligkeit ein.

Am Wochenende schreibe ich weiter.

P8: Lösungen

1) Vogelaufgabe

Hier kann man natürlich versuchen für jeden Flug die Strecke auszurechnen... und dann alle diese Strecken addieren...

Aber einfacher geht es so:

Die beiden Züge sind 60 km entfernt und fahren mit je 30 km/h aufeinander zu, d.h. sind 1 Stunde unterwegs.

Diese Stunde hat der Vogel Zeit zum Hin- und Herfliegen. Das macht er mit mit 60 km/h, also legt er 60 km zurück.....

Ausruhzeiten und Wendemanöver verkürzen die Strecke, aber die sollten wir ja vernachlässigen. Ob das dem Vogel Recht ist, war nicht gefragt...

2)

Man muss die Gesamtstrecke (2*60 km + 4* 80 km) ausrechnen und durch die Gesamtzeit teilen (8h). Ergebnis: 93,33 km/h

Mathematiker bilden aber auch den sog. gewichteten Mittelwert: (2*60 + 4*80)/(2+4) mit den Fahrzeiten als Gewichtsfaktoren...das ist aber genau die gleiche Rechnung...

3)

Die Frage habe ich korrigiert: Naheliegender ist es zu fragen, warum nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit 45 km/h herauskommt, das wäre ja das Mittel aus 30 und 60.

Wenn es unterschiedliche Zeiträume oder Strecken sind, kann man nicht einfach die Geschwindigkeiten mitteln.

Man muss erst die Gesamtfahrzeit ausrechnen: 2 Stunden und dann die Gesamtstrecke (40+40=80 km) durch diese Fahrzeit teilen. Dann kommt man auf 40 km/h als Mittelwert. 

Weg-Zeit-Diagramme:

A: Mit konstanter Geschwindigkeit

B: Langsam voran gehen, stehen bleiben, schneller zurück gehen

C: Langsam vorangehen, stehenbleiben, schneller weitergehen

D: Bei einem entfernteren Ort mit konstanter Geschwindigkeit losgehen

E: Von einem entfernten Ort mit konstanter Geschwindigkeit zurückgehen

F: Immer schneller werden, dann aber eine konstante Geschwindigkeit

G: Abbremsen und Stehen bleiben

H: An einem Ort verschwinden und im gleichen Moment woanders auftauchen

>>> Kennen wir im Alltag leider nicht, aber in der Quantenmechanik ist das möglich (Teleportation)

J: Zu einem Zeitpunkt überall sein

>>> Kennen wir auch nicht, aber für Lichtteilchen (Photonen) ist das Alltag...für sie vergeht keine Zeit und in ihrer Eigenzeit gerechnet sind sie überall...

K: In der Zeit rückwärts laufen

>>> Zeitreisen kennen wir nicht, aber Feynman interpretiert Antimaterie als in der Zeit rückwärtslaufende Materie.

Da es auf 1 Milliarden Anti-Materieteilchen (1 Milliarden + 1 Materieteilchen) gibt, erklärt das vielleicht, warum für uns die Zeit vorwärts läuft...

L: Alle drei Bewegungen haben die gleiche Durchschnittsgeschwindigkeit...die eine ist abgebremst (oben), die andere beschleunigt (unten), die mittlere hat diese Durchschnittsgeschwindigkeit ständig als Momentangeschwindigkeit.

M: Diese Bewegung geht hin und her...das ist eine Schwingung.

Neue Aufgabe:

Überlegt euch einmal, wie man am WZD die Geschwindigkeit eines Körpers ablesen kann und verbindet das mit dem, was ihr in der Mathematik gelernt habt.

P7: Weg und Zeit

 Zuerst einmal ein Hinweis: Im Präsenzunterricht kaue ich natürlich nicht alles noch mal vor, wenn ich eine Aufgabe wie in P1 gestellt habe. Da kriege ich durchaus mit, wer wobei Probleme hat und da kann ich coachen und individuell helfen.

Hier online geht das nicht und deshalb bearbeite ich alle Aufgaben dann nochmal selbst.

Ich rate euch aber, das zu ignorieren und es wirklich  einmal allein zu versuchen! Dann könnt ihr ja meine Antworten durcharbeiten und eure damit ergänzen.

Und nun zum nächsten Post:

 1.5 Weg-Zeit-Diagramme

Auch hier möchte ich euch erst nur eine Aufgabe stellen.

Wir registrieren Bewegungen, in dem wir zu jedem Zeitpunkt t den Ort s(t) aufzeichnen. Dann tragen wir s(t) gegen t auf.

Das nennen wir ein Weg-Zeit-Diagramm, in Zukunft WZD abgekürzt.

In der Mathematik würdet ihr vom Graphen der Funktion s(t) sprechen.

Ich habe euch 12 WZD aufgezeichnet. 

Manchmal habe ich noch die Richtungen, in denen die Bewegungen durchlaufen werden, durch einen Pfeil dargestellt.

Erzählt bitte zu jedem eine Geschichte: Was passiert da? Ist das möglich?

Ein Beispiel: Jemand geht langsam über eine zweispurige Straße, bleibt in der Mitte stehen und rennt dann zurück.

 

Im nächsten Post werde ich euch zu einigen WZD etwas mehr sagen, zu anderen nur Stichworte angeben.

Ihr werdet staunen, jedes dieser WZD entspricht einem realen Vorgang in der Natur.

Übrigens: Im WZD L sind drei Bewegungen dargestellt. Gebt an, was sie gemeinsam haben und worin sie sich unterscheiden.

Es wird auch bald eine Zusatzseite zu diesem Thema geben: WZD in der Relativitätstheorie.

Da werdet ihr sehen, wie man Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft darstellen kann.

P6: Übung

 Übungsaufgaben zur Durchschnittsgeschwindigkeit

1) Zwei Züge bewegen sich mit jeweils 30 km/h auf dem gleichen Gleis aufeinander zu. In dem Moment, in dem die beiden Züge 60 km weit voneinander entfernt sind, fliegt ein Vogel von der Spitze eines Zuges mit 60 km/h los und zwar direkt auf den anderen Zug zu. Kaum hat er diesen erreicht, kehrt er sofort um und fliegt zur Spitze des ersten Zuges zurück…usw. (Warum ein Vogel so etwas machen sollte, weiß nur der Erfinder dieser Aufgabe….). Welche Gesamtstrecke legt der Vogel zurück bis zu dem Zeitpunkt, an dem die beiden Züge aufeinander krachen (natürlich ist niemand drin, wird niemand verletzt und die Züge sind aus Plastik…).

 🐦🚂

 2) Ein Auto fährt 2 Stunden mit v = 60 km/h und weitere 4  Stunden mit v= 80 km/h. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Fahrstrecke

🚗

3) Ein Auto fährt auf einer geraden Strecke 40 km weit mit 30 km/h. Anschließend bewegt es sich weitere 40 km weit mit 60 km/h. Warum ist die durchschnittliche Geschwindigkeit nicht 45 km/h? Wie groß ist sie wirklich?